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江苏省连云港市东海二中2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年江苏省连云港市东海二中高二(上)第一次月考 数学试卷
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.2,8 的等比中项为 .

2.在△ABC 中,有

=

,则 B 的大小为



3.在△ABC 中,已知 a +b +ab

=c 则∠C═

2

2

2

. . .

4.在﹣1 和 9 之间插入三个数 a,b,c 使这五个数成等差数列,则 b= 5.若三条线段的长分别为 3,6,7,则用这三条线段围成的三角形的形状是 6.已知{an}是等差数列,且 a2+a3+a8+a11=48,a5+a7= .

7.已知等比数列{an}的公比

,则

的值为



8.在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,则 cosC 的值为 9.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 △ABC 的面积是 . 10.已知等差数列{an}中,a2=7,a4=15,则前 20 项的和 S20= 11.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=5n +kn﹣19,且 a10=100,则 k=
2

. ,B=30°,b=2,则

. . .

12.首项为 20 的等差数列{an},前 n 项和 Sn 且 S11<0<S10,则公差 d 的范围

13.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若

,则

=



14.数列{an}满足:a1=2,an=an﹣1+2n﹣1(n≥2) ,则该数列的通项公式是



二、解答题(6 题共 90 分)

15.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b +c ﹣ (1)求角 A; (2)求 tanB 的值.

2

2

bc=a , =2

2



16.已知函数 f(x)=ax +bx﹣a+2 (1)若 a=1,b=﹣4,解关于 x 的不等式 f(x)>0; (2)若关于 x 的不等式 f(x)>0 的解集为(﹣1,3) ,求实数 a,b 的值. 17.若等比数列{an}的前 n 项和 Sn=a﹣ (1)求实数 a 的值; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Rn. 18.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A,B,C 成等差数列. (1)若 ,c=2,求△ABC 的面积; (2)若 sinA,sinB,sinC 成等比数列,试判断△ABC 的形状. 19.如图,某海域内的岛屿上有一直立信号塔 AB,设 AB 延长线与海平面交于点 O.测量船 在点 O 的正东方向点 C 处,测得塔顶 A 的仰角为 30°,然后测量船沿 CO 方向航行至 D 处, 当 CD=100( ﹣1)米时,测得塔顶 A 的仰角为 45°. (1)求信号塔顶 A 到海平面的距离 AO; (2)已知 AB=52 米,测量船在沿 CO 方向航行的过程中,设 DO=x,则当 x 为何值时,使得 在点 D 处观测信号塔 AB 的视角∠ADB 最大. .

2

20.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n +bn(b 为常数) ,且对于任意的 k∈N ,ak,a2k,a4k 构成 等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列 的前 n 项和为 Tn,求使不等式 Tn< 成立的 n 的最大值.

2

*

2014-2015 学年江苏省连云港市东海二中高二 (上) 第一 次月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.2,8 的等比中项为 ±4 . 考点: 专题: 分析: 解答:
2

等比数列的通项公式. 等差数列与等比数列. 直接由等比中项的概念得答案. 解:设 2,8 的等比中项为 m,

则 m =2×8=16, ∴m=±4. 故答案为:±4. 点评: 本题考查了等比中项的概念,是基础的会考题型.

2.在△ABC 中,有

=

,则 B 的大小为



考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由 = ,又由正弦定理知: ,比较可得 sinB=cosB,由 0<B<

π,从而可求 B 的值. 解答: 解:∵ = , ,

又∵由正弦定理知: ∴sinB=cosB, ∵0<B<π, ∴B= , .

故答案为:

点评: 本题主要考查了正弦定理的应用,属于基本知识的考查. 3.在△ABC 中,已知 a +b +ab=c 则∠C═ 120° . 考点: 余弦定理. 专题: 计算题.
2 2 2

分析: 利用余弦定理表示出 cosC,把已知的等式变形后代入求出 cosC 的值,由 C 的范围, 利用特殊角的三角函数值即可求出角 C 的度数. 解答: 解:由 a +b +ab=c ,得到 a +b =c ﹣ab, 则根据余弦定理得: cosC= =﹣ ,又 C∈(0,π) ,
2 2 2 2 2 2

则角 C 的大小为 120°. 故答案为:120° 点评: 本题考查了余弦定理的应用,要求学生熟练掌握余弦定理的特征,牢记特殊角的三 角函数值.学生做题时注意角度的范围. 4.在﹣1 和 9 之间插入三个数 a,b,c 使这五个数成等差数列,则 b= 4 . 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的性质;等差数列的通项公式. 等差数列与等比数列. 直接利用等差中项,求解即可. 解:在﹣1 和 9 之间插入三个数 a,b,c 使这五个数成等差数列, =4.

所以 b 是﹣1,9 的等差中项,所以 b=

故答案为:4. 点评: 本题考查等差数列的基本性质的应用,是基础题. 5. 若三条线段的长分别为 3, 6, 7, 则用这三条线段围成的三角形的形状是 钝角三角形 . 考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 设 7 所对的角为α,利用余弦定理求出 cosα的值小于 0,利用余弦函数的性质得到 α为钝角,即可确定出三角形形状. 解答: 解:设 7 所对的角为α, 由余弦定理得:cosα= =﹣ <0,

∴α为钝角, 则用这三条线段围成的三角形的形状是钝角三角形. 故答案为:钝角三角形 点评: 此题考查了余弦定理,以及余弦函数的性质,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 6.已知{an}是等差数列,且 a2+a3+a8+a11=48,a5+a7= 24 . 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 集合. 分析: 由已知得 4a1+20d=48,由此能求出 a5+a7=2a1+10d=24. 解答: 解:∵{an}是等差数列,且 a2+a3+a8+a11=48,

∴4a1+20d=48, ∴a5+a7=2a1+10d=24. 故答案为:24. 点评: 本题考查等差数列中两项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列 的性质的合理运用.

7.已知等比数列{an}的公比

,则

的值为 ﹣3 .

考点: 等比数列的性质;等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 由等比数列的通项公式可得 an=an﹣1q,故分母的值分别为分子的对应值乘以 q,整体 代入可得答案. 解答: 解:由等比数列的定义可得: = = = = =﹣3,

故答案为:﹣3 点评: 本题考查等比数列的通项公式,整体代入是就问题的关键,属基础题.

8.在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,则 cosC 的值为



考点: 专题: 分析: 解答:

正弦定理;余弦定理. 计算题. 由正弦定理可得,可设其三边分别为 2k,3k,4k,再由余弦定理求得 cosC 的值. 解:在△ABC 中,sinA:sinB: sinC=2:3:4,由正弦定理可得,
2 2 2 2

可设其三边分别为 2k,3k,4k,由余弦定理可得 16k =4k +9k ﹣12k cosC, 解方程可得 cosC= 故答案为: . ,

点评: 本题考查正弦定理、余弦定理的应用,设出其三边分别为 2k,3k,4k,是解题的关 键. 9.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 △ABC 的面积是 . 考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: 根据正弦定理化简 ,得到 a 与 c 的关系式,由余弦定理表示出 b , 把 b 和 cosB 以及 a 与 c 的关系式的值代入,得到关于 c 的方程,求出方程的解即可得到 c
2

,B=30°,b=2,则

的值,进而得到 a 的值,利用三角形的面积公式,由 a,c 和 sinB 的值,即可求出△ABC 的 面积. 解答: 解:由 ,根据正弦定理得:a= c, 2 2 2 由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB, 2 2 2 即 4=4c ﹣3c =c ,解得 c=2,所以 a=2 , 则△ABC 的面积 S= acsinB= ×2 ×2× = .

故答案为: 点评: 此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值,灵活运用三角形的面积公式化简 求值,是一道中档题. 10.已知等差数列{an}中,a2=7,a4=15,则前 20 项的和 S20= 820 .

考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知数据易得公差,进而可得首项,代入求和公式计算可得. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d, 则 d= = =4,

∴a1=a2﹣d=7﹣4=3, ∴S20=20a1+ d=820,

故答案为:820. 点评: 本题考查等差数列的求和公式,得出数列的首项和公差是解决问题的关键,属基础 题. 11.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=5n +kn﹣19,且 a10=100,则 k= 5 . 考点: 数列的函数特性. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 直接由 a10=S10﹣S9 列式求得 k 的值. 2 解答: 解:∵Sn=5n +kn﹣19, 由 a10=100,得 ,
2

解得:k=5. 故答案为:5. 点评: 本题考查了数列的求和,考查了数列的通项与前 n 项和的关系,是基础题.

12.首项为 20 的等差数列{an},前 n 项和 Sn 且 S11<0<S10,则公差 d 的范围 ﹣4 . 考点: 等差数列的性质.

<d<

专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列的性质,可知 S11=11a6,S10=5(a5+a6) ,由 a1=20,S11<0<S10,利用等 差数列的通项公式即可求得公差 d 的范围. 解答: 解:∵数列{an}为等差数列, S11<0<S10, 即 11a6<0<5(a5+a6) , ∴a1+5d<0 且 2a1+9d>0,又 a1=20, ∴20+5d<0 且 40+9d>0, 解得:﹣ <d<﹣4. <d<﹣4.

故答案为:﹣

点评: 本题考查等差数列的通项公式与求和公式,着重考查等差数列的性质,考查转化思 想.

13.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若

,则

=



考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由于 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,可得 S3,S6﹣S3,S9﹣S6,S12﹣S9 成等差数列.利 用 ,可得 S6=4S3.S9=9S3.S12=16S3.

解答: 解:∵Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, ∴S3,S6﹣S3,S9﹣S6,S12﹣S9 成等差数列. ∵ ,∴S6=4S3.

∴S9﹣S6=5S3,∴S9=9S3. 同理可得 S12=16S3. ∴ .

故答案为: . 点评: 本题考查了等差数列的前 n 项和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于 中档题. 14.数列{an}满足:a1=2,an=an﹣1+2n﹣1(n≥2) ,则该数列的通项公式是 .

考点: 数列递推式.

专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知得 an﹣an﹣1=2n﹣1(n≥2) ,由此利用累加法能求出该数列的通项公式. 解答: 解:∵数列{an}满足:a1=2,an=an﹣1+2n﹣1(n≥2) , ∴an﹣an﹣1=2n﹣1(n≥2) , ∴an=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+an﹣an﹣1 =2+3+5+7+…+(2n﹣1) =2+ =n +1. 故答案为: .
2

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意累加法的合 理运用. 二、解答题(6 题共 90 分) 15.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b +c ﹣ (1)求角 A; (2)求 tanB 的值. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)由余弦定理表示出 cosA,将已知等式变形后代入求出 cosA 的值,即可确定出 A 的度数; (2)已知等式利用正弦定理化简,得到关系式,由 A 的度数及内角和定理表示出 C,代入 关系式中利用两角和与差的正弦函数公式化简,整理后即可确定出 tanB 的值. 解答: 解: (1)∵b +c ﹣ ∴cosA= ∵A 为三角形内角, ∴A= ; ,利用正弦定理化简得: ﹣B)=2 sinB= sinB,即 cosB, cosB+ =2 ,即 sinC=2 sinB, sinB, = ,
2 2 2 2

bc=a , =2

2



bc=a ,即 b +c ﹣a =

2

2

2

2

bc,

(2)将 =2 ∴sin( 整理得: 则 tanB= .

sinB=2

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本 题的关键.

16.已知函数 f(x)=ax +bx﹣a+2 (1)若 a=1,b=﹣4,解关于 x 的不等式 f(x)>0; (2)若关于 x 的不等式 f(x)>0 的解集为(﹣1,3) ,求实数 a,b 的值. 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)当 a=1,b=﹣4 时,求出一元二次不等式 f(x)>0 的解集即可; (2)根据不等式 f(x)>0 的解集,列出方程组 解答: 解: (1)当 a=1,b=﹣4 时,f(x)=x ﹣4x+1, 2 由 f(x)>0 得 x ﹣4x+1>0; 解得 x∈( )∪( ) ; (2)∵不等式 f(x)>0 的解集为(﹣1,3) , 根据题意得 a<0, 且 ;
2

2

,求出 a、b 的值.

解得



点评: 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,解题时应根据一元二次不等式与对 应方程的关系进行解答,是基础题. 17.若等比数列{an}的前 n 项和 Sn=a﹣ (1)求实数 a 的值; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Rn. 考点: 等比数列的前 n 项和;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)当 n=1 时,a1=S1=a﹣ . 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1= 得 a 的值. (2)nan= 解析式. 解答: 解: (1)当 n=1 时,a1=S1=a﹣ . 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(a﹣ )﹣(a﹣ …(2 分) )= ,…(5 分) ,则 Rn= + + +…+ ,可得 2Rn=1+ + +…+ ,②﹣①求得:Rn 的 ,再由 a1= =a﹣ ,解 .

则 a1= =a﹣ ,解得 a=1. …(7 分) (2)nan= ,则 Rn= + + +…+ ,①…(10 分)

∴2Rn=1+ +

+…+

,②…(11 分) . …(15 分)

②﹣①求得:Rn=2﹣

点评: 本题主要考查数列的前 n 项和与第 n 项的关系,用错位相减法进行数列求和,属于 中档题. 18.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A,B,C 成等差数列. (1)若 ,c=2,求△ABC 的面积; (2)若 sinA,sinB,sinC 成等比数列,试判断△ABC 的形状. 考点: 余弦定理;三角形的形状判断;正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (1)根据 A、B、C 成等差数列,结合 A+B+C=π算出 B= sinC= = .根据 b>c 得 C 为锐角,得到 C= ,再由正弦定理得 ,△ABC 是直角

,从而 A=π﹣B﹣C=

三角形,由此不难求出它的面积; (2)根据正弦定理,结合题意得 b =ac,根据 B=
2 2 2 2

利用余弦定理,得 b =a +c ﹣ac,从而

2

2

2

得到 a +c ﹣ac=ac,整理得得(a﹣c) =0,由此即可得到△ABC 为等边三角形. 解答: 解:∵A、B、C 成等差数列,可得 2B=A+C. ∴结合 A+B+C=π,可得 B= (1)∵ ∴由正弦定理 ,c=2, ,得 sinC= = = . . .

∵b>c,可得 B>C,∴C 为锐角,得 C= 因此,△ABC 的面积为 S= = ×

,从而 A=π﹣B﹣C= =
2



(2)∵sinA、sinB、sinC 成等比数列,即 sin B=sinAsinC. 2 ∴由正弦定理,得 b =ac 2 2 2 2 2 又∵根据余弦定理,得 b =a +c ﹣2accosB=a +c ﹣ac, 2 2 2 ∴a +c ﹣ac=ac,整理得(a﹣c) =0,可得 a=c ∵B= ,∴A=C= ,可得△ABC 为等边三角形.

点评: 本题给出三角形的三个内角成等差数列,在已知两边的情况下求面积,并且在边成 等比的情况下判断三角形的形状. 着重考查了三角形内角和定理和利用正、 余弦定理解三角 形的知识,属于中档题. 19.如图,某海域内的岛屿上有一直立信号塔 AB,设 AB 延长线与海平面交于点 O.测量船 在点 O 的正东方向点 C 处,测得塔顶 A 的仰角为 30°,然后测量船沿 CO 方向航行至 D 处, 当 CD=100( ﹣1)米时,测得塔顶 A 的仰角为 45°.

(1)求信号塔顶 A 到海平面的距离 AO; (2)已知 AB=52 米,测量船在沿 CO 方向航行的过程中,设 DO=x,则当 x 为何值时,使得 在点 D 处观测信号塔 AB 的视角∠ADB 最大.

考点: 正弦定理;两角和与差的正切函数. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (1)由题意知,在△ACD 中,∠ACD=30°,∠DAC=15°,利用正弦定理可求得 AD, 在直角△AOD 中,∠ADO=45°,从而可求得 AO; (2)设∠ADO=α,∠BDO=β,依题意,tanα= ﹣β)= = ,tanβ= ,可求得 tan∠ADB=tan(α

,利用基本不等式可求得 tan∠ADB 的最大值,从而可得答案.

解答: 解: (1)由题意知,在△ACD 中,∠ACD=30°,∠DAC=15°,…(2 分) 所以 = ,得 AD=100 ,…(5 分) …(7 分)

在直角△AOD 中,∠ADO=45°,所以 AO=100(米) ;

(2)设∠ADO=α,∠BDO=β,由(1)知,BO=48 米, 则 tanα= ,tanβ= ,…(9 分)

tan∠ADB=tan(α﹣β)=

=

=

,…(11 分)

所以 tan∠ADB=



=

,…(13 分)

当且仅当 x=

即 x=40

亦即 DO=40

时,

tan∠ADB 取得最大值,…(14 分) 此时点 D 处观测信号塔 AB 的视角∠ADB 最大. …(15 分) 点评: 本题考查正弦定理,考查两角和与差的正切函数,突出考查基本不等式的应用,考 查分析与运算能力,属于中档题. 20.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n +bn(b 为常数) ,且对于任意的 k∈N ,ak,a2k,a4k 构成 等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列 的前 n 项和为 Tn,求使不等式 Tn< 成立的 n 的最大值.
2 *

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由于 Sn=n +bn(b 为常数) ,可得当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1.当 n=1 时,a1=S1=1+b, * 即可得出.由于对于任意的 k∈N ,ak,a2k,a4k 构成等比数列.利用等比数列的性质即可得 出. (2) =
2 2

=

,利用“裂项求和”即可得出.

解答: 解: (1)∵Sn=n +bn(b 为常数) , 2 2 ∴当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n +bn﹣[(n﹣1) +b(n﹣1)]=2n﹣1+b. 当 n=1 时,a1=S1=1+b,符合上式. * ∴an=2n﹣1+b.∵对于任意的 k∈N ,ak,a2k,a4k 构成等比数列. 2 ∴(4k﹣1+b) =(2k﹣1+b) (8k﹣1+b) ,化为 2k(b﹣1)=0, ∴b=1. ∴an=2n. (2)∵ ∴Tn= 不等式 Tn< 即为 = = +…+ , = ,解得 n<12. ,

∴使不等式 Tn<

成立的 n 的最大值为 11.

点评: 本题考查了利用“当 n=1 时,a1=S1,当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1”求通项公式、 “裂项 求和”方法、等比数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.


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