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2015-2016学年黑龙江省伊春二中高一(下)期末数学试卷(解析版)


2015-2016 学年黑龙江省伊春二中高一(下)期末数学试卷
一、选择题 1.已知 A 点坐标为 A(1,1,1) ,B(3,3,3) ,点 P 在 x 轴上,且|PA|=|PB|,则 P 点 坐标为( ) A. (6,0,0) B. (6,0,1) C. (0,0,6) D. (0,6,0) 2.若过点 A(2,﹣2)和点 B(5,0)的直线与过点 P(2m,1)和

点 Q(﹣1,﹣m)的 直线平行,则 m 的值为( ) A.﹣1 B.1 C.2 D. )

3.圆 x2+y2﹣2x+4y+3=0 的圆心到直线 x﹣y=1 的距离为: ( A.2 B. C.1 D.

4.在等差数列{an}中,2a3+a9=3,则数列{an}的前 9 项和等于( A.9 B.6 C.3 D.12

) )

5.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( A. B. C. D. )

6.设非零实数 a,b 满足 a<b,则下列不等式中一定成立的是( A.a+b>0 B.a﹣b<0 C. > D.ab<b2 )

7.某几何体的三视图如图,则该几何体的体积为(

A.1

B.2

C.3

D.

8.如果实数 x、y 满足条件

,那么 z=﹣2x+y 的最大值为(



A.1

B.2

C.3

D.4

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9.已知关于 x,y 的不等式组

,所表示的平面区域的面积为 l6,则 k 的值为

( ) A.﹣l B.0 C.1 D.3 10.设有不同的直线 a,b 和不同的平面 α,β,γ,给出三个命题: ①若 a∥α,b∥α,则 a∥b ②若 a∥α,a∥β,则 α∥β ③若 α∥β,β∥γ,则 α∥γ, 其中真命题的个数是( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 11.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a=2,c=2 <c,则 b=( A.3 B.2 ) C.2 ,cosA= .且 b

D. ,则 k 的

12.直线 y=kx+3 与圆(x﹣2)2+(y﹣3)2=4 相交于 M,N 两点,若 取值范围是( ) A. B. C. D.

二、填空题. 13.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成的角 的余弦值为______. 14.和直线 3x+4y﹣7=0 垂直,并且在 x 轴上的截距是﹣2 的直线方程是______. 15.设不等式 ax2+bx+1>0 的解集为(﹣ ) ,则 a×b=______.

16.若实数 x,y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是______. 三、解答题. 17.在锐角△ABC 中,角 A,B,C 对边分别为 a,b,c,已知 2asinB= b. (1)求角 A; (2)若 b=1,a= ,求 S△ ABC. 18.已知数列{an}中满足 a1=1,an+1﹣an=2n(n∈N+) . (1)求数列{an}的通项公式 (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 19.如图所示,已知 P,Q 是正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的面 A1B1BA 和面 ABCD 的中心. (1)求证:PQ∥平面 BCC1B1; (2)求直线 PQ 与平面 ABCD 所成角.

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20.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=BC=AC=AA1=1,D 是 BC 的中点. (1)求证:AD⊥平面 B1C1CB; (2)求二面角 A1﹣BC﹣A 的余弦值.

21.已知点 A(﹣4,﹣3) ,B(2,9) ,圆 C 是以线段 AB 为直径的圆. (1)求圆 C 的方程; (2)设点 P(0,2)则求圆内以 P 为中点的弦所在的直线 l0 的方程. 22.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2﹣6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 x﹣y+a=0 交与 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值.

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2015-2016 学年黑龙江省伊春二中高一(下)期末数学试 卷
参考答案与试题解析

一、选择题 1.已知 A 点坐标为 A(1,1,1) ,B(3,3,3) ,点 P 在 x 轴上,且|PA|=|PB|,则 P 点 坐标为( ) A. (6,0,0) B. (6,0,1) C. (0,0,6) D. (0,6,0) 【考点】空间两点间的距离公式;空间中的点的坐标. 【分析】先根据题意设 P(x,0,0) ,再利用平面上两点的距离公式表示出|PA|=|PB|,最 后解一个关于 x 的方程即得结果. 【解答】解:∵点 P 在 x 轴上, ∴设 P(x,0,0 又∵|PA|=|PB|, ∴ 解得;x=6. 故选 A. 2.若过点 A(2,﹣2)和点 B(5,0)的直线与过点 P(2m,1)和点 Q(﹣1,﹣m)的 直线平行,则 m 的值为( ) A.﹣1 B.1 C.2 D. =

【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系. 【分析】分别求出过点 A(2,﹣2) 、B(5,0)的直线与过点 P(2m,1) 、Q(﹣1,﹣m) 的直线的斜率,由斜率相等列式求解 m 的值. 【解答】解:由 A(2,﹣2) 、B(5,0)得, 过 A、B 的直线的斜率 kAB= = , ,

过点 P(2m,1) 、Q(﹣1,﹣m)的直线的斜率 kPQ=

∵过点 A(2,﹣2) 、B(5,0)的直线与过点 P(2m,1) 、Q(﹣1,﹣m)的直线平行, ∴ = ,解得:m=1.

故选:B. 3.圆 x2+y2﹣2x+4y+3=0 的圆心到直线 x﹣y=1 的距离为: ( A.2 B. C.1 D. )

【考点】点到直线的距离公式;圆的一般方程. 【分析】先求圆心坐标,然后用点到直线的距离公式求解即可.
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【解答】解:圆 x2+y2﹣2x+4y+3=0 的圆心(1,﹣2) , 它到直线 x﹣y=1 的距离: 故选 D. 4.在等差数列{an}中,2a3+a9=3,则数列{an}的前 9 项和等于( A.9 B.6 C.3 D.12 【考点】等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 【分析】利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求解. 【解答】解:在等差数列{an}中, ∵2a3+a9=3, ∴2(a1+2d)+(a1+8d)=3, ∴3a1+12d=3, ∴a1+4d=1, ∴数列{an}的前 9 项和: S9= 故选:A. 5.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( A. B. C. D. ) =9(a1+4d)=9. )

【考点】等比数列的前 n 项和. 【分析】设等比数列{an}的公比为 q,利用已知和等比数列的通项公式即可得到 ,解出即可. 【解答】解:设等比数列{an}的公比为 q, ∵S3=a2+10a1,a5=9, ∴ ,解得 .

∴ 故选 C.



6.设非零实数 a,b 满足 a<b,则下列不等式中一定成立的是( A.a+b>0 B.a﹣b<0 C. > D.ab<b2



【考点】不等式比较大小. 【分析】利用不等式的基本性质及其 a,b 的正负即可判断出结论.

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【解答】解:∵a<b,则 a﹣b<0,a+b 与 0 的大小关系不确定, 与 的大小关系不确定, ab 与 b2 的大小关系不确定, 故选:B. 7.某几何体的三视图如图,则该几何体的体积为( )

A.1

B.2

C.3

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由几何体的三视图知该几何体是四棱锥,由三视图中数据求出四棱锥底面中、高对 应的数据,代入椎体的体积公式求解即可. 【解答】解:由几何体的三视图知,该几何体是四棱锥, 且底面是直角梯形,且上、下底为 1 和 2,高为 2;四棱锥的高是 1, 所以该几何体的体积 V= 故选:A. =1,

8.如果实数 x、y 满足条件

,那么 z=﹣2x+y 的最大值为(



A.1

B.2

C.3

D.4

【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,根据 z 的几何意义,利用数形结合即可得到结论. 【解答】解:不等式组对应的平面区域如图: 由 z=﹣2x+y 得 y=2x+z, 平移直线 y=2x+z,则由图象可知当直线 y=2x+z 经过点 A 时,直线 y=2x+z 的截距最大, 此时 z 最大,由 此时 z=4﹣1=3, 故选:C. ,解得 ,即 A(﹣2,﹣1) ,

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9.已知关于 x,y 的不等式组

,所表示的平面区域的面积为 l6,则 k 的值为

( ) A.﹣l B.0

C.1

D.3

【考点】二元一次不等式(组)与平面区域. 【分析】依题意,k>0,故画出线性约束条件表示的可行域,利用三角形面积公式,数形结 合即可解得 k 的值 【解答】解:画出可行域如图阴影部分, 显然 k 一定大于零, 由 得 A(4,4k+4)

∵平面区域的面积为 S=l6 ∴S= ×4×AC=2×(4k+4)=16 解得 k=1 故选 C

10.设有不同的直线 a,b 和不同的平面 α,β,γ,给出三个命题:
第 7 页(共 15 页)

①若 a∥α,b∥α,则 a∥b ②若 a∥α,a∥β,则 α∥β ③若 α∥β,β∥γ,则 α∥γ, 其中真命题的个数是( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】根据线面平行的定义和性质,平面与平面平行的性质与判定,即可得出结论. 【解答】解:①∵a∥α,b∥α,∴当 a,b 共面时,满足 a∥b 或 a,b 相交;当 a,b 不共 面时,a 和 b 为异面直线,∴a 和 b 的关系是平行、相交或异面,故不正确; ②若 a∥α,a∥β,则 α∥β 或 α,β 相交,故不正确; ③若 α∥β,β∥γ,根据平面与平面平行的性质与判定,可得 α∥γ,故正确. 故选:B.

11.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a=2,c=2 <c,则 b=( A.3 B.2

,cosA=

.且 b

) C.2 D. 【考点】正弦定理. 【分析】运用余弦定理:a2=b2+c2﹣2bccosA,解关于 b 的方程,结合 b<c,即可得到 b=2. 【解答】解:a=2,c=2 由余弦定理可得, a2=b2+c2﹣2bccosA, 即有 4=b2+12﹣4 × b, ,cosA= .且 b<c,

解得 b=2 或 4, 由 b<c,可得 b=2. 故选:C. 12.直线 y=kx+3 与圆(x﹣2)2+(y﹣3)2=4 相交于 M,N 两点,若 取值范围是( ) A. B. C. D. ,则 k 的

【考点】直线和圆的方程的应用. 【分析】直线与圆相交,有两个公共点,设弦长为 L,弦心距为 d,半径为 r,则可构建直 角三角形,从而将问题仍然转化为点线距离问题. 【解答】解:圆(x﹣2)2+(y﹣3)2=4 的圆心为(2,3) ,半径等于 2, 圆心到直线 y=kx+3 的距离等于 d=

由弦长公式得 MN=2

≥2



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≤1,

解得 故选 B.



二、填空题. 13.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成的角 的余弦值为 .

【考点】异面直线及其所成的角. 【分析】根据题意知 AD∥BC,∴∠DAE 就是异面直线 AE 与 BC 所成角,解三角形即可求 得结果. 【解答】解:连接 DE,设 AD=2 易知 AD∥BC, ∴∠DAE 就是异面直线 AE 与 BC 所成角, 在△RtADE 中,由于 DE= ,AD=2,可得 AE=3 ∴cos∠DAE= 故答案为: . = ,

14.和直线 3x+4y﹣7=0 垂直,并且在 x 轴上的截距是﹣2 的直线方程是 4x﹣3y+8=0 . 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【分析】根据两直线垂直斜率之积等于﹣1,求出所求直线的斜率, 再由直线过点(﹣2,0) , 即可得出答案. 【解答】解:∵直线 3x+4y﹣7=0 的斜率为﹣ ∴所求直线的斜率为 , ∵过点(﹣2,0) ,故所求直线方程为 y= (x+2) ,即 4x﹣3y+8=0. 故答案为:4x﹣3y+8=0 15.设不等式 ax2+bx+1>0 的解集为(﹣

) ,则 a×b=

6 .

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【考点】一元二次不等式的解法. 【分析】 根据不等式的解集和对应方程之间的关系, 利用根与系数之间的关系进行求解即可. 【解答】解:∵不等式 ax2+bx+1>0 的解集是(﹣ ∴﹣1, 是对应方程 ax2+bx+1=0 的两个根, ∴﹣1× = ,解得 a=﹣3. ﹣1+ =﹣ ,解得 b=﹣2, ∴a×b=6. 故答案为:6. 16.若实数 x,y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是 【考点】基本不等式. 【分析】利用基本不等式,根据 xy≤ 其范围,则 x+y 的最大值可得. 【解答】解:∵x2+y2+xy=1 ∴(x+y)2=1+xy ∵xy≤ 把题设等式整理成关于 x+y 的不等式,求得 ) ,



∴(x+y)2﹣1≤

,整理求得﹣

≤x+y≤

∴x+y 的最大值是 故答案为:

三、解答题. 17.在锐角△ABC 中,角 A,B,C 对边分别为 a,b,c,已知 2asinB= (1)求角 A; (2)若 b=1,a= ,求 S△ ABC.

b.

【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】 (1)根据已知和正弦定理,确定出 sinA 的值,进而确定角 A 的大小. 2 ( )根据正弦定理,可求 sinB,进而确定 B 的大小,再根据三角形面积公式即可计算得解. 【解答】解: (1)由 2asinB= b, 可得 ,

第 10 页(共 15 页)

∴sinA=



∵A 为锐角, ∴A=60°. (2)∵b=1,a= ∴由

,A=60°, ,可得: ,解得:sinB= ,

∴在锐角△ABC 中,B=30°,C=180°﹣A﹣B=90°, ∴S△ ABC= ab= = .

18.已知数列{an}中满足 a1=1,an+1﹣an=2n(n∈N+) . (1)求数列{an}的通项公式 (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 【考点】数列递推式;数列的求和. 【分析】 (1)利用“累加求和”方法、等比数列的求和公式即可得出. (2)利用等比数列的求和公式即可得出. 【解答】解: (1)∵a1=1,an+1﹣an=2n(n∈N+) , ∴an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1= (2)数列{an}的前 n 项和 Sn=(2+22+…+2n)﹣n =2× ﹣n =2n﹣1.

=2n+1﹣2﹣n. 19.如图所示,已知 P,Q 是正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的面 A1B1BA 和面 ABCD 的中心. (1)求证:PQ∥平面 BCC1B1; (2)求直线 PQ 与平面 ABCD 所成角.

【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)以 B 为原点建立坐标系,求出 和平面 BCC1B1 的法向量 得出 PQ∥平面 BCC1B1.

,通过证明



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(2)求出平面 ABCD 的法向量 所成角的正弦值为|cos< ,

,计算 cos< >|.



>,于是直线 PQ 与平面 ABCD

【解答】解: (1)证明:以 B 为原点,以 BA,BC,BB1 为坐标轴建立空间直角坐标系 B ﹣xyz,如图所示, ∵AB⊥平面 BCC1B1, ∴ 为平面 BCC1B1 的一个法向量, 设正方体的棱长为 2,则 P(1,0,1) ,Q(1,1,0) , B(0,0,0) A 2 0 0 , ( , , ) , ∴ =(0,1,﹣1) , =(2,0,0) . =0, ∴ ∴ ⊥ . 又 PQ?平面 BCC1B1, ∴PQ∥平面 BCC1B1. (2)∵BB1⊥平面 ABCD, ∴ ∴ 为平面 ABCD 的法向量, =﹣2. =(0,0,2) ,

∴cos<



>=

=﹣

=﹣



∴直线 PQ 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 ∴直线 PQ 与平面 ABCD 所成角为 .



20.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=BC=AC=AA1=1,D 是 BC 的中点. (1)求证:AD⊥平面 B1C1CB; (2)求二面角 A1﹣BC﹣A 的余弦值.

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【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1) 利用直三棱柱的性质可得 CC1⊥AD. 再利用等腰三角形的性质可得 AD⊥BC. 利 用线面垂直的判定定理即可证明 AD⊥平面 B1C1CB. (2)利用直三棱柱的性质可得:AA1⊥AC,AA1⊥AB,AA1⊥AD.由 A1C= =A1B,可 得 A1D⊥BC,由(1)可得:AD⊥BC.因此∠ADA1 是二面角 A1﹣BC﹣A 的平面角.再 利用直角三角形的边角关系即可得出. 【解答】 (1)证明:如图所示, 在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CC1⊥底面 ABC,AD? 底面 ABC. ∴CC1⊥AD. ∵AB=AC=1,D 是 BC 的中点. ∴AD⊥BC. 又 BC∩CC1=C. ∴CC1⊥平面 B1C1CB. (2)解:在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, AA1⊥底面 ABC,AC,AB,AD? 底面 ABC. ∴AA1⊥AC,AA1⊥AB,AA1⊥AD. ∵A1C= = ,A1B= = ,

又 D 是 BC 的中点,∴A1D⊥BC, 由(1)可得:AD⊥BC. ∴∠ADA1 是二面角 A1﹣BC﹣A 的平面角. 在等边三角形 ABC 中,AD= 在 Rt△ADA1 中,A1D= , = .

∴cos∠ADA1=

=

=



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21.已知点 A(﹣4,﹣3) ,B(2,9) ,圆 C 是以线段 AB 为直径的圆. (1)求圆 C 的方程; (2)设点 P(0,2)则求圆内以 P 为中点的弦所在的直线 l0 的方程. 【考点】直线与圆的位置关系;圆的一般方程. 【分析】 (1)求出圆的圆心与半径,即可求圆 C 的方程; (2)求出所求直线的斜率,然后求解以点 P 为中点的弦所在的直线方程. 【解答】解: (1)AB 的中点坐标为 C(﹣1,3) ,半径为 ∴圆 C 的方程为(x+1)2+(y﹣3)2=45; (2)kCP= =﹣1, = ,

∴以点 P 为中点的弦所在的直线的斜率为:1. 以点 P 为中点的弦所在的直线方程为:y﹣2=x﹣0. 即 x﹣y+2=0. 22.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2﹣6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 x﹣y+a=0 交与 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值. 【考点】圆的标准方程;直线与圆相交的性质. 【分析】 (Ⅰ)法一:写出曲线与坐标轴的交点坐标,利用圆心的几何特征设出圆心坐标, 构造关于圆心坐标的方程,通过解方程确定出圆心坐标,进而算出半径,写出圆的方程; 法二:可设出圆的一般式方程,利用曲线与方程的对应关系,根据同一性直接求出参数, (Ⅱ)利用设而不求思想设出圆 C 与直线 x﹣y+a=0 的交点 A,B 坐标,通过 OA⊥OB 建立 坐标之间的关系,结合韦达定理寻找关于 a 的方程,通过解方程确定出 a 的值. 1) 【解答】 解: (Ⅰ) 法一: 曲线 y=x2﹣6x+1 与 y 轴的交点为 (0, , 与 x 轴的交点为 (3+2 , 0) , (3﹣2 ,0) .可知圆心在直线 x=3 上,故可设该圆的圆心 C 为(3,t) ,则有 32+(t ﹣1)2=(2 )2+t2,解得 t=1,故圆 C 的半径为 ,所以圆 C 的方程为

(x﹣3)2+(y﹣1)2=9. 法二:圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 x=0,y=1 有 1+E+F=0 y=0,x2﹣6x+1=0 与 x2+Dx+F=0 是同一方程,故有 D=﹣6,F=1,E=﹣2, 即圆方程为 x2+y2﹣6x﹣2y+1=0 (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,其坐标满足方程组
第 14 页(共 15 页)

,消去 y,得到方程 2x2+(2a﹣8)x+a2﹣2a+1=0,由已知可 得判别式△=56﹣16a﹣4a2>0. 在此条件下利用根与系数的关系得到 x1+x2=4﹣a,x1x2= ①,

由于 OA⊥OB 可得 x1x2+y1y2=0,又 y1=x1+a,y2=x2+a,所以可得 2x1x2+a(x1+x2)+a2=0② 由①②可得 a=﹣1,满足△=56﹣16a﹣4a2>0.故 a=﹣1.

第 15 页(共 15 页)


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