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2013全国高中数学联赛方廷刚模拟修正


2013 全国高中数学联赛方廷刚模拟修正 各位老师,各位同学:前上传“2013 全国高中数学联赛方廷刚模拟”中一试第 11 题解 答错误,加试第一题解答太繁,现予修正. 一试第 11 题

RQ RP AC RP ? ? ? 2t ( Menelaus ? t ,则 QB PA CB PA x ?t y x ? 2t y 定理),于是得点 P ( , ) ,

Q( , ) ,再由 P, Q 均在椭圆上,可得 1? t t ?1 1 ? 2t 1 ? 2t ( x ? t )2 ? 2 y 2 ? 4(1 ? t )2 ①
解.设 R( x, y ) 是所求轨迹上任一点,设

( x ? 2t )2 ? 2 y 2 ? 4(1 ? 2t ) 2 ②
两式相减,有 3t (2 x ? t ) ? 4t (3t ? 2) .由于 t ? 0 ,约去 t 而化为 t ?

(x ?

6x ? 8 2 6x ? 8 2 ) ? 2 y 2 ? 4(1 ? ) ? 45 x 2 ? 54 y 2 ? 20 . 9 9

6x ? 8 ,代回①可得 9

此即点 R 的轨迹方程,结合图形知只能取双曲线右支且在椭圆内部的部分,还要去掉顶点 (因当 P, Q 为椭圆顶点时,直线 AP, BQ 重合,不能确定交点 R ),于是所求交点 R 的轨迹是

2 4 45 x 2 ? 54 y 2 ? 20 , x ? ( , ) . 3 3
加试第一题 证.如图,延长 BE 交 AC 于 G ,记 ?ABC 的三边长分别为 a, b, c, BM ? x .由条件易知 MA ? MD .记 ?ABI ? ? , ?BAI ? ? ,则有

?EAF ? ? , ?A ? 2? ? 2? ,于是 1 ?MFA ? 2? ? ? ? ? ? ?A ? ?MAF 2 ? MF ? MA .于是 MA ? MD ? MF . 由 I , K , C 共线,用 Menelaus 定理,可 FK FI AC FI FB AC AB ,由 BI 平分 ?ABF 得 ,由 DM //AB 得 ,于是 ? ? ? ? KM IA CM IA BA CM MD FK FB AB FB FB MF MB ? ? ? ? ? ? KM BA MD MD MF KM MF 2 2 故 MB ? MK ? MF ? MD ,故 ?MDK∽?MBD ,故 ?MDK ? ?MBD .又 MF ? MD , 有 ?MDF ? ?MFD ,相减得 ?KDF ? ?BDF . 注.还可先得 E 为 ?MAB 的内心,又 A, B, F , E 共圆, ?EFM ? ?EAB ? ?EAM ,可得 .(还可不用全等而直接用 AE ? EF .) ?MFE≌? MAE? MA? MF


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