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2005年北方数学奥林匹克数学邀请赛试题答案(pdf)


2005年北方数学奥林匹克数学邀请赛试题解答
Linchang
一. AB 是圆 O 的一条弦,它的中点为 M ,过 M 作一条非直径的弦 CD ,过 C 和 D 作圆 O 的两条切线,分别与直线 AB 相交于 P, Q 两点.求证: PA = QB. 证:由于 CD 过 M,C 与 D 在直径 OM 的两侧,故 P 与 Q 在直线 AB 上位于线段 AB 外 的 不 同 侧 .OM⊥AB,OC⊥PC, 故 O,M,C,P 四 点 共 圆 ,∠OPM=∠OCM, 同 理 ∠OQM=∠ODM.但 OC=OD,∠OCM=∠ODM.因此∠OPM=∠OQM, OP=OQ,从而 PM=QM, PA=QB. 二.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: 1. f ( 0 ) = 0 ;
?1? 1? 2.对任意 x, y ∈ ( ?∞, ?1) ∪ (1, +∞ ) ,都有 f ? ? ?+ f ? ? = ? x? ? y? ? x+ y ? f? ?; ? 1 + xy ?

3.当 x ∈ ( ?1, 0 ) 时,都有 f ( x ) > 0. 求证; f ? ? 解:
1? 1 ? 1 ? ? ? ?1? * ? + f ? ? + ... + f ? 2 ? > f ? ? ,其中 n ∈ N . ? 19 ? ? 29 ? ? n + 7 n + 11 ? ? 2?

x>1 时(x+1)/(x-1)>1.对任意的 x,y>1,根据条件 2,有

x +1 y +1 + x ?1 y ?1 xy ? 1 x ?1 y ?1 f( )+ f ( )= f( )= f( ) .由此对 n 归纳可证:当 x1,x2,…,xn>1 时成立 x +1 y +1 x +1 y +1 xy 1 + 1+ x ?1 y ?1

等式

∑ f (x
k =1

n

xk ? 1 x x ...x ? 1 )= f( 1 2 n ) x1 x2 ...xn + 1 k +1

现在令 xk=(k2+7k+12)/(k2+7k+10), 则 (xk-1)/(xk+1)=1/(k2+7k+11).故题中不等式 的左边就等于 f((x1x2…xn-1)/(x1x2…xn+1)).由于 xk=(k+3)(k+4)/(k+2)(k+5),连乘约分得 x1x2…xn=5(n+3)/(3(n+5)),

(x1x2…xn-1)/(x1x2…xn+1)=n/(4n+15)=(2-u)/(1-2u),其中 u=(7n+30)/(2n+15)>1. 最后根据条件 3,f(-1/u)>0,所以,左边等于 f(n/(4n+15))=f(1/2)+f(-1/u)> f(1/2). 顺便指出:题目中的条件 1 是多余的.又容易证明 f(x)在(-1,0),(0,1)中递减,可以得 到更强的结果: ∑ f (
k =1 n

1 1 ) > f ( ). 4 k + 7k + 11
2

三.在公差为 d ( d > 0 ) 的正数等差数列 a1 , a2 ,...a3n ( n ≥ 2 ) 中,任取 n + 2 个数,证明其 中必存在两个数 ai , a j ( i ≠ j ) ,满足不等式 1 <
ai ? a j nd

< 2.

证: (ai-aj)/nd=(i-j)/n.因此只要证明:从集合{1,2,3,…,3n-1,3n}中任取 n+2 个元素 u1<u2<…<un+2 ,必有 1≤i<j≤n+2 使得 n+1≤uj-ui≤2n-1.注意 u1≥1,un+2≤3n, un+2-u1≥n+1. 1).如 un+2≤2n,则 n+1≤un+2-u1≤2n-1,1 与 n+2 为所求. 2).如 un+2≥2n+2,所有小于 un+2 的数可分为 n+1 个抽屉: (1, un+2-n),(2, un+2-n+1),…, (n, un+2-1),{n+1,n+2,…, un+2-n-1}.若有 ui∈{n+1,n+2,…, un+2-n-1},则 un+2-ui≥un+2-( un+2-n-1)=n+1, un+2-ui≤3n-(n+1)=2n-1,故 i 与 n+2 为所求. 若没有 ui∈{n+1,n+2,…, un+2-n-1},则 n+1 个数 u1,u2,…,un+1 全在前 n 个抽屉中,必 有两数 ui<uj 在同一抽屉中,每个抽屉的两数之差都是 un+2-n-1,由于 un+2-n-1≥2n+2-(n+1)=n+1 , un+2-n-1≤3n-(n+1)=2n-1,故 i 与 j 为所求. 3).最后,若 un+2=2n+1,分 n 个抽屉(1,n+2),(2,n+3),…,(n-1,2n),(n,n+1).同上必有两 数 ui<uj 在同一抽屉中.如在前 n-1 个抽屉之一,它们的差为 n+1,i 与 j 为所求;如在最后 一个抽屉, un+2 与 ui=n 的差为 n+1,i 与 n+2 为所求. 四.已知 n 位数的各位数字只能取集合 {1, 2,3, 4,5} 中的元素,设含有数字5且在5 的前面不含3的 n 位数个数为 f ( n ) ,求 f ( n ) . 解:一位数只有一个(即 5),故 f(1)=1.n≥2 时 n 位数的末位数字有两种可能:

1).末位不是 5,有 4 种取法,前 n-1 位是题目要求的 n-1 位数,这种 n 位数的个数 是 4f(n-1). 2).末位是 5,前 n-1 位可在{1,2,4,5}中任取,这种 n 位数的个数是 4n-1. 于是得到递推关系 f(n)=4f(n-1)+4n-1 (n≥2). 令 f(n)=4n-1g(n), 代入得 g(1)=1, g(n)=g(n-1)+1 (n≥2).故 g(n)=n,f(n)=n·4n-1. 五.如果三个正实数 x, y, z 满足: x 2 + xy + y 2 =
xy + yz + zx 的值.

25 2 169 . 求 , y + yz + z 2 = 36 , z 2 + zx + x 2 = 4 4

解:从一点 O 作三条线段 OA=x,OB=y,OC=z 并使两两的夹角为 120°.由已知条件 用余弦定理得 AB=5/2,BC=6,CA=13/2.因为(5/2)2+62=(13/2)2,ABC 是直角三角形.由面 积关系列式:1/2·5/2·6=1/2·(xy+yz+zx)·sin120°,故 xy+yz+zx=10 3 . 六.设 0 ≤ α,β, γ ≤ , cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 ,求证:
2 2 ≤ (1 + cos 2 α ) sin 4 α + (1 + cos 2 β ) sin 4 β + (1 + cos 2 γ ) sin 4 γ ≤ (1 + cos 2 α )(1 + cos 2 β )(1 + cos 2 γ ) .
2 2 2

π

证:记 x= cos 2 α ,y= cos 2 β ,z= cos 2 γ ,注意到 sin 4 α = (1 ? cos 2 α ) 2 ,本题等价于 x+y+z=1, x,y,z≥0 时证明不等式 2≤(1-x2)2+(1-y2)2+(1-z2)2≤(1+x)(1+y)(1+z). 以下 ∑ 表示对 x,y,z 循环求和,并记 u= ∑ xy ,v=xyz.我们有 ∑ x2=1-2u,



x4=( ∑ x2)2-2 ∑ x2y2=(1-2u)2-2(u2-2v)=1-4u+2u2+4v, (1+x)(1+y)(1+z)=2+u+v.

故 ∑ (1-x2)2=3-2 ∑ x2+ ∑ x4=2+2u2+4v≥2.(等号仅当 x,y,z 中一个为 1,两个为 0 时 成立). 而(1+x)(1+y)(1+z)- ∑ (1-x2)2=u(1-2u)-3v=u ∑ x2-3v,



x2≥(x+y+z)2/3=(x+y+z)/3≥v1/3 ,u≥3v2/3. 所以 u ∑ x2≥3v ,此即右边的不等式.等

号仅当 x=y=z=1/3 时成立.


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