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高二数学竞赛综合练习(10)


高二数学竞赛综合练习题(10)
班级 学号 姓名

一、填空题 1.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a2 ? ?1 ,且 an ? 2 ? an ?1 ? an , n ? 1, 2,? .则
a2011 =



2.设 a,b,c 是正整数,且成等比数列, b ? a 是一个完全平方

数,
log 6 a ? log 6 b ? log 6 c ? 6 ,则 a ? b ? c ?



3 . 一 列数 a1 , a2 , a3 ,? 满足对于任意正整数 n,都有 a1 ? a2 ? ? ? an ? n3 ,则
1 1 1 ? ?? ? ? a2 ? 1 a3 ? 1 a1 0 0 ? 1



1 4. a ? ?1 , 设 变量 x 满足 x2 ? ax ? ? x , x2 ?a 的最小值为 ? , a ? _______. 且 则 x 2

5.正整数 n ? 500 ,具有如下性质:从集合 ?1, 2,?,500? 中任取一个元素 m,则 m 整除 n 的概率是
1 ,则 n 的最大值是 100

. .

6.集合{1,2,?,2011}的元素和为奇数的非空子集的个数为

7.一个直径 AB ? 2 的半圆,过 A 作这个圆所在平面的垂线,在垂线上取一点 S , 使 AS ? AB , C 为半圆上一个动点, N , M 分别为 A 在 SC, SB 上的射影.当三棱 锥 S ? AMN 的体积最大时, ?BAC ? _________. 8.直线 y ? kx ? 2 交抛物线 y 2 ? 8 x 于 A, B 两点,若 AB 中点的横坐标为 2 ,则
AB ?

.

? 3 x , x ? [0,1] ? 9.已知函数 f ( x ) ? ? 9 3 ,当 t ? [0,1] 时, f ( f (t )) ? [0,1] ,则实数 t 的取值范围 ? ? x , x ? (1,3] ?2 2

是 . 10.如图, 在等腰三角形 ABC 中, 已知 AB ? AC ? 1, A ? 120?, E , F 分别是边 AB, AC 上的点, 且 AE ? m AB , AF ? n AC , 其 中 m, n ? (0,1), 若 EF , BC 的 中 点 分 别 为 M , N , 且

A E B F
M
C

N
第 10 题图

m ? 4n ? 1, 则 MN 的最小值是

.

二、解答题 11.正实数 x, y, z 满足 9 xyz ? xy ? yz ? zx ? 4 ,求证: (1) xy ? yz ? zx ?
4 ; 3

(2) x ? y ? z ? 2 .

12.证明:对任给的奇素数 p,总存在无穷多个正整数 n 使得 p|(n2n-1).

f ( x) ? x ? ax( x ? 0 ln x 13.已知函数 且 x≠1).

(1)若函数 f ( x) 在 (1, ??) 上为减函数,求实数 a 的最小值;

2 (2)若 ?x1 , x2 ? [e,e ] ,使 f(x1)≤ f ?( x2 ) ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

14.给定整数 n(? 3) ,记 f (n) 为集合 ?1, 2,? , 2 n ? 1? 的满足如下两个条件的子集 A 的元素个 数的最小值: (a) 1? A, 2n ? 1? A ; (b) A 中的元素(除 1 外)均为 A 中的另两个(可以相同)元素的和. (1)求 f (3) 的值;

(2)求证: f (100) ? 108 .

参考答案 10
1.因为 a1 ? 2 , a2 ? ?1 , a3 ? 3 , a4 ? 4 , a5 ? 1 , a6 ? 3 , a7 ? 2 , a8 ? 1 , a9 ? 1 ,
a10 ? 0 , a11 ? 1 , a12 ? 1 , a13 ? 0 ,?.所以,自第 8 项起,每三个相邻的项周

期地取值 1,1,0,故 a2011 =0. 2.由题意, b 2 ? ac , log 6 abc ? 6 ,所以, abc ? 66 ,故 b ? 62 ? 36 , ac ? 362 .

于是,36-a 是平方数,所以,a 只可能为 11,20,27,32,35,而 a 是 362 的 约数,故 a ? 27 .进而, c ? 48 .所以, a ? b ? c ? 111. 3.当 n ? 2 时,有
a1 ? a2 ? ? ? an ? n3 , a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? (n ? 1)3 ,

两式相减,得 所以

2 an ? 3 n ? 3 n ? 1 ,

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) , n ? 2 ,? , 3 an ? 1 3n (n? 1 ) 3 n? 1 n 1 1 1 ? ?? ? a2 ? 1 a3 ? 1 a1 0 0 1 ?



1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 3 2 3 2 3 3 99 100 1 1 33 . ? (1 ? )? 3 100 100
a a2 4.由 a ? ?1 及 x2 ? ax ? ? x 得: 0 ? x ? ?(a ? 1) ,设 f ( x) ? x 2 ? ax ? ( x ? ) 2 ? . 2 4

a , 即 ?2 ? a ? ?1 , 则 f ( x) 在 x ? ?(a ? 1) 处 取 最 小 值 2 1 3 ,因此 a ? 1 ? ? , a ? ? . f (? a ? 1 ) ? a ? 1 2 2

若 ?(a ? 1) ? ?

a2 a a 若 ?(a ? 1) ? ? , 即 a ? ?2 , 则 f ( x) 在 x ? ? 处 取 最 小 值 ? ,因此 4 2 2 ? a2 1 . ? ? , a ? ? 2 (舍去) 4 2

? ? 5.由题设知,n 恰有 5 个约数.设 n 的质因数分解是 n ? p1 1 ? pk k ,则 n 的约数个

( ( 数 为 (?1 ? 1)? ? k ? 1) ,所以 (?1 ? 1)? ? k ? 1) 5,故 n 具有 p 4 的形式,而 =
34 ? 81, 54 ? 625 ? 500 ,故 n 的最大值为 81.

6.令 f(x)=(1+x)(1+x2)(1+x3)…(1+x2011),问题中要求的答案为 f(x)的展开式中,x 的 奇次项的系数和.故所求的答案为
1 (f(1)-f(-1))=22010. 2

7.易知 BC ? 面SAC ,所以 BC ? AN ,从而 AN ? 面SBC ,所以 AN ? SM ,因

1 此 SM ? 面AMN . VS ? AMN ? ? SM ? S?ANM ,由 SA ? AB ? 2 得: AM ? SM ? 2 , 3

而 AN ? NM ,?AMN 为斜边长为 2 的直角三角形, 面积最大在 AN ? MN ? 1 时 取到,此时, ?BAC ? arccos
3 . 3

8 . 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 由 y ?
y1 ? y 2?

ky 2 2 , ? 2 , 即 k y ? 8 y? 1 6 ? 0 所 以 , 8

8 16 8 因此 ? y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 4 ? 4k ? 4 , k 2 ? k ? 2 ? 0 , 即 , y y1 ?2 ? , k k k

? y ? y2 ? 因直线 y ? kx ? 2 过 ? 0, ?2 ? 和 ? 2, 1 ? ,则 k ? 0 ,于是 k ? 2 ,再由 y ? 2 x ? 2 , 2 ? ?
y 2 ? 8 x ,解得 A 2 ? 3, 2 ? 2 3 , B 2 ? 3, 2 ? 2 3 ,所以 AB ? 2 15 .
7 9. [log3 ,1] 3
10.

?

? ?

?

7 7

11.证 (1)记 t ?

xy ? yz ? zx ,由平均不等式 3
xyz ?

?

3

( xy )( yz )( zx)
3 2

?

3 2

? xy ? yz ? zx ? 2 ?? ? . 3 ? ?

3

于是 4 ? 9 xyz ? xy ? yz ? zx ? 9t ? 3t , 而 3t 2 ? 3t ? 2 ? 0 ,所以 3t ? 2 ? 0 ,即 t ?

2 所以 ? 3t ? 2 ? 3t ? 3t ? 2 ? 0 ,

?

?

2 4 ,从而 xy ? yz ? zx ? . 3 3

(2)又因为 ( x ? y ? z )2 ? 3( xy ? yz ? zx) ,
所以

( x ? y ? z)2 ? 4 ,



x? y? z ? . 2

12 证明:取 n=(p-1)k,则由费尔马小定理知

2( p ?1) k ? 1(mod p) ,所以, p|(n2n-1)

? ( p ? 1)k ? 2( p ?1) k ? 1(mod p) ? ( p ? 1)k ? 1(mod p) ? k ? ?1(mod p) .
取 k=pr-1(r∈N*),即 n=(p-1)(pr-1),就有 即 p|(n2n-1).
1 13 解: (1)因 f(x)在 (1, ??) 上为减函数,故 f ?( x) ? ln x ?2 ? a ? 0 在 (1, ??) 上恒成立. (ln x)

( p ? 1)k ? 2( p ?1) k ? 1(mod p)

所以当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) max ? 0 .

1 又 f ?( x) ? ln x ?2 ? a ? ? 1 ln x (ln x)

? ?

2

? 1 ?a ?? 1 ?1 ln x ln x 2

?

? ? 1 ?a, 4
2

故当 1 ? 1 ,即 x ? e2 时, f ?( x)max ? 1 ? a . 4 ln x 2 所以 1 ? a ? 0, 于是 a ≥ 1 ,故 a 的最小值为 1 . 4 4 4 (2)命题“若 ?x1 , x2 ? [e,e 2 ], 使 f ( x1 ) ? f ? ? x2 ? ? a 成立”等价于 “当 x ? [e, e 2 ] 时,有 f ( x)min ? f ? ? x ?max ? a ”. 由(1) ,当 x ? [e, e 2 ] 时, f ?( x)max ? 1 ? a ,? f ? ? x ?max ? a ? 1 . 4 4 问题等价于:“当 x ? [e, e 2 ] 时,有 f ( x)min ? 1 ”. 4
2 , 10 当 a ? 1 时,由(1) f ( x) 在 [e,e ] 上为减函数,

4

2 则 f ( x)min = f (e2 ) ? e ? ae 2 ? 1 ,故 a ? 1 ? 1 2 . 2 4e 2 4

20 当 a ? 1 时,由于 f ?( x) ? ?

4

? ln1x ? 1 ? ? 1 ? a 在 [e,e ] 上为增函数, 2 4
2

2

故 f ?( x) 的值域为 [ f ?(e), f ?(e 2 )] ,即 [?a, 1 ? a] . 4 (i)若 ?a ? 0 ,即 a ? 0 , f ?( x) ? 0 在 [e,e 2 ] 恒成立,故 f ( x) 在 [e,e 2 ] 上为增函数, 于是, f ( x)min = f (e) ? e ? ae ? e> 1 ,不合. 4 (ii)若 ?a ? 0 ,即 0 ? a ? 1 ,由 f ?( x) 的单调性和值域知, 4

? 唯一 x0 ? (e,e2 ) ,使 f ?( x0 ) ? 0 ,且满足:
当 x ? (e, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数;当 x ? ( x0 ,e 2 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函 数; 所以, f ( x)min = f ( x0 ) ?
x0 2 ? ax0 ? 1 , x0 ? (e,e ) . ln x0 4

所以, a ? 1 ? 1 ? 1 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ,与 0 ? a ? 1 矛盾,不合. 4 ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4 4 综上,得 a ? 1 ? 1 2 . 2 4e 14.解 (1) 设集合

A ? ?1, 2,? , 23 ? 1?

,且 A 满足(a) (b) , .则 1? A, 7 ? A .由于

,故 ?1, m, 7? ? m ? 2,3,?, 6 ? 不满足(b) A ? 3 . 又 ?1, 2,3, 7? , ?1, 2, 4, 7? , ?1, 2,5, 7? , ?1, 2, 6, 7? , ?1,3, 4, 7? , ?1,3,5, 7? , ?1,3, 6, 7? ,

?1, 4,5, 7? , ?1, 4, 6, 7? , ?1,5, 6, 7? 都不满足

(b) ,故 A ? 4 .

而集合 ?1, 2, 4, 6, 7? 满足(a)(b) , ,所以 f (3) ? 5 . (2)首先证明
f (n ? 1) ? f (n) ? 2, n ? 3, 4,? .


事实上,若 A ? ?1, 2,? , 2n ? 1? ,满足(a)(b) , ,且 A 的元素个数为 f (n) . 令 B ? A ? ?2n ?1 ? 2, 2n ?1 ? 1? ,由于 2n?1 ? 2 ? 2n ?1 ,故 B ? f (n) ? 2 . 又 2n?1 ? 2 ? 2(2n ? 1), 2n?1 ? 1 ? 1 ? (2n?1 ? 2) ,所以,集合 B ? ?1, 2,? , 2 n ?1 ? 1? , 且B 满足(a)(b) , .从而 f (n ? 1) ? B ? f (n) ? 2 .
其次证明: f (2n) ? f (n) ? n ? 1, n ? 3, 4,?. ②

事实上,设 A ? ?1, 2,? , 2n ? 1? 满足(a)(b) , ,且 A 的元素个数为 f (n) . 令 B ? A ? ?2(2n ? 1), 22 (2n ? 1),? , 2n (2n ? 1), 2 2 n ? 1? , 由于 2(2n ? 1) ? 22 (2n ? 1) ?? ? 2n (2n ? 1) ? 22 n ? 1 , 所以 B ? ?1, 2,? , 2 2 n ? 1? ,且 B ? f (n) ? n ? 1 .而
2k ?1 (2n ? 1) ? 2k (2n ? 1) ? 2k (2n ? 1), k ? 0,1,?, n ? 1 , 22 n ? 1 ? 2n (2n ? 1) ? (2n ? 1) ,

从而 B 满足(a)(b) , ,于是 f (2n) ? B ? f (n) ? n ? 1 .
由①,②得 反复利用②,③可得

f (2n ? 1) ? f (n) ? n ? 3 .



f (100) ? f (50) ? 50 ? 1 ? f (25) ? 25 ? 1 ? 51 ? f (12) ? 12 ? 3 ? 77 ? f (6) ? 6 ? 1 ? 92 ? f (3) ? 3 ? 1 ? 99 ? 108 .


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