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第八章第5讲椭圆(学生)


第5讲 椭 圆 [做一做] 1 1.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于 ,则 C 的方程是( 2 x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 3 4 4 3 2 2 x y x2 y2 C. + =1 D. + =1 4 2 4 3 )

c 解析: 选 D.右焦点为 F(1, 0)说明两层含义: 椭圆的焦点在 x 轴上

; c=1.又离心率为 = a 1 x2 y2 ,故 a=2,b2=a2-c2=4-1=3,故椭圆的方程为 + =1. 2 4 3 2 x y2 2.(2015· 浙江省名校联考)已知 F1,F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,过点 F2 作 x 轴的 4 3 垂线交椭圆于 A,B 两点,则△F1AB 的周长为________. 解析:由已知可得△F1AB 的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8. 答案:8 1.辨明两个易误点 (1)椭圆的定义中易忽视 2a>|F1F2|这一条件,当 2a=|F1F2|时,其轨迹为线段 F1F2,当 2a<|F1F2|时,不存在轨迹. x2 y2 (2)求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置,而直接设方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 2.求椭圆标准方程的两种方法 (1)定义法:根据椭圆的定义,确定 a2,b2 的值,结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出 a、b; 若焦点位置不明确,则需要分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为 Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B). [做一做] 3. 若直线 x-2y+2=0 经过椭圆的一个焦点和一个顶点, 则该椭圆的标准方程为( ) x2 2 x2 y2 A. +y =1 B. + =1 5 4 5 2 2 2 x x y C. +y2=1 或 + =1 D.以上答案都不对 5 4 5 解析:选 C.直线与坐标轴的交点为(0,1),(-2,0),由题意知当焦点在 x 轴上时,c =2,b=1, x2 ∴a2=5,所求椭圆的标准方程为 +y2=1. 5 当焦点在 y 轴上时,b=2,c=1, y2 x2 ∴a2=5,所求椭圆标准方程为 + =1.故选 C. 5 4 x2 y2 4.(2015· 江苏常州调研)若方程 + =1 表示椭圆,则 k 的取值范围是________. 5-k k-3 ?5-k>0 解析:由已知得?k-3>0 答案:(3,4)∪(4,5)

?

? ?5-k≠k-3

,解得 3<k<5 且 k≠4.

考点一__椭圆的定义及标准方程________________ (1)(2015· 洛阳市高三年级统考)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F( 15, 0),直线 y=x 与椭圆的一个交点的横坐标为 2,则椭圆方程为( ) x2 y2 2 2 A. +y =1 B.x + =1 16 16 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 20 5 5 20 x2 y2 (2)(2014· 高考大纲全国卷)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心 a b 3 率为 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点.若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为( ) 3 2 2 2 x y x A. + =1 B. +y2=1 3 2 3 2 2 x y x2 y2 C. + =1 D. + =1 12 8 12 4 22 22 ? ?a2+b2=1 x2 y2 [解析] (1)依题意,设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),则有? ,由此解得 a2 a b 2 2 ? ?a -b =15 2 2 x y 2 =20,b =5,因此所求的椭圆方程是 + =1. 20 5 3 c 3 (2)由 e= , 得 = ①.又△AF1B 的周长为 4 3, 由椭圆定义, 得 4a=4 3, 得 a= 3, 3 a 3 代入①得 c=1, x2 y2 ∴b2=a2-c2=2,故 C 的方程为 + =1. 3 2 [答案] (1)C (2)A [规律方法] 用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤: (1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上,还是在 y 轴上,还是两个坐标轴都有 可能. (2)设方程:根据上述判断设出方程. (3)找关系:根据已知条件,建立关于 a,b,c 的方程组. (4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求. 1.(1)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 P1( 6,1), P2(- 3,- 2),则椭圆的方程为________; x2 y2 → (2)已知 F1, F2 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点, P 为椭圆 C 上的一点, 且PF1⊥ a b → PF2.若△PF1F2 的面积为 9,则 b=________. 解析:(1)设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,且 m≠n). ∵椭圆经过 P1,P2 两点, ∴P1,P2 点坐标适合椭圆方程, ? ① ?6m+n=1, 则? ?3m+2n=1, ② ? 1 m= , 9 ①②两式联立,解得 1 n= . 3 2 2 x y ∴所求椭圆方程为 + =1. 9 3 (2)设|PF1|=r1,|PF2|=r2,

? ? ?

? ?r1+r2=2a, 则? 2 2 2 ? ?r1+r2=4c , 2 ∴2r1r2=(r1+r2)2-(r2 1+r2) 2 2 2 =4a -4c =4b , 1 ∵S△PF1F2= r1r2=b2=9,∴b=3. 2 x2 y2 答案:(1) + =1 (2)3 9 3 考点二__椭圆的几何性质(高频考点)____________

椭圆的几何性质是高考的热点,高考中多以小题出现,试题难度一般较大,高考对椭圆 几何性质的考查主要有以下三个命题角度: (1)根据椭圆的性质求参数的值或范围; (2)由性质写椭圆方程; (3)求离心率的值或范围. x2 y2 (1)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点是圆 x2+y2-6x+8=0 的圆心,且短 a b 轴长为 8,则椭圆的左顶点为( ) A.(-3,0) B.(-4,0) C.(-10,0) D.(-5,0) x2 y2 4 (2)椭圆 + =1 的离心率为 ,则 k 的值为( ) 9 4+k 5 A.-21 B.21 19 19 C.- 或 21 D. 或 21 25 25 x2 y2 (3)(2014· 高考江西卷)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点为 F1,F2,过 F2 作 x a b 轴的垂线与 C 相交于 A,B 两点,F1B 与 y 轴相交于点 D,若 AD⊥F1B,则椭圆 C 的离心率 等于________. 扫一扫 进入 91 导学网(www.91daoxue.com) 椭圆及其几何性质 [解析] (1)∵圆的标准方程为(x-3)2+y2=1, ∴圆心坐标为(3,0),∴c=3.又 b=4, ∴a= b2+c2=5. ∵椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的左顶点为(-5,0). (2)若 a2=9,b2=4+k,则 c= 5-k, 5-k 4 c 4 19 由 = ,即 = ,得 k=- ; a 5 3 5 25 若 a2=4+k,b2=9,则 c= k-5, k-5 4 c 4 由 = ,即 = ,解得 k=21. a 5 4+k 5 x2 y2 b2 (3)直线 AB:x=c,代入 2+ 2=1,得 y=± . a b a 2 2 b b ? ? ? ∴A? ?c, a ?,B?c,- a ?. b2 b2 - -0 - a a b2 ∴kBF1= = =- . 2ac c-(-c) 2c

b2 ∴直线 BF1:y-0=- (x+c). 2ac b2 令 x=0,则 y=- , 2a b2 b2 + 2 a 2a 3b2 b 0,- ?,∴kAD= ∴D? = . 2a? ? c 2ac b2 3b2 由于 AD⊥BF1,∴- · =-1, 2ac 2ac 4 2 2 ∴3b =4a c ,∴ 3b2=2ac,即 3(a2-c2)=2ac, ∴ 3e2+2e- 3=0, -2± 4-4× 3×(- 3) -2± 4 ∴e= = . 2 3 2 3 -2+4 2 3 ∵e>0,∴e= = = . 3 2 3 2 3 3 [答案] (1)D (2)C (3) 3 若本例(3)条件变为“过 F1,F2 的两条互相垂直的直线 l1,l2 的交点在 椭圆的内部”,求离心率的取值范围. 解:作图分析可知以线段 F1F2 为直径的圆在椭圆的内部(图略),所以 c<b,从而 c2< c 1 c 2 2 b2,即 c2<a2-c2,( )2< ,0< < ,故 e∈(0, ). a 2 a 2 2 [规律方法] (1)求椭圆的离心率问题的一般思路: 求椭圆的离心率或其范围时,一般是依据题设得出一个关于 a,b,c 的等式(或不等式), 利用 a2=b2+c2 消去 b,即可求得离心率或离心率的范围. (2)利用椭圆几何性质的技巧: 求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、 短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系. 3 2.(1)已知椭圆的长轴长是 8,离心率是 ,则此椭圆的标准方程是( ) 4 2 2 2 2 2 2 x y x y x y A. + =1 B. + =1 或 + =1 16 7 16 7 7 16 x2 y2 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 或 + =1 16 25 16 25 25 16 x2 y2 1 (2)设 e 是椭圆 + =1 的离心率,且 e∈( ,1),则实数 k 的取值范围是( ) 4 k 2 16 A.(0,3) B.(3, ) 3 16 C.(0,3)∪( ,+∞) D.(0,2) 3 (3)已知椭圆短轴上的两个顶点分别为 B1,B2,焦点为 F1,F2,若四边形 B1F1B2F2 是正 方形,则这个椭圆的离心率 e 等于( ) 2 1 A. B. 2 2 3 3 C. D. 2 3 x2 y2 1 (4) (2015· 安徽合肥质检)如图,焦点在 x 轴上的椭圆 + 2=1 的离心率 e= ,F,A 分 4 b 2 → → 别是椭圆的一个焦点和顶点,P 是椭圆上任意一点,则PF·PA的最大值为________.

3 解析:(1)∵a=4,e= ,∴c=3. 4 2 2 2 ∴b =a -c =16-9=7. x2 y2 x2 y2 ∴椭圆的标准方程是 + =1 或 + =1. 16 7 7 16 4-k 1 4-k c 1 (2)当 4>k 时,e= = ∈( ,1),即 < <1?1<4-k<4,即 0<k<3; a 2 2 2 2 k-4 1 c 当 4<k 时,e= = ∈( ,1), a 2 k 1 k-4 1 4 3 4 16 即 < <1? <1- <1? > >0?k> . 4 k 4 k 4 k 3 (3) 如图所示,由于四边形 B1F1B2F2 是正方形,则△OB1F2 是等腰直角三角形.

c |OF2| 法一:由于|OF2|=c,|B1F2|=a,∠OF2B1=45°,所以椭圆的离心率 e= = =cos a |B1F2| 2 ∠OF2B1=cos 45°= . 2 法二:由于|OB1|=|OF2|,所以 b=c,所以 b2=c2,所以 a2-b2=a2-c2=c2,所以 a2= c 2 2c2,所以 e= = . a 2 (4)设 P 点坐标为(x0,y0).由题意知 a=2, c 1 ∵e= = ,c=1,∴b2=a2-c2=3. a 2 x2 y2 故所求椭圆方程为 + =1. 4 3 ∴-2≤x0≤2,- 3≤y0≤ 3. ∵F(-1,0),A(2,0), → → PF=(-1-x0,-y0),PA=(2-x0,-y0), 1 2 1 → → 2 2 ∴PF·PA=x2 0-x0-2+y0= x0-x0+1= (x0-2) . 4 4 → → 即当 x0=-2 时,PF·PA取得最大值 4. 答案:(1)B (2)C (3)A (4)4 考点三__直线与椭圆的位置关系________________ x2 y2 1 (2014· 高考陕西卷) 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)经过点(0, 3),离心率为 , a b 2 左,右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0).

(1)求椭圆的方程; 1 (2)若直线 l: y=- x+m 与椭圆交于 A, B 两点, 与以 F1F2 为直径的圆交于 C, D 两点, 2 |AB| 5 3 且满足 = ,求直线 l 的方程. |CD| 4 b= 3, a=2, [解]

? ? ?c 1 ? (1)由题设知? = , 解得?b= 3, a 2 ? ? ?b =a -c , ?c=1,
2 2 2 2 2

x y ∴椭圆的方程为 + =1. 4 3 (2)由题设,以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y2=1, 2|m| ∴圆心到直线 l 的距离 d= , 5 5 由 d<1,得|m|< .(*) 2 4 2 ∴|CD|=2 1-d2=2 1- m2= 5-4m2. 5 5 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 1 y=- x+m 2 由 2 2 ,得 x2-mx+m2-3=0, x y + =1 4 3 由根与系数的关系可得 x1+x2=m,x1x2=m2-3. 1 2 ∴|AB|= ?1+?-2? ?[m2-4(m2-3)] ? ? ?? 15 = 4-m2. 2 4-m2 |AB| 5 3 3 由 = ,得 =1,解得 m=± ,满足(*). |CD| 4 3 5-4m2 1 3 1 3 ∴直线 l 的方程为 y=- x+ 或 y=- x- . 2 3 2 3 [规律方法] (1)直线与椭圆位置关系判断的步骤: ①联立直线方程与椭圆方程; ②消元得出关于 x(或 y)的一元二次方程; ③当Δ>0 时,直线与椭圆相交;当Δ=0 时,直线与椭圆相切;当Δ<0 时,直线与 椭圆相离. (2)直线被椭圆截得的弦长公式 设直线与椭圆的交点为 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 |AB|= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] 1 = (1+ 2)[(y1+y2)2-4y1y2](k 为直线斜率). k x2 y2 3. 如图,点 F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左, a b

? ? ?

右焦点,过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直 a2 线 x= 于点 Q. c

(1)如果点 Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆 C 的方程; (2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.
2

b2 -0 a b b2 -c, ?,故直线 PF2 的斜率为 kPF2= 解:(1)法一:由条件知,P? =- . a? ? 2ac -c-c 因为 PF2⊥F2Q,

2ac 2ac2 所以直线 F2Q 的方程为 y= 2 x- 2 , b b 2 a ? 故 Q? ? c ,2a?. a2 由题设知, =4,2a=4, c 解得 a=2,c=1. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 2 a 法二:设直线 x= 与 x 轴交于点 M. c b2 -c, ?. 由条件知,P? a? ? 因为△PF1F2∽△F2MQ, |PF1| |F1F2| 所以 = , |F2M| |MQ| 2 b a 2c 即 2 = ,解得|MQ|=2a. a |MQ| -c c a2 ? ? ? c =4, ?a=2, 所以? 解得? ?c=1. ? ?2a=4, ? x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3

a2 x- c y-2a (2)证明:直线 PQ 的方程为 2 = , b a2 -2a -c- a c c 即 y= x+a. a x2 y2 将上式代入 2+ 2=1,得 x2+2cx+c2=0, a b b2 解得 x=-c,y= . a 所以直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

方法思想——数形结合思想在椭圆求值中的应用 x2 y2 (2014· 高考辽宁卷)已知椭圆 C: + =1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 9 4 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=________. x2 y2 [解析] 椭圆 + =1 中,a=3. 9 4 如图,设 MN 的中点为 D,则|DF1|+|DF2|=2a=6. ∵D,F1,F2 分别为 MN,AM,BM 的中点, ∴|BN|=2|DF2|,|AN|=2|DF1|, ∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|)=12. [答案] 12 [名师点评] (1)本题利用了数形结合的思想,把 DF1 和 DF2 分别看作△MAN 和△MNB 的中位线,再结合椭圆定义即可求解.(2)在求解有关圆锥曲线焦点问题时,结合图形,注 意动点到两焦点距离的转化. 1. (2015· 北京东城区统一检测)如图,已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 2 2 x y 恰好是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点 F,且这两条曲线交点的连线过点 F,则该椭圆的离 a b 心率为________.

解析:如图,设 F′为椭圆的左焦点,椭圆与抛物线在 x 轴上方的交点为 A,连接 AF′, 所以|FF′|=2c=p,因为|AF|=p,所以|AF′|= 2p.因为|AF′|+|AF|=2a,所以 2a= 2p+p, c 所以 e= = 2-1. a

答案: 2-1 x2 y2 2.设 F1,F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上任 25 16 一点,点 M 的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为________. 解析:如图,|PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|,|PM|+|PF1|=10 +|PM|-|PF2|,易知点 M 在椭圆外,连接 MF2 并延长交椭圆于 P 点, 此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|,故|PM|+|PF1|的最大值为 10+|MF2|= 10+ (6-3)2+42=15. 答案:15

x2 y2 1.已知方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是( ) 2-k 2k-1 1 A.( ,2) B.(1,+∞) 2 1 C.(1,2) D.( ,1) 2 解析:选 C.由题意可得,2k-1>2-k>0, ? ?2k-1>2-k, 即? 解得 1<k<2. ?2-k>0, ? 2.矩形 ABCD 中,|AB|=4,|BC|=3,则以 A,B 为焦点,且过 C,D 两点的椭圆的短 轴的长为( ) A.2 3 B.2 6 C.4 2 D.4 3 解析:选 D.依题意得|AC|=5,所以椭圆的焦距为 2c=|AB|=4,长轴长 2a=|AC|+|BC| =8,所以短轴长为 2b=2 a2-c2=2 16-4=4 3. 3.(2015· 烟台质检)一个椭圆中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,P(2, 3)是椭圆上一 点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 8 6 16 6 2 2 x y x2 y2 C. + =1 D. + =1 8 4 16 4 x2 y2 4 3 解析: 选 A.设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). 由点 P(2, 3)在椭圆上知 2+ 2= a b a b c 1 1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即 2a=2· 2c, = ,又 c2=a2 a 2 -b2,联立得 a2=8,b2=6. x2 y2 4.(2015· 豫西五校联考)已知椭圆 + 2=1(0<b<2)的左、右焦点分别为 F1、F2,过 4 b F1 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为 5,则 b 的值是( ) A.1 B. 2 3 C. D. 3 2 解析:选 D.由椭圆的方程可知 a=2,由椭圆的定义可知,|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8, 2b2 所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)≥3,由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中,通径最短,则 = a 2 3.所以 b =3,即 b= 3. x2 y2 → → 5. (2015· 内蒙古包头调研)椭圆 + =1 上有两个动点 P、 Q, E(3, 0), EP⊥EQ, 则EP· QP 36 9 的最小值为( ) A.6 B.3- 3 C.9 D.12-6 3 m2 n2 解析:选 A.设 P 点坐标为(m,n),则 + =1,所以|PE|= (m-3)2+(n-0)2= 36 9 3 2 3 → → m -6m+18= (m-4)2+6, 因为-6≤m≤6, 所以|PE|的最小值为 6, 所以EP· QP 4 4 → → → → → →2 → → → 2-EP =EP·(EP-EQ)=EP ·EQ=|EP| ,所以EP·QP的最小值为 6. 6.椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭 圆上的点的最短距离是 3,则这个椭圆方程为________.

x2 y2 y2 x2 ∴椭圆方程为 + =1 或 + =1. 12 9 12 9 x2 y2 y2 x2 答案: + =1 或 + =1 12 9 12 9 7.(2015· 福州质检)若一个椭圆长轴的长度,短轴的长度和焦距依次成等差数列,则该 椭圆的离心率是________. x2 y2 解析:不妨设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0),则由题意知,2a+2c=2×2b,即 a+c a b 3 =2b,又 c2=a2-b2,消去 b 整理得 5c2=3a2-2ac,即 5e2+2e-3=0,解得 e= 或 e=- 5 1(舍去). 3 答案: 5 x2 y2 8.(2015· 宜昌调研)过椭圆 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 5 4 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为________. 解析:由题意知椭圆的右焦点 F 的坐标为(1,0),则直线 AB 的方程为 y=2x-2.联立 2 x y2 ? ? 5 + 4 =1 5 4 1 1 4 5 ? ,解得交点 A(0,-2),B( , ),∴S△OAB= ·|OF|·|yA-yB|= ×1×|-2- |= . 3 3 2 2 3 3 ?y=2x-2 ? 5 答案: 3 x2 y2 9.(2014· 高考课标全国卷Ⅱ)设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点, a b M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b. b2 2 b? a 3 解:(1)根据 c= a2-b2及题设知 M? ?c, a ?,2c=4, 2b2=3ac. c 1 c 将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac,解得 = , =-2(舍去). a 2 a 1 故 C 的离心率为 . 2 (2)由题意,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴, 所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点, b2 故 =4,即 b2=4a.① a 由|MN|=5|F1N|,得|DF1|=2|F1N|. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则 3 ? ? ?2(-c-x1)=c, ?x1=-2c, ? 即? ?-2y1=2, ? ? ?y1=-1. 2 9c 1 代入 C 的方程,得 2+ 2=1.② 4a b 9(a2-4a) 1 2 2 将①及 c= a -b 代入②得 + =1. 4a2 4a

? ?a-c= 3, ?a=2 3, 解析:由题意知?c 1 解得? ?c= 3. ? ?a=2,

解得 a=7,b2=4a=28,故 a=7,b=2 7. x2 y2 6 10.已知椭圆 G: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,右焦点为(2 2,0).斜率为 1 的直 a b 3 线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积. c 6 解:(1)由已知得 c=2 2,e= = . a 3 解得 a=2 3. 又 b2=a2-c2=4, x2 y2 所以椭圆 G 的方程为 + =1. 12 4 (2)设直线 l 的方程为 y=x+m. y=x+m ? ? 2 2 由? x y ,得 4x2+6mx+3m2-12=0.① + = 1 ? ?12 4 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB 中点为 E(x0,y0),则 x1+x2 3m m x0= =- ,y0=x0+m= . 2 4 4 因为 AB 是等腰△PAB 的底边,所以 PE⊥AB, m 2- 4 所以 PE 的斜率 k= =-1. 3m -3+ 4 解得 m=2. 此时方程①为 4x2+12x=0. 解得 x1=-3,x2=0.所以 y1=-1,y2=2. 所以|AB|=3 2. |-3-2+2| 3 2 此时,点 P(-3,2)到直线 l:x-y+2=0 的距离 d= = , 2 2 1 9 所以△PAB 的面积 S= |AB|·d= . 2 2 1.(2015· 山西省第三次四校联考)已知圆锥曲线 mx2+4y2=4m 的离心率 e 为方程 2x2- 5x+2=0 的根,则满足条件的圆锥曲线的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 1 2 x2 y2 2 2 解析: 选 B.∵e 是方程 2x -5x+2=0 的根, ∴e=2 或 e= .mx +4y =4m 可化为 + 2 4 m 4-m 1 =1,当它表示焦点在 x 轴上的椭圆时,有 = ,∴m=3;当它表示焦点在 y 轴上的 2 2 m-4 1 16 x2 y2 椭圆时,有 = ,∴m= ;当它表示焦点在 x 轴上的双曲线时,可化为 - =1, 2 3 4 -m m 4-m 有 =2,∴m=-12.∴满足条件的圆锥曲线有 3 个. 2 x2 y2 2.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F1,左焦点为 F2,若椭圆上存在一点 P, a b 满足线段 PF1 相切于以椭圆的短轴为直径的圆, 切点为线段 PF1 的中点,则该椭圆的离心率 为( ) 5 2 A. B. 3 3

2 5 D. 2 9 解析:选 A. 如图所示,设线段 PF1 与圆切于点 M,则|OM|=b,|OF1|=c,故|MF1|= 2 c -b2,所以|PF1|=2|MF1|=2 c2-b2.又 O 为 F1F2 的中点,M 为 PF1 的中点,所以|PF2| =2|OM|=2b.由椭圆的定义,得 2 c2-b2+2b=2a,即 c2-b2=a-b,即 2c2-a2=a- a2-c2,即 2e2-1=1- 1-e2,两边平方,整理得 3e2-3=-2 1-e2,再次平方,整 5 5 理得 9e4-14e2+5=0,解得 e2= 或 e2=1(舍去),故 e= . 9 3 C.

x2 y2 3.(2015· 贵阳模拟)已知 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上一点,且 100 64 PF1⊥PF2,则△F1PF2 的面积为________. 解析:由题意可得 a=10,b=8,c=6.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=20①,在 Rt △PF1F2 中,由勾股定理,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=144②,①2-②,得 2|PF1|·|PF2| 1 1 =400-144=256,∴|PF1|·|PF2|=128,∴S△F1PF2= |PF1|·|PF2|= ×128=64. 2 2 答案:64 y2 4.(2014· 高考安徽卷)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+ 2=1(0<b<1)的左、右焦点,过点 b F1 的直线交椭圆 E 于 A,B 两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x 轴,则椭圆 E 的方程为________. y2 解析:设点 B 的坐标为(x0,y0).∵x2+ 2=1, b ∴F1(- 1-b2,0),F2( 1-b2,0). ∵AF2⊥x 轴,∴A( 1-b2,b2). → → ∵|AF1|=3|F1B|,∴AF1=3F1B, ∴(-2 1-b2,-b2)=3(x0+ 1-b2,y0). 5 b2 ∴x0=- 1-b2,y0=- . 3 3 5 b2? 2 ? - 1 - b ,- ∴点 B 的坐标为? 3 3 ?. 2 5 b y2 2 - 1-b2,- ?代入 x2+ 2=1,得 b2= . 将 B? 3? ? 3 b 3 3 ∴椭圆 E 的方程为 x2+ y2=1. 2 3 2 2 答案:x + y =1 2 5.(2015· 山西省第二次四校联考)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距为 2, 1 离心率为 . 2 (1)求椭圆 C 的方程; → → (2)设直线 l 经过点 M(0,1),且与椭圆 C 交于 A,B 两点,若AM=2MB,求直线 l 的方 程. x2 y2 解:(1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b c 1 因为 c=1,e= = ,所以 a=2,b= 3, a 2

x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=kx+1, y=kx+1 ? ?2 2 则由?x y ,得(3+4k2)x2+8kx-8=0,且Δ>0. ? 4 + 3 =1 ? → → 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由AM=2MB,得 x1=-2x2. -8k x1+x2= 3+4k2 又 , -8 x1·x2= 3+4k2 -8k -x2= 3+4k2 8k 2 4 所以 ,消去 x2 得( . 2) = 3 + 4 k 3 + 4k2 -8 2 -2x2= 3+4k2 1 1 解得 k2= ,k=± . 4 2 1 所以直线 l 的方程为 y=± x+1,即 x-2y+2=0 或 x+2y-2=0. 2 6.(选做题)(2014· 高考北京卷)已知椭圆 C:x2+2y2=4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OA⊥OB,试判断直线 AB 与圆 x2+y2=2 的位置关系,并证明你的结论. x2 y2 解:(1)由题意得,椭圆 C 的标准方程为 + =1, 4 2 所以 a2=4,b2=2,从而 c2=a2-b2=2. 因此 a=2,c= 2. c 2 故椭圆 C 的离心率 e= = . a 2 (2)直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切.证明如下: 设点 A,B 的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中 x0≠0. 2y0 → → 因为 OA⊥OB,所以OA·OB=0,即 tx0+2y0=0,解得 t=- . x0 t2 当 x0=t 时,y0=- ,代入椭圆 C 的方程,得 t=± 2, 2 故直线 AB 的方程为 x=± 2,圆心 O 到直线 AB 的距离 d= 2. 此时直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切. y0-2 当 x0≠t 时,直线 AB 的方程为 y-2= (x-t). x0-t 即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0. 圆心 O 到直线 AB 的距离 |2x0-ty0| d= . (y0-2)2+(x0-t)2 2y0 2 又 x2 , 0+2y0=4,t=- x0 2 2 ?4+x0? ?2x0+2y0? x0 ? ? ? x0 ? 故 d= = = 2. 2 2 4y0 x4 2 2 0+8x0+16 x0+y0+ 2 +4 2 x0 2x0 此时直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切.

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