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2011届高三数学第一次模拟测试题4


江门市 2011 年高考模拟考试



学(文科)

本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟. 1 参考公式:锥体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给

出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. ⒈已知集合 M ? ?x | x 2 ? 3? ,下列实数 a 中,符合 a ? M 的是 A. a ? ? 2 B. a ? ? 1 C. a ? 2 D. a ? 3

⒉在复平面内,点 A 、 B 对应的复数分别是 ? 3 ? 2 i 、 1 ? 4i ,则线段 AB 的中点 对应的复数是 A. ? 2 ? 2i
1
3

B. 4 ? 6 i
1

C. ? 1 ? i
1

D. 2 ? 3i

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⒊已知 a ? ( ) , b ? 3 2 , c ? log 3 ( ) ,则 a 、 b 、 c 的大小关系是
2 A. a ? b ? c 2

B. b ? a ? c

C. a ? c ? b

D. c ? a ? b

⒋设向量 a ? ( ? 1 , 2 ) 、 b ? (1 , 3) ,下列结论中,正确的是 A. a // b B. a ? b C. a //( a ? b ) ⒌某型号儿童蛋糕上半部分是半球,下半部分是圆锥, 三视图如图 1 ,则该型号蛋糕的表面积 S ? A. 115 ? C. 105 ? B. 110 ? D. 100 ?
正视图
?
10

D. a ? ( a ? b )
5

12

⒍已知椭圆短轴上的两个顶点分别为 B1 、 B 2 ,焦点 为 F1 、 F 2 ,若四边形 B1 F1 B 2 F 2 是正方形,则这个 椭圆的离心率 e ?

侧视图

图1

A.

2 2

B.

1 2

C.

3 2

D.以上都不是

俯视图

⒎已知数列 ?a n ?( n ? N ? , a n ? 0 ) ,则“ a n ?1 ? 的 A.充要条件 是 B.必要不充分条件

a n ? a n ? 2 ”是“ ?a n ? 是等比数列”

C.充分不必要条件

D.以上都不

?x ? 1 ? ⒏已知平面区域 D : ? y ? 1 , ? ( a , b ) ? D , a ? 2b ? 0 的概率是 ?x ? y ? 5 ? 1 1 4 1

A.

3

B.

6

C.

27

D.

12

⒐曲线 f ( x ) ? x ln x 在点 x ? 1 处的切线方程是 A.2 x ? y ? 2 ? 0 B.2 x ? y ? 2 ? 0 C.x ? y ? 1 ? 0 D.x ? y ? 1 ? 0

⒑若正实数 x 、 y 满足 x ? 4 y ? 5 ? xy ,则 A. xy 的最小值是 25 C. x ? y 的最小值是
25 2

B. xy 的最大值是 25 D. x ? y 的最大值是
25 2

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) ⒒若 ? ABC 的面积是 2 ,cos A ?
3 5

开始

, AB ? AC ? 则 ,值域是

. .

输入 x ? R
g ( x) ? x ? x
2

⒓如图 2,程序框图输出的函数 f ( x ) ?

⒔观察下列各式:① ( x 3 ) / ? 3 x 2 ;② (sin x ) / ? cos x ; ③ ( 2 ? 2 ) ? 2 ? 2 ;④ ( x cos x ) ? cos x ? x sin x
x / x / ?x ?x

x ? g ( x)





根据其中函数 f ( x ) 及其导函数 f / ( x ) 的奇偶性,运用 归纳推理可得到的一个命题是: (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) ⒕(坐标系与参数方程选做题)曲线 C 的参数方程是
1 ? ? x ? 2 (t ? t ) ? ( t 为参数)则曲线 C 的普通方程是 , ? ? y ? 3(t ? 1 ) ? t ?

f ( x) ? g ( x)

f ( x) ? x


输出 f ( x ) 结束
B

图2



⒖(几何证明选讲选做题)如图 3, PT 是圆 O 的切线,
PAB 是圆 O 的割线,若 PT ? 2 , PA ? 1 , ?P ? 60 ,
o

?O

A

则圆 O 的半径 r ?



T

图3

P

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

⒗(本小题满分 14 分)春节期间,某地昼夜气温呈周期性变化,温度 y 随时间 x
? 变化近似满足函数 y ? A sin( ? x ? ? ) ? b( A ? 0 , ? 0 ,? ? ? ? ? ? ) (如图 4) ,

且在每天凌晨 2 时达到最低温度 ? 3 ℃,在下午 14 时达到最高温度 9 ℃. ⑴求这段时间气温随时间变化的函数解析式; ⑵这段时间该地一昼夜内哪几个时刻的气温为 0 ℃?
注:一昼夜指从凌晨 0 时(含)到午夜 24 时(不含) .
O

y 温度/℃

Q (14 , 9 )

x

时间/ h
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P ( 2 , ? 3)

⒘(本小题满分 12 分)某地为了建立幸福指标体系,决定

图4

用分层

抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中,抽取若干人 组成研究小组,有关数据见下表(单位:人) . ⑴求研究小组的总人数; ⑵若从研究小组的公务员和教师中随机选 2 人撰写研究报告,求其中恰好有 1 人来自公务员的概率. 相关人员数 抽取人数 x 公务员 32 y 教师 48 自由职业者 64 4

⒙ (本小题满分 14 分) 如图 5,ABCD ? A1 B1 C 1 D1 是四棱柱, 底面 ABCD 是菱形,
AA 1 ? 底面 ABCD , AB ? 2 , ?BAD ? 60 , E 是 AA 1 的中点.
o

⑴求证:平面 BD 1 E ? 平面 BB 1 D1 D ; ⑵若四面体 D1 ? ABE 的体积 V ? 1 , 求棱柱 ABCD ? A1 B1 C 1 D1 的高.
E

D1 A1 B1

C1

D A B

C

⒚(本小题满分 12 分)已知直线 l : x ? 4 与 x 轴相交于点 M , 面上的动点,满足 PM ? PO ( O 是坐标原点) . ⑴求动点 P 的轨迹 C 的方程;

图5

P 是平

⑵过直线 l 上一点 D ( D ? M ) 作曲线 C 的切线, 切点为 E , x 轴相交点为 F , 与

若 DE ?

1 2

DF ,求切线 DE 的方程.

⒛(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中, Pn ( n , n 2 )( n ? N ? ) 是抛物线
y ? x 上的点, ? OPn Pn ?1 的面积为 S n .
2

⑴求 S n ; ⑵化简
1 S1 ? 1 S2 ?? ? 1 Sn


n ( n ? 1)( n ? 2 ) 6

⑶试证明 S 1 ? S 2 ? ? ? S n ?



21 本小题满分 14 分) D 是函数 y ? f ( x ) 定义域内的一个区间, ( 设 若存在 x 0 ? D , 使 f ( x 0 ) ? x 0 ,则称 x 0 是 f ( x ) 的一个不动点,也称 f ( x ) 在区间 D 上有不动点. ⑴证明 f ( x ) ? 2 x ? 2 x ? 3 在区间 (1 , 4 ) 上有不动点; ⑵若函数 f ( x ) ? ax 2 ? x ? a ? 围.
5 2

在区间 [1 , 4 ] 上有不动点,求常数 a 的取值范

文科数学评分参考
一、选择题 BCBDA ACCDA ⒒ 3 ⒓
? x 2 ? x , x ? x 2 ? x, ? f ( x) ? ? 2 ?x , x ? x ? x. ?

二 、 填 空 题



? x 2 ? x , x ? 2或 x ? 0 , f ( x) ? ? (3 分) [ 0 , ? ? ) (2 分) ; 0 ? x ? 2. ?x ,

⒔奇函数的导函数是

偶函数 ⒕ 三、解答题

x

2

16

?

y

2

36

?1

⒖ 3

⒗⑴依题意,?

?A ? b ? 9 ?? A ? b ? ?3

b ??2 分, 解得 A ? 6 , ? 3 ??4 分; ? 14 ? 2 ? 12 ,

T

2

T ? 24 ??5 分, ? ?

2? T

?

?
12

??6 分,由 6 sin(

?
12

? 2 ? ? ) ? 3 ? ? 3 ??7 分,

且 ? ? ? ? ? ? ,解得 ? ? ? ⑵ 由 y ? 6 sin(
?
12 x? 2? 3

2? 3

??8 分,所以 y ? 6 sin(
?
12 x? 2? 3 )??

?
12 1 2

x?

2? 3

) ? 3 ??9 分.

?
12

x?

2? 3

) ? 3 ? 0 得 sin( 2? 3 ? 2 k? ?

? ? 10 分 , 所 以

? 2 k? ?

?
6



?
12

x?

7? 6

, k ? Z ??12 分,由 0 ? x ? 24 ,

解得 x ? 6 或 x ? 22 ,即在每天的 6 时或 22 时的气温为 0 ℃??14 分.

⒘⑴依题意,

64 4

?

48 y

?

32 x

??2 分,解得 y ? 3 , x ? 2 ??4 分,研究小组的
64 64 ? 48 ? 32

总人数为 2 ? 3 ? 4 ? 9 (人)??6 分. (或 4 ? 分)

??4 分, ? 9 ??6

⑵设研究小组中公务员为 a 1 、 a 2 ,教师为 b1 、 b 2 、 b 3 ,从中随机选 2 人,不 同的选取结果有:a 1 a 2 、a 1 b1 、a 1 b 2 、a 1 b 3 、a 2 b1 、a 2 b 2 、a 2 b 3 、b1 b 2 、b1 b 3 、
b 2 b 3 ??8 分,共 10 种??9 分,其中恰好有 1 人来自公务员的结果有: a 1 b1 、 a 1 b 2 、 a 1 b 3 、 a 2 b1 、 a 2 b 2 、 a 2 b 3 ??10 分,共 6 种??11 分,所以恰好有 1

人来自公务员的概率为 P ?

6 10

(?

3 5

? 0 . 6 ) ??12 分.

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⒙⑴设平面 BD 1 E ? CC 1 ? F ,连接 BF ,则 ? D1 A1 E 与 ? BCF 的对应边互相平 行??1 分,且 A1 D1 ? BC ,所以 ? D1 A1 E ? ? BCF ??2 分, F 是 CC 1 的中 点??3 分,连接 A1 C 1 、 B1 D 1 ,因为 AA 1 ? 底面 ABCD ,所以 AA 1 ? A1 C 1 ,

A1 C 1 ? BB 1 ??4 分, ABCD 是菱形, A1 C 1 ? B1 D1 ,且 BB 1 ? B1 D1 ? B1 ,所以

因为 E 、 分别是 AA 1 、 CC 1 的中点, 所以 A1 EFC 1 A1 C 1 ? 面 BB 1 D 1 D ??5 分, F 是矩形, EF // A1 C 1 ,所以 EF ? 平面 BB 1 D1 D ??6 分, EF ? 平面 BD 1 E (即 平面 BFD 1 E ) ,所以,面 BD 1 E ? 面 BB 1 D1 D ??7 分. ⑵因为 AA 1 ? 底面 ABCD ,所以 AA 1 是棱柱 ABCD ? A1 B1 C 1 D1 的高??8 分,
AA 1 ? 平面 ABB 1 A1 ,平面 ABB 1 A1 ? 底面 ABCD ??9 分,在底面 A1 B1 C 1 D 1 上作
D1 F ? A1 B1 , 垂 足 为 F , 面 ABB 1 A1 ? 面 A1 B1 C 1 D1 ? A1 B1 , 所 以 D 1 F ? 面 ABB 1 A1 ? ? 10
S ? ABE ? V ? 1 3 ? 1 2 1 2

分 , 所 以 V ?
1 2

1 3

? S ? ABE ? D 1 F

? ? 11
o

分 , 其 中

? AE ? AB ? AE ?

AA 1 , D1 F ? A1 D1 ? sin 60

?

3 ??12 分,所以

AA 1 ? 3 ? 1 ??13 分,解得 AA 1 ? 2 3 ,即棱柱 ABCD ? A1 B1 C 1 D1 的高

为 2 3 ??14 分. ⒚⑴依题意,M ( 4 , 0 ) ??1 分, P ( x , y )( x ? 0且 x ? 4 ) ??2 分, PM ? PO 设 由 得 k PM ? k PO ? ? 1 ??3 分, 即
y x?4 x ? y ? ? 1 ??4 分, 整理得, 动点 P 的轨迹 C

的方程为 ( x ? 2 ) 2 ? y 2 ? 2 2 ( x ? 0且 x ? 4 ) ??5 分. ⑵ DE 、 DM 都是圆 ( x ? 2 ) 2 ? y 2 ? 2 2 的切线,所以 DE ? DM ??6 分,因为
DE ? 1 2 DF ,所以 DF ? 2 DE ? 2 DM ,所以 ? DFM ?

?
6

??7 分,设 C ( 2 , 0 ) ,

在 ? CEF 中 , ? C E F ?

?
2

, ? CFE ?

?
6

, CE ? 2 ? ? 8 分 , 所 以 CF ? 4 ,
?
6

F (? 2 , 0 ) ??9 分, 切线 DE 的倾斜角 ? ?



5? 6

??10 分, 所以切线 DE 的斜
3 3 ( x ? 2 ) ??12 分.
2

率k ?

3 3

或?

3 3

??11 分,切线 DE 的方程为 y ? ?

⒛⑴依题意,Pn ?1 ( n ? 1 , ( n ? 1) 2 ) ,直线 Pn Pn ?1 的方程为 2 分 , 即
2

y?n

x?n

?

( n ? 1) ? n
2

2

( n ? 1) ? n

?? ,

( 2 n ? 1) x ? y ? n ( n ? 1) ? 0
2 2 2

?

?

3



Pn Pn ?1 ?

[( n ? 1) ? n ] ? [( n ? 1) ? n ]

?

4 n ? 4 n ? 2 ??4 分,点 O 到直线 Pn Pn ?1 的距离 d ?
2

n ( n ? 1) 4n ? 4n ? 2
2

??5

分,所以 S n ? ⑵ 分 ⑶因为 从而
1? 2 ? 3 6

1 2

? Pn Pn ?1 ? d ?

n ( n ? 1) 2

??6 分.
1 S1 ? 1 S2 ?? ? 1 Sn ? 2 1 ? 2 n ?1 ? 2n n ?1

1 Sn

?

2 n ( n ? 1)

?

2 n

?

2 n ?1

??8 分,

??10

n ( n ? 1)( n ? 2 ) 6

?

( n ? 1) n ( n ? 1) 6 6

?

3 n ( n ? 1) 6

?

n ( n ? 1) 2

? S n ??12 分, ? 1? 2 ? 3 6 ? S2 ,

( n ? 1) n ( n ? 1) 6 ? 0 ?1? 2 6 ? S1

?

( n ? 2 )( n ? 1) n

? S n ?1 , ? ? ,

2? 3? 4 6

?

?

13



















S1 ? S 2 ? ? ? S n ?

n ( n ? 1)( n ? 2 ) 6

??14 分.

21.⑴依题意, f ( x ) 在区间 D 上有不动点”当且仅当“ F ( x ) ? f ( x ) ? x 在区间 D “ 上有零点”??2 分, F ( x ) ? f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 x ? 3 在区间 [1 , 4 ] 上是一条连续
F 不断的曲线??3 分, (1) ? F ( 4 ) ? ? 4 ? 1 ? 0 ??4 分, 所以函数 F ( x ) ? f ( x ) ? x

在区间 (1 , 4 ) 内有零点, f ( x ) ? 2 x ? 2 x ? 3 在区间 (1 , 4 ) 上有不动点??5 分. ⑵依题意,存在 x ? [1 , 4 ] ,使 F ( x ) ? f ( x ) ? x ? ax 2 ? 2 x ? a ? 当 x ? 1 时,使 F (1) ?
? 2x ? 5x ? 2
2

5 2

?0

1 2

? 0 ??6 分;当 x ? 1 时,解得 a ?

4x ? 5 2 ( x ? 1)
2

??8 分,

由a ?
'

( x ? 1)
2

2

? 0 ??9 分,得 x ? 2 或 x ?

1 2



1 2

? 1 ,舍去)??10 分,
4x ? 5 2 ( x ? 1)
2

x
a
'

(1 , 2 )

2
0

(2 , 4)

??12 分,当 x ? 2 时, a 最大 ?

?

1 2

??13

?

- ↘

a



最大值

分,所以常数 a 的取值范围是 (?? ,

1 2

] ??14 分.


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