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直线交点和距离公式


3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点式坐标 三维目标 1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系,并且会通过直线方程 系数判定解的情况,培养学生树立辩证统一的观点. 2.当两条直线相交时, 会求交点坐标.培养学生思维的严谨性, 注意学生语言表述能力的训练. 3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论,加深对解析法的理解,培养转化能力. 4.

以“特殊”到“一般”,培养学生探索事物本质属性的精神,以及运动变化的相互联系的观点. 重点难点 教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解. 教学过程 导入新课 思路 1.作出直角坐标系中两条直线, 移动其中一条直线, 让学生观察这两条直线的位置关系. 课堂设问:由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系,那如果 两直线相交于一点, 这一点与这两条直线的方程有何关系?你能求出它们的交点坐标吗?说 说你的看法. 思路 2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题. 新知探究 提出问题 ① 已知两直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如何判断这两条直线的关系? ② 如果两条直线相交,怎样求交点坐标?交点坐标与二元一次方程组有什关系? ③ 解下列方程组(由学生完成):

?2 x ? 6 y ? 3 ? 0, ?2 x ? 6 y ? 0, ?3x ? 4 y ? 2 ? 0, ? ? (ⅰ )? ; (ⅱ )? ; (ⅲ )? 1 1 1 1 . y ? x? y ? x? ?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ? 3 2 3 2 ? ?
如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系? ④ 当 λ 变化时,方程 3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0 表示什么图形,图形有什么特点?求出图形的交 点坐标. 讨论结果:① 教师引导学生先从点与直线的位置关系入手,看下表,并填空. 几何元素及关系 点A 直线 l 点 A 在直线上 直线 l1 与 l2 的交点 A ② 学生进行分组讨论, 教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系. 设两条直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公 共解,那么以这个解为坐标的点必是直线 l1 和 l2 的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这 两条直线方程所组成的方程组 ? 代数表示 A(a,b) l:Ax+By+C=0

? ? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, 是否有唯一解. ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

(ⅰ )若二元一次方程组有唯一解,则 l1 与 l2 相交;
1

(ⅱ )若二元一次方程组无解,则 l1 与 l2 平行; (ⅲ )若二元一次方程组有无数解,则 l1 与 l2 重合.即

?l1、l 2 相交, ?唯一解 转化 ? ? 直线 l1、l2 联立得方程组 ?无穷多解? ?l1、l 2 重合, ?无解 ? ? ?l1、l 2 平行.
(代数问题) (几何问题) ③ 引导学生观察三组方程对应系数比的特点: (ⅰ )

2 ?6 3 2 ?6 1 3 4 ? ;(ⅲ ≠ ;(ⅱ ) ? ) ? ≠ . 1 ?1 1 1 ?1 1 2 1 3 2 3 2

一般地,对于直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有

? A1 B ? 1 ? l1 l 2 相交, ?唯一解 ? A2 B2 ? ? A1 B C ? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0? ? 方程组 ? ? 1 ? 1 ? l1 l 2 重合, . ?无穷多解 ? A2 B2 C 2 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0? ? A B C ?无解 ? 1 ? 1 ? 1 ? l1 l 2 平行. ? A2 B2 C 2 ?
注意:(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂,重在应用. (b)如果 A1,A2,B1,B2,C1,C2 中有等于零的情况,方程比较简单,两条直线的位置关系很容易确 定. ④ (a)可以用信息技术,当 λ 取不同值时,通过各种图形,经过观察,让学生从直观上得出结 论,同时发现这些直线的共同特点是经过同一点. (b)找出或猜想这个点的坐标,代入方程,得出结论. (c)结论:方程表示经过这两条直线 l1 与 l2 的交点的直线的集合. 点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式. 例 2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点坐标. (1)l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0. (2)l1:3x-y+4=0,l2:6x-2y-1=0. (3)l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0. 活动:教师让学生自己动手解方程组,看解题是否规范,条理是否清楚,表达是否简洁,然 后再进行讲评.

3.3.2 两点间的距离 三维目标 1.使学生掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程; 通过具体的例子来体会坐标法对于证 明简单的平面几何问题的重要性. 2.能灵活运用此公式解决一些简单问题;使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应 问题,培养学生勇于探索,善于发现,独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质. 重点难点

2

教学重点:① 平面内两点间的距离公式. ② 如何建立适当的直角坐标系. 教学难点:如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题. 教学过程 导入新课 思路 1.已知平面上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|? 思路 2.(1)如果 A、B 是 x 轴上两点,C、D 是 y 轴上两点,它们的坐标分别是 xA、xB、yC、 yD,那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求 B(3,4)到原点的距离.(3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),求|AB|. 新知探究 提出问题 ① 如果 A、 B 是 x 轴上两点, C、 D 是 y 轴上两点, 它们坐标分别是 xA、 xB、 yC、 yD, 那么|AB|、 |CD|怎样求? ② 求点 B(3,4)到原点的距离. ③ 已知平面上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|. ④ 同学们已知道两点的距离公式,请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程). 讨论结果:① |AB|=|xB-xA|,|CD|=|yC-yD|. ② 通过画简图,发现一个 Rt△ BMO,应用勾股定理得到点 B 到原点的距离是 5. ③

图1 在直角坐标系中,已知两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),如图 1,从 P1、P2 分别向 x 轴和 y 轴作 垂线 P1M1、P1N1 和 P2M2、P2N2,垂足分别为 M1(x1,0)、N1(0,y1)、M2(x2,0)、N2(0,y2), 其中直线 P1N1 和 P2M2 相交于点 Q. 在 Rt△ P1QP2 中,|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2. 因为|P1Q|=|M1M2|=|x2-x1|,|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|, 所以|P1P2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2.
2 2 由此得到两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式:|P1P2|= ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 ) .

④ (a)我们先计算在 x 轴和 y 轴两点间的距离. (b)又问了 B(3,4)到原点的距离,发现了直角三角形. (c)猜想了任意两点间距离公式. (d)最后求平面上任意两点间的距离公式. 这种由特殊到一般, 由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、 证 明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用! 课堂小结 通过本节学习,要求大家: ① 掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程; ② 能灵活运用此公式解决一些简单问题; ③ 掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题.
3

3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离 三维目标 1.让学生掌握点到直线的距离公式,并会求两条平行线间的距离. 2.引导学生构思距离公式的推导方案,培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力,鼓励 创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神,学会合作. 重点难点 教学重点:点到直线距离公式的推导和应用. 教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立. 教学过程 导入新课 思路 1.点 P(0,5)到直线 y=2x 的距离是多少?更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点 P 的坐标为(x0,y0),直线 l 的方程是 Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直 线 l 的距离呢?这节课我们就来专门研究这个问题. 思路 2.我们已学习了两点间的距离公式,本节课我们来研究点到直线的距离.如图 1,已知点 P(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0, 求点 P 到直线 l 的距离(为使结论具有一般性, 我们假设 A、 B≠0).

图1 新知探究 提出问题 ① 已知点 P(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0,求点 P 到直线 l 的距离.你最容易想到的方法是什么? 各种做法的优缺点是什么? ② 前面我们是在 A、B 均不为零的假设下推导出公式的,若 A、B 中有一个为零,公式是否 仍然成立? ③ 回顾前面证法一的证明过程,同学们还有什么发现吗?(如何求两条平行线间的距离) 活动: ① 请学生观察上面三种特殊情形中的结论: (ⅰ )x0=0,y0=0 时,d=

|C| A ?B
2 2

;(ⅱ )x0≠0,y0=0 时,d=

| Ax0 ? C | A2 ? B 2



(ⅲ )x0=0,y0≠0 时,d=

| By0 ? C | A2 ? B 2

.

观察、类比上面三个公式,能否猜想:对任意的点 P(x0,y0),d=? 学生应能得到猜想:d=

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

.

启发诱导:当点 P 不在特殊位置时,能否在距离不变的前提下适当移动点 P 到特殊位置, 从而可利用前面的公式?(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质,作平行线,把
4

一般情形转化为特殊情形来处理) 证明:设过点 P 且与直线 l 平行的直线 l1 的方程为 Ax+By+C1=0,令 y=0,得 P′( ?

C1 ,0). A

| A ? (?
∴ P′N=

C1 )?C | | C ? C1 | A . ? A2 ? B 2 A2 ? B 2

(*)

∵ P 在直线 l1:Ax+By+C1=0 上, ∴ Ax0+By0+C1=0.∴ C1=-Ax0-By0. 代入(*)得|P′N|=

| C ? Ax0 ? By0 | A2 ? B 2
,.

即 d=

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

② 可以验证,当 A=0 或 B=0 时,上述公式也成立. ③ 引导学生得到两条平行线 l1:Ax+By+C1=0 与 l2:Ax+By+C2=0 的距离 d=

| C1 ? C2 | A2 ? B 2

.

证明:设 P0(x0,y0)是直线 Ax+By+C2=0 上任一点,则点 P0 到直线 Ax+By+C1=0 的距离为 d=

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

.

又 Ax0+By0+C2=0,即 Ax0+By0=-C2,∴ d=

| C1 ? C2 | A2 ? B 2

.

讨 论 结 果 : ①已 知 点 P(x0,y0) 和 直 线 l:Ax+By+C=0 , 求 点 P 到 直 线 l 的 距 离 公 式 为 d=

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

.

② 当 A=0 或 B=0 时,上述公式也成立. ③ 两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离公式为 d=

| C1 ? C2 | A2 ? B 2

.

课堂小结 通过本节学习,要求大家: 1.掌握点到直线的距离公式,并会求两条平行线间的距离. 2.构思距离公式的推导方案,培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力,鼓励创新.培养 学生勇于探索、善于研究的精神,学会合作. 3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离,后者实际上可作为前 者的变式应用.

练习题
5

1.求经过两直线 l1:x-2y+4=0 和 l2:x+y-2=0 的交点 P,且与直线 l3:3x-4y+5=0 垂直的直线 l 的方程。

2.求经过直线 l1:x-2y+3=0 与直线 l2:2x+3y-8=0 的交点,且到点 P(0,4)的距离 为 2 的直线 l 的方程。

3.已知 A(-3,4),B(2, 的值。

),在 x 轴上找一点 P,使︳AB︳=︳PB︳,并求︳PA︳

4.过点 M(0,1)做直线 l,使它被两已知直线 l1:x-3y+10=0 和 l2:2x+y-8=0 所截得 线段恰好被点 M 所平分,求此直线的方程。

3) 到直线 l 的距离为 3 2 ,求直线 l 的方程. 5. 直线 l 在两坐标轴上的截距相等,且 P(4,

2 ,求直线 l 的方程. ? 5) ,且与点 A(3, ? 2) 和 B(?1, 6) 的距离之比为 1: 6. 直线 l 经过 P(2,

6


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