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高考理科数学第二轮复习专题——立体几何[1]


高考理科数学第二轮复习专题——立体几何
1、 (佛山市 2016 届高三教学质量检测(一) )某一简单几何体的三视图如图,则 该几何体的外接球的表面积为( A. 13? B. 16? C. 25? ) D. 27?

2、 (惠州市 2016 届高三第三次调研考试)某四面体的三视图如图所示,正视图、 俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形,侧视图是边

长为 2 的正方形,则此四面 体的四个面中最大面积是( A. 2 2 B.4 ) C. 2 3 D. 2 6

3、 (肇庆市 2016 届高三第二次统测(期末) )若某圆柱体的上部挖掉一个半球, 下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和俯视图如图 2 所示, 则 此几何体的表面积是( (A) 24? ) (C) 24? ? 4 2? (D) 32?

(B) 24? ? 8 2?

正视图

侧视图

俯视图

第1题

第2题

第3题

4、 (珠海市 2016 届高三上期末)如图,是圆锥一部分和四分之一球组成的组合 体的三视图,则此几何体的体积为( A. C.
8? 3
14? 3


2 3 左视图

B.

16? 3
2? 3

正视图

D.

4

-1-

俯视图

(第 11 题图)

5、 (惠州市 2016 届高三第三次调研考试)如图,已知四棱锥 P ? ABCD 中,底 面 ABCD 为菱形, PA ? 平面 ABCD , ?ABC ? 60? , E , F 分别是 BC, PC 的中点。 (Ⅰ)证明: AE ? 平面 PAD ; (Ⅱ)取 AB ? 2 ,若 H 为 PD 上的动点, EH 与面 PAD 所成最大角的正切值为
6 ,求二面角 E ? AF ? C 的余弦值。 2
P

F A
B D

E

C

6、 (汕头市 2016 届高三上期末)如图,在 Rt△ACD 中,CD=4,AD= 2 3 ,
?CAD ? 90? ,以 CD 为轴,将△ACD 按逆时针方向旋

转 90° 到△BCD 位置,E 为 AD 的中点: (Ⅰ)证明:AB⊥CD (Ⅱ)求二面角 B-CE-D 的平面角的余弦值。

D E

A B C

-2-

7、 (佛山市 2016 届高三教学质量检测(一) )如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧 面 AA1C1C ? 侧面 ABB1 A1 , AC ? AA1 ? 2 AB ,

?AA1C1 ? 60? , AB ? AA1 , H 为棱

CC1 的中点, D 在棱 BB1 上,
A1 D ? 面 AB1 H .
(1)求证: D 为 BB1 的中点; (2)求二面角 C1 ? A1 D ? A 的余弦值.

C

C1

A B

A1

D

B1

8. 【广东省增城市 2014 届高三调研考试】如下图,边长为 2 的正方形 ABCD,E, F 分别是 AB,BC 的中点,将△AED,△DCF 分别沿 DE,DF 折起,使 A,C 两点重 合于 A? . (1)求证: DA? ⊥EF; (2)求二面角 A? ? EF ? D 的平 面角的余弦值.

-3-

9.【广东省佛山市石门中学 2014 届高三第二次月考】已知多面体 ABCDE 中,

AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , AC ? AD ? CD ?
DE ? 2 , AB ? 1 , F 为 CE 的中点.

(1)求证: AF ? CD ; (2)求直线 AC 与平面 CBE 所成角的余弦值的大小.

10. 【广东省执信中学 2014 届高三上学期期中考试】 如图, 长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中 AA1 =AD ? 1 , E 为 CD 中点. (1)求证: B1E ? AD1 ; (2)在棱上是否存在一点 P ,使得 DP / / 平面 B1 AE ?若存在,求 AP 的长;若不 存在,说明理由. (3)若二面角 A ? B1E ? A1 的大小为 30? ,求 AB 的长.

-4-

1-4 C C C C 5、解: (Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形, ?ABC ? 600 ,可得 ?ABC 为正三角 形,因为 E 为 BC 的中点,所以 AE ? BC …………………………(1 分) 又 BC // AD ,因此 AE ? AD ……………………………………(2 分)

因为 PA ? 平面 ABCD , AE ? 平面 ABCD , 所以 PA ? AE ………………………………………………………(3 分)

而 PA ? 平面 PAD, AD ? 平面 PAD, PA ? AD ? A , 所以 AE ? 平面 PAD …………………………………………………(5 分) (Ⅱ) (法 1: H 为 PD 上任意一点,连接 AH , EH 由(1)知 AE ? 平面 PAD, 则 ?EHA 为 EH 与平面 PAD所成的角 ……(6 分)

在 RT ?EAH 中, AE ? 3 ,所以当 AH 最短时,即当 AH ? PD 时, ?EHA 最大, 此时 tan?EHA ?
AE 3 6 ,因此 AH ? 2 …………………(7 分) ? ? AH AH 2

又 AD ? 2 ,所以 ?ADH ? 450 ,所以 PA ? 2 ……(8 分) 因为 PA ? 平面 ABCD , PA ? 平面 PAC , 所以平面 PAC ? 平面 ABCD , 过 E 作 EO ? AC 于 O ,则 EO ? 平面 PAC , 过 O 作 OS ? AF 于 S ,连接 ES , 则 ?ESO 为二面角 E ? AF ? C 的平面角,…(9 分) B 在 RT ?AOE 中, EO ? AE ? sin 300 ?
3 3 , AO ? AE ? cos300 ? 2 2 3 2 4
A

z
P

F

S O
E x

H

D

y

C

又 F 是 PC 的中点,在 RT ?ASO 中, SO ? AO ? sin 450 ?

又 SE ? EO 2 ? SO2 ?

30 …………………………………………(10 分) 4 SO 15 ,…………………………(11 分) ? SE 5

在 RT ?ESO 中, cos?ESO ?

-5-

即所求二面角的余弦值为

15 。………………………………………(12 分) 5

(2)法 2:由(1)可知 AE, AD, AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,以 AE, AD, AP 分别为 x, y, z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系。设 AP ? a ,…(6 分) 则 A(0,0,0), B( 3,?1,0), C ( 3,1,0), D(0,2,0), P(0,0, a), E ( 3,0,0), F (
H (0,2 ? 2? , a? ) (其中 ? ? [0,1] )? HE ? ( 3,2(? ? 1),?a?)

3 1 a , , ) 2 2 2

面 PAD的法向量为 n ? (1,0,0)
sin 2 ? ?| cos ? n, HE ?| 2 ? 3 3 ? 2 2 2 2 3 ? 4(? ? 1) ? a ? (a ? 4)?2 ? 8? ? 7

? EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 6
2
2 ? sin ? ?

3 的最大值为 , (a ? 4)? ? 8? ? 7 5
2 2

3

即 f (a) ? (a 2 ? 4)?2 ? 8? ? 7 在 ? ? [0,1] 的最小值为 5 ,

? 函数 f (a ) 对称轴 ? ?
所以 f (a) min ? f (
?
2

4 ? (0,1) , a ?4
2

4 ) ? 5 ,计算可得 a ? 2 ……(8 分) a ?4
?

所以 AE ? ( 3,0,0), AF ? (

3 1 , ,1) 2 2
?

?? ? ?m? AE ? 0 设平面 AEF 的一个法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则 ? ? ? ? ?m? AF ? 0
? 3 x1 ? 0 ? ? 因此 ? 3 ,取 z1 ? ?1 ,则 m ? (0,2,?1) …………(9 分) 1 x1 ? y1 ? z1 ? 0 ? 2 ? 2

BD ? (? 3,3,0) 为平面 AFC 的一个法向量. …………………………(10 分)

所以 cos ? m, BD ??

m ? BD | m || BD |

?

15 …(11 分) 5
-6-

所以,所求二面角的余弦值为

15 …(12 分) 5

6、证明: (Ⅰ)? DC ? AH , DC ? BH , AH ? BH ? H …………1 分
DC ? 平面 ABH ,又因为 AB ? 平面 ABH ………………………3 分

所以 AB ? CD ………………………4 分 (Ⅱ)分别以 HA, HB, HD 为 x, y, z 轴,建立如图所示的直角坐标系 由已知条件不难求得: AH ? HB ? 3, HD ? 3, HC ? 1 ………………………5 分 所以 A( 3,0,0) , B(0, 3,0) , C (0,0,?1) , D(0,0,3) ………………………6 分 又因为点 E 为中点,所以点 E (
3 3 ,0, ) 2 2

所以 CE ? (

3 3 3 5 ,0, ) , BE ? ( ,? 3, ) , HB ? (0, 3,0) …………7 分 2 2 2 2

设平面 BCE 的一个法向量为 n ? ( x, y, z)

? ?n ? CE ? ? 所以 ? ?n ? BE ? ? ?

3 5 x? z ?0 3 3 2 2 令 x ? 3 解得: y ? ,z ? ? 5 5 3 3 x ? 3y ? z ? 0 2 2
3 3 ,? ) …………9 分 5 5

所以平面 BCE 的一个法向量为 n ? ( 3,

又 HB ? 平面 DEC ,所以向量 HB ? (0, 3,0) 为平面 DEC 的一个法向量……10 分

设所求二面角是 ? ,所以 cos? ?

n ? HB n ? HB

? 3?

3 5 3 9 ? ? 3 25 25

?

29 ……12 分 29

7、 【解析】[向量法](Ⅰ)连结 AC1 ,因为 ?ACC1 为正三角形, H 为棱 CC1 的中点,
? 面 ABB1 A1 , 所以 AH ? CC1 ,从而 AH ? AA1 ,又面 AAC 1 1C AH ? 面 AAC 面 AAC 1 1C ? 面 ABB 1, 1 1C , 1A 1 ? AA
C z H C1

所以 AH ? 面 ABB1 A1 .……1 分 以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz 如图所示,…2 分
-7B x A D B1 A1 y

? ???? ? ???? ? 设 D ? 2, t , 0 ? ,则 AB ? ? 2, 2, 0 ? , A D ? ? 2, t ? 2, 0 ? ,………3 分
不妨设 AB ? 2 ,则 AA1 ? 2 , A1 ? 0, 2,0? , B1
1 1

?

2, 2, 0 ,

因为 A1D ? 平面 AB1H , AB1 ? 平面 AB1H ,所以 A1D ? AB1 ,

???? ? ???? ? 所以 AB1 ? A1D ? 2 ? 2 ? t ? 2? ? 0 , 解得 t ? 1 , 即 D

???? ? (Ⅱ) C1 0,1, 3 , A1 D ?

?

2,1, 0 , 所以 D 为 BB1 的中点 .…5

?

?

?

?

???? ? 2, ?1, 0 , A1C1 ? 0, ?1, 3 ,

?

?

?

???? ? ? ?n ? A1 D ? 0 设 平 面 C1 A1D 的 法 向 量 为 n ? ? x, y, z ? , 则 ? ????? ,即 ? ?n ? A1C1 ? 0
? y ? 2x ? ? 6 , x ?z ? 3 ?

? ? 2x ? y ? 0 ,解得 ? ? ?? y ? 3 z ? 0

令 x ? 3 ,得 n ? 3,3 2, 6 ,…………………………………9 分
???? ? 显然平面 AA1D 的一个法向量为 AH ? 0, 0, 3 ,……………………10 分

?

?

?

?

???? ? ???? ? n ? AH 3 2 22 所以 cos ? n, AH ?? ???? , ? ? ? 11 33 ? 3 n AH

所以二面角 C1 ? A1D ? A 的余弦值为

22 .…………………12 分 11

[传统法](Ⅰ)设 AB ? 2a ,由 AC ? AA1 ? 2 AB ,所以 AC ? AA1 ? 2a , 因为 A1D ? 平面 AB1H , AB1 ? 平面 AB1H ,所以 A1D ? AB1 , 从而 ?DA1B1 ? ?A1B1 A ? 90? ,所以 ?A1DB1 ? ?AB1 A1 ,所以 故 DB1 ? a ,所以 D 为 BB1 的中点.…………………5 分 (Ⅱ)连结 AC1 ,由 ?AAC 1 1 ? 60? 可得 ?AAC 1 1 为正三角形, 取 AA1 中点 M ,连结 C1M ,则 C1M ? AA1 ,
? 面 ABB1 A1 ,面 AAC 因为面 AAC 1 1C 1 1C ? 面 ABB 1, 1A 1 ? AA
B A D M N B1 A1

DB1 A1 B1 , ? B1 A1 AA1
C H C1

C1M ? 面 AAC 1 1C ,所以 C1M ? 面 ABB 1A 1 .…………………7 分
作 MN ? A1D 于 N ,连结 C1 N ,则 C1N ? A1D ,
-8-

所以 ?MNC1 是二面角 C1 ? A1D ? A 的平面角.………………………………9 分 经计算得 C1M ? 3a , MN ?

22 6 33 , a , C1 N ? a , cos ?MNC1 ? 11 3 3
22 .…………………………………12 分 11

所以二面角 C1 ? A1D ? A 的余弦值为 8.

(2)取 EF 的中点 M ,连 A?M , DM ,如图所示: 则在 ? AEF 中,∵ A?E ? AE ? 1 , A?F ? CF ? 1 , ∴ A?M ? EF ,

-9-

考点:1.直线与平面垂直的判定定理;2.直线与平面垂直的性质定理;3.解三角 形;4.二面角及求法;5.勾股定理 9.

试题解析: (1)如下图所示,取 CD 的中点 G ,连接 AG 、 BF 、 FG ,

- 10 -

设直线 AC 与平面 CBE 所成的角为 ? ,则 sin ? ?
2

GN 2 1 2 , ? ? ? AC 2 2 4

? 2? 14 , 故直线 AC 与平面 CBE 所成角的余弦值 ? cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? 4 ? ? ? 4 ? ?
2



14 ; 4

???? ???? ??? ? 法二:分别以 GD 、 GF 、 GA 为 x 、 y 、 z 轴建立如图空间直角坐标系 G ? xyz ,
- 11 -

10.

?a ? 设 AB ? a ,则 A? 0,0,0? , D ? 0,1,0? , D1 ? 0,1,1? , E ? ,1, 0 ? , B1 ? a,0,1? , ?2 ?

- 12 -

? ??? ? ? ??? ? 1 a 要使 DP // 平面 B1 AE , 只要 n ? DP , 即有 n ? DP ? 0 , 由此得 ? at ? 0 , 解得 t ? , 2 2
1? ? 即 P ? 0, 0, ? , 2? ?

又 DP ? 平面 B1 AE , 存在点 P ,满足 DP // 平面 B1 AE ,此时 AP ?
1 ; 2

3 ? cos ? ? cos 30? ? ? 2

3 a 2 ,解得 a ? 2 ,即 AB 的长为 2 . a2 2 ? 1 ? ? a2 4
- 13 -


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