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选修2-1 模块综合检测(A)


选修 2-1 模块综合检测(A)
一、选择题 1、在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 BB1、B1C1 的中点,若∠CMN=90° ,则异面直线
AD1 与 DM 所成的角为( A.30° B.45° ) C.60° D.90°

2、已知命题 p:若 x2+y2=0 (x,y∈R),则 x,y 全为 0;命题 q:

若 a>b,则a<b.给出下列四个复合
命题:①p 且 q;②p 或 q;③綈 p;④綈 q.其中真命题的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 )

1 1

3、以 4 -12=-1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为(
x y A. + =1 16 12 x2 y2 C. + =1 16 4
2 2

x2

y2

)

B.

x y + =1 12 16 x2 y2 D. + =1 4 16

2

2

4、已知 a>0,则 x0 满足关于 x 的方程 ax=b 的充要条件是(
1 1 A.?x∈R, ax2-bx≥ ax2 -bx0 2 2 0 1 1 B.?x∈R, ax2-bx≤ ax2 -bx0 2 2 0 1 1 C.?x∈R, ax2-bx≥ ax2 -bx0 2 2 0 1 1 D.?x∈R, ax2-bx≤ ax2 -bx0 2 2 0

)

5、已知椭圆a2+b2=1 (a>b>0),M 为椭圆上一动点,F1 为椭圆的左焦点,则线段 MF1 的中点 P 的轨
迹是( ) A.椭圆 C.双曲线的一支 B.圆 D.线段

x2

y2

6、若向量 a=(1,0,z)与向量 b=(2,1,2)的夹角的余弦值为3,则 z 等于(
A.0 B.1 C.-1 D.2

2

)

???? ? 7、如图所示,正方体 ABCD—A′B′C′D′中 M 是 AB 的中点,则 sin〈 DB ' , 〉的值为(
1 A. 2 C. 2 3 210 B. 15 11 D. 15

)

8、过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果 x1+x2=6,那么|AB|等
于( ) A.10 B .8 C.6 D .4

9、中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为(
A. 6 B. 5 C. 6 2 D. 5 2

)

10、命题“若 A?B,则 A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是(
A.0 B.2 C.3 D.4

)

x2 y2 11、设 O 为坐标原点,F1、F2 是a2-b2=1(a>0,b>0)的焦点,若在双曲线上存在点 P,满足∠F1PF2 =60° ,|OP|= 7a,则该双曲线的渐近线方程为( ) A.x± 3y=0 B. 3x± y=0 C.x± 2y=0 D. 2x± y=0

12、若 A,B 两点的坐标分别是 A(3cos α,3sin α,1),B(2cos θ,2sin θ,1),则||的取值范围是(
A.[0,5] C.(1,5) B.[1,5] D.[1,25]

)

二、填空题 13、 已知 p(x):x2+2x-m>0, 如果 p(1)是假命题,p(2)是真命题,那么实数 m 的取值范围是________.

14、已知双曲线a2-b2=1 (a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点与抛物线 y2=16x
的焦点相同,则双曲线的方程为______________.

x2

y2

15、若 AB 是过椭圆a2+b2=1 (a>b>0)中心的一条弦,M 是椭圆上任意一点,且 AM、BM 与坐标轴不
平行,kAM、kBM 分别表示直线 AM、BM 的斜率,则 kAM· kBM=________.

x2

y2

16、在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 和 N 分别是 A1B1 和 BB1 的中点,那么直线 AM 与
CN 所成角的余弦值为________.

三、解答题 17、如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点.
(1)求直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值. (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论.

18、已知 p:2x2-9x+a<0,q:?

?x2-4x+3<0 ? ? ?x -6x+8<0
2



且綈 q 是綈 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围.

19、设 P 为椭圆100+64=1 上一点,F1、F2 是其焦点,若∠F1PF2=3,求△F1PF2 的面积.

x2

y2

π

20、已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 交于 A,B 两点.

(1)求 a 的取值范围; (2)若以 AB 为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值.

21、如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是
PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. 证明:(1)PA∥平面 EDB; (2)PB⊥平面 EFD.

22、已知两点 M(-2,0)、N(2,0),点 P 为坐标平面内的动点,满足||||+· =0,求动点 P(x,y)的轨迹方程.

以下是答案 一、选择题 1、D [

建立如图所示坐标系.设 AB=a,AD=b,AA1=c,则 A1(b,0,0),A(b,0,c),C1(0,a,0),C(0,a,c),B1(b,a,0),D(0,0,c), b c ,a,0?,M?b,a, ?. N? 2? ?2 ? ? ∵∠CMN=90° ,∴⊥, c? ? b c? ∴· =? ?b,0,-2?· ?-2,0,-2?

1 1 =- b2+ c2=0, 2 4 ∴c= 2b.

?b,a,- ∴· =(-b,0,- 2b)· ?
=-b2+b2=0,

2 ? b 2 ?

∴AD1⊥DM,即异面直线 AD1 与 DM 所成的角为 90° .]

2、B [命题 p 为真,命题 q 为假,故 p∨q 真,綈 q 真.] 3、D [双曲线 4 -12=-1,即12- 4 =1 的焦点为(0,± 4),顶点为(0,± 2 3).所以对椭圆 2+ 2=1 a b
y2 x2 而言,a2=16,c2=12.∴b2=4,因此方程为 + =1.] 16 4 1 1 b x2 y2 y2 x2 y2 x2

4、C [由于 a>0,令函数 y=2ax2-bx=2a(x-a)2-2a,此时函数对应的图象开口向上,当 x=a时,
b2 b 1 b2 取得最小值- ,而 x0 满足关于 x 的方程 ax=b,那么 x0= ,ymin= ax2 - bx =- ,那么对于任意 0 2a a 2 0 2a 的 x∈R, 1 b2 1 都有 y= ax2-bx≥- = ax2 -bx0.] 2 2a 2 0

b2

b

5、A [∵P 为 MF1 中点,O 为 F1F2 的中点,
1 ∴|OP|= |MF2|,又|MF1|+|MF2|=2a, 2 1 1 ∴|PF1|+|PO|= |MF1|+ |MF2|=a. 2 2 ∴P 的轨迹是以 F1,O 为焦点的椭圆.]

6、A [设两个向量的夹角为 θ,
则 cos θ= 解得 z=0.] 1×2+0×1+2z 1+z · 2 +1 +2
2 2 2 2



2+2z 1+z · 3
2

2 = , 3

7、B [以 D 为原点,建系,设棱长为 1, 1 ? 则=(1,1,1),C(0,1,0),M? ?1,2,0?, 1 ? =? ?1,-2,0?, 1? 1×1+1×? ?-2?+1×0 故 cos〈, CM 〉= 1?2 2 12+12+12· 12+? ?2? +0
= 15 210 ,则 sin〈, 〉= .] 15 15

8、B [由抛物线的定义,
得|AB|=x1+x2+p=6+2=8.]

9、D [由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为 y=-ax,∴-2=-a×4,∴a=2b,
设 b=k,则 a=2k,c= 5k, c 5k 5 ∴e= = = .] a 2k 2

b

b

10、B [原命题为假,故其逆否命题为假;其逆命题为真,故其否命题为真;故共有 2 个真命题.] 11、D[如图所示,∵O 为 F1F2 的中点,∴+=2,
∴(+)2=(2)2. 即||2+||2+2||· ||· cos 60° =4||2. 又∵|PO|= 7a, ∴||2+||2+||||=28a2.① 又由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a, ∴(|PF1|-|PF2|)2=4a2. 即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4a2.② 由①-②得|PF1|· |PF2|=8a2, ∴|PF1|2+|PF2|2=20a2. 在△F1PF2 中,由余弦定理得 |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 cos 60° = , 2|PF1||PF2| 2 2 2 2 2 ∴8a =20a -4c .即 c =3a . 又∵c2=a2+b2,∴b2=2a2. b2 b 即 2=2, = 2. a a ∴双曲线的渐近线方程为 2x± y=0.]

12、B [||= ?2cos θ-3cos α?2+?2sin θ-3sin α?2
= = 9+4-12cos αcos θ-12sin αsin θ 13-12cos?α-θ?.

因为-1≤cos(α-θ)≤1, 所以 1≤13-12cos(α-θ)≤25, 所以||∈[1,5].]

二、填空题 13、[3,8)
解析 因为 p(1)是假命题,所以 1+2-m≤0, 即 m≥3.又因为 p(2)是真命题, 所以 4+4-m>0,即 m<8.

故实数 m 的取值范围是 3≤m<8.

x2 y2 b 解析 由双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y= 3x 得 = 3,∴b= 3a. a b a ∵抛物线 y2=16x 的焦点为 F(4,0),∴c=4. 又∵c2=a2+b2,∴16=a2+( 3a)2, ∴a2=4,b2=12. x2 y2 ∴所求双曲线的方程为 - =1. 4 12

14、 4 -12=1

x2

y2

15、-a2
解析 设 A(x1,y1),M(x0,y0),则 B(-x1,-y1),
2 y0-y1 y0+y1 y2 0-y1 则 kAM· kBM= · = 2 x0-x1 x0+x1 x2 0-x1 2 2 2? ?-b2x2 ? b 2 2? ? a 0+b ?-?-a2x1+b ? b2 = =- . 2 a2 x0 -x2 1

b2

16、5
解析

2

建系如图, 1 ? 则 M? ?1,2,1?, 1? N? ?1,1,2?,A(1,0,0),C(0,1,0), 1 ? 1? ? ∴=? ?0,2,1?,=?1,0,2?.

∴cos〈, 〉=

1 2 2 = = . 5 5 4

2 即直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 . 5

三、解答题 17、解 [设正方体的棱长为 1,如图所示,以, ,分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐
标系 Oxyz.

1 1 (1)依题意,得 B(1,0,0),E(0,1, ),A(0,0,0),D(0,1,0),所以 =(-1,1, ),=(0,1,0). 2 2 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,因为 AD⊥平面 ABB1A1,所以是平面 ABB1A1 的一个法向量.设直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角为 θ,则

sin ? =

1 2 = = . 3 3 × 1 2

2 故直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为 . 3 (2)在棱 C1D1 上存在点 F,使 B1F∥平面 A1BE. 证明如下: 依题意,得 A1(0,0,1), =(-1,0,1), 1 =(-1,1, ). 2 设 n=(x,y,z)是平面 A1BE 的一个法向量, 则由 n· =0,n· =0, -x+z=0, ? ? 得? 1 -x+y+ z=0. ? 2 ? 1 所以 x=z,y= z,取 z=2,得 n=(2,1,2). 2 设 F 是棱 C1D1 上的点,则 F(t,1,1)(0≤t≤1). 又 B1(1,0,1) ,所以=(t-1,1,0).而 B1F?平面 A1BE,于是 B1F∥平面 A1BE?=(t-1,1,0).而 B1F 1 ?平面 A1BE,于是 B1F∥平面 A1BE?· n=0?(t-1,1,0)· (2,1,2)=0?2(t-1)+1=0?t= ?F 为棱 C1D1 2 的中点.这说明在棱 C1D1 上存在点 F(C1D1 的中点),使 B1F∥平面 A1BE.
2 ? ?x -4x+3<0 ?1<x<3 18、解 由? 2 ,得? , ?2<x<4 ?x -6x+8<0 ?

即 2<x<3.∴q:2<x<3. 设 A={x|2x2-9x+a<0},B={x|2<x<3}, ∵綈 p?綈 q,∴q?p,∴B?A. 即 2<x<3 满足不等式 2x2-9x+a<0. 设 f(x)=2x2-9x+a, 要使 2<x<3 满足不等式 2x2-9x+a<0,

? ?f?2?≤0 ?8-18+a≤0 ? 需? ,即? . ? ?f?3?≤0 18 - 27 + a ≤ 0 ? ?
∴a≤9.故所求实数 a 的取值范围是{a|a≤9}.

19、解 如图所示,设|PF1|=m,|PF2|=n,

1 π 则 S△F1PF2= mnsin 2 3 3 = mn. 4 由椭圆的定义知 |PF1|+|PF2|=20, 即 m+n=20.① 又由余弦定理,得 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|· cos =|F1F2|2, 即 m2+n2-mn=122.② 256 由①2-②,得 mn= . 3 64 ∴S△F1PF2= 3. 3 π 3

?y=ax+1, ? 20、解 (1)由? 2 2 消去 y, ?3x -y =1 ?
得(3-a2)x2-2ax-2=0.
2 ? ?3-a ≠0, 依题意得? 即- 6<a< 6且 a≠± 3. ?Δ>0, ?

2a x +x = , ? 3-a ? (2)设 A(x ,y ),B(x ,y ),则? -2 xx= . ? ? 3-a
1 2 2 1 1 2 2 1 2 2

∵以 AB 为直径的圆过原点,∴OA⊥OB, ∴x1x2+y1y2=0, 即 x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, 即(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0. -2 2a ∴(a2+1)· +a· +1=0, 3-a2 3-a2 ∴a=± 1,满足(1)所求的取值范围. 故 a=± 1.

21、

证明 (1)以 D 为坐标原点,以 DA、DC、DP 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系. 连结 AC,AC 交 BD 于 G. 连结 EG.设 DC=a, a a? 依题意得 A(a,0,0),P(0,0,a),E? ?0,2,2?, ∵底面 ABCD 是正方形, ∴G 是此正方形的中心, a a ? 故点 G 的坐标为? ?2,2,0?, a a ,0,- ?. 且=(a,0,-a),=? 2 2 ? ? ∴=2,即 PA∥EG. 而 EG?平面 EDB 且 PA?平面 EDB, ∴PA∥平面 EDB. (2)依题意得 B(a,a,0),=(a,a,-a). a a? a2 a2 ? 0 , , 又=? 2 2?,故· =0+ - =0, 2 2 ∴PB⊥DE,由已知 EF⊥PB,且 EF∩DE=E, 所以 PB⊥平面 EFD.

22、解 设 P(x,y),则=(4,0),=(x+2,y),
=(x-2,y). ∴||=4,||= · =4(x-2), 代入||· ||+· =0, 得4 即 ?x+2?2+y2+4(x-2)=0, ?x+2?2+y2=2-x,化简整理,得 y2=-8x. ?x+2?2+y2,

故动点 P(x,y)的轨迹方程为 y2=-8x.


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