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高三数学第二轮复习教案


高三数学第二轮复习教案 第1讲 函数问题的题型与方法
一、考试内容
映射、函数、函数的单调性、函数的奇偶性;反函数、互为反函数的函数图象间的关系; 指数概念的扩充、有理指数幂的运算性质、指数函数;对数、对数的运算性质、对数函数 函数的应用举例。

二、考试要求
1.了解映射的概念,理解函数的概念 2.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法, 并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简单函数的反函数。 4.理解分数指数的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图象和性质。 5.理解对数的概念,掌握对数的运算性质,掌握对数函数的概念、图象和性质。 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。

三、函数的概念型问题
函数概念的复习当然应该从函数的定义开始.函数有二种定义,一是变量观点下的定 义,一是映射观点下的定义.复习中不能仅满足对这两种定义的背诵,而应在判断是否构 成函数关系,两个函数关系是否相同等问题中得到深化,更应在有关反函数问题中正确运 用.具体要求是: 1.深化对函数概念的理解,明确函数三要素的作用,并能以此为指导正确理解函数与 其反函数的关系. 2.系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法.在熟练有关技能的同 时,注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用. 3. 通过对分段定义函数, 复合函数, 抽象函数等的认识, 进一步体会函数关系的本质, 进一步树立运动变化,相互联系、制约的函数思想,为函数思想的广泛运用打好基础. 本部分内容的重点是不仅从认识上,而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体 上把握函数概念的要求,对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识,对于给出解析式 的函数,会求其反函数. 本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识,真正明确不仅函数的对 应法则,而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用,并真正以此作为处理问题的指 导.其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性,不仅要用到解方程,解不等式 等知识,还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合. 函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础,不能仅满足会背诵定义,会 做一些有关题目,要从联系、应用的角度求得理解上的深度,还要对确定函数三要素的类 型、方法作好系统梳理,这样才能进一步为综合运用打好基础.复习的重点是求得对这些 问题的系统认识,而不是急于做过难的综合题. ㈠深化对函数概念的认识 例 1.下列函数中,不存在反函数的是 ( )

1

分析:处理本题有多种思路.分别求所给各函数的反函数,看是否存在是不好的,因 为过程太繁琐. 从概念看,这里应判断对于给出函数值域内的任意值,依据相应的对应法则,是否在 其定义域内都只有惟一确定的值与之对应,因此可作出给定函数的图象,用数形结合法作 判断,这是常用方法,请读者自己一试. 此题作为选择题还可采用估算的方法.对于 D,y=3 是其值域内一个值,但若 y=3,则 可能 x=2(2>1),也可能 x=-1(-1≤-1).依据概念,则易得出 D 中函数不存在反函数.于是 决定本题选 D. 说明:不论采取什么思路,理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键. 由于函数三要素在函数概念中的重要地位,那么掌握确定函数三要素的基本方法当然 成了函数概念复习中的重要课题. ㈡系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法 1.求函数定义域的基本类型和常用方法 由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表,实际上是求使给定式有意义的 x 的取 值范围.它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练.这里的最高层次要求是给出的 解析式还含有其他字 例 2.已知函数 f ? x ? 定义域为(0,2),求下列函数的定义域:

分析:x 的函数 f(x )是由 u=x 与 f(u)这两个函数复合而成的复合函数,其中 x 是 自变量,u 是中间变量.由于 f(x),f(u)是同一个函数,故(1)为已知 0<u<2,即 0<x < 2.求 x 的取值范围. 解:(1)由 0<x <2,
2 2

2

2



说明:本例(1)是求函数定义域的第二种类型,即不给出 f(x)的解析式,由 f(x)的定 义域求函数 f[g(x)]的定义域.关键在于理解复合函数的意义,用好换元法.(2)是二种类 型的综合. 求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系,求其定义 域,后面还会涉及到. 2.求函数值域的基本类型和常用方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的. 其类型依解析式的特点分可分三类:
2

(1)求常见函数值域; (2)求由常见函数复合而成的函数的值域; (3)求由常见函数作某些 “运 算”而得函数的值域. 3.求函数解析式举例 例 3.已知 xy<0,并且 4x 2 -9y 2 =36.由此能否确定一个函数关系 y=f(x)?如果能, 求出其解析式、定义域和值域;如果不能,请说明理由. 分析: 4x 2 -9y 2 =36 在解析几何中表示双曲线的方程,仅此当然不能确定一个函数关 系 y=f(x),但加上条件 xy<0 呢?

所以

因此能确定一个函数关系 y=f(x).其定义域为(-∞,-3)∪(3,+∞).且不难得到

其值域为(-∞,0)∪(0,+∞).
说明:本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系.任何一个函数的 解析式都可看作一个方程,在一定条件下,方程也可转化为表示函数的解析式.求函数解 析式还有两类问题: (1)求常见函数的解析式.由于常见函数(一次函数,二次函数,幂函数,指数函数, 对数函数,三角函数及反三角函数)的解析式的结构形式是确定的,故可用待定系数法确定 其解析式.这里不再举例. (2)从生产、生活中产生的函数关系的确定.这要把有关学科知识,生活经验与函数概 念结合起来,举例也宜放在函数复习的以后部分.

四、函数与方程的思想方法
函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是 从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、 或方程与不等式的混合组) ,然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时, 还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。 方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。函数和多元方程没有什么本 质的区别,如函数 y=f(x),就可以看作关于 x、y 的二元方程 f(x)-y=0。可以说,函数 的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考 虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关 系型的数学模型,从而进行研究。一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题, 经常利用的性质是:f(x)、f
?1

(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变
3

换等,要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数的具 体特性。在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质, 是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能 产生由此及彼的联系,构造出函数原型。另外,方程问题、不等式问题和某些代数问题也 可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答非函数问题。

(一)函数的性质
函数的性质是研究初等函数的基石,也是高考考查的重点内容.在复习中要肯于在对 定义的深入理解上下功夫. 复习函数的性质,可以从“数”和“形”两个方面,从理解函数的单调性和奇偶性的 定义入手,在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固,在求复合函数的单调区间、函数 的最值及应用问题的过程中得以深化.具体要求是: 1.正确理解函数单调性和奇偶性的定义,能准确判断函数的奇偶性,以及函数在某一 区间的单调性,能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性. 2.从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性,深化对函数性质几何特征的理解和 运用,归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法. 3.培养学生用运动变化的观点分析问题,提高学生用换元、转化、数形结合等数学思 想方法解决问题的能力. 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解. 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.函数 y=f(x)在给定区间上的单调性,反 映了函数在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,但不一定是函数在定 义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制. 对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)这两个等式上, 要明确对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质是:函数的定义域关 于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广,可得函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意 x,都有 f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其 相应图象的特殊的对称性的反映. 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件,调动相关知识, 选择恰当的方法解决问题,是对学生能力的较高要求. 1.对函数单调性和奇偶性定义的理解 例 4.下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定通过原 点;③偶函数的图象关于 y 轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R), 其中正确命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 分析:偶函数的图象关于 y 轴对称,但不一定相交,因此③正确,①错误. 奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,因此②不正确. 若 y=f(x)既是奇函数,又是偶函数,由定义可得 f(x)=0,但不一定 x∈R,如例 1 中 的(3),故④错误,选 A. 说明:既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零. 2.复合函数的性质 复合函数 y=f[g(x)]是由函数 u=g(x)和 y=f(u)构成的, 因变量 y 通过中间变量 u

与自变量 x 建立起函数关系,函数 u=g(x)的值域是 y=f(u)定义域的子集.
复合函数的性质由构成它的函数性质所决定,具备如下规律: (1)单调性规律 如果函数 u=g(x)在区间 [m, 上是单调函数, n] 且函数 y=f(u)在区间[g(m), g(n)] (或
4

[g(n),g(m)])上也是单调函数,那么 若 u=g(x),y=f(u)增减性相同,则复合函数 y=f[g(x)]为增函数;若 u=g(x),y= f(u) 增减性不同,则 y=f[g(x)]为减函数. (2)奇偶性规律 若函数 g(x),f(x),f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的,则 u=g(x),y=f(u)都是 奇函数时,y=f[g(x)]是奇函数;u=g(x),y=f(u)都是偶函数,或者一奇一偶时,y= f[g(x)] 是偶函数. 例 5.若 y=log a (2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞) 分析:本题存在多种解法,但不管哪种方法,都必须保证:①使 log a (2-ax)有意义, 即 a>0 且 a≠1,2-ax>0.②使 log a (2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数.由于所给函数可分 解为 y=log a u,u=2-ax,其中 u=2-ax 在 a>0 时为减函数,所以必须 a>1;③[0,1]必须 是 y=log a (2-ax)定义域的子集. 解法一:因为 f(x)在[0,1]上是 x 的减函数,所以 f(0)>f(1), 即 log a 2>log a (2-a).

解法二: 由对数概念显然有 a>0 且 a≠1, 因此 u=2-ax 在 [0, 上是减函数, log a u 1] y= 应为增函数,得 a>1,排除 A,C,再令

故排除 D,选 B. 说明:本题为 1995 年全国高考试题,综合了多个知识点,无论是用直接法,还是用排 除法都需要概念清楚,推理正确. 3.函数单调性与奇偶性的综合运用 例 6.甲、乙两地相距 Skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c km/h,已 知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(km /h)的平方成正比,比例系数为 b;固定部分为 a 元. (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶. 分析: (1)难度不大,抓住关系式:全程运输成本=单位时间运输成本?全程运输时间, 而全程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决.

故所求函数及其定义域为

5

但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过 ckm/h,所以(2)的解决需要

论函数的增减性来解决.

由于 v 1 v 2 >0,v 2 -v 1 >0,并且

又 S>0,所以



则当 v=c 时,y 取最小值.

说明:此题是 1997 年全国高考试题.由于限制汽车行驶速度不得超过 c,因而求最值 的方法也就不完全是常用的方法,再加上字母的抽象性,使难度有所增大.

(二)函数的图象
1.掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法.
6

2.会利用函数图象,进一步研究函数的性质,解决方程、不等式中的问题. 3.用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题. 4.掌握知识之间的联系,进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力. 以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法,掌握这两种 方法是本节的重点. 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线.要把表列在关 键处,要把线连在恰当处.这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作 一个大概的研究.而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段,是一个难 点.用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换,以及确定怎样 的变换.这也是个难点. 1.作函数图象的一个基本方法 例 7.作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x+1);(2)y=10|lgx|. 分析:显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难,除去对其函数性质分析外, 我们还应想到对已知解析式进行等价变形. 解:(1)当 x≥2 时,即 x-2≥0 时,

当 x<2 时,即 x-2<0 时,

这是分段函数,每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图 6) (2)当 x≥1 时,lgx≥0,y=10|lgx|=10lgx=x; 当 0<x<1 时,lgx<0,

所以 这是分段函数,每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图 7)

7

说明:作不熟悉的函数图象,可以变形成基本函数再作图,但要注意变形过程是否等 价,要特别注意 x,y 的变化范围.因此必须熟记基本函数的图象.例如:一次函数、反比 例函数、二次函数、指数函数、对数函数,及三角函数、反三角函数的图象. 在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想. 2.作函数图象的另一个基本方法——图象变换法. 一个函数图象经过适当的变换(如平移、伸缩、对称、旋转等),得到另一个与之相关 的图象,这就是函数的图象变换. 在高中,主要学习了三种图象变换:平移变换、伸缩变换、对称变换. (1)平移变换 函数 y=f(x+a)(a≠0)的图象可以通过把函数 y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0) 平移|a|个单位而得到; 函数 y=f(x)+b(b≠0)的图象可以通过把函数 y=f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0) 平移|b|个单位而得到. (2)伸缩变换 函数 y=Af(x)(A>0,A≠1)的图象可以通过把函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长 (A>1)或缩短(0<A<1)成原来的 A 倍,横坐标不变而得到. 函数 y=f(ω x)(ω >0,ω ≠1)的图象可以通过把函数 y=f(x)的图象上

而得到. (3)对称变换 函数 y=-f(x)的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象关于 x 轴对称的图形而得到. 函数 y=f(-x)的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称的图形而得到. 函数 y=-f(-x)的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象关于原点对称的图形而得到. 函数 y=f-1(x)的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称的图形而得到。 函数 y=f(|x|)的图象可以通过作函数 y=f(x)在 y 轴右方的图象及其与 y 轴对称的图形 而得到. 函数 y=|f(x)|的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象, 然后把在 x 轴下方的图象以 x 轴 为对称轴翻折到 x 轴上方,其余部分保持不变而得到. 例 8.已知 f(x+199)=4x +4x+3(x∈R),那么函数 f(x)的最小值为____. 分析: f(x+199)的解析式求 f(x)的解析式运算量较大,但这里我们注意到,y=f(x 由 +100)与 y=f(x),其图象仅是左右平移关系,它们取得
2

8

求得 f(x)的最小值即 f(x+199)的最小值是 2. 说明:函数图象与函数性质本身在学习中也是密切联系的,是“互相利用”关系,函 数图象在判断函数奇偶性、单调性、周期性及求最值等方面都有重要用途.

五、函数综合应用
函数的综合复习是在系统复习函数有关知识的基础上进行函数的综合应用: 1.在应用中深化基础知识.在复习中基础知识经历一个由分散到系统,由单一到综合 的发展过程.这个过程不是一次完成的,而是螺旋式上升的.因此要在应用深化基础知识 的同时,使基础知识向深度和广度发展. 2.以数学知识为载体突出数学思想方法.数学思想方法是观念性的东西,是解决数学 问题的灵魂,同时它又离不开具体的数学知识.函数内容最重要的数学思想是函数思想和 数形结合的思想.此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法.解较综合的 数学问题要进行一系列等价转化或非等价转化.因此本课题也十分重视转化的数学思想. 3.重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养.函数是数学复 习的开始,还不可能在大范围内综合运用知识.但从复习开始就让学生树立综合运用知识 解决问题的意识是十分重要的.推理论证能力是学生的薄弱环节,近几年高考命题中加强 对这方面的考查,尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的.本课题在例题安排上 作了这方面的考虑. 具体要求是: 1.在全面复习函数有关知识的基础上,进一步深刻理解函数的有关概念,全面把握各 类函数的特征,提高运用基础知识解决问题的能力. 2.掌握初等数学研究函数的方法,提高研究函数的能力,重视数形结合数学思想方法 的运用和推理论证能力的培养. 3.初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系,提高综合运用知识 解决问题的能力. 4.树立函数思想,使学生善于用运动变化的观点分析问题. 本部分内容的重点是:通过对问题的讲解与分析,使学生能较好的调动函数的基础知 识解决问题,并在解决问题中深化对基础知识的理解,深化对函数思想、数形结合思想的 理解与运用. 难点是:函数思想的理解与运用,推理论证能力、综合运用知识解决问题能力的培养 与提高. 函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题.函数描述了自 然界中量的依存关系,是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画,用联系和变 化的观点提出数学对象,抽象其数学特征,建立函数关系.因此,运动变化、相互联系、 相互制约是函数思想的精髓,掌握有关函数知识是运用函数思想的前提,提高用初等数学 思想方法研究函数的能力,树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的 关键.

1.准确理解、熟练运用,不断深化有关函数的基础知识
在中学阶段函数只限于定义在实数集合上的一元单值函数,其内容可分为两部分.第 一部分是函数的概念和性质,这部分的重点是能从变量的观点和集合映射的观点理解函数
9

及其有关概念,掌握描述函数性质的单调性、奇偶性、周期性等概念;第二部分是七类常 见函数(一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数)的图象和性 质.第一部分是理论基础,第二部分是第一部分的运用与发展.
例 9.已知函数 f(x),x∈F,那么集合{(x,y)|y=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中

所含元素的个数是.(



A.0

B.1

C.0 或 1

D.1 或 2

分析:这里首先要识别集合语言,并能正确把集合语言转化成熟悉的语言.从函数观 点看, 问题是求函数 y=f(x), x∈F 的图象与直线 x=1 的交点个数(这是一次数到形的转化), 不少学生常误认为交点是 1 个,并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的,这 是不正确的, 因为函数是由定义域、 值域、 对应法则三要素组成的. 这里给出了函数 y=f(x) 的定义域是 F,但未明确给出 1 与 F 的关系,当 1∈F 时有 1 个交点,当 1 ? F 时没有交点, 所以选 C.

2.掌握研究函数的方法,提高研究函数问题的能力
高中数学对函数的研究理论性加强了,对一些典型问题的 研究十分重视,如求函数的定义域,确定函数的解析式,判断 函数的奇偶性,判断或证明函数在指定区间的单调性等,并形 成了研究这些问题的初等方法,这些方法对分析问题能力,推 理论证能力和综合运用数学知识能力的培养和发展是十分重要 的. 函数、 方程、 不等式是相互联系的. 对于函数 f(x)与 g(x), 令 f(x)=g(x),f(x)>g(x)或 f(x)<g(x)则分别构成方程和不 等式,因此对于某些方程、不等式的问题用函数观点认识是十 分有益的;方程、不等式从另一个侧面为研究函数提供了工具.

例 10.方程 lgx+x=3 的解所在区间为(



A.(0,1) C.(2,3)

B.(1,2) D.(3,+∞)

分析:在同一平面直角坐标系中,画出函数 y=lgx 与 y=-x+3 的图象(如图 2).它们的

交点横坐标 x 0 ,显然在区间(1,3)内,由此可排除 A,D.至于选 B 还是选 C,由于画图精 确性的限制, 单凭直观就比较困难了. 实际上这是要比较 x 0 与 2 的大小. x=2 时, 当 lgx=lg2, 3-x=1.由于 lg2<1,因此 x 0 >2,从而判定 x 0 ∈(2,3),故本题应选 C.

说明:本题是通过构造函数用数形结合法求方程 lgx+x=3 解所在的区间.数形结合, 要在结合方面下功夫.不仅要通过图象直观估计,而且还要计算 x 0 的邻近两个函数值,通
过比较其大小进行判断.

例 11.(1)一次函数 f(x)=kx+h(k≠0),若 m<n 有 f(m)>0,f(n)>0,则对于任意 x ∈(m,n)都有 f(x)>0,试证明之;
(2)试用上面结论证明下面的命题: 若 a,b,c∈R 且|a|<1,|b|<1,|c|<1,则 ab+bc+ca>-1.

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分析:问题(1)实质上是要证明,一次函数 f(x)=kx+h(k≠0), x∈(m, n).若区间 两个端点的函数值均为正,则对于任意 x∈(m,n)都有 f(x)>0.之所以具有上述性质是由 于一次函数是单调的.因此本问题的证明要从函数单调性入手. (1)证明: 当 k>0 时,函数 f(x)=kx+h 在 x∈R 上是增函数,m<x<n,f(x)>f(m)>0; 当 k<0 时,函数 f(x)=kx+h 在 x∈R 上是减函数,m<x<n,f(x)>f(n)>0. 所以对于任意 x∈(m,n)都有 f(x)>0 成立. (2)将 ab+bc+ca+1 写成(b+c)a+bc+1,构造函数 f(x)=(b+c)x+bc+1.则 f(a)=(b+c)a+bc+1. 当 b+c=0 时,即 b=-c, f(a)=bc+1=-c2+1. 因为|c|<1,所以 f(a)=-c2+1>0. 当 b+c≠0 时,f(x)=(b+c)x+bc+1 为 x 的一次函数. 因为|b|<1,|c|<1, f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)>0, f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)>0. 由问题(1)对于|a|<1 的一切值 f(a)>0,即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1>0. 说明: 问题(2)的关键在于 “转化”构造”把证明 ab+bc+ca>-1 转化为证明 ab+bc+ca+1 “ . >0, 由于式子 ab+bc+ca+1 中, a,b,c 是对称的,构造函数 f(x)=(b+c)x+bc+1,则 f(a)=(b+c)a+bc+1,问题转化为在|a|<1,|b|<1,|c|<1 的条件下证明 f(a)>0.(也可 构造 f(x)=(a+c)x+ac+1,证明 f(b)>0)。 例 12.定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log 2 3 且对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证 f(x)为奇函数; (2)若 f(k?3 x )+f(3 x -9 x -2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围.

分析:欲证 f(x)为奇函数即要证对任意 x 都有 f(-x)=-f(x)成立.在式子 f(x+y)=f(x)+f(y)中, y=-x 可得 f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题, f(0)的值. 令 求 令 x=y=0 可得 f(0)=f(0)+f(0)即 f(0)=0,f(x)是奇函数得到证明. (1)证明:f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),



令 x=y=0,代入①式,得 f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0. 令 y=-x,代入①式,得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又 f(0)=0,则有 0=f(x)+f(-x).即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立,所以 f(x)是奇函数.
(2)解:f(3)=log 2 3>0,即 f(3)>f(0),又 f(x)在 R 上是单调函数,所以 f(x)在 R

上是增函数,又由(1)f(x)是奇函数. f(k?3 x )<-f(3 x -9 x -2)=f(-3 x +9 x +2), 3 2 x -(1+k)?3 x +2>0 对任意 x∈R 成立.
令 t=3 >0,问题等价于 t -(1+k)t+2>0 对任意 t>0 恒成立.
x 2

k?3 x <-3 x +9 x +2,

11

R 恒成立.
说明:问题(2)的上述解法是根据函数的性质.f(x)是奇函数且在 x∈R 上是增函数, 2 把问题转化成二次函数 f(t)=t -(1+k)t+2 对于任意 t>0 恒成立.对二次函数 f(t)进行研 究求解.本题还有更简捷的解法:
分离系数由 k?3 <-3 +9 +2 得
x x x

上述解法是将 k 分离出来,然后用平均值定理求解,简捷、新颖.

六、强化训练
1.对函数 f ( x ) ? 3 x ? ax ? b 作代换 x=g(t),则总不改变 f(x)值域的代换是
2

(

)

A. g (t ) ? log 1 t
2

B. g (t ) ? ( )

1

t

2

C.g(t)=(t-1) D.g(t)=cost 2.方程 f(x,y)=0 的曲线如图所示,那么方程 f(2-x,y)=0 的曲线是

2

(

)

3.已知命题 p:函数 y ? log 0.5 ( x ? 2 x ? a ) 的值域为 R,命题 q:函数 y ? ? (5 ? 2 a )
2

x

是减函数。若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,则实数 a 的取值范围是 A.a≤1 B.a<2 C.1<a<2 D.a≤1 或 a≥2 4.方程 lgx+x=3 的解所在的区间为 ( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞) 5.如果函数 f(x)=x +bx+c 对于任意实数 t,都有 f(2+t)=f(2-t),那么(
2


12

A. f(2)<f(1)<f(4) B. f(1)<f(2)<f(4) C. f(2)<f(4)<f(1) D. f(4)<f(2)<f(1) 6.已知函数 y=f(x)有反函数,则方程 f(x)=a (a 是常数) A.有且仅有一个实根 B.至多一个实根 C.至少一个实根 7.已知 sinζ +cosζ =

( ) D.不同于以上结论

π 1 ,ζ ∈( ,π ),则 tanζ 的值是 ( ) 2 5 4 3 4 3 A. - B. - C. D. 3 4 3 4 8.已知等差数列的前 n 项和为 S n ,且 S =S q (p≠q,p、q∈N),则 S p ? q =_________。
9.关于 x 的方程 sin 2 x+cosx+a=0 有实根,则实数 a 的取值范围是__________。 10.正六棱锥的体积为 48,侧面与底面所成的角为 45°,则此棱锥的侧面积为___________。 11. 建造一个容积为 8m 3 ,深为 2m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分 别为 120 元和 80 元,则水池的最低造价为___________。 12.已知函数 f ( x ) 满足: f ( a ? b) ? f (a ) ? f (b) , f (1) ? 2 ,则
f 2 (1) ? f (2) f (1) ? f 2 (2) ? f (4) f (3) ? f 2 (3) ? f (6) f (5)
2

13 . 已 知 a , b, c 为 正 整 数 , 方 程 ax ? bx ? c ? 0 的 两 实 根 为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , 且

| x1 |? 1,| x2 |? 1 ,则 a ? b ? c 的最小值为________________________。
14.设函数 f(x)=lg(ax 2 +2x+1). (1)若 f(x)的定义域是 R,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)的值域是 R,求实数 a 的取值范围. 15. 设不等式 2x-1>m(x -1)对满足|m|≤2 的一切实数 m 的取值都成立。 x 的取值范围。 求 16. 设等差数列{a n }的前 n 项的和为 S n ,已知 a 3 =12,S 12 >0,S 13 <0 。 ①.求公差 d 的取值范围; ②.指出 S 1 、S 2 、?、S 12 中哪一个值最大,并说明理由。(1992 年全国高考) 17. 如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直于圆 O 所在平面,C 是圆周上任 P 一点,设∠BAC=ζ ,PA=AB=2r,求异面直线 PB 和 AC 的距离。 18. 已知△ABC 三内角 A、B、C 的大小成等差数列,且 tanA?tanC=2 M A H B + 3 ,又知顶点 C 的对边 c 上的高等于 4 3 ,求△ABC 的三边 a、 D C b、c 及三内角。 19. 设 f(x)=lg
2

1 ? 2x ? 4x a 3

,如果当 x∈(-∞,1]时 f(x)有意义,求

实数 a 的取值范围。 20.已知偶函数 f(x)=cos?sinx-sin(x-?)+(tan?-2)sinx-sin?的最小值是 0,求 f(x)的最大值 及此时 x 的集合. 21.已知 x ? R ,奇函数 f ( x ) ? x ? ax ? bx ? c 在 [1, ?? ) 上单调.
3 2

(Ⅰ)求字母 a , b, c 应满足的条件; (Ⅱ)设 x0 ? 1, f ( x0 ) ? 1 ,且满足 f [ f ( x0 )] ? x0 ,求证: f ( x0 ) ? x0 .

七、参考答案
13

p

?

f 2 (4) ? f (8) f (7)

?



1.不改变 f(x)值域,即不能缩小原函数定义域。选项 B,C,D 均缩小了 f ( x ) 的定义域, 故选 A。 2.先作出 f(x,y)=0 关于 y 轴对称的函数的图象,即为函数 f(-x,y)=0 的图象,又 f(2-x,y)=0 即为 f ( ?( x ? 2), y ) ? 0 ,即由 f(-x,y)=0 向右平移 2 个单位。故选 C。 3.命题 p 为真时,即真数部分能够取到大于零的所有实数,故二次函数 x ? 2 x ? a 的判别 式 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,从而 a ? 1 ;命题 q 为真时, 5 ? 2a ? 1 ? a ? 2 。 若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,故 p 和 q 中只有一个是真命题,一个是假命题。 若 p 为真,q 为假时,无解;若 p 为假,q 为真时,结果为 1<a<2,故选 C. 4.图像法解方程,也可代入各区间的一个数(特值法或代入法) ,选 C; 5.函数 f(x)的对称轴为 2,结合其单调性,选 A; 6.从反面考虑,注意应用特例,选 B;
2

7.设 tan 8.利用

1? x2 ? 2x 1 =x (x>0) ,则 + ,解出 x=2,再用万能公式,选 A; 2 = 2 2 5 1? x 1? x
是关于 n 的一次函数,设 S p =S q =m,

Sn n

S p? q p?q

=x,则(

m p

,p) 、(

m q

,q)、

(x,p+q)在同一直线上,由两点斜率相等解得 x=0,则答案:0; 9.设 cosx=t,t∈[-1,1],则 a=t 2 -t-1∈[-

5 4

,1],所以答案:[-

5 4

,1];

10.设高 h,由体积解出 h=2 3 ,答案:24 6 ; 11.设长 x,则宽 12.运用条件知:
f 2 (1) ? f (2) f (1)
2 f (2) f (1)

4

x f ( n ? 1)
f (n)
?

,造价 y=4?120+4x?80+

16 x

?80≥1760,答案:1760。

? f (1) =2,且
? f 2 (3) ? f (6) f (5) ? f 2 (4) ? f (8) f (7)

f 2 (2) ? f (4) f (3)
? 2 f (6) f (5) ?

=

?

2 f (4) f (3)

2 f (8) f (7)

=16

? ? ? ? b 2 ? 4 ac ? 0 13.依题意可知 ? ,从而可知 x1 , x2 b ? ? x1 ? x2 ? ? ? 0 a ? c ? ? x1 x2 ? a ? 0 ?

? ( ?1, 0) ,所以有

? ?b 2 ? 4 ac ? 0 ?b 2 ? 4 ac ? ? ? f ( ? 1) ? a ? b ? c ? 0 ? ?b ? a ? c ,又 a , b, c 为正整数,取 c ? 1 ,则 ? ?c ? a c ? ? x1 x2 ? ? 1 a ?

a ? 1 ? b ? a ? b ,所以 a 2 ? b 2 ? 4ac ? 4a ? a ? 4 ,从而 a ? 5 ,所以 b 2 ? 4ac ? 20 , 又 b ? 5 ? 1 ? 6 ,所以 b ? 5 ,因此 a ? b ? c 有最小值为 11 。
14

下面可证 c ? 2 时, a ? 3 ,从而 b ? 4 ac ? 24 ,所以 b ? 5 , 又 a ? c ? b ? 5 ,所以 a ? c ? 6 ,所以 a ? b ? c ? 11 ,综上可得: a ? b ? c 的最小值为 11。
2

14.分析:这是有关函数定义域、值域的问题,题目是逆向给出的,解好本题要运用复合函 数,把 f(x)分解为 u=ax 2 +2x+1 和 y=lgu 并结合其图象性质求解. 切实数 x 恒成 立. a=0 或 a<0 不合题意, 解得 a>1.

当 a<0 时不合题意;

a=0 时,u=2x+1,u 能取遍一切正实数;

a>0 时,其判别式Δ =22-4?a?1≥0,解得 0<a≤1. 所以当 0≤a≤1 时 f(x)的值域是 R. 15.分析:此问题由于常见的思维定势,易把它看成关于 x 的不等式讨论。然而,若变换 一个角度以 m 为变量, 即关于 m 的一次不等式(x -1)m-(2x-1)<0 在[-2,2]上恒成立的问 题。对此的研究,设 f(m)=(x -1)m-(2x-1),则问题转化为求一次函数(或常数函数) f(m)的值在[-2,2]内恒为负值时参数 x 应该满足的条件 ?
2 2 2

? f (2) ? 0 ? f ( ?2 ) ? 0



解: 问题可变成关于 m 的一次不等式: -1)m-(2x-1)<0 在[-2,2] 恒成立, f(m) (x 设

? f ( 2 ) ? 2( x 2 ? 1) ? ( 2 x ? 1) ? 0 ? =(x -1)m-(2x-1), 则 ? ? f ( ? 2 ) ? ? 2( x 2 ? 1) ? ( 2 x ? 1) ? 0 ?
2

解得 x∈(

7 ?1 2

,

3 ?1 2


2

说明 本题的关键是变换角度,以参数 m 作为自变量而构造函数式,不等式问题变成函 数在闭区间上的值域问题。本题有别于关于 x 的不等式 2x-1>m(x -1)的解集是[-2,2]时 求 m 的值、关于 x 的不等式 2x-1>m(x -1)在[-2,2]上恒成立时求 m 的范围。 一般地,在一个含有多个变量的数学问题中,确定合适的变量和参数,从而揭示函数关 系,使问题更明朗化。或者含有参数的函数中,将函数自变量作为参数,而参数作为函数, 更具有灵活性,从而巧妙地解决有关问题。 16.分析: ①问利用公式 a n 与 S n 建立不等式,容易求解 d 的范围;②问利用 S n 是 n 的 二次函数,将 S n 中哪一个值最大,变成求二次函数中 n 为何值时 S n 取最大值的函数最值 问题。 解:① 由 a 3 =a 1 +2d=12,得到 a 1 =12-2d,所以 S 12 =12a 1 +66d=12(12-2d)+66d=144+42d>0, S 13 =13a 1 +78d=13(12-2d)+78d=156+52d<0。
2

15

解得:-

24 7

<d<-3。

② S n =na 1 + =

1 2

n(n1-1)d=n(12-2d)+

1 2

n(n-1)d

d 2

[n-

1 2

(5-

24 d

)] 2 - (5-

d

因为 d<0,故[n-

1 2

2 2 24 d

[

1

(5-

24 d

)] 2

)] 2 最小时,S n 最大。由- (5-

24 7

<d<-3 得 6<

1 2

(5-

24 d

)<6.5,故正整数 n=6 时[n-

1 2

24 d

)] 2 最小,所以 S 6 最大。

说明: 数列的通项公式及前 n 项和公式实质上是定义在自然数集上的函数,因此可利 用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。也可以利用方程的思想,设出未知的量, 建立等式关系即方程,将问题进行算式化,从而简洁明快。由次可见,利用函数与方程的 思想来解决问题,要求灵活地运用、巧妙的结合,发展了学生思维品质的深刻性、独创性。 本题的另一种思路是寻求 a n >0、 n?1 <0 , 由 d<0 知道 a 1 >a 2 >?>a 13 , S 13 =13a 7 <0 a 即: 由 得 a 7 <0,由 S 12 =6(a 6 +a 7 )>0 得 a 6 >0。所以,在 S 1 、S 2 、?、S 12 中,S 6 的值最大。 17.分析:异面直线 PB 和 AC 的距离可看成求直线 PB 上任意一点到 AC 的距离的最小值, 从而设定变量,建立目标函数而求函数最小值。 解:在 PB 上任取一点 M,作 MD⊥AC 于 D,MH⊥AB 于 H, P 设 MH=x,则 MH⊥平面 ABC,AC⊥HD 。 ∴MD =x +[(2r-x)sinζ ] =(sin +1)x -4rsin ζ x+ A 4r 2 sin 2 ζ 2 r sin 2 ζ 2 2 2 2 4r sin ζ =(sin ζ +1)[x- ] + 2 2 1 ? sin ζ 1 ? sin ζ 即当 x=
2 2 2 2 2 2

M H D C

B

2 r sin 2 ζ 1 ? sin ζ
2

时,MD 取最小值

2 r sin ζ 1 ? sin 2 ζ

为两异面直线

的距离。 说明:本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的 最小值” ,并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题” 。一般地,对于求最大值、 最小值的实际问题,先将文字说明转化成数学语言后,再建立数学模型和函数关系式,然 后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答。比如再现性题组第 8 题就是典型的例 子。 18.分析:已知了一个积式,考虑能否由其它已知得到一个和式,再用方程思想求解。 解: 由 A、B、C 成等差数列,可得 B=60°; 由△ABC 中 tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC,得 tanA+tanC=tanB(tanA?tanC-1)= 3 (1+ 3 )
2 设 tanA、tanC 是方程 x -( 3 +3)x+2+ 3 =0 的两根,解得 x 1 =1,x 2 =2+ 3

设 A<C,则 tanA=1,tanC=2+ 3 ,

∴A=

π 4

,C=

5π 12
16

由此容易得到 a=8,b=4 6 ,c=4 3 +4。 说明:本题的解答关键是利用“△ABC 中 tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC”这一 条性质得到 tanA+tanC,从而设立方程求出 tanA 和 tanC 的值,使问题得到解决。 19. 分析: x∈(-∞,1]时 f(x)=lg 当

1 ? 2x ? 4x a 3

有意义的函数问题, 转化为 1+2 x +4 x a>0

在 x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。 解:由题设可知,不等式 1+2 x +4 x a>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立, 即:(

1 2

) 2 x +(

1 2

) x +a>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立。

设 t=(
2

1 2

) ,

x

则 t≥

1 2



又设 g(t)=t +t+a,其对称轴为 t=-

2

1 2 3 4

∴ t +t+a=0 在[

1 2

,+∞)上无实根, 即 g(

1 2

)=(

1 2

) +

2

1 2

+a>0,得 a>-

所以 a 的取值范围是 a>-

3 4



说明:对于不等式恒成立,引入新的参数化简了不等式后,构造二次函数利用函数的图 像和单调性进行解决问题,其中也联系到了方程无解,体现了方程思想和函数思想。一般 地,我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系, 将问题进行相互转化。 在解决不等式( 参数法” 设 t=( : a>-

1 2 1 2

)

2x

+(

1 2

) +a>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立的问题时, 也可使用 “分离

x

) ,

x

t≥

1 2

,则有 a=-t -t∈(-∞,-

2

3 4

],所以 a 的取值范围是

3 4

。其中最后得到 a 的范围,是利用了二次函数在某区间上值域的研究,也可属应用

“函数思想” 。 20.解:f(x)=cos?sinx-(sinxcos?-cosxsin?)+(tan?-2)sinx-sin? =sin?cosx+(tan?-2)sinx-sin? 因为 f(x)是偶函数, 所以对任意 x?R,都有 f(-x)=f(x), 即 sin?cos(-x)+(tan?-2)sin(-x)-sin?=sin?cosx+(tan?-2)sinx-sin?, 即(tan?-2)sinx=0, 所以 tan?=2

?sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1, ? 由 ? sin ? ? 2, ? ? cos ?

17

? ? 2 5 2 5 , ?sin ? ? ? , ?sin ? ? ? ? 5 5 解得 ? 或? 5 5 ? ? cos ? ? ; cos ? ? ? . ? ? 5 5 ? ?
此时,f(x)=sin?(cosx-1). 当 sin?=

2 5 5

时,f(x)=

2 5 5

(cosx-1)最大值为 0,不合题意最小值为 0,舍去; (cosx-1)最小值为 0,

当 sin?= ?

2 5 5

时,f(x)= ?

2 5 5

当 cosx=-1 时,f(x)有最大值为

4 5 5

,

自变量 x 的集合为{x|x=2k?+?,k?Z}.
21.解: (1)? 若

f (0) ? 0 ? c ? 0 ; f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 ? a ? 0 .? f '( x ) ? 3 x 2 ? b ,

f ( x ) x ? [1, ?? ) 上是增函数,则 f '( x ) ? 0 恒成立,即 b ? (3 x 2 ) min ? 3 若 f ( x ) x ? [1, ?? ) 上是减函数,则 f '( x ) ? 0 恒成立,这样的 b 不存在. 综上可得: a ? c ? 0, b ? 3 .
(2) (证法一)设

? x 3 ? bx0 ? m (1) ? f ( x0 ) ? m ,由 f [ f ( x0 )] ? x0 得 f ( m ) ? x0 ,于是有 ? 0 , m 3 ? bm ? x0 (2) ? ?
3

(1)-(2)得: ( x0
2

? m 3 ) ? b ( x0 ? m ) ? m ? x0 ,化简可得


( x0 ? m )( x0 ? mx0 ? m 2 ? 1 ? b ) ? 0
2

? x0 ? 1, f ( x0 ) ? m ? 1



? x0 ? mx0 ? m 2 ? 1 ? b ? 4 ? b ? 1 ? 0 ,故 x0 ? m ? 0 ,即有 f ( x0 ) ? x0 .
(证法二)假设

f ( x0 ) ? x0 ,不妨设 f ( x0 ) ? a ? x0 ? 1 ,由(1)可知 f ( x ) 在 [1, ?? )

上单调递增,故 f [ f ( x0 )] ? f ( a ) ? f ( x0 ) ? x0 , 这与已知 f [ f ( x0 )] ? x0 矛盾,故原假设不成立,即有 f ( x0 ) ? x0 .

第2讲
一、考试内容

数列问题的题型与方法

数列;等差数列及其通项公式,等差数列前 n 项和公式;等比数列及其通项公式,等 比数列前 n 项和公式。

二、考试要求
1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法, 并能根据递推公式写出数列的前几项。
18

2.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,并能运用公式解 答简单的问题。 3.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,并能运用公式解 决简单的问题。

三、复习目标
1. 能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前 n 项和公式解题; 2.能熟练地求一些特殊数列的通项和前 n 项的和; 3.使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实 践中的指导作用,灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题; 4.通过解决探索性问题,进一步培养学生阅读理解和创新能力,综合运用数学思想方 法分析问题与解决问题的能力. 5.在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识,沟通 各类知识的联系,形成更完整的知识网络,提高分析问题和解决问题的能力. 6.培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用 函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的 思维方法.

四、双基透视
1. 可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质. 2.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法: (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 an ? an ?1 (an / an ?1 ) 为同一常数。 (2)通项公式法:
①若 ②若 (3)中项公式法:验证 = +(n-1)d= +(n-k)d ,则 ? a n ? 为等差数列; ,则 ? a n ? 为等比数列。 都成立。

3. 在等差数列 ? a n ? 中,有关 Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解:

(1)当

>0,d<0 时,满足

的项数 m 使得

取最大值.

(2)当 <0,d>0 时,满足 的项数 m 使得 取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 4.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

五、注意事项
a n ?1 an ? an a n ?1

1.证明数列 ?a n ? 是等差或等比数列常用定义,即通过证明 a n ?1 ? a n ? a n ? a n ?1 或 而得。

2.在解决等差数列或等比数列的相关问题时, “基本量法”是常用的方法,但有时灵 活地运用性质,可使运算简便。
19

3.对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 4.注意一些特殊数列的求和方法。 5.注意 s n 与 a n 之间关系的转化。如:

an =

s1 , s n ? s n ?1 ,

n ?1 n?2



a n = a1 ? ? ( a k ? a k ?1 ) .
k ?2

n

6.数列极限的综合题形式多样,解题思路灵活,但万变不离其宗,就是离不开数列极 限的概念和性质,离不开数学思想方法,只要能把握这两方面,就会迅速打通解题思路. 7.解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的 本质,揭示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略. 8.通过解题后的反思,找准自己的问题,总结成功的经验,吸取失败的教训,增强解 综合题的信心和勇气,提高分析问题和解决问题的能力. 数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,所以在高考中占有重要的地 位。高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多 为中等以上难度的试题,突出考查考生的思维能力,解决问题的能力,试题大多有较好的 区分度。有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式 的知识综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起。探 索性问题是高考的热点,常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主 观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、 待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化,常需构造数 列模型,将现实问题转化为数学问题来解决。

六、范例分析
例 1.已知数列{a n }是公差 d≠0 的等差数列,其前 n 项和为 S n .

(2)过点 Q 1 (1,a 1 ),Q 2 (2,a 2 )作直线 12,设 l 1 与 l 2 的夹角为ζ , 证明:(1)因为等差数列{a n }的公差 d≠0,所以

Kp 1 p k 是常数(k=2,3,?,n).

(2)直线 l 2 的方程为 y-a 1 =d(x-1),直线 l 2 的斜率为 d.

20

例 2.已知数列 ?a n ? 中, S n 是其前 n 项和,并且 S n ?1 ? 4 an ? 2( n ? 1, 2, ?), a1 ? 1 , ⑴设数列 bn ? a n ?1 ? 2 a n ( n ? 1,2, ??) ,求证:数列 ?b n ? 是等比数列; ⑵设数列 c n ?

an 2n

, ( n ? 1,2, ??) ,求证:数列 ?c n ? 是等差数列;

⑶求数列 ?a n ? 的通项公式及前 n 项和。 分析:由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关,{a n }中又有 S n ?1 =4a n +2,可由 S n ? 2 -S n ?1 作切入点探索解题的途径. 解 : (1) 由 S n ?1 =4a n ? 2 , S n ? 2 =4a n ?1 +2 , 两 式 相 减 , 得 S n ? 2 -S 意加强恒等变形能力的训练) a n ? 2 -2a n ?1 =2(a n ?1 -2a n ),又 b n =a n ?1 -2a n ,所以 b n ?1 =2b n
n ?1

=4(a n ?1 -a n ) , 即

a n ? 2 =4a n ?1 -4a n .(根据 b n 的构造,如何把该式表示成 b n ?1 与 b n 的关系是证明的关键,注 ① ②
n ?1

已知 S 2 =4a 1 +2,a 1 =1,a 1 +a 2 =4a 1 +2,解得 a 2 =5,b 1 =a 2 -2a 1 =3 由①和②得,数列{b n }是首项为 3,公比为 2 的等比数列,故 b n =3?2



当 n≥2 时,S n =4a n ?1 +2=2

n ?1

(3n-4)+2;当 n=1 时,S 1 =a 1 =1 也适合上式.
n ?1

综上可知,所求的求和公式为 S n =2

(3n-4)+2.

说明:1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差,等比数列,求数列 通项与前 n 项和。解决本题的关键在于由条件 S n ?1 ? 4 a n ? 2 得出递推公式。 2.解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后 面求解的过程中适时应用.
21

例 3.已知数列{a n }是首项 a1>0,q>-1 且 q≠0 的等比数列,设数列{b n }的通项 b n =a n ?1 -ka n ? 2 (n∈N),数列{a n }、{b n }的前 n 项和分别为 S n ,T n .如果 T n >kS n 对一 切自然数 n 都成立,求实数 k 的取值范围. 分析:由探寻 T n 和 S n 的关系入手谋求解题思路。 解:因为{a n }是首项 a 1 >0,公比 q>-1 且 q≠0 的等比数列,故 a n ?1 =a n ?q, 所以 a n ? 2 =a n ?q 2 . b n =a n ?1 -ka n ? 2 =a n (q-k?q 2 ).
2

T n =b 1 +b 2 +?+b n =(a 1 +a 2 +?+a n )(q-k?q 2 )=S n (q-kq 2 ). 依题意,由 T n >kS n ,得 S n (q-kq )>kS n , 当 q>0 时,由 a1>0,知 a n >0,所以 S n >0; ①对一切自然数 n 都成立.

当-1<q<0 时,因为 a1>0,1-q>0,1-q n >0,所以 S n = 综合上面两种情况,当 q>-1 且 q≠0 时,S n >0 总成立. 由 ① 式 可 得 q-kq
2



k





例 4.(2001 年全国理)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并 以此发展旅游产业. 根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少

1 5

.本年

度当地旅游业收入估计为 400 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游 。(Ⅰ)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总 4 收入为 bn 万元. 写出 an,bn 的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 业收入每年会比上年增加

1

解析:第 1 年投入 800 万元,第 2 年投入 800?(1- )万元??,

第 n 年投入 800?(1- )

n-1

万元

所以总投入 an=800+800(1- )+??+800?(1- )

n-1

=4000[1-(

)]

n

同理:第 1 年收入 400 万元,第 2 年收入 400?(1+

)万元,??,

22

第 n 年收入 400?(1+



n-1

万元

bn=400+400?(1+

)+??+400?(1+



n-1

=1600?[(

) -1]

n

(2)∴bn-an>0,1600[(

) -1]-4000?[1-(

n

) ]>0

n

化简得,5?(

) +2?(

n

) -7>0 ?

n

设 x=(

) ,5x -7x+2>0 ? ∴x<

n

2

,x>1(舍)?

即(

)<

n

,n≥5.?

说明:本题主要考查建立函数关系式,数列求和,不等式等基础知识,考查综合运用数学 知识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关:(1)事理关:阅读理解, 知道命题所表达的内容;(2)文理关:将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言,用 数学关系式表述事件;(3)数理关:由题意建立相关的数学模型,将实际问题数学化,并 解答这一数学模型,得出符合实际意义的解答。 例 5.设实数 a ? 0 ,数列 ?a n ? 是首项为 a ,公比为 ? a 的等比数列,记

bn ? a n 1g | a n | ( n ? N * ), S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,
求证:当 a ? ?1 时,对任意自然数 n 都有 S n = 解: a n ? a1 q
n ?1

a lg a (1 ? a ) 2

?1 ? (?1)

n ?1

(1 ? n ? na ) a n

?

? a ( ? a ) n ?1 ? ( ?1) n ?1 a n 。

? bn ? a n lg | a n |? ( ?1) n ?1 a n lg | ( ?1) n ?1 a n |? ( ?1) n ?1 na n lg | a | ? S n ? a lg | a | ?2 a 2 lg | a | ?3a 3 lg | a | ? ? ? ( ?1) n ? 2 ( n ? 1) a n ?1 lg | a | ? ( ?1) n ?1 na n lg | a |

? [ a ? 2 a 2 ? 3a 3 ? ? ? ( ?1) n ? 2 ( n ? 1) a n ?1 ? ( ?1) n ?1 na n ] lg | a |
记 S ? a ? 2 a ? 3a ? ? ? ( ?1)
2 3 n?2

( n ? 1) a n ?1 ? ( ?1) n ?1 na n
n ?1


n ?1

as ? a ? 2 a ? ? ? ( ?1)
2 3 2

n ?3

( n ? 2) a
3
n ?1

? ( ?1)
n?2

n?2

( n ? 1) a ? ( ?1)
n n?2 n

na
n ?1

n ?1 n ?1

② ③

①+②得 (1 ? a ) s ? a ? a ? a ? ? ? ( ?1)

a

n ?1

? ( ?1)

a ? ( ?1)

na

? a ? ?1,? (1 ? a ) S ?

a ? ( ?1)

a

n ?1

1 ? (1 ? a )

? ( ? 1) n ?1 n ? a n ?1

23

?S ? ?S ?

a ? ( ?1) n ?1 a n ?1 ? (1 ? a ) ? ( ?1) n ?1 ? n ? a n ?1 (1 ? a ) 2 a ? (1 ? n ? na ) ? ( ?1) n ?1 a n ?1 (1 ? a ) 2 a lg | a | (1 ? a )
2

?

a[1 ? (1 ? n ? na )( ?1) n ?1 a n ] (1 ? a ) 2

? Sn ?

[1 ? ( ?1) n ?1 (1 ? n ? na ) a n ]

说明:本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题。关键是先研究通项,确定

C n ? a n ? bn , {a n } 是等差数列, {bn } 等比数列。

解法一:设等差数列{a n }的首项 a 1 =a,公差为 d,则其通项为

根据等比数列的定义知 S 5 ≠0,由此可得

一步加工,有下面的解法) 解法二:
24

依题意,得

例 7.设二次方程 a n x - a n +1x+1=0(n∈N)有两根α 和β ,且满足 6α -2α β +6β =3. (1)试用 a n 表示 a n ?1 ;

2

25

例 8. 在直角坐标平面上有一点列 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ) ? , Pn ( x n , y n ) ? , 对一切正整数 n , 点 Pn 位于函数 y ? 3 x ? 数列 ?x n ? 。 ⑴求点 Pn 的坐标; ⑵设抛物线列 c1 , c 2 , c 3 , ? , c n , ? 中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,第 n 条抛物线 c n 的顶点为 Pn ,且过点 D n (0, n ? 1) ,记与抛物线 c n 相切于 D n 的直线的斜率为 k n ,求:
2

13 4

的图象上,且 Pn 的横坐标构成以 ?

5 2

为首项,? 1 为公差的等差

1 k1 k 2

?

1 k2 k3

???

1 k n ?1 k n



a n ? S ? T ,其中 a 1 是 S ? T 中的最大数, ? 265 ? a10 ? ?125 ,求 ?a n ? 的通项公式。

⑶设 S ? ?x | x ? 2 x n , n ? N , n ? 1?, T ? ?y | y ? 4 y n , n ? 1?,等差数列 ?a n ? 的任一项

2 2 13 5 3 5 ? y n ? 3 ? xn ? ? ?3n ? ,? Pn ( ? n ? , ?3n ? ) 4 4 2 4 (2)? c n 的对称轴垂直于 x 轴,且顶点为 Pn .?设 c n 的方程为: , 4 2 2 2 把 D n (0, n ? 1) 代入上式,得 a ? 1 ,? c n 的方程为: y ? x ? ( 2 n ? 3) x ? n ? 1 。 2
k n ? y ' | x ? 0 ? 2 n ? 3 ,?

解: (1) x n ? ?

5

? ( n ? 1) ? ( ?1) ? ? n ?

3

y ? a( x ?

2n ? 3

)2 ?

12 n ? 5

1 k n ?1 k n

?

1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 3)

?

1

2 2n ? 1

(

1

?

1 2n ? 3

)

?
=

1 k1 k 2

?

1 k2k3

???

1 k n ?1 k n

?

1 1 1 1 1 1 1 [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 5 7 7 9 2n ? 1 2n ? 3

1 1 1 1 1 ( ? )? ? 2 5 2n ? 3 10 4 n ? 6 (3) S ? {x | x ? ?( 2n ? 3), n ? N , n ? 1} , T ? { y | y ? ?(12 n ? 5), n ? N , n ? 1} ? { y | y ? ?2(6n ? 1) ? 3, n ? N , n ? 1}
26

? S ? T ? T , T 中最大数 a1 ? ?17 .
设 {a n } 公差为 d ,则 a10 ? ?17 ? 9 d ? ( ?265 ,?125 ) ,由此得

?

248 9

? d ? ? 12 , 又 ? a n ? T ? d ? ? 12 m ( m ? N * ),

? d ? ? 24 ,? a n ? 7 ? 24 n ( n ? N * ).
说明:本例为数列与解析几何的综合题,难度较大(1)(2)两问运用几何知识算出 k n , 、
解决(3)的关键在于算出 S ? T 及求数列 ? a n ? 的公差。 例 9.数列 ?a n ? 中, a1 ? 8, a 4 ? 2 且满足 a n ? 2 ? 2 a n ?1 ? a n ⑴求数列 ?a n ? 的通项公式; ⑵设 S n ?| a1 | ? | a 2 | ? ? ? | a n | ,求 S n ; ⑶设 b n =

n? N*

1 n (12 ? a n )

( n ? N * ), Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ( n ? N * ) ,是否存在最大的整数

m ,使得对任意 n ? N * ,均有 Tn ?

m 32

成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理

由。 解: (1)由题意, a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ?1 ? a n ,? {a n } 为等差数列,设公差为 d , 由题意得 2 ? 8 ? 3d ? d ? ?2 ,? a n ? 8 ? 2( n ? 1) ? 10 ? 2 n . (2)若 10 ? 2n ? 0则n ? 5 , n ? 5时, S n ?| a1 | ? | a 2 | ? ? ? | a n |

2 n ? 6 时, S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a 5 ? a 6 ? a 7 ? ? a n
? S 5 ? ( S n ? S 5 ) ? 2 S 5 ? S n ? n 2 ? 9 n ? 40

? a1 ? a2 ? ? ? an ?

8 ? 10 ? 2 n

? n ? 9n ? n 2 ,

n?6 n 2 ? 9 n ? 40 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (3)? bn ? n (12 ? a n ) 2 n ( n ? 1) 2 n n ? 1
n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? )] ? 2( n ? 1) 2 2 2 3 3 4 n ?1 n n n ?1 m n m * * 若 Tn ? 对任意 n ? N 成立,即 对任意 n ? N 成立, ? 32 n ? 1 16 n 1 m 1 ? ( n ? N * ) 的最小值是 ,? ? , ? m 的最大整数值是 7。 n ?1 2 16 2 m * 即存在最大整数 m ? 7, 使对任意 n ? N ,均有 Tn ? . 32

故 Sn ?

9n ? n 2

n?5

? Tn ?

1

说明:本例复习数列通项,数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。

27

例 10. 如图, y 轴的正半轴上依次有点 A1 , A2 , ? , An , ? 其 在 中点 A1 (0,1), A2 (0,10 ) ,且

| An ?1 An |? 3 | A n An ?1 | ( n ? 2,3,4, ?) ,在射线 y ? x ( x ? 0)
上依次有点 B1 , B 2 , ? , B n , ? 点 B1 的坐标为(3,3) ,且

| OB n |?| OB n ?1 | ?2 2 ( n ? 2,3,4, ?)
⑴用含 n 的式子表示 | An An ?1 | ; ⑵用含 n 的式子表示 An , B n 的坐标; ⑶求四边形 An An ?1 B n ?1 B n 面积的最大值。 解: (1)?

| An An ?1 | | An ?1 An |

?

1 3

, 且 | A1 A2 |? 10 ? 1 ? 9 ,

1 1 1 ?| An An ?1 |?| A1 A2 | ( ) n ?1 ? 9( ) n ?1 ? ( ) n ?3 3 3 3

3 2 1 1 n?4 ? 点 An 的坐标 (0, ? ( ) ) ,?| OB n | ? | OB n ?1 |? 2 2且 | OB 1 |? 3 2 2 2 3 ? {| OB n |} 是以 3 2 为首项, 2 2 为公差的等差数列
27
?| OB n |? 3 2 ? ( n ? 1) 2 2 ? ( 2 n ? 1) 2 ? B n的坐标为 ( 2 n ? 1, 2 n ? 1)
(3)连接 An B n ?1 ,设四边形 An An ?1 B n ?1 B n 的面积为 S n ,则

(2)由(1)得 | A1 A2 | ? | A2 A3 | ? ? ? | An ?1 An |? 9 ? 3 ? 1 ? ? ? ( )

1

n?4

?

27

?

1 1 n?4 ( ) 2 3

1 1 n ?3 1 29 27 1 n ?1 2 [( ) ] ? ( 2 n ? 3) ? ? 2 2 ? [ ? ( ) ] 2 3 2 2 2 3 2 29 9n 3 ? 6n ? ? , ? S n ?1 ? S n ? n ?1 ? 0, 即 S n ?1 ? S n , ? {S n } 单调递减. 2 3 n ?1 3 29 47 ? S n 的最大值为 S1 ? . ?9 ? 2 2 说明:本例为数列与几何的综合题。由题意知 {| An An ?1 |} 为等比, {| OB n |} 为等差, (3) S n ? S ?An An ?1Bn ?1 ? S ?Bn Bn ?1 An ?
利用函数单调性求最值。 例 11.设正数数列{a n }为一等比数列,且 a 2 =4,a 4 =16.

28

说明:这是 2000 年全国高考上海试题,涉及对数、数列、极限的综合题,主要考查等 比数列的定义及通项公式,等差数列前 n 项和公式,对数计算,求数列极限等基础知识, 以及综合运用数学知识的能力. 例 12.已知抛物线 x ? 4 y ,过原点作斜率 1 的直线交抛物线于第一象限内一点 P1 ,又过
2

点 P1 作斜率为

1 2

的直线交抛物线于点 P2 , 再过 P2 作斜率为

1 4

? 的直线交抛物线于点 P3 , ,

如此继续,一般地,过点 Pn 作斜率为

1 2n

的直线交抛物线于点 Pn ?1 ,设点 Pn ( xn , y n ) .

(Ⅰ)令 bn ? x2 n ?1 ? x2 n ?1 ,求证:数列 {bn } 是等比数列. (Ⅱ)设数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,试比较

3 4

3n ? 10 2 2 解: (1)因为 Pn ( xn , y n ) 、 Pn ?1 ( xn ?1 , yn ?1 ) 在抛物线上,故 xn ? 4 y n , ① xn ?1 ? 4 y n ?1 ②,又因为
直线 Pn Pn ?1 的斜率为

Sn ? 1 与

1

的大小.

1 2
n

,即

y n ?1 ? y n xn ?1 ? xn
2

?
1
n?2

1 2

,①②代入可得

1 x 2 n ?1 ? x 2 n 4 xn ?1 ? xn

?

1 2
n

? xn ?1 ? xn ?

? bn ? x2 n ?1 ? x2 n ?1 ? ( x2 n ?1 ? x2 n ) ? ( x2 n ? x2 n ?1 )

?
(2) S n

1 2
2n?2

?

1 2
2 n ?3

??

1 2
2 n?2

,故

bn ?1 bn

?

1 4

? {bn } 是以
n

1 4

为公比的等比数列;

4 1 3 1 ? ? (1 ? n ) ? S n ? 1 ? n 3 4 4 4
n

,故只要比较 4 与 3n ? 10 的大小.

方法(一) 4

1 ? (1 ? 3) n ? 1 ? Cn ? 3 ? Cn2 ? 32 ? ? ? 1 ? 3n ?

n( n ? 1) 2

32 ? 1 ? 3n ? 9 ? 3n ? 10( n ? 3) ,

当n 当n

? 1 时,

3 4

Sn ? 1 ?
3 4

1 3n ? 10
Sn ? 1 ?



当n

? 2时

3 4

Sn ? 1 ?

1 3n ? 10



? 3, n ? N * 时,

1 3n ? 10

. 29

方法(二)用数学归纳法证明,其中假设 n 则当 n

? k ( k ? 3, k ? N ) 时有 4 k ? 3k ? 10 ,

? k ? 1 时, 4 k ?1 ? 4 ? 4 k ? 4(3k ? 10) ? [3( k ? 1) ? 10] ? 9 k ? 27 ? 3( k ? 1) ? 10 .
a n ),? 是公差为-1 的等差数列,又 2a 2 -a 1 ,2a 3 -a 2 ,?,2a n ?1 -a n ,?

(1)求数列{a n }的通项公式; (2)计算 (a 1 +a 2 +?+a n ). 分析:由于题设中的等差数列和等比数列均由数列{an}的相关项构成,分别求出它们 的通项公式构造关于 a n 的方程组. 解:(1)设 b n =log 2 (3a n ?1 -a n ),因为{bn}是等差数列,d=-1.b1=log 2

3a n ?1 -a n =2

?n



设 c n =2 a n ?1 -a n ,{c n }是等比数列,公比为 q,|q|<1, c 1 =2a 2 -a 1 =

例 14.等比数列{a n }中,已知 a1≠0,公比 q>0,前 n 项和为 S n ,自然数 b,c,d,e 满
30

足 b<c≤d<e,且 b+e=c+d. 求证:S b ?S e <S c ?S d . 分析: 凡是有关等比数列前 n 项 Sn 的问题, 首先考虑 q=1 的情况, 证明条件不等式时, 正确适时地应用所给的条件是成败的关键.

(证明不等式首选方法是差比较法,即作差—变形—判定符号,变形要有利于判定符 号.) be-cd=(c+d-e)e-cd=ce+de-e2-cd=(c-e)(e-d). 因为 c<e,d<e,所以 c-e<0,e-d>0,于是(c-e)(e-d)<0.又

同理

(要比较 S b ?S e 与 S c ?S d 的大小,只要比较(1-qb)(1-qe)与(1-qc)(1-qd)的大小,仍然 运用差比较法.) (1-qb)(1-qe)-(1-qc)(1-qd)=qc+qd-qb-qe=(qc-qb)-(qe-qd). (能否将 qc-qb 用 qe-qd 表示是上式化成积的关键,利用给定的 c+d=b+e,寻求变形的 途径,c=b+e-d,d、e 出现了,于是 qc-qb=qb+e-d-qb=qb(qe-d-1)=qbq-d(qe-qd).恒等变形只 有目标明确,变形才能有方向.) 上式=qbq-d(qe-qd)-(qe-qd)=(qe-qd)(qbq-d-1)=q-d(qe-qd)(qb-qd). 因为 q>0. 所以 q-d>0. (运用函数的思想将问题转化为根据指数函数的单调性判别乘积的符号)事实上,由 b <d<e,q>0, ①当 0<q<1 时,y=qx 是减函数,qe<qd,qb>qd,即 qe-qd<0,qb-qd>0; ②当 q>1 时,y=qx 是增函数,qe>qd,qb<qd,即 qe-qd>0,qb-qd<0. 所以无论 0<q<1 还是 q>1,都有 qe-qd 与 qb-qd 异号,即(qe-qd)(qb-qd)<0.

综上所述,无论 q=1 还是 q≠1,都有 S b ?S e <S c ?S d . 说明:复习课的任务在于对知识的深化,对能力的提高、关键在落实.根据上面所研 究的问题,进一步提高运用函数的思想、方程的思想解决数列问题的能力.
例 15.(2003 年北京春季高考)如图,在边长为 l 的等边△ABC 中, 圆 O1 为△ABC 的内切圆,圆 O2 与圆 O1 外切,且与 AB,BC 相切,?,圆 On+1 与圆 On 外切,且与 AB,BC 相切,如此无限继续下去. 记圆 On 的面 积为 .

31

(Ⅰ)证明

是等比数列;

(Ⅱ)求

的值.

(Ⅰ)证明:记 rn 为圆 On 的半径,



所以



成等比数列.

(Ⅱ)解:因为

所以

说明:本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识,考查逻辑思维能力.

七、强化训练
1.设 S n 和 T n 分别为两个等差数列的前 n 项和,若对任意 n∈N,

( ) A.4∶3 B.3∶2 C.7∶4 D.78∶71 2.一个首项为正数的等差数列中,前 3 项的和等于前 11 项的和,当这个数列的前 n 项和 最大时,n 等于. ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 3.若数列 ?a n ? 中, a1 ? 3 ,且 a n ?1 ? a n 2 ( n ? N * ) ,则数列的通项 a n ? . 4.设在等比数列 ?a n ? 中, a1 ? a n ? 66 , a 2 ? a n ?1 ? 128 , S n ? 126 , 求 n 及 q 5.根据下面各个数列 ?a n ? 的首项和递推关系,求其通项公式 ⑴ a1 ? 1, a n ?1 ? a n ? 2 n ( n ? N )
*

⑵ a1 ? 1, a n ?1 ? ⑶ a1 ? 1, a n ?1

n

n ?1 1 ? a n ? 1 (n ? N * ) 2
32

a n (n ? N * )

6.数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? 1 ? ra n ( r 为不等于 0,1 的常数),求其通项公式 a n 7.某县位于沙漠地带,人与自然长期进行着顽强的斗争,到 2001 年底全县的绿化率已达 30%。从 2002 年开始,每年将出现这样的局面,即原有沙漠面积的 16%将被绿化,与此 同时,由于各种原因,原有绿化面积的 4%又被沙化。 (1)设全县面积为 1,2001 年底绿化面积为 a1 ? 求证 a n ?1 ?

3 10

, 经过 n 年绿化总面积为 a n ?1 .

4 25

?

4 5

an .

(2) 至少需要多少年 (年取整数, 2 ? 0.3010 ) 的努力, 才能使全县的绿化率达到 60%? lg
8.(2002 年春招试题)已知点的序列 ( ,0), ,其中 =0, ,

A3 是线钱 A1A2 的中点,A4 是线段 A2A3 的中点,?,An 是线段 (I)写出 (II)设 与 、 之间的关系式( ≥3) ,计算 , , ,由此推测数列{

的中点,?。

}的通项公式,并加以证明。

9.(94 年全国理)设{an}是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn,并且对所有自然数 n,an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项. (1)写出数列{an}的前三项;?(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程);?

(3)令 bn=

(n∈N),求:b1+b2+?+bn-n.

八、参考答案
1.解:设这两个等差数列分别为{an}和{bn}.

故选择 A. 说明: 注意巧妙运用等差中项的性质来反映等差数列的通项 an 与前 2n-1 项和 S2n-1 的 内在联系. 2.解:依题意知.数列单调递减,公差 d<0.因为 S3=S11=S3+a4+a5+?+a10+a11 所以 a4+a5+?+a7+a8+?+a10+a11=0 即 a4+a11=?=a7+a8=0, 故当 n=7 时,a7>0,a8<0.选择 C.
33

解选择题注意发挥合理推理和估值的作用. 3.解:多次运用迭代,可得 an ? ( an ?1 ) ? [( an ? 2 ) ] ? ( an ? 2 )
2 2 2 22

? ? ? ( a1 ) 2

n ?1

? 32

n ?1

4.解:? a 2 ? a n ?1 ? 128 ,? a1 a n ? 128 ,又 a1 ? a n ? 66 ,由以上二式得

a1 ? 2, an ? 64 或 a1 ? 64, an ? 2 ;由此得 n ? 6, g ? 2 或
说明:本例主要复习数列的基本运算和方程思想的应用。 5.解: (1)? a n ?1 ? a n ? 2 n ,? a n ?1 ? a n ? 2 n ,

1 2

.

? a n ? a1 ? ( a 2 ? a1 ) ? ( a 3 ? a 2 ) ? ? ? ( a n ? a n ?1 )
? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ( n ? 1) ? 1 ? n ? ( n ? 1) ? n 2 ? n ? 1
(2)?

a n ?1 an

?

n n ?1

? a n ? a1 ?

a a2 a3 1 2 n ?1 1 ? ? ? ? n =1 ? ? ? ? ? ? a1 a 2 a n ?1 2 3 n n

? 又解: 由题意,( n ? 1) a n ?1 ? na n 对一切自然数 n 成立, na n ? ( n ? 1) a n ?1 ? ? ? 1 ? a1 ? 1

? an ?

1 n

. 1 2 a n ? 1 ? a n ?1 ? 2 ? 1 2 ( a n ? 2) ? {a n ? 2} 是首项为 a1 ? 2 ? ?1

(3)? a n ?1 ? 公比为

1 2

的等比数列,?a n ?2 ? ?1 ? ( )

1

n ?1

2

1 ,? a n ? 2 ? ( ) n ?1 . 2

说明:本例复习求通项公式的几种方法:迭加法、迭乘法、构造法。 6 . 解 : 由 S n ? 1 ? ra n 可 得 当 n ? 2 时 S n ?1 ? 1 ? ra n ?1 , ? S n ? S n ?1 ? r ( a n ? a n ?1 ) ,

? a n ? ra n ? ra n ?1 , a n ( r ? 1) ? ra n ?1 , ? r ? 1, ?
公 比为

?

an a n ?1

?

r r ?1

? , r ? 0 , {a n } 是 ?

r

r ?1 1? r 1 r n ?1 ? an ? ( ) 。 1? r r ?1 说明:本例复习由有关 S n 与 a n 递推式求 a n ,关键是利用 S n 与 a n 的关系进行转化。 4 5 4 25 4 5
=

的等 比数列 .

又 当 n ? 1 时 , S1 ? 1 ? ra1 , ? a1 ?

1



7. (1)证明:由已知可得 a n 确定后, a n ?1 表示如下: a n ?1 = a n ? (1 ? 4%) ? (1 ? a n ) ? 16 % 即 a n ?1 =80% a n +16%= (2)解:由 a n ?1 = = ( ) ( a1 ? )
n

an +

4 5

an +

4 25

可得: a n ?1 ?

4 5

( an ?

4 5

)=(

4 5

)2( a n ?1 ?

4 5

)=?

4

4

5

5

故有 a n ?1 = ?

1 4 n 4 1 4 4 3 1 4 3 ( ) ? ,若 a n ?1 ? . 则有 ? ( ) n ? ? . 即 ? ( ) n ?1 2 5 5 2 5 5 5 2 5 5
34

两边同时取对数可得 ? lg 2 ? ( n ? 1)( 2 lg 2 ? lg 5) ? ( n ? 1)( 3 lg 2 ? 1) 故n ?

lg 2 1 ? 3 lg 2

? 1 ? 4 ,故使得上式成立的最小 n ? N * 为 5,

故最少需要经过 5 年的努力,才能使全县的绿化率达到 60%.

8.(I)解:当 n≥3 时, (II)解:

.

由此推测。

证法一:

因为

,且

(n≥2) 证法二:(用数学归纳法证明:)

所以



(i)当时,

,公式成立,

(ii)假设当

时,公式成立,即

成立。

那么当

时,

35

=

式仍成立。

根据(i)与(ii)可知,对任意

,公式

成立

评注:本小题主要考查中点坐标公式、等比数列等基本知识,考查运算能力和逻辑思维能力。

9.解:(1)由题意

=

an>0

令 n=1 时,

=

S1=a1

解得 a1=2

令 n=2 时有

=

=a1+a2 ?

解得 a2=6

令 n=3 时有

=

S3=a1+a2+a3

解得 a3=10 ?

故该数列的前三项为 2、6、10.? (2)解法一:由(1)猜想数列{an}有通项公式 an=4n-2,下面用数学归纳法证明数列{an}的通 项公式是 an=4n-2 (n∈N)? 1°当 n=1 时,因为 4?1-2=2,又在(1)中已求得 a1=2,所以上述结论正确.? 2°假设 n=k 时,结论正确,即有 ak=4k-2 ?

由题意有

得 ak=4k-2,代入上式得 2k=

,

解得 Sk=2k

2

由题意有
2

=
2

Sk+1=Sk+ak+1

得 Sk=2k 代入得

2

=2(ak+1+2k )?

2

整理 a k+1-4ak+1+4-16k =0 ? 所以 ak+1=2+4k=4(k+1)-2 ?

由于 ak+1>0,解得:ak+1=2+4k ?

这就是说 n=k+1 时,上述结论成立.?

36

根据 1°,2°上述结论对所有自然数 n 成立.?

解法二:由题意有,

=

(n∈N)?

整理得 Sn= (an+2) ?

2

由此得 Sn+1= (an+1+2)

2

所以 an+1=Sn+1-Sn= [(an+1+2) -(an+2) ]? 由题意知 an+1+an≠0,所以 an+1-an=4

2

2

整理得(an+1+an)(an+1-an-4)=0

即数列{an}为等差数列,其中 a1=2,公差 d=4, 所以 an=a1+(n-1)d=2+4(n-1)? (3)令 cn=bn-1,? 即通项公式 an=4n-2.?

则 cn=

=

=

b1+b2+?+bn-n=c1+c2+?+cn ?

= 说明:该题的解题思路是从所给条件出发,通过观察、试验、分析、归纳、概括、猜想出一般 规律,然后再对归纳、猜想的结论进行证明.对于含自然数 n 的命题,可以考虑用数学归纳法进 行证明,该题着重考查了归纳、概括和数学变换的能力.

第3讲
一、考试内容 二、考试要求

不等式问题的题型与方法

不等式,不等式的基本性质,不等式的证明,不等式的解法,含绝对值不等式 1.理解不等式的性质及其证明。 2.掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简 单的应用。 3.掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 4.掌握简单不等式的解法。 5.理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。

三、复习目标
1.在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上,掌握其它的一些简单
37

不等式的解法.通过不等式解法的复习,提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算 能力; 2.掌握解不等式的基本思路,即将分式不等式、绝对值不等式等不等式,化归为整式不等 式(组),会用分类、换元、数形结合的方法解不等式; 3.通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等), 使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题; 4.通过证明不等式的过程,培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式 的能力; 5.能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法,解决有关不等式的问题. 6.通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几 何等各部分知识中的应用,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高分析问题解决问题的 能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中,提高学生数学素质及 创新意识.

四、双基透视
1.解不等式的核心问题是不等式的同解变形,不等式的性质则是不等式变形的理论依据, 方程的根、 函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关, 要善于把它们有机地联系起来, 互相转化.在解不等式中,换元法和图解法是常用的技巧之一.通过换元,可将较复杂的 不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数、数形结合,则可将不等式的解化归 为直观、形象的图形关系,对含有参数的不等式,运用图解法可以使得分类标准明晰. 2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质及 函数的单调性,将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本 思想,分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法.方程的根、函数的性质和图象都与 不等式的解密切相关,要善于把它们有机地联系起来,相互转化和相互变用. 3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等 式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图 象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰.通过复习,感 悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形,能否正确的得到不等式的解集,不等式同 解变形的理论起了重要的作用. 4.比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法,比较法的一般步骤是:作差(商)→ 变形→判断符号(值). 5.证明不等式的方法灵活多样,内容丰富、技巧性较强,这对发展分析综合能力、正逆思 维等,将会起到很好的促进作用.在证明不等式前,要依据题设和待证不等式的结构特 点、内在联系,选择适当的证明方法.通过等式或不等式的运算,将待证的不等式化为 明显的、熟知的不等式,从而使原不等式得到证明;反之亦可从明显的、熟知的不等式 入手, 经过一系列的运算而导出待证的不等式, 前者是 “执果索因” 后者是 , “由因导果” , 为沟通联系的途径,证明时往往联合使用分析综合法,两面夹击,相辅相成,达到欲证 的目的. 6.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式 的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟 悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点. 7.不等式这部分知识,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用.因此不等式应 用问题体现了一定的综合性、灵活多样性,这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通, 起到了很好的促进作用.在解决问题时,要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选 择适当的解决方案,最终归结为不等式的求解或证明.不等式的应用范围十分广泛,它 始终贯串在整个中学数学之中. 诸如集合问题, 方程(组)的解的讨论, 函数单调性的研究,
38

函数定义域的确定,三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题, 无一不与不等式有着密切的联系,许多问题,最终都可归结为不等式的求解或证明。 8.不等式应用问题体现了一定的综合性. 这类问题大致可以分为两类: 一类是建立不等式、 解不等式; 另一类是建立函数式求最大值或最小值. 利用平均值不等式求函数的最值时, 要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可,有时需要适当拼凑,使之符合这 三个条件.利用不等式解应用题的基本步骤:10 审题,20 建立不等式模型,30 解数学问 题,40 作答。

五、注意事项
1.解不等式的基本思想是转化、化归,一般都转化为最简单的一元一次不等式(组)或 一元二次不等式(组)来求解, 。 2.解含参数不等式时,要特别注意数形结合思想,函数与方程思想,分类讨论思想的录 活运用。 3.不等式证明方法有多种,既要注意到各种证法的适用范围,又要注意在掌握常规证 法的基础上,选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。 4.根据题目结构特点,执果索因,往往是有效的思维方法。

六、范例分析

b)∈M,且对 M 中的其它元素(c,d),总有 c≥a,则 a=____. 分析:读懂并能揭示问题中的数学实质,将是解决该问题的突破口.怎样理解“对 M 中的 其它元素(c,d),总有 c≥a”?M 中的元素又有什么特点? 解:依题可知,本题等价于求函数 x=f(y)=(y+3)?|y-1|+(y+3)

(2)当 1≤y≤3 时, 所以当 y=1 时,xmin=4.

说明:题设条件中出现集合的形式,因此要认清集合元素的本质属性,然后结合条件,揭 示 其 数 学 实 质 . 即 求 集 合 M 中 的 元 素 满 足 关 系 式

例 2.解关于 x 的不等式: x x ? a ?

2a 2 9

?a ? 0 ?
39

分析:本例主要复习含绝对值不等式的解法,分类讨论的思想。本题的关键不是对参数 a 进

行讨论,而是去绝对值时必须对末知数进行讨论,得到两个不等式组,最后对两个不等 式组的解集求并集,得出原不等式的解集。 解:当 x ? a 时,不等式可转化为 ?

?x ? a

?x ? a 即? 2 2 ?9 x ? x ? a ? ? 2 a ?9 x ? 9 ax ? 2 a ? 0
2

?a ? x ?

3 ? 17 a b

?x ? a ?x ? a 当 x ? a时不等式可化为 ? 即? 2 2 2 ? ax ( a ? x ) ? 2 a ?9 x ? 9 ax ? 2 a ? 0 a 2a ?x ? 或 ?x?a 3 3

故不等式的解集为 ( ?? ,

a 3

? ? ? 2a , 3 ?
? 3

?

17 ? a? 。 6 ?
x?2 x ? 3x ? 2
2

例 3. 己知三个不等式:① 2 x ? 4 ? 5 ? x



?1

③ 2 x ? mx ? 1 ? 0
2

(1)若同时满足①、②的 x 值也满足③,求 m 的取值范围; (2)若满足的③ x 值至少满足①和②中的一个,求 m 的取值范围。 分析:本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法,以及数形结合思想, 解本题的关键弄清同时满足①、②的 x 值的满足③的充要条件是:③对应的方程的两根分 别在 ?? ? ,0 ? 和 ?3,?? ) 内。不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系, 在解决问题的过程中,要适时地联系它们之间的内在关系。 解:记①的解集为 A,②的解集为 B,③的解集为 C。 解①得 A=(-1,3) ;解②得 B= ?0,1) ? ( 2,4 ?,? A ? B ? ?0,1) ? ( 2,3) (1) 因同时满足①、②的 x 值也满足③,A ? B ? C 设 f ( x ) ? 2 x ? mx ? 1 , f ( x ) 的图象可知: 由 方程的小根小于 0, 大根大于或等于 3 时,
2

即可满足 A ? B ?? ?

此 C ? ( ?1,4 ?? 方程 2 x ? mx ? 1 ? 0 小根大于或等于-1,大根小于或等于 4,因而
2

? f (0) ? 0 ?? 1 ? 0 17 即? ?m ? ? 3 ? f (3) ? 0 ?3m ? 17 ? 0 ? (2) 因满足③的 x 值至少满足①和②中的一个, C ? A ? B, 而A ? B ? ( ?1,4 ? 因

? ? f ( ? 1) ? 1 ? m ? 0 ? 31 ? ? m ?1 ? f ( 4 ) ? 4 m ? 31 ? 0, 解之得 ? 4 ? m ? ?? 1 ? ? 4 ? 4 ?
说明:同时满足①②的 x 值满足③的充要条件是:③对应的方程 2x +mx-1=0 的两根分别
40
2

在(-∞,0)和[3,+∞)内,因此有 f(0)<0 且 f(3)≤0,否则不能对 A∩B 中的所有 x 值满足条 件.不等式和与之对应的方程及图象是有着密不可分的内在联系的,在解决问题的过程中, 要适时地联系它们之间的内在关系. 例 4.已知对于自然数 a,存在一个以 a 为首项系数的整系数二次三项式,它有两个小于 1 的 正根,求证:a≥5. 分析:回忆二次函数的几种特殊形式.设 f(x)=ax 2 +bx+c(a≠0).① 顶点式.f(x)=a(x-x 0 ) 2 +f(x 0 )(a≠0).这里(x 0 ,f(x 0 ))是二次函数的顶点,x 0 = ?

))、(x 2 ,f(x 2 ))、(x 3 ,f(x 3 ))是二次函数图象上的不同三点,则系数 a,b,c 可由

证明:设二次三项式为:f(x)=a(x-x 1 )(x-x 2 ),a∈N. 依题意知:0<x 1 <1,0<x 2 <1,且 x 1 ≠x 2 .于是有 f(0)>0,f(1)>0. 又 f(x)=ax -a(x 1 +x 2 )x+ax 1 x 2 为整系数二次三项式, 所以 f(0)=ax 1 x 2 、f(1)=a?(1-x 1 )(1-x 2 )为正整数.故 f(0)≥1,f(1)≥1. 从而 f(0)?f(1)≥1. ① 另一方面,
2

且由 x 1 ≠x 2 知等号不同时成立,所以

由①、②得,a 2 >16.又 a∈N,所以 a≥5. 说明:二次函数是一类被广泛应用的函数,用它构造的不等式证明问题,往往比较灵活.根 据题设条件恰当选择二次函数的表达形式,是解决这类问题的关键. 例 5.设等差数列{a n }的首项 a1>0 且 Sm=Sn(m≠n).问:它的前多少项的和最大? 分析:要求前 n 项和的最大值,首先要分析此数列是递增数列还是递减数列. 解:设等差数列{a n }的公差为 d,由 Sm=Sn 得

41

ak≥0,且 ak+1<0.

(k∈N).

说明:诸多数学问题可归结为解某一不等式(组).正确列出不等式(组),并分析其解在具体 问题的意义,是得到合理结论的关键. 例 6.若二次函数 y=f(x)的图象经过原点,且 1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求 f(-2)的范围. 分析:要求 f(-2)的取值范围,只需找到含人 f(-2)的不等式(组).由于 y=f(x)是二次函数,所 以应先将 f(x)的表达形式写出来.即可求得 f(-2)的表达式,然后依题设条件列出含有 f(-2) 的不等式(组),即可求解. 解:因为 y=f(x)的图象经过原点,所以可设 y=f(x)=ax2+bx.于是

解法一(利用基本不等式的性质) 不等式组(Ⅰ)变形得

(Ⅰ)所以 f(-2)的取值范围是[6,10]. 解法二(数形结合)

42

建立直角坐标系 aob,作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域,如图 6 中的阴影部分.因为 f(-2)=4a-2b,所以 4a-2b-f(-2)=0 表示斜率为 2 的直线系.如图 6,当直线 4a-2b-f(-2)=0 过点 A(2,1),B(3,1)时,分别取得 f(-2)的最小值 6,最大值 10.即 f(-2)的取值范围是:6≤f(-2) ≤10. 解法三(利用方程的思想)

又 f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1),而 1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4, ① 所以 3≤3f(-1)≤6. ② ①+②得 4≤3f(-1)+f(1)≤10,即 6≤f(-2)≤10. 说明:(1)在解不等式时,要求作同解变形.要避免出现以下一种错解:

2b,8≤4a≤12,-3≤-2b≤-1,所以 5≤f(-2)≤11. (2)对这类问题的求解关键一步是,找到 f(-2)的数学结构,然后依其数学结构特征,揭 示其代数的、几何的本质,利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法,从 不同角度去解决同一问题.若长期这样思考问题,数学的素养一定会迅速提高. 例 7.(2002 江苏)己知 a ? 0, 函数 f ( x ) ? ax ? bx ,
2

(1) 当 b

? 0时,若对任意 x ? R 都有 f ? x ? ? 1, 证明: a ? 2 b ;

(2) 当b ? 1时 ,证明:对任意 x ? [0,1] , | f ( x) |? 1 的充要条件是 b ? 1 ? a ? 2 b ;

时, (3) 当0 ? b ? 1 讨论:对任意 x ? [0,1] , | f ( x) |? 1 的充要条件。

43

证明: (1)依题意,对任意 x ? R ,都有 f ( x ) ? 1. ? f ( x ) ? ?b ( x ?

a 2 a2 ) ? 2b 4b

? f(

a a2 )? ? 1,? a ? 0, b ? 0 ? a ? 2 b . 2b 4b 2 2 (2)充分性:? b ? 1, a ? b ? 1, 对任意 x ? ?0,1?, 可推出 : ax ? bx ? b ( x ? x ) ? x
? ? x ? ?1,即 ax ? bx 2 ? ?1; 又 ? b ? 1, a ? 2 b , 对任意 x ? ?0,1?, 可知

ax ? bx 2 ? 2 b x ? bx 2 ? ( 2 b x ? bx 2 ) max ? 2 b ?

1 b

?b?(

1 b

) 2 ? 1,即 ax ? bx 2 ? 1

? ?1 ? f ( x ) ? 1
必要性:对任意 x ? ?0,1?, f ( x ) ? 1,? f ( x ) ? ?1,? f (1) ? ?1

即 a ? b ? ?1? a ? b ? 1; 又 ? b ? 1? 0 ?
即 a b ? 1 ? 1,? a ? 2 b , 故 b ? 1 ? a ? 2 b

1

? 1 ? ? 1,由 f ? x ? ? 1知 f ? ? ?1 b ? b?

综上 , 对任意 x ? ?0,1?, f ( x ) ? 1的充要条件是 b ? 1 ? a ? 2 b
(3)? a ? 0,0 ? b ? 1时, 对任意 x ? ?0,1?, f ( x ) ? ax ? bx 即 f ( x ) ? ?1; 又由 f ( x ) ? 1知f (1) ? 1,即a ? b ? 1,即a ? b ? 1 而当 a ? b ? 1时, f ( x ) ? ax ? bx ? (b ? 1) x ? bx ? ?b ( x ?
2 2
2

? ?b ? ?1

b ? 1 2 (b ? 1) 2 ) ? 2b 4b

? 0 ? b ? 1,?

b ?1 ?1 2b ? 在?0,1?上, y ? (b ? 1) x ? bx 2 是增函数 , 故在 x ? 1时取得最大值 1? f ( x ) ? 1
? 当 a ? 0,0 ? b ? 1时, 对任意 x ? ?0,1?, f ( x ) ? 1的充要条件是 a ? b ? 1

例 8.若 a>0,b>0,a3+b3=2.求证 a+b≤2,ab≤1. 分析:由条件 a3+b3=2 及待证的结论 a+b≤2 的结构入手,联想它们之间的内在联系,不妨 用作差比较法或均值不等式或构造方程等等方法,架起沟通二者的“桥梁” . 证法一 (作差比较法) 因为 a>0,b>0,a3+b3=2,所以 (a+b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6 =3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0, 即 (a+b)3≤23. 证法二 (平均值不等式—综合法) 因为 a>0,b>0,a3+b3=2,所以

44

所以 a+b≤2,ab≤1. 说明:充分发挥“1”的作用,使其证明路径显得格外简捷、漂亮. 证法三 (构造方程) 设 a,b 为方程 x2-mx+n=0 的两根.则

因为 a>0,b>0,所以 m>0,n>0 且Δ =m2-4n≥0.① 因此 2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m[m2-3n],所以

所以 a+b≤2. 由 2≥m 得 4≥m2,又 m2≥4n,所以 4≥4n,即 n≤1.所以 ab≤1. 说明:认真观察不等式的结构,从中发现与已学知识的内在联系,就能较顺利地找到 解决问题的切入点. 证法四 (恰当的配凑) 因为 a>0,b>0,a3+b3=2,所以 2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b), 于是有 6≥3ab(a+b),从而 8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3, 所以 a+b≤2.(以下略)

即 a+b≤2.(以下略) 证法六 (反证法) 假设 a+b>2,则 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]>2(22-3ab). 因为 a3+b3=2,所以 2>2(4-3ab),因此 ab>1. ① 另一方面,2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=(a+b)?ab>2ab,
45

所以 ab<1. ② 于是①与②矛盾,故 a+b≤2.(以下略) 说明:此题用了六种不同的方法证明,这几种证法都是证明不等式的常用方法. 例 9.设函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象与两直线 y=x,y=-x,均不相

分析:因为 x∈R,故|f(x)|的最小值若存在,则最小值由顶点确定,故设 f(x)=a(x-x0)2+f(x0). 证明:由题意知,a≠0.设 f(x)=a(x-x0)2+f(x0),则 又二次方程 ax2+bx+c=±x 无实根,故 Δ1=(b+1)2-4ac<0, Δ2=(b-1)2-4ac<0. 所以(b+1)2+(b-1)2-8ac<0,即 2b2+2-8ac<0,即 b2-4ac<-1,所以|b2-4ac|>1.

说明:从上述几个例子可以看出,在证明与二次函数有关的不等式问题时,如果针对题设 条件,合理采取二次函数的不同形式,那么我们就找到了一种有效的证明途径. 例 10. (2002 理)某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上一年末汽 车保有量的 6%,并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境,要求该城市汽车保有量 不超过 60 万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆? 解:设 2001 年末的汽车保有量为 a1 ,以后每年末的汽车保有量依次为 a2 , a3 .... ,每年新增 汽车 x 万辆。 由题意得 an ?1 ? 0.94 an ? x即 an ?1 ?

x x ? 0.94 ( an ? ) 0.06 0.06

x x ) 0 .94 n ?1 ? 0 .06 0 .06 30 令 a n ? 60 , 解得 x ? (30 ? ) ? 0 .06 1 ? 0 .94 n ?1 上式右端是关于 n 的减函数 , 且当 n ? ? 时, 上式趋于 3 .6 a n ? (30 ? 故要对一切自然数 n 满足 a n ? 60 , 应有 x ? 3 .6,即每年新增汽车不应超 过 3 .6万辆

0)( ? ? 例 11. 已知奇函数 f (x )在( ? ?, ? 0, ?)上有定义,在( 0, ?)上是增函数,
46

f (1) ? 0, 又 知函数 g (? ) ? sin 2 ? ? m cos ? ? 2 m,? ? [0, ], 集合 2 M ? ?m 恒有 g (? ) ? 0?, N ? ?m 恒有 f ( g (? )) ? 0?, 求 M ? N
分析:这是一道比较综合的问题,考查很多函数知识,通过恰当换元,使问题转化为二次 函数在闭区间上的最值问题。

?

解 ? 奇数函数 f ( x )在(0, ? )上是增函数, f( x )在( ? ? , ? ? 0)上也是增函数。 ? g (? ) ? 0 ? g (? ) ? 0 又由 f (1) ? 0得 f ( ? 1) ? ? f (1) ? 0 ? 满足 ? 的条件是 ? ? f ( g (? ) ? 0 ? f ( ? 1) ? g (? ) ? ? 1 即 g (? ) ? ?( ? ? 0, ]),即 sin 2 ? ? m cos ? ? 2 m ? ? 1, 1 ( 2 2 也即 ? cos ? ? mcor ? ? 2 m ? 2 ? 0 ?
令 t ? cos? , 则 t ? [0,1], 又设 ?( t ) ? ?t ? mt ? 2 m ? 2,0 ? t ? 1
2

?

要使 ? (t ) ? 0, 必须使 ? (t )在[0,内的最大值小于零 1] 1 当
0
0

?m ? 0 m ? 0即 m ? 0时, ? (t ) max ? ? (0) ? ? 2 m ? 2, 解不等式组 ? 知m ? ? 2 ?? 2m ? 2 ? 0

m m 2 ? 8m ? 8 2 当0 ? ? 1即0 ? m ? 2时 , ? (t ) max ? , 2 4 ?0 ? m ? 2 ? 解不等式组 ? m 2 ? 8 m ? 8 ? 0得 4 ? 2 2 ? m ? 2 ? 4 ?
3当
0

m

?m ? 2 ? 1即 m ? 2时, ? (t ) max ? ? m ? 1, 解不等式组 ? 2 ? ? m ? 1 ? 0得 m ? 2

综上: M ? N ? m m ? 4 ? 2 2

?

?

例 12.如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽 22 米,要求通行车辆限高 4.5 米,隧道 全长 2.5 千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。 (1) 若最大拱高 h 为 6 米, 则隧道设计的拱宽 l 是多少? (2)若最大拱高 h 不小于 6 米,则应如何设计拱高 h 和 拱宽 l ,才能使半个椭圆形隧道的土方工程最小? (半个椭圆的面积公式为 s= 底面积乘 lh, 柱体体积为: 4 以高, 2 ? 1.414 , 7 ? 2.646 本题结果均精确到 0.1 米) 分析:本题为 2003 年上海高考题, 考查运用几何、不等式等解决应用题的能力及运算能力。 解:1)建立如图所示直角坐标系,则 P(11,4.5) 椭圆方程为:

?

x2 y2 ? ?1 a2 b2
47

将 b=h=6 与点 P 坐标代入椭圆方程得

44 7 88 7 , 此时 l ? 2 a ? ? 33 .3 故隧道拱宽约为 33.3 米 7 7 x2 y2 112 4.5 2 2)由椭圆方程 2 ? 2 ? 1得 2 ? 2 ? 1 a b a b 2 2 11 4 .5 2 ? 11 ? 4 .5 ? 2 ? 2 ? ,? ab ? 99 a b ab a?

?s ?

?
4

lh ?

?ab
2

?

99? 11 2 4 .5 2 1 ,当 s最小时有 2 ? 2 ? 2 a b 2

? a ? 11 2 , b ?

9 2 此时 l ? 2 a ? 31 .1, h ? b ? 6 .4 2

故当拱高约为 6.4 米,拱宽约为 31.1 米时,土方工程量最小.

例 13.已知 n∈N,n>1.求证 分析:虽然待证不等式是关于自然数的命题,但不一定选用数学归纳法,观其“形” ,它具有 较好规律,因此不妨采用构造数列的方法进行解.



48

说明:因为数列是特殊的函数,所以可以因问题的数学结构,利用函数的思想解决. 例 14.已知函数 f ( x ) ?

x2 ? 2x ? 2

x ?1 n ? ( 2)设 x是正实数,求证: f ? x ? 1?? ? f ?x n ? 1? ? 2 n ? 2.

(1)设〈 x ? 1,0 ? t ? 1, 求证: ? x ? t ? x ? 0 t

f ?tx ? 1?

分析:本例主要复习函数、不等式的基础知识,绝对值不等式及函数不等式的证明技巧。 基本思路先将函数不等式转化为代数不等式,利用绝对值不等式的性质及函数的性 质。证明(1)再利用二项展开式及基本不等式的证明(2) 。 证明: (1)? f ( x ) ?

( x ? 1) 2 ? 1 1 ? f (tx ? 1) ? tx ? x ?1 tx

? f (tx ? 1) ? tx ?

1 1 1 ? tx ? ? 2 tx ? ? 2, 当且仅当 tx ? 1 时,上式取等号。 tx tx tx

? 0 ? x ? 1,0 ? t ? 1 ? tx ? 1, ? f (tx ? 1) ? 2
s ? ( t ? x ? t ? x ? 2 (t 2 ? x 2 ) ? 2 t 2 ? x 2 ? ( t ? x ? t ? x ) 2 ? 2 (t 2 ? x 2 ) ? 2 t 2 ? x 2
2

当 t ? x 时, s ? 4t 2 ? 4;当 t ? x 时 s ? 4 x 2 ? 4 ? t ? x ? t ? x ? 2 ? f (tx ? 1) 即 t ? x ? t ? x ? f (tx ? 1)
(2) n ? 1 时,结论显然成立 当 n ? 2 时,

? f ( x ? 1)?n ?

1 1 1 1 1 2 f ( x n ? 1) ? ( x ? ) n ? ( x n ? n ) ? C n x n ?1 ? ? C n x n ? 2 ? 2 ? ..... x x x x 1 1 1 1 n?2 n ?1 1 2 n?2 n ?1 ? C n x 2 ? n ? 2 ? C n x ? n ?1 ? C n x n ? 2 ? C n x n ? 4 ? ...... ? C n ? n ? 4 ? C n ? n ? 2 x x x x 1? 1 1 1 1 ? 2 n ?1 ? ?C n ( x n ? 2 ? n ? 2 ) ? C n ( x n ? 4 ? n ? 4 ) ? .... ? C n ( x n ? 2 ? n ? 2 ) ? 2? x x x ? n ?1 1 1 2 n ?1 1 2 ? 2 ? (C n ? C n ? ... ? C n ) ? C n ? C n ? ... ? C n ? 2 n ? 2 2

?

?

例 15. (2001 年全国理)己知 i, m, n是正整数,且 1 ? i ? m ? n (1) 证明: n Am ? m An
i i i i

?1 (2) 证明: ? m ? n ? ?1 ? n ?

m

证明: (1) 对于1 ? i ? m, 有 Am ? m.( m ? 1)......( m ? i ? 1),
i

Am m
i

i

?

m m ?1 m ? 2 m ? i ?1 ? ? ...... m m m m

49

同理

An n n ?1 n ? 2 n ? i ?1 ? ? ? ...... 由于 m ? n, 对整数 k ? 1,2,......, i ? 1, 有 i n n n n n
i

i n?k m?k A A i ? ,? ni ? mi 即 m i An ? n i Am n m n m i i

(2)由二项式定理有 (1 ? m ) ?
n i

?m C
i i ?0 i

n

i n

, (1 ? n ) m ? ? n i C m , (1)知 m i An ? n i Am 由
i i i ?0

m

i

(1 ? i ? m ? n ), 而 C n ?
i

An A i i i , C m ? m ? m i cn ? n i C m (1 ? i ? m ? n ) i! i!
i

因此 ? m C n ?
i i i?2
n

m

?n C
i i?2
i

m

m

, 又 m o C n ? n o C m ? 1, mC n ? nC m ? mn , m i C n ? 0
o o 1 1 i
m i

( m ? i ? n ) ? ? m i C n ? ? n i C m 即(1 ? m ) n ? (1 ? n ) m 。
i?0 i?0

七、强化训练
1.已知非负实数 x , y 满足 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 且 3 x ? 2 y ? 7 ? 0 ,则 x ? y 的最大值是( ) A.
7 3

B.

8 3
2

C. 2

D. 3
x

2.已知命题 p:函数 y ? log 0.5 ( x ? 2 x ? a ) 的值域为 R,命题 q:函数 y ? ? (5 ? 2 a ) 是减函数。若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.a≤1 B.a<2 C.1<a<2 D.a≤1 或 a≥2 3. 解关于 x 的不等式

a?x x ?2 x ? 3
2

>0

4.求 a,b 的值,使得关于 x 的不等式 ax2+bx+a2-1≤0 的解集分别是: (1)[-1,2];(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);(3){2};(4)[-1,+∞). 5. 解关于 x 的不等式 1 ? a
2x

? a ? a x ( a ? 0且 a ? 1)

6. (2002 北京文)数列 xn 由下列条件确定: x1 ? a ? 0, x n ?1 ? (1)证明:对于 n ? 2, 总有 x n ?
2

? ?

1? a ? xn ? 2? xn ?

? ?, n ? N ? ? ?

a,

(2)证明:对于 n ? 2, 总有 xn ? xn ?1 . 7.设 P=(log2x) +(t-2)log2x-t+1,若 t 在区间[-2,2]上变动时,P 恒为正值,试求 x 的变化 范围.

的通项为 a n , 前 n项和为 s n , 且 a n 是 s n 与2的等差中项,数列 ?bn ?中, 8.已知数列 ?a n ?
b1=1,点 P(bn,bn+1)在直线 x-y+2=0 上。
50

、 的通项公式 a n , bn Ⅰ)求数列 ?a n ? ?bn ?
Ⅱ)设 ?bn ? 的前 n 项和为 Bn, 试比较

1 1 1 ? ? ... ? 与2的大小 。 B1 B2 Bn

Ⅲ)设 Tn=

b1 a1

?

b2 a2

? ... ?

bn an

, 若对一切正整数 n, Tn ? c (c ? Z )恒成立 , 求 c的最小值

八、参考答案
1.解:画出图象,由线性规划知识可得,选 D 2.解:命题 p 为真时,即真数部分能够取到大于零的所有实数,故二次函数 x ? 2 x ? a 的
2

判别式 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,从而 a ? 1 ;命题 q 为真时, 5 ? 2a ? 1 ? a ? 2 。 若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,故 p 和 q 中只有一个是真命题,一个是假命题。 若 p 为真,q 为假时,无解;若 p 为假,q 为真时,结果为 1<a<2,故选 C. 3.分析:本题主要复习分式不等式的解法、分类讨论的思想及利用序轴标根法解不等式的 基本步骤。本题的关键是对分母分解因式,将原不等式等价转化为 ? x ? a ?? x ? 3?? x ? 1? ? 0 和比较 a 与 ? 1 及 3 的大小,定出分类方法。 解:原不等式化为: ? x ? a ?? x ? 3?? x ? 1? ? 0 (1) 当 a ? ?1 时,由图 1 知不等式的解集为 x x ? a或 ? 1 ? x ? 3

?

?

(2) 当 ? 1 ? a ? 3时,由图 2知不等式的解集为 x x ? ?1或 a ? x ? 3 (3) 当 a ? 3时,由图 3知不等式的解集为 x x ? ?1或 3 ? x ? a

?

?

?

?

4.分析:方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关,要善于把它们有机 地联系起来,相互转化和相互交通. 解(1) 由题意可知,a>0 且-1,2 是方程 ax2+bx+a2-1≤0 的根,所以

51

(3)由题意知,2 是方程 ax2+bx+a2-1=0 的根,所以 4a+2b+a2-1=0. 又{2}是不等式 ax2+bx+a2-1≤0 的解集,所以



(4)由题意知,a=0.b<0,且-1 是方程 bx+a2-1=0 的根,即-b+a2-1=0,所以 a=0,b=-1. 说明:二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间存在着密切的联系.在解决具 体的数学问题时,要注意三者之间相互联系相互渗透,并在一定条件下相互转换。 5.分析:在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧,通过换元,可将较复杂的不 等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,数形结合,则可将不等式的解化归为 直观,形象的图象关系,对含参数的不等式,运用图解法,还可以使得分类标准更加明晰。
x 解:设 t ? a ,原不等式化为 1 ? t
2

? a ? t (t ? 0)设 y1 ? 1 ? t 2 (t ? 0), y 2 ? a ? t ,在

同一坐标系中作出两函数图象

? y1 ? y 2 , 故(1)当 0 ? a ? 1时,0 ? t ? 1, 即0 ? a x ? 1 ? x ? ?0,?? )
当1 ? a ? 2时, 如右图 , 解方程 1 ? t 2 ? a ? t得 t 1 , 2 ?
(2)

a ? 2? a2 2
2

?

a? 2?a 2

2

?t?

a? 2?a 2

2

? x ? (log a

2? 2?a 2

, log a

a ? 2? a2 2

)

(3)当 a ?

2 时,原不等式的解集为φ

综上所述,当 a ? (0,1) 时,解集为 ?0,?? ) ;当 a ? (1, 2 ) 时,解集为

(log a

2 ? 2 ? a2 2

, log a

2 ? 2 ? a2 2

); 当 a ?

?

2 , ?? ) 时,解集为φ 。

6. 证明: (1)x1 ? a ? 0及 x n ?1 ?

1 a 1 a a ( x n ? )知 x n ? 0, 从而 x n ?1 ? ( x n ? ) ? x n ? ? a ( n ? N ?) 2 xn 2 xn xn

? 当 n ? 2时 xn ?

a 成立

52

(2)当 n ? 2 时, x n ?
2

a ? 0 , x n ?1 ?

1 2

(xn ?

a xn

), ? x n ?1 ? x n ?

1

2 xn

(

a

? xn )

=

1 a ? xn ? ? 0. ? n ? 2时, xn ? xn ?1成立 2 xn

7.分析:要求 x 的变化范围,显然要依题设条件寻找含 x 的不等式(组),这就需要认真思 考条件中“t 在区间[-2,2]上变动时,P 恒为正值. ”的含义.你是怎样理解的?如果继续思 考有困难、请换一个角度去思考.在所给数学结构中,右式含两个字母 x、t,t 是在给定区 间内变化的,而求的是 x 的取值范围,能想到什么? 解:设 P=f(t)=(log2x-1)t+log22x-2log2x+1.因为 P=f(t)在 top 直角坐标系内是一直线,所以 t 在区间[-2,2]上变动时,P 恒为正值的充要条件

解得 log2x>3 或 log2x<-1.

说明:改变看问题的角度,构造关于 t 的一次函数,灵活运用函数的思想,使难解的问题转 化为熟悉的问题. 8.分析:本题主要复习数列通项、求和及不等式的有关知识。 略解:Ⅰ) an ? 2 , bn ? 2 n ? 1
n

Ⅱ)Bn=1+3+5+?+(2n-1)=n

2

?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 B 1 B2 Bn 1 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? .. ? ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) 1? 2 2 ? 3 ( n ? 1).n 2 2 3 n ?1 n 1 1 1 1 ? 2? ? ? ... ? ?2 n B 1 B2 Bn

?1? ?2?

Ⅲ)Tn=

1 3 5 2 n ?1 ? 2 ? 2 ? ... ? n ① 2 2 2 2

1 2

Tn ?

1 2
2

?

3 2
3

?

5 2
4

? ... ?

2n ? 1 2 n ?1


53

2 2 2 1 2n ? 1 ? Tn ? 3 ? n ? 2 ? ?3 2 2n 1 3 4 7 37 又 T4 ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ?2 2 2 16 2 2

①-②得 Tn ?

1

1 2

2

?

1
2

?

1
3

?

2
3

? ... ?

2 2
n

?

2n ? 1 2 n ?1

? 满足条件 Tn ? c的最小值整数 c ? 3 。

第4讲
一、考试内容

三角问题的题型与方法

角的概念的推广,弧度制; 任意角的三角函数,单位圆中的三角函数线,同角三角 函数的基本关系式:sin a+cos a=1, sin a/cos a=tan a, tan a cot a=1,正弦、余弦的诱导 公式;两角和与差的正弦、余弦、正切,二倍角的正弦、余弦、正切;正弦函数、余弦函 数的图象和性质,周期函数,函数 y=Asin(ωx+ψ)的图象,正切函数的图象和性质,已知三 角函数值求角;正弦定理,余弦定理,斜三角形解法举例。
2 2

二、考试要求
1.理解任意角的概念、弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算。 2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解余切、正割、余割的定义,掌握同解 三角函数的基本关系式,掌握正弦、余弦的诱导公式,理解周期函数与最小正周期的意义。 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公 式。 4.能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 5.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,会用―五点法‖画正弦函数、余 弦函数和函数 y=Asin(ωx+ψ)的简图,理解 A、ω、ψ 的物理意义。 6.会由已知三角函数值求角,并会用符号 arcsin x, arcos x,arctan x 表示。 7.掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形,能利用计算器解决解三 角形的计算问题。

三、复习目标
1. 熟练掌握三角变换的所有公式, 理解每个公式的意义, 应用特点, 常规使用方法等. 2.熟悉三角变换常用的方法——化弦法,降幂法,角的变换法等.并能应用这些方法 进行三角函数式的求值、化简、证明. 3.掌握三角变换公式在三角形中应用的特点,并能结合三角形的公式解决一些实际问 题. 4.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函
54

数的性质. 5.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、

6.理解图象平移变换、伸缩变换的意义,并会用这两种变换研究函数图象的变化.

四、双基透视
(一)三角变换公式的使用特点 1.同角三角函数关系式 (1)理解公式中“同角”的含义. (2)明确公式成立的条件。 例如,tan 2 α +1=sec 2 α ,当且仅当 ? ≠k (3)掌握公式的变形.特别需要指出的是 sinα =tanα ?cosα , cosα =cotα ?sinα .它使得“弦”可以用“切”来表示. (4)使用这组公式进行变形时,经常把“切”“割”用“弦”表示,即化弦法,这是三 、 角变换非常重要的方法. (5)几个常用关系式 ①sinα +cosα ,sinα -cosα ,sinα ?cosα ;(三式之间可以互相表示.)

同理可以由 sinα -cosα 或 sinα ?cosα 推出其余两式. ② 1 ? sin ? ? ? 1 ? sin

? ?

??

2

? . 2?

③当 x ? ? 0,

? ?

??

? 时,有 sin x ? x ? tan x . 2?

2.诱导公式 (1)诱导公式中的角是使公式成立的任意角. (2)正确使用诱导公式的关键是公式中符号的确定. (3)sin(kπ +α )=(-1)ksinα ;cos(kπ +α )=(-1)kcosα (k∈Z). ⑷熟记关系式 sin ? x ?

? ?

??

?? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? cos ? ? x ? ? cos ? x ? ? ;cos ? x ? ? ? sin ? ? x ? . 4? 4? 4? ?4 ? ? ? ?4 ?
(2)公式的变形应用要熟悉.
55

3.两角和与差的三角函数 (1)公式不但要会正用,还要会逆用.

熟记:tanα +tanβ =tan(α +β )(1-tanα ?tanβ ),它体现了两个角正切的和与积的关系.

(3)角的变换要能灵活应用,如 α=(α +β )-β,β=α -(α -β),2α =(α +β )+(α -β)等. 4.倍角公式,半角公式

(2)使用二倍角的正弦、余弦公式时,公式的选择要准确. 如已知 sinα ,cosα ,tanα 求 cos2α 时,应分别选择 cos2α =1 ?

(3)余弦的二倍角公式的变形——升幂公式、降幂公式必须熟练掌握.要明确,降幂法 是三角变换中非常重要的变形方法.

对 sin3α ,cos3α 的公式应记住. (4)使用正弦、余弦的半角公式时,要注意公式中符号的确定方法.正

在使用无理表达式时,须要确定符号;在使用两个有理表达式时,无须确定符号,这 是与选用无理表达式最大的区别,因此在化简、证明题中,

5.和差化积、积化和差公式,这两组公式现在不要求记忆,但要会使用. (1)要明确,这两组公式是解决正、余弦的加、减、乘的运算关系式.

56

(3)对下列关系式要熟记: 6.三角变换: 三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换. 三角恒等变形是以同角三角公式,诱导公式,和、差、倍、半角公式,和差化积和积 化和差公式,万能公式为基础. 三角代换是以三角函数的值域为根据,进行恰如其分的代换,使代数式转化为三角式, 然后再使用上述诸公式进行恒等变形,使问题得以解决. 7.三角形中的三角变换 三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的 特点. (1)角的变换 因为在△ ABC 中,A+B+C=π ,所以 sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC.

(2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理.

r 为三角形内切圆半径,p 为周长之半.

在非直角△ ABC 中,tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC. (4)在△ABC 中,熟记并会证明: ∠A,∠B,∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°. △ ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A,∠B,∠C 成等差数列且 a,b,c 成等比数 列. 8.三角形的面积公式: (1)△= (2)△= (3)△=

1 2 1

aha=

1 2

bhb=

1 2

chc(ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高) .

2 2 2 a sin B sin C
2 sin( B ? C )

absinC=

1

bcsinA= =

1

2 2 b sin C sin A
2 sin(C ? A)

acsinB. =

c 2 sin A sin B 2 sin( A ? B )



(4)△=2R2sinAsinBsinC. (R 为外接圆半径) (5)△=

abc 4R



57

(6)△= s ( s ? a )( s ? b )( s ? c ) ; ? s ?

? ?

1

? (a ? b ? c) ? . 2 ?

(7)△=r?s. 9.直角三角形中各元素间的关系: 如图,在△ABC 中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a. (1)三边之间的关系:a2+b2=c2. (勾股定理) (2)锐角之间的关系:A+B=90°; (3)边角之间的关系: (锐角三角函数定义) sinA=cosB= tgA=ctgB=

a c

,cosA=sinB=

b c




a b

,ctgA=tgB=

b a

10.斜三角形中各元素间的关系: 如图 6-29,在△ABC 中,A、B、C 为其内角,a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边. (1)三角形内角和:A+B+C=π . (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.

a sin A

?

b sin B

?

c sin C

? 2R

(R 为外接圆半径) (3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方 的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. a2=b2+c2-2bccosA, b2=c2+a2-2cacosB, c2=a2+b2-2abcosC. (4)射影定理:a=b?cosC+c?cosB, b=a?cosC+c?cosA, c=a?cosB+c?cosA. 11.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至 少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包 括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角形的问 题一般可分为下面两种情形:若给出的三角形是直角三角形,则称为解直角三角形;若给 出的三角形是斜三角形,则称为解斜三角形. 解斜三角形的主要依据是: 设△ABC 的三边为 a、b、c,对应的三个角为 A、B、C. (1)角与角关系:A+B+C = π, (2)边与边关系:a + b > c,b + c > a,c + a > b,a-b < c,b-c < a,c-a > b. (3)边与角关系: a b c 正弦定理 . ? ? ? 2 R (R 为外接圆半径) s i nA s i n B sin C 余弦定理 c2 = a2+b2-2bccosC,b2 = a2+c2-2accosB,a2 = b2+c2-2bccosA. 它们的变形形式有:a = 2R sinA, (4)面积公式:
58

sin A sin B

?

a b

, cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2bc



S? ?

1 2

aha ?

1 2

bhb ?

1 2

chc ?

1 2

ab sin C ?

1 2

ac sin B ?

1 2

bc sin A .

解斜三角形的常规思维方法是: (1)已知两角和一边(如 A、B、C) ,由 A+B+C = π 求 C,由正弦定理求 a、b. (2)已知两边和夹角(如 a、b、c) ,应用余弦定理求 c 边;再应用正弦定理先求较短 边所对的角,然后利用 A+B+C = π,求另一角. (3)已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A) ,应用正弦定理求 B,由 A+B+C = π 求 C,再由正弦定理或余弦定理求 c 边,要注意解可能有多种情况. (4)已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = π,求角 C. (二)三角函数性质的分析 1.三角函数的定义域

这两种表示法都需要掌握.即角 x 不能取终边在 y 轴上的角. 函数 y=cotx 的定义域是 x≠π 或(kπ ,kπ +π )(k∈Z),这两种表示法都需要掌握.即 角 x 不能取终边在 x 轴上的角. (2)函数 y=secx、y=cscx 的定义域分别与 y=tanx、y=cotx 相同. 2.三角函数的值域 (1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1 得函数 y=cscx、y=secx 的值域是|cscx|≥1、|secx|≥1. (2)复合三角函数的值域问题较复杂,除了代数求值域的方法都可以适用外,还要注意 三角函数本身的特点,特别是经常需要先进行三角变换再求值域. 常用的一些函数的值域要熟记.

③y=tanx+cotx∈(-∞,-2]∪[2,+∞). 3.三角函数的周期性 (1)对周期函数的定义,要抓住两个要点: ①周期性是函数的整体性质,因此 f(x+T)=f(x)必须对定义域中任一个 x 成立时,非零 常数 T 才是 f(x)的周期. ②周期是使函数值重复出现的自变量 x 的增加值. 因为 sin(2kπ +x)=sinx 对定义域中任一个 x 成立,所以 2kπ (k∈Z,k≠0)是 y=sinx 的
59

周期,最小正周期是 2π . 同理 2kπ (k∈Z,k≠0)是 y=cosx 的周期,最小正周期是 2π . 因为 tan(kπ +x)=tanx 对定义域中任一个 x 成立,所以 kπ (k∈Z,k≠0)是 y=tanx 的周 期,最小正周期是π . 同理 kπ (k∈Z,k≠0)是 y=cotx 的周期,最小正周期是π .

(3)三角函数的周期性在三角函数性质中的作用 ①函数的递增或递减区间周期性的出现,每一个三角函数,都有无数个递增或递减区 间,这些递增区间互不连接,递减区间也互不连接. ②函数的最大、最小值点或使函数无意义的点周期性变化. ③因为三角函数是周期函数,所以画三角函数图象时,只须画一个周期的图象即可. 4.三角函数的奇偶性,单调性 研究函数的单调性,关键是求函数的单调区间.

5.三角函数的图象 (1)画三角函数的图象应先求函数的周期,然后用五点法画出函数一个周期的图象. (2)函数 y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx 图象的对称中心分别为

∈Z)的直线.

五、思想方法
1.三角函数恒等变形的基本策略。 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos2ζ +sin2ζ =tanx?cotx=tan45°等。 (2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配 凑角:α =(α +β )-β ,β =

???
2



???
2

等。
60

(3)降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 (4)化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切) 。 (5)引入辅助角。asinζ +bcosζ = a ? b sin(ζ + ? ),这里辅助角 ? 所在象限由 a、
2 2

b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? =

b a

确定。

(6)万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成 tan

? 的有理式。 2

2.证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。 (2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利 用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析” 。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。

六、注意事项
对于三角函数进行恒等变形,是三角知识的综合应用,其题目类型多样,变化似乎复 杂,处理这类问题,注意以下几个方面: 1.三角函数式化简的目标:项数尽可能少,三角函数名称尽可能少,角尽可能小和少, 次数尽可能低,分母尽可能不含三角式,尽可能不带根号,能求出值的求出值. 2.三角变换的一般思维与常用方法. 注意角的关系的研究,既注意到和、差、倍、半的相对性,如 ? 1 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? ? 2 ? ? ? 2? .也要注意题目中所给的各角之间的关系. 2 2 注意函数关系,尽量异名化同名、异角化同角,如切割化弦,互余互化,常数代换等. 熟悉常数“1”的各种三角代换: ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? sec 2 ? ? tan 2 ? ? cos ? ? sec ? ? sin ? cos 0 ? tan ? 2 sin 等. 2 4 6 ? 注意万能公式的利弊:它可将各三角函数都化为 tan 的代数式,把三角式转化为代数 2 式.但往往代数运算比较繁. 熟悉公式的各种变形及公式的范围,如 ? 1 ? cos ? ? sin α = tan α · α , 1 ? cos ? ? 2 cos 2 , cos ? tan 等. 2 sin ? 2 利用倍角公式或半角公式,可对三角式中某些项进行升降幂处理,如

? ?? ? ?? ? ? , 1 ? sin ? ? ? sin ? cos ? , 1 ? sin ? ? ? sin ? cos ? 等.从右到 1 ? cos ? ? 2 sin 2 2? 2 2? 2 ? ? 左为升幂,这种变形有利用根式的化简或通分、约分;从左到右是降幂,有利于加、减运 算或积和(差)互化. 3.几个重要的三角变换: sin α cos α 可凑倍角公式; 1±cos α 可用升次公式;
2

?

2

2

61

?? ? 1±sin α 可化为 1 ? cos ? ? ? ? ,再用升次公式; ?2 ?
a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b 2 sin ? ? ? ? ? (其中 tan ? ?

b a

)这一公式应用广泛,熟练

掌握. 4. 单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示, 四种三角函数 y = sin x、 = cos x、 y y = tan x、y = cot x 的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的,因此应熟练掌握三 角函数线并能应用它解决一些相关问题. 5. 三角函数的图象的掌握体现在:把握图象的主要特征(顶点、零点、中心、对称轴、 单调性、渐近线等) ;应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图. 6.三角函数的奇偶性 “函数 y = sin (x+φ) (φ∈R)不可能是偶函数” .是否正确. 分析:当 ? ?

?
2

时, y ? sin ? x ?

? ?

??

? ? cos x ,这个函数显然是偶函数.因此,这个 2?

判断是错误的.我们容易得到如下结论: ① 函数 y = sin (x+φ)是奇函数 ? ? ? k? ?k ? Z ? . ② 函数 y = sin (x+φ)是偶函数 ? ? ? k? ? ③ 函数 y =cos (x+φ)是奇函数 ? ? ? k? ? ④ 函数 y = cos (x+φ)是偶函数 ? ? ? k? 7.三角函数的单调性 “正切函数 f (x) = tan x, x ? k? ?

? ?
2

?k ? Z ? .

?k ? Z ? . 2 ?k ? Z ? .

?
2

?k ? Z ? 是定义域上的增函数” ,是否正确.

分析:我们按照函数单调性的定义来检验一下: ?? ? ?? ? 任取 x1 ? ? 0 , ? , x 2 ? ? , ? ,显然 x1<x2,但 f (x1 )>0>f (x2 ),与增函数的定义 ? 2? 2 ? ? ? 相违背,因此这种说法是不正确的. 观察图象可知:在每一个区间 ? k? ?

? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?

?k ? Z ? 上,f (x ) = tan x 都是增

函数,但不能说 f (x ) = tan x 在其定义域上是增函数.

七、范例分析
例 1、已知 tan ? ?

cos? ? sin ? sin ? 1? cos ? ? sin ? cos ? ? 1 ? tan ? ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 2 ; 解: (1) ? sin ? cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 1 ? 2 1? cos ?

2 ,求(1)

cos? ? sin ?

; (2) sin ? ? sin ? . cos? ? 2 cos ? 的值.
2 2

62

(2)

sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? ?

sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ?

sin 2 ? sin ? ? ?2 2 2? 2 ?2 4? 2 . ? cos ? 2 cos ? ? ? sin ? 2 ?1 3 ?1 cos 2 ?
说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行弦、切互化,就 会使解题过程简化。 例 2、已知函数 f(x)=tan(

?
3

sinx)

(1)求 f(x)的定义域和值域; (2)在(-π ,π )中,求 f(x)的单调区间; (3)判定方程 f(x)=tan

2 3

π 在区间(-π ,π )上解的个数。

解: (1)∵-1≤sinx≤1 ∴ - 处无定义, 且 (- ∴令

?
3



?
3

sinx≤

?
3

。又函数 y=tanx 在 x=kπ +

? (k∈Z) 2

? ? ? ? , ) [- , ] (-π , π ) , 2 2 3 3

3 ? ,则 sinx=± 2 2 3 ? 解之得:x=kπ ± (k∈Z) 3
sinx=± ∴f(x)的定义域是 A={x|x∈R,且 x≠kπ ± ∵tanx 在(- 的值域 B 满足 (-

?

? ? ? , )内的值域为(-∞,+∞) ,而当 x∈A 时,函数 y= sinx 2 2 13

? ,k∈Z} 3

? ? , ) B 2 2

∴f(x)的值域是(-∞,+∞) 。

2? ? 和 x= 处无定义。 3 3 ? 2? ? ? 2? ? ? ? 设 t= sinx, 则当 x∈[0, )∪ ( , )( ∪ , ) t∈[0, π 时, ) ∪( , ], 3 3 3 3 2 2 3 3 ? ? ? 且以 t 为自变量的函数 y=tant 在区间(0, )( , , ] 上分别单调递增。 2 2 3
(2)由 f(x)的定义域知,f(x)在[0,π ]中的 x=

63

? ? ? ]时,函数 t= sinx 单调递增,且 t∈[0, ) 3 2 3 ? ? ? ? ? 当 x∈( , ] 时,函数 t= sinx 单调递增,且 t∈( , ] 3 2 2 3 3 ? ? 2? ? ? 当 x∈[ , sinx 单调递减,且 t∈( , ) 时,函数 t= ] 3 2 2 3 3 ? 2? ? 当 x∈( ,π )时,函数 t= sinx 单调递减,且 t∈(0, ) 3 2 3 ? ? ? ? ∴ f(x)=tan( sinx) 在 区 间 [0 , ) ,( , ] 上分别是单调递增函数;在 3 3 2 13 ? 2? 2? [ , ), ( , ? ) 上是单调递减函数。 2 3 3 ? ? ? 又 f(x)是奇函数,所以区间(- ,0 ] ,[- ,- ) 也是 f(x)的单调递增区间 3 2 3 2? 2? ? [ ?? ,? ), ( ? ,? ] 是 f(x)的递减区间。 3 3 2 ? ? ? ? ? 故在区间(-π ,π )中,f(x)的单调递增区间为:[- ,- ) , (- , )( , , 2 3 3 3 3 2? 2? 2? 2? ? ] 单调递减区间为 [ ?? ,? ), ( ? , ), ( ,? ) 。 3 3 3 3 2
又∵当 x∈[0, (3)由 f(x)=tan tan(

2 3 3 6 3

π 得:

?
3

sinx)=tan(

2

π )?

?
3

sinx=kπ +

2 3

π

(k∈Z)

? sinx=k 3 +

(k∈Z)①

又∵-1≤sinx≤1,∴ ∴k=0 或 k= -1

? 3? 2 3

?k?

3? 2 3

当 k=0 时,从①得方程 sinx=

6 3

当 k=1 时,从①得方程 sinx= - 3 + 显然方程 sinx=

6 3
,在(-π , π )上各有 2 个解,故 f(x)=tan

6 3

,sinx= - 3 +

6 3

2 3

π 在区间(-π ,π )上共有 4 个解。 说明:本题是正弦函数与正切函数的复合。 (1)求 f(x)的定义域和值域,应当先搞清楚
64

y=

?
3

sinx 的值域与 y=tanx 的定义域的交集; (2)求 f(x)的单调区间,必须先搞清 f(x)的基

本性质。如奇偶性、周期性、复合函数单调性等。 例 3 、已知函数 f

? x ? ? ? a cos 2 x ? 2

?? ? 3a sin x cos x ? 2 a ? b 的定义域为 ? 0 , ? ,值域为 2? ?

[ -5,1 ],求常数 a、b 的值. 解:∵ f

? x ? ? ? a cos 2 x ?

3a sin 2 x ? 2 a ? b ,

?? ? ? ?2 a cos ? 2 x ? ? ? 2 a ? b . 3? ? 1 ?? ? ? ? 2? ? ∵ 0 ? x ? ,∴ ? ? 2 x ? ? ,∴ ? ? cos ? 2 x ? ? ? 1 . 2 3? 2 3 3 3 ? 当 a > 0 时,b ≤ f ( x ) ≤ 3a + b, ?3 a ? b ? 1 , ?a ? 2 , ∴ ? 解得 ? ?b ? ? 5 . ?b ? ? 5 .
当 a < 0 时,3a + b ≤ f ( x ) ?3 a ? b ? ? 5 , ∴ ? 解得 ?b ? 1 . 故 a、b 的值为 ? ≤ b . ?a ? ?2 , ? ?b ? 1 .

?a ? 2 ?b ? ? 5

或 ?

?a ? ?2 ?b ? 1

说明:三角函数作为函数,其定义域和值域也是它的要素,要待定表达式中的常数值, 需注意常数变化对值域的影响. 例 4、设 f ( x ) ? a sin ?x ? b cos ?x (? ? 0) 的周期 T ? ? ,最大值 f (

?
12

) ? 4,

(1)求 ? 、 a 、 b 的值; (2) 若?、、 ?为方程 f ( x ) ? 0的两根, ?、、 ?终边不共线,求 tan(? ? ? )的值 . 解:(1) f ( x ) ?

a 2 ? b 2 sin(? x ? ?) , ?T ? ? , ? ? ? 2 , 又 ? f ( x ) 的最大值 ? 2? 2? ②, ? f ( ) ? 4 , ? 4 ? a 2 ? b 2 ① , 且 4 ? a sin ? b cos 12 12 12 由 ①、②解出 a=2 , b=3. ? (2) f ( x ) ? 2 sin 2 x ? 2 3 cos 2 x ? 4 sin( 2 x ? ) , ? f (? ) ? f (?) ? 0 , 3 ? ? ? 4 sin( 2? ? ) ? 4 sin( 2? ? ) , 3 3 ? ? ? ? ? 2? ? ? 2 k? ? 2? ? , 或 2? ? ? 2 k? ? ? ? ( 2? ? ) , 3 3 3 3 ? 即 ? ? k? ? ? ( ?、 ? 共线,故舍去) , 或 ? ? ? ? k? ? , 6
65

? 3 ? tan(? ? ?) ? tan(k? ? ) ? 6 3

( k ? Z) .

说明:方程组的思想是解题时常用的基本思想方法;在解题时不要忘记三角函数的周期性。 例 5、已知:sin3α +cos3α =1,求 sinα +cosα ; sin4α +cos4α ;sin6α +cos6α 的值。 解法一:令 sinα +cosα =t,则 sinα ?cosα =

t2 ?1 2

∴sin3α +cos3α =(sinα +cosα )(sin2α -sinα ?cosα +cos2α ) =t?(1-

t2 ?1

2 3 t -3t+2=0 ? (t-1)2?(t+2)=0
∵t≠-2 ∴t=sinα +cosα =1,且 sinα ?cosα =

)=1,得:

t2 ?1 2

=0。

∴sin4α +cos4α =(sin2α +cos2α )2 – 2sin2α ?cos2α =1-2?0=1 sin6α +cos6α =(sin2α +cos2α )(sin4α -sin2α ?cos2α +cos4α )=1 解法二:∵sin3α ≤sin2α ,cos3α ≤cos2α ∴sin3α +cos3α ≤sin2α +cos2α =1

? 3 ?sin ? ? sin ? 等号当且仅当 ? 时成立, ?cos 3 ? ? cos ? ?

?sin ? ? 0 ?cos ? ? 0 或? ?? ?cos ? ? 1 ?sin ? ? 1
∴sinα +cosα =sin4α +cos4α =sin6α +cos6α =1 说明: 凡是遇到 sinx+cosx 与 sinx? (1) cosx 类的问题, 均应采用换元法, sinx+cosx=t, 令 得 sinx?cosx=

t2 ?1 2



(2)三角中的恒等变形与初中所学整式的恒等变形结合是解本题的关键所在。 - - (3)本题还可推广到一般情形:若 k≥2 且 sin2k 1α +cos2k 1α =1,则 sinα =1,cosα 2k 2k =0 或 sinα =0,cosα =1,若 sin α +cos α =1,则 sinα =±1,cosα =0 或 sinα =0,cosα =±1。 例 6、设 f(x)=tanx,x∈(0,

? ? ),若 x1,x2∈(0, ),且 x1≠x2,证明: 2 2
2 sin x 2
cos x 2
)

1 2

[ f(x1)+ f(x2)]>f(

x1 ? x 2

证明:tanx1+ tanx2= =

sin x1 cos x1

+

=

sin x1 ? cos x 2 ? sin x 2 ? cos x1 cos x1 ? cos x 2
∵x1,x2∈(0,

2 sin( x1 ? x 2 ) cos( x1 ? x 2 ) ? cos( x1 ? x 2 )

? ) ,且 x1≠x2 2

∴2sin(x1+x2)>0,cosx1?cosx2>0,0<cos(x1-x2)<1 从而有 0<cos(x1+x2)+cos(x1-x2)<1+cos(x1+x2)
66

∴tan x1+tanx2>

2 sin( x1 ? x 2 ) 1 ? cos(x1 ? x 2 )

=2tan

x1 ? x 2 2

另证:以上是采用化弦,放缩后利用公式 tan 和差角公式加以证明。 左边-右边= = = = =

sin ? ? = 加以证明的,也可以利用正切的 2 1 ? cos ?

1

1 2 1

[tanx1-tan [tan(x1- tan tan

2 x1 ? x 2
2

[tanx1+tanx2]-tan +tanx2-tan

x1 ? x 2
] )+tan(x2-

2 x1 ? x 2

x1 ? x 2 2

2 1
2 1 2

)?(1+tanx1?tan

2 x1 ? x 2

x1 ? x 2 2
2
)

2

)?(1+tanx2?tan

x1 ? x 2 2

)]

x1 ? x 2 2 x1 ? x 2

?(1+tanx1tan tan

x1 ? x 2 2

-1-tanx2?tan

x1 ? x 2
∈(0,

x1 ? x 2 2

2

(tanx1-tanx2) ,∵

x1 ? x 2 2

x ? x2 ? ) ∴tan 1 >0 2 2
x1 ? x 2 2
)

又∵tan

x1 ? x 2 2

和 tanx1-tanx2 在 x1>x2 时, 同为正, x1<x2 时, 在 同为负, 所以 tan

(tanx1-tanx2)>0。 综上

1 2

tan

x1 ? x 2 2

tan

x1 ? x 2 2

?(tanx1-tanx2)>0,即

1 2

[f(x1)+f(x2)]>f(

x1 ? x 2 2

说明:在三角函数恒等式、条件等式、不等式证明中,常采用化弦法。本题解法一是 化弦,了解决把两个分数的单角转化为和角,同时又使函数值适当缩小。 例 7、如图,A、B 是一矩 OEFG 边界上不同的两点,且∠AOB=45°,OE=1,EF= 3 ,设∠ AOE=α . (1)写出△AOB 的面积关于α 的函数关系式 f(α ); (2)写出函数 f(x)的取值范围。 解: (1)∵OE=1,EF= 3 ∴∠EOF=60° 当α ∈[0,15°]时,△AOB 的两顶点 A、B 在 E、F 上,且 AE=tanα ,BE=tan(45°+α ) ∴f(α )=S△AOB= =

1 2

[tan(45°+α )-tanα ] =

sin 45 ? 2 cos ? · 45 ? ?α ) cos(

2 2 cos(2 ? 45 ?) ? 2 α

当 a∈ (15°,45°]时, 点在 EF 上, 点在 FG 上, OA= A B 且

1 cos ?

, OB=

3 cos(45 ? ?α )

67

∴ f (? ) =S =



AOB=

1 2

OA ? OB ? sin45 ° =

1 2 cos ?

?

3 cos(45 ? ?α )

? sin45 °

6 2 cos(

?
4

?2 )? 2 α
2 ?

? ? ? 2 cos(2 α ? 综上得:f(α )= ? ? ? α ? 2 cos(2 ?

?
4

   ? ? [ 0, )? 2    ? ? ( )? 2

?
12

]

6 ?

?
4

, ] 12 4

? ?

(2)由(1)得:当α ∈[0, f(α )=

? ]时 12
1 2
, 3 -1]

2 2 cos(2 ? α

?
4 1

∈[

)? 2
;α =

? 时,f(α )max= 3 -1; 2 12 ? ? ? ? ? 当α ∈ ( , ] 时,- ≤2α - ≤ ,f(α )= 12 4 12 4 4
且当α =0 时,f(α )min= 且当α =

6

2 cos(2 ? α

?
4 3

∈[ 6 - 3 ,

3 2

]

)? 2

? ? 时,f(α ) min= 6 - 3 ;当α = 时,f(α ) max= 2 8 4 3 1 所以 f(x) ∈[ , ]。 2 2

说明:三角函数与其他数学知识有着紧密的关系,它几乎渗透了数学的每一个分支。 练习时注意三角函数的综合应用。 例 8、 已知函数 y=

1 2

cos2x+

3 2

sinx?cosx+1 (x∈R),

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到? 解: (1)y=

1 2

cos2x+ cos2x+

3 2

sinx?cosx+1=

1 4

(2cos2x-1)+

1 4

+

3 4

(2sinx?cosx)+1

=

1 4 1

3

4 ? 5 = sin(2x+ )+ 2 6 4

sin2x+

5 4

=

1 2

(cos2x?sin

? ? 5 +sin2x?cos )+ 6 6 4

68

? ? ? = +2kπ ,(k∈Z) ,即 x= +kπ ,(k∈Z) 。 6 2 6 ? 所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= +kπ ,k∈Z} 6
所以 y 取最大值时,只需 2x+ (2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换:

? ? ,得到函数 y=sin(x+ )的图像; 6 6 1 (ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到函数 2 ? y=sin(2x+ )的图像; 6 1 (iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 倍(横坐标不变) ,得到函数 2 1 ? y= sin(2x+ )的图像; 2 6 5 1 ? 5 (iv)把得到的图像向上平移 个单位长度,得到函数 y= sin(2x+ )+ 的图像。 4 2 6 4 3 1 综上得到 y= cos2x+ sinxcosx+1 的图像。 2 2
(i)把函数 y=sinx 的图像向左平移 说明:本题是 2000 年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数的图像和性 质。这类题一般有两种解法:一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式,降幂后最终化成 y= a ? b sin (ω x+ ? )+k 的形式,二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题(1)还 可以解法如下:当 cosx=0 时,y=1;当 cosx≠0 时,
2 2

1
y= 2

cos 2 x ?

3

2 sin 2 x ? cos 2 x

sin x cos x

1
+1= 2

tan x 2 +1 1 ? tan 2 x

?

3

化简得:2(y-1)tan2x- 3 tanx+2y-3=0 ∵tanx∈R,∴△=3-8(y-1)(2y-3) ≥0,解之得:

3

≤y≤

7

4 4 ? ∴ymax= ,此时对应自变量 x 的值集为{x|x=kπ + ,k∈Z} 4 6
7
例 9、已知函数 f ( x ) ? sin

. 3 3 (Ⅰ)将 f(x)写成 A sin(?x ? ? ) 的形式,并求其图象对称中心的横坐标; 3

x

cos

x

? 3 cos 2

x

(Ⅱ)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及 此时函数 f(x)的值域. 1 2x 3 2x 1 2x 3 2x 3 2x ? 3
f ( x) ? 2 sin 3 ? 2 (1 ? cos 3 )? 2 sin 3 ? 2 cos 3 ? 2 ? sin( 3 ? 3 )? 2
69

由 sin(

2x 3

?

?
3

) =0 即

2x

即对称中心的横坐标为 (Ⅱ)由已知 b2=ac

3 3 3k ? 1

?

?

? k? ( k ? z )得 x ?

3k ? 1 2

?

k?z

2
cos x ? ? ?| 1 2 a2 ? c2 ? b2 2 ac ?

?, k ? z
2 ac ? ac 1

a 2 ? c 2 ? ac 2 ac

?

? cos x ? 1, ?

0? x?

?
3



, 2 ac 2 ? 2 x ? 5? ? ? ? 3 3 3 9 2x 3 ?

?

?
3

?
2

|?|

5? 9

?

?
2

|,

? sin

?
3

? sin(

?
3

) ? 1,

? 3 ? sin(

2x 3

?

?
3

) ? 1?

3 2



即 f ( x ) 的值域为 ( 3 ,1 ? 综上所述, x ? (0,

3 2

].


?
3

]

f ( x ) 值域为 ( 3 ,1 ?

3 2

] .

说明:本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识,还需要利用数形结合的 思想来解决函数值域的问题,有利于培养学生的运算能力,对知识进行整合的能力。 例 10、设二次函数 f ( x ) ? x ? bx ? c (b, c ? R ) ,已知不论 ? , ? 为何实数恒有
2

f (sin ? ) ? 0, f ( 2 ? cos ? ) ? 0 . (1) 求证: b ? c ? ?1 ; (2) 求证: c ? 3 ; (3) 若函数 f (sin ? ) 的最大值为 8,求 b, c 的值. (1) ? sin ? ? [ ?1,1] , 2 ? c o s ? [1,3] , 又 ? f ( s i n ) ? 0 , f ( 2 ? c o s ) ? 0 ? ? ? 成立. ? f (1) ? 0 , f (1) ? 0 , 即 f (1) ? 0 恒成立. ?1 ? b ? c ? 0 , 即 b ? c ? ?1 . (2)? f (3) ? 0 , ? 9 ? 3b ? c ? 0 , ? 9 ? 3( ?1 ? c) ? c ? 0 , ? c ? 3 .



, (3)由题意可知: f ( x ) 在[ ?1 1]上为减函数 ,
? 8 ? f ( ?1) ? 1 ? b ? c
①,

? b ? c ? ?1

② ,

由 ① ,② 可得 b = ? 4 ,c = 3 . 说明:赋值法在解决有关恒成立问题时经常用到,利用函数的单调性往往能使问题得以顺 利解决。 例 11、已知函数 y ?

1 2

cos 2 x ?

3 2

sin x cos x ? 1( x ? R )

(1) 求函数 y 的最大值,并求此时 x 的值. (2) 该函数的图象可由 y ? sin x ( x ? R ) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

70

解: (1) y ?

1 2

cos 2 x ?

3 2

sin x cos x ? 1 ?

1 2

sin( 2 x ?

?
6

)?

5 4



? 当 x ? k? ?

?
6

, k ? Z时, y max ?

7 4



(2)将函数 y ? sin x 的图象依次进行如下变换: ① 把函数 y ? sin x 的图象向左平移

? ? ,得到函数 y ? sin( x ? ) 的图象; 6 6 1 ② 把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到函数 2 ? y ? sin(2 x ? ) 的图象; 6 1 ③ 把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的 倍(横坐标不变) ,得到函数 2 1 ? y ? sin( 2 x ? ) 的图象; 2 6 5 1 ? 5 ④把得到的图象向上平移 个单位长度,得到函数 y ? sin( 2 x ? ) + 的图象; 4 2 6 4
综上得函数 y ?

1 2

cos 2 x ?

3 2

sin x cos x ? 1 的图象.

说明:图象变换是否熟练、准确是解决三角函数问题的关键,要求学生要熟练掌握。
B 例 12、化工厂的主控制表盘高 1 米,表盘底边距地面 2 米,问值班人员坐在什么位置上表 盘看得最清楚?(设值班人员坐在椅子上时,眼睛距地面 1.2 米). 1m 解:如图, CD ? 2 ? 1.2 ? 0.8 ,设 AD ? x ,则 C

tan ? ?
tan ? ?

BD AD CD
AD

?
?

1 ? 0 .8 x 1 .8
x


?

1 .8 x


2m 1.2 m D

A

? tan ? ? tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?



1 .8 0 .8 ? 1 1 1 x ? , ? tan ? ? x ? ? 1 .8 0 .8 1.44 2 .4 1.44 1? ? x? 2 x? x x x x
当x ?

B 1m C

1.44 x

,即 x ? 1.2 时,

?
A

tan ? 达到最大值

1 2 .4

, ? 是锐角, tan ? 最大时,

?

?
D 1.2 m

2m

? 也最大,所以值班人员看表盘最清楚的位置为 AD ? 1.2 米.
71

说明:欲在表盘看得清楚,人眼距表盘水平距离 AD 应使视角达到最大。合理利用角的关 系,建立目标函数,是本题的关键。 例 13、平面直角坐标系有点 P (1, cos x ), Q (cos x,1), x ? [ ?

? ?

, ] 4 4

(1) 求向量 OP 和 OQ 的夹角 ? 的余弦用 x 表示的函数 f ( x ) ; (2) 求 ? 的最值. 解: (1)? OP ? OQ

? OP ? OQ ? cos? ,
2 cos x

? cos x ? cos x ? (1 ? cos 2 x ) cos ? ? cos ? ?


1 ? cos 2 x 2c o s x f ( x) ? 2 1? c o s x

(?
, 又

?
4

?x?

?
4

)
1 cos x ? [ 2, 3 2 2 ],

(2)? cos ? ?

2 1 cos x ? cos x
2 2 3 ,1] ,

cos x ?

? c o ? ?[ s

?? min ? 0 ,

? m a x? a r c c o s

2 2 3

.

说明:三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意。 例 14、已知:定义在 (?? ,4] 上的减函数 f ( x ) ,使得

f ( m ? sin x ) ? f ( 1 ? 2 m ?

7 4

? cos 2 x ) 对一切实数 x 均成立,求实数 m 的范围.

解:由题意可得

7 ? 2 ? m ? sin x ? 1 ? 2 m ? ? cos x , 4 ? ? m ? sin x ? 4 ?


3 ? 2 ? m ? 1 ? 2 m ? ? s i n x ? s i nx ? 4 ? ? m ? 4 ? s i nx ?

对x ? R恒成立 ,

又?

?s in x?s in ? 2 x

3

?

4 ? s i n ? 3, x

1 1 ? ?( s i n ? ) 2 ? , x 4 2 2

1 ? ?m ? 1 ? 2m ? ? ? ? 2, ?m ? 3 ?

1 ? ?m ? ? 1 ? 2m , ?? 2 ?m ? 3 ?
72

?m ? ?

1 2

, 或

3 2

? m ? 3.

说明:利用三角函数的值域来求解变量的取值范围,是较为常见的解题思路,在利用单调 性列出不等式时,不能忘记函数的定义域。

七、强化训练
1. (2003 江苏)已知 x?( ? A.

?
2

,0),cosx= C.

4

7 24 A 2 ? tan

B.

?

7 24 A

5 24 7

,则 tan2x = D. ?

------------------------------(

)

24 7

2 .( 2003 北 京 春 季 ) 在 ?ABC 中 , 已 知 A 、 B 、 C 成 等 差 数 列 , 求

2 2 4 4 3. (2003 北京)已知函数 f ( x ) ? cos x ? 2 sin x cos x ? sin x
(1) 求 f(x)的最小正周期;

tan

C 2

? 3 tan

? tan

C

的值.

? ],求 f(x)的最大值,最小值. 2 4、 (2002 江苏)在 (0,2? ) 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 取值范围为-----------------( ) ? ? 5? ? ? 5? ? 5? 3? (A) ( , ) ? (? , ) (B) ( , ? ) (C) ( , ) (D) ( , ? ) ? ( , ) 4 2 4 4 4 4 4 4 2 5、 (2002 上海)函数 y ? x ? sin | x |, x ? [ ?? , ? ] 的大致图象是----------------------( )
(2) 若 x?[0, y π -π o π -π (A) x -π o π (B) x -π o π -π (C) x -π o π -π (D) x y π y π y π

6、 (2002 北京)已知 f ( x ) 是定义在 (?3,3) 上的奇函数,当 0 ? x ? 3 时, f ( x ) 的图象如图 所示,那么不等式 f ( x ) cos x ? 0 的解集是---------------------------------------------------( (A) ( ?3,? (B) ( ? )

?

,?1) ? (0,1) ? ( ,3) 2 2 (C) ( ?3,?1) ? (0,1) ? (1,3)
(D) ( ?3,?

?

) ? (0,1) ? ( ,3) 2 2

?

y

?

0

1

2

3

x

?
2

) ? (0,1) ? (1,3)


7、已知 sinα >sinβ ,那么下列命题成立的是( A.若α 、β 是第一象限角,则 cosα >cosβ

73

B.若α 、β 是第二象限,则 tanα >tanβ C.若α 、β 是第三象限角,则 cosα >cosβ D.若α 、β 是第四象限角,则 tanα >tanβ 8、下列命题中正确的是( ) A.y=tanx 是增函数 B.y=sinx 在第一象限是增函数

? -arccosx 是奇函数 D.y=sinx 的反函数是 y=arcsinx 2 ? 9、函数 y=sin(2x+ )的图象是由函数 y=sin2x 的图像( ) 3 ? ? A.向左平移 单位 B.向右平移 单位 3 6 5? 5? C.向左平移 单位 D.向右平移 单位 6 6 ?? ?
C.y= 10、要得到函数 y ? 3 cos? 2 x ?

?

? 的图象,可以将函数 y = 3 sin2 x 的图象( ) 4?

? 单位 8 ? C. 沿 x 轴向左平移 单位 4
A. 沿 x 轴向左平移

? 单位 8 ? D. 沿 x 轴向右平移 单位 4
B. 沿 x 轴向右平移

11、图 04 是函数 y =2 sin (ωx+φ)( ? ? A. ? ?

?
2

, ? ? 0 )的图象.则 ω、φ 的值是(



10 11

,? ?

?
6

B. ? ?

10 11

,? ? ?

?
6

C. ? ? 2 , ? ?

?
6

D. ? ? 2 , ? ? ?

?
6

12、△ABC 中,若∠A,∠B,∠C 顺序成等差数列,则 cos2A+cos2C 的取值范围是______. 1 ? ? 3? ? 13、 sin x ? cos x ? , x ? ? ? , ? ,求 tan x 的值. 2 ? 5 ? 6 14、 (1)已知 sin(

1 ? ? ? +α )?sin( -α )= , α ∈( ,π ),求 sin4α ; 6 4 4 2 sin 2 x ? 2 sin 2 x 7 ? 3 5 (2)已知 cos(x+ )= , π <x< π ,求 的值。 1 ? tan x 4 4 5 4

15、某观测站 C 在城 A 的南 20?西的方向上,由 A 城出发有一条公路,走向是南 40?东,在 C 处测得距 C 为 31 千米的公路上 B 处有一人正沿公路向 A 城走去, 走了 20 千米后, 到 达 D 处,此时 C、D 间距离为 21 千米,问这人还需走多少千米到达 A 城? 16、△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,若 a,b,c 顺序成等差数列, 且∠A-∠C=120°,求 sinA,sinC. 17、如图 03,三棱锥 P-ABC 的底面 ABC 为等腰三角形,AB = AC = a ,侧棱长均为 2a,问 BC 为何值时,三棱锥 P-ABC 的体积 V 最大,最大值是多少? 18、已知⊙O 的半径为 R, ,在它的内接三角形 ABC 中,有
74

2 R sin 2 A ? sin 2 C ?

?

? ?

2 a ? b sin B

?

成立,求△ABC 面积 S 的最大值.

八、参考答案
1. D

A?C ? B ? 60 0, A ? C ? 120 0, ? 60 0, 2 A C tan ?tan A C A C A C 2 2 得 3 1 ? tan tan ) ? tan ? tan , ( 由t a n ( ? ) ? A C 2 2 2 2 2 2 1? t a n t a n 2 2 A C A C ? tan ? tan ? 3 tan tan ? 3 . 2 2 2 2 ? 3. f ( x ) ? (cos 2 x ? sin 2 x )(cos 2 x ? sin 2 x ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 cos(2 x ? ) , 4 ? ? ? 5? ? (1)T ? ? ; (2) x ? [0, ] , ? 2 x ? ? [ , ] , ? 2 cos(2 x ? ) ? [ ? 2 ,1] , 2 4 4 4 4 3? f ( x ) m a x ? 1 , 此时 x ? 0 , f ( x ) min ? ? 2 , 此时 . x? 8
2. ? A、B、C成等差数列 , 4. C 5.C 6.B.

7、当α ,β ∈(0,

? ? )时,由 sinα >sinβ 得α >β ,此时 cosα <cosβ ;当α ,β ∈( ,π ) 2 2 3? 时,由 sinα >sinβ 得,α <β ,此时 tanα <tanβ ;当α ,β ∈(π , )时,由 sinα >sin 2 β 得,α <β ,此时 cosα <cosβ ;而对于α ,β 是第四象限角,由 sinα >sinβ ? sin2α 1 1 <sin2 β ? 1-cos2 α <1-cos2 β ? cos2 α >cos2 β ? < ? tan2 α <tan2 β 2 2 cos ? cos ? ∵tanα <0,tanβ <0 ? tanα >tanβ 。故答案选 D。

8、y=tanx 在每一个定义区间上都是增函数,但在其定义域内并不是增函数;y=sinx 在第一 象限的每个区间上都是增函数,但在第一象限上并不是增函数;y=arcsinx 只是 y=sinx,x

? ? ? ? ? , ]的反函数; f(x)= 令 -arccosx,则 f(-x)= - arccos(-x)=arccosx- = 2 2 2 2 2 ? -f(x)所以 y= -arccosx 是奇函数。故答案选 C。 2
∈[- 9、 y=sin2x 图像向左平移

2? ? ? ? 单位后得:y=sin2(x+ )=sin(2x+ );y=sin2x 图像, 向右平移 3 3 3 6` 5? ? ? 单 位 后 得 y=sin2(x - )=sin(2x - );y=sin2x 图 象 向 左 平 移 单位后得: 6` 6` 3`
75

y=sin2(x+ -

5? 6`

)=sin(2x+

5? 3

)=sin(2x-

5? 6`

)=sin(2x-

5? 3

)=sin(2x+

? ),故答案选 D。 3

5? ? );y=sin2x 图像向右平移 单位后得:y=sin2(x 6` 3

10、分析:我们知道,当 a>0 时,把函数 y = f (x)的图象沿 x 轴向右移 a 个单位,便得到函 数 y = f (x-a) 的图象,把函数 f (x)的图象沿 x 轴向左平移 a 个单位,便得到函数 y = f (x+a) 的图象.本题中 y ? 3 cos? 2 x ?

? ?

??

? 与 y = 3 sin 2x 的对应法则不同,应当把它 4?

们变为“y = f (x)与 y = f (x+a)”的形式后,再讨论平移关系.因为我们关心的是对函数 y = 3 sin 2x 的图象平移,所以要把 y ? 3 cos? 2 x ?

? ?

??

? 变形,变到 y = 3 sin (2x+φ)的形式. 4?

由正弦曲线和余弦曲线的关系,不难看出,把余弦曲线沿 x 轴向右平移 弦曲线,即是 cos? x ?

? ,就得到正 2

? ?

??

.利用这个关系,可以 ? ? sin x (这与诱导公式的结论是一致的) 2?

得到:

?? ?? ?? ?? ? 3 cos? 2 x ? ? ? 3 cos ?? 2 x ? ? ? ? 4? 4 ? 2? ? ??

?? ? ? 3s i n 2x ? ? . ? 4? ?
问题成为:把函数 y = 3 sin 2x 的图象沿 x 轴进行怎样的平移,可以得到函数

?? ? y ? 3 sin ? 2 x ? ? 的图象? 4? ?
如果 y = 3 sin 2x = f (x),那么 y ? 3 sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? ?? ? ?? ? ? ? 3 sin ? 2? x ? ? ? ? f ? x ? ? .可 8 ?? 4? 8? ? ? ?

见,把函数 y = 3 sin 2x 的图象向左移 即得到函数 y ? 3 cos? 2 x ?

?? ? ? 个单位后,可得到函数 y ? 3 sin ? 2 x ? ? 的图象, 4? 8 ?

? ?

??

? 的图象.因此选 A. 4?

说明:这个题目有两点值得注意:一是函数 y = f (x)的图象与函数 y = f (x+a)的图象的 平移关系(平移方向,平移量) ;二是对法则“f ”的理解.只有把两个函数整理成 f (x)与 f (x+a)的形式后,才可讨论它们沿 x 轴的平移问题.例如“把函数 y = - tan x 的图象沿 x

?? ? ? x ? 的图象”的问题.就应该考虑 y =-tan x ?3 ? ?? ?? ? ? 与 y ? ? tan ? x ? ? 这两个函数.它们是 y = f (x)与 y ? f ? x ? ? 的关系.可见,只要把 3? 3? ? ?
轴进行怎样的平移,就可得到函数 y ? tan ?

76

函数 y =-tan x 的图象沿 x 轴右移

? ?? ? 个单位,就能得到函数 y ? tan ? ? x ? 的图象. 3 ?3 ?

11、分析:图 04 给我们提供的“信息”是:

? 11 ? ? , ? 在图象上; 0 ? 12 ? 11? (2)函数的最小正周期 T ? AB ? . 12 ? ? 2 sin ? ? 1, ? ? ? 11?? ? ? ? ? ? 0, 可见: ? 2 sin ? ? 12 ? ? ? 2? 11? ? . ? 12 ?? ? ? ∵ ? ? ,由 2sin φ = 1 得 ? ? , 2 6 11?? ? 2? ? 11?? ? ? ? 11?? ? 2? ? 由 sin ? ? ? ? sin ? ? k? ? ? 0 ,得 6? 12 12 ? 12 ? ?
(1)点 (0,1 )、 ? ∴ ? ? 由

?k ? Z ?

12 k ? 2 ? 11 11? 12

, ?k ? Z ? . 24 11


2?

?

,得 ? ?

满足 0 ? ? ?

24 11

时,k = 1 或 k = 2.由此得到 ? 1 ?

10 11

, ? 2 ? 2 .分析到这里,只否

定了 B、D.为选出正确答案,关键在于确定 ? ? 要仔细地从图 04 中“挖掘”出有用的“信息” . 注意到

10 11

及 ? 2 ? 2 中哪个符合题意.为此,还

T 2

? BC ?

11? 12

,即

? 11? 12 10 ,因此 ? ? .这样就排除了 ? ? . ? ? 12 11 11
?

根据以上分析知,应选 C. 说明:因为函数 y = A sin (ωx+φ)是周期函数,所以仅靠图像上的三个点,不能完全确

? 11 ? ? ,?, 0 2 ? 12 ? T 11? 2? 两点, 能完全确定 ω、 的值. φ 在确定 ω 的过程中, 比较隐蔽的条件 ? ) ? T(T ? ? 2 12
定 A、ω、φ 的值.本题虽然给出了 ω>0, ? ? 的条件,但是仅靠(0,1 )、 ? 起了重要作用. 12、分析:因为∠A,∠B,∠C 顺序成等差数列,所以 2B=∠A+∠C,
77

∠B=60°,∠A+∠C=120°. 对 cos2A+cos2C 用降幂变形,得

? ? 3? ? 13、分析与解: x ? ? ? , ? 跨越了四个象限,如果角 x 真能落在各象限内,那么 tan x 2 ? ? 6 值的符号就有正有负.为便于求出 tan x 的值,不妨先“审查”一下角 x 的实际范围.

根据正弦曲线和余弦曲线;当 ? ? x ?

3? 2

时,sin x<0,cos x<0,与 sin x ? cos x ?

1 5

矛盾.可见,角 x 的终边不在第三象限. 当角 x 在第一象限时,sin x>0,cos x>0,这时有

sin x ? cos x ?

?sin x ? cos x ?2
? ?

? 1 ? 2 sin x ? cos x ? 1 , 又与 sin x ? cos x ?

1 5

矛盾. 可

见角 x 的终边不会位于 ? 0 , ? .

??
2?

如果 ?

?
6

? x ? 0 .由余弦曲线知: 1 2 ? sin x ? 0 ,

3 2

? cos x ? 1 ,

由正弦曲线知: ? 这时

1 5

?

3 ?1 2

? sin x ? cos x ? 1 ,

可见 x ? ? ? 如果 ?

? ? ? ,? . 0 ? 6 ?

3? 4

? x ? ? ,由正弦曲线及余弦曲线知 0 ? sin x ? 1 5
,可见 x ? ?

2 2

, ? 1 ? cos x ? ?

2 2



这时 sin x ? cos x ? 0 ?

? 3? ? ,? ? . ? 4 ?
1 5

根据以上分析可以看出:满足 sin x ? cos x ? tan x<-1.

的角 x ? ?

? ? 3? ? , ? ,根据正切曲线知 ?2 4 ?

78

由 sin x ? cos x ?

1 5

,等式两端平方得:

sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin x ? cos x ?
即: cos 2 x tan 2 x ? 2 tan x ? 1 ?

1 25

?

25 2 tan x ? 2 tan x ? 1 1 , ? 25 1 ? tan 2 x

?

1



整理得:12 tan 2 x+25 tan x+12 = 0. 解之得: tan x ? ? 注意到 tan x<-1 ∴ tan x ? ?

3 4

或 tan x ? ?

4 3



4 3



说明:有些三角函数的题目,为了考查学生对“某区间上任意值”与“某区间上特殊 值”的区分能力,常把已知条件中的区间给“大” .这时往往先要进行“缩小”区间的工作. 14、解 (1)∵α +

? ? ? + -α = 4 4 2 ? ? ∴sin( -α )=cos( +α ) 4 4 ? ? ? ? ∴sin( +α )?sin( -α )=sin( +α )?cos( +α ) 4 4 4 4 1 1 1 ? = sin( +2α )= cos2α = 2 2 6 2 2 2 1 又∵π <2α <2π ,cos2α = ,∴sin2α = - 3 3
∴sin4α =2sin2α ?cos2α = - 本题也可以这样解:

4 2 9

2 2 2 2 1 ? ? +α )?sin( -α )=( sinα + cosα )( cosα - sinα )= cos2α 2 2 2 2 2 4 4 1 2 1 1 - sin α = cos2α = 2 2 6
sin( 也可以用积化和差公式:

1 1 1 ? ? ? +α )?sin( -α )= (cos2α -cos )= cos2α = 2 2 6 4 4 2 3 4 ? ? (2)法一:由 x+ ∈( π ,2π )知 sin(x+ )= - 2 5 4 4
sin(
79

∴cosx=cos(x+

2 4 ? ? ? ? ? ? 3 - )=cos(x+ )?cos +sin(x+ )?sin = 2- 2= - 10 10 4 4 4 4 4 4 10 5? 3 由 cosx<0 可知, <x< π ,于是 4 2 7 sinx= - 2 ,tanα =7 10 2 7 7 2 ? (? ) ? (? 2 ) ? 2 ? (? 2)2 28 10 10 10 ∴原式= = - 1? 7 75 2 sin x cos x (cos x ? sin ? ) 法二:原式= cos x ? sin x ? sin 2 x ? 2 sin( x ? ) 4 = ? 2 cos(x ? ) 4 ? ? =-cos(2x+ )tan(x+ ) 2 4 ? ? =[1-2cos2(x+ )]tan(x+ ) 4 4 4 28 ? 3 ? 而 cos(x+ )= ,tan(x+ )= - ,代入得:原式= - 3 75 4 5 4 ? ? 注 三角函数求值,重视与角的关系,如 +x 与 -x 互余(广义),2α =α +β +α 4 4

-β 等。 15、解:根据题意得图 02, 其中 BC=31 千米,BD=20 千米,CD=21 千米, ∠CAB=60?. 设∠ACD = α ,∠CDB = β . 在△CDB 中,由余弦定理得:
2 ? CD ? BD 2 ? 21 ? 20 4 3 . sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 7 sin ? ? sin ? 180 ? ? ?CAD ? ?CDA ?
? sin ? 180 ? ? 60 ? ? 180 ? ? ? ?

cos ? ?

CD 2 ? BD 2 ? BC 2

?

21 2 ? 20 2 ? 31 2

??

1 7



? sin ?? ? 60 ? ? ? sin ? cos 60 ? ? cos ? sin 60 ? ?

4 3 7

?

1 2

?

1 7

?

3 2

?

5 3 14



在△ACD 中,由正弦定理得:

80

AD ?

CD sin A

? sin ? ?

21 sin 60 ?

?

5 3 14

?

21 3

?

5 3 14

? 15 .

2 此人还得走 15 千米到达 A 城. 说明:运用解三角形的知识解决实际问题时,关键是把题设条件转化为三角形中的已知元 素,然后解三角形求之.

16、解:因为 2b=a+c,由正弦定理得

17、分析:因为三棱锥的三条侧棱长均相等,因此顶点 P 在底面上的射影 O 是△ABC 的外 心,从而想到用正弦定理,再利用三角函数来求最值. 解:作 PO⊥底面 ABC,垂足为 O. 由 PA = PB = PC = 2a,知 O 为△ABC 的外心. ∵ AB = AC = a , ∴ O 落在底面 ABC 的高 AD 上. 设∠ABC = θ,连结 BO, 则 BO 为△ABC 外接圆的半径. a 记 BO = R,由正弦定理,有 R ? , 2 sin ?
2 sin 2 ? ∵ BD = a cosθ,AD = a sin 1 S ?ABC ? BC ? AD ? a 2 sin ? cos ? . 2
V ? 1 3 ? a 2 sin ? cos ? ? 1 2 a 16 sin 2 ? ? 1 sin 2 ?
81

PO ?

PB 2 ? BO 2 ?

1

a

16 sin 2 ? ? 1

?
?

1 6
1

a3

?16 sin

2

? ? 1 1 ? sin 2 ?
2

??

?

17 ? 225 ? a 3 ? 16 ? sin 2 ? ? ? ? 6 32 ? 64 ? 17 5 3 ∴当 sin 2 ? ? 时, V max ? a . 32 16

a. 4 在研究利用三角公式解决一些有关三角形中的三角函数问题时.常用的公式有: A? B ? C (1)在△ABC 中,A + B + C = π, ? ? , sin ? A ? B ? ? sin C , 2 2 2 A? B C A? B C . cos ? A ? B ? ? ? cos C , sin ? ? cos , tan ? cot 2 2 2 2 (2)正余弦定理及其变式: 如 a = 2R sinA ,b2 + c2-a2 =2b c cosA . 射影定理:a = b cosC + c cosB . (3)三角形面积公式: abc 1 (其中 P ? ( a ? b ? c ) ,r 为三角形内切圆 S ? ? P ?P ? a ? ?P ? b ? ?P ? c ? ? P r ? 4R 2 半径) .

此时, BC ? 2 BD ? 2 a cos ? ? 2 a 1 ? sin 2 ? ?

3

18、解:由已知条件得

?2 R ?2

?sin

2

A ? sin 2 B ? 2 R sin B

?

?

2a ? b .

?

即有 a 2 ? c 2 ? 2 ab ? b 2 , 又 cos C ? ∴ c?
a2 ? b2 ? c2 2 ab 1 2 ? 2 2 2 4 ab ? 2 4 ? 4 R 2 sin A sin B
? 2 R2 ? ? cos 2 ? 2 ? 2

?
4

.∴ S ?
2 2

ab sin C ?

??

R 2 ? cos ? A ? B ? ? cos ? A ? B 2 ?1

?? ?

? A?B ??
? ?

?



R2 . 2 说明:三角形中的三角变换,应灵活运用正、余弦定理.在求值时,要利用三角函数 的有关性质.

所以当 A = B 时, S max ?

第5讲
一、 考试内容 (一)直线和圆的方程

解析几何问题的题型与方法

直线的倾斜角和斜率,直线方程的点斜式和两点式,直线方程的一般式。 两条直线平行与垂直的条件,两条直线的交角,点到直线的距离。
82

用二元一次不等式表示平面区域,简单的线性规划问题。 曲线与方程的概念,由已知条件列出曲线方程。 圆的标准方程和一般方程,圆的参数方程。 (二)圆锥曲线方程 椭圆及其标准方程,椭圆的简单几何性质,椭圆的参数方程。 双曲线及其标准方程,双曲线的简单几何性质。 抛物线及其标准方程,抛物线的简单几何性质。

二、考试要求
(一)直线和圆的方程 1.理解直线的斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、 两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程。 2.掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式,能够 根据直线的方程判断两条直线的位置关系。 3.了解二元一次不等式表示平面区域。 4.了解线性规划的意义,并会简单的应用。 5.了解解析几何的基本思想,了解坐标法。 6.掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程。 (二)圆锥曲线方程 1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。 2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。 3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。 4.了解圆锥曲线的初步应用。

三、复习目标
1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程;从直线的点斜式方程出发推 导出直线方程的其他形式,斜截式、两点式、截距式;能根据已知条件,熟练地选择恰当 的方程形式写出直线的方程,熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化,能利用直线的 方程来研究与直线有关的问题了. 2.能正确画出二元一次不等式(组)表示的平面区域,知道线性规划的意义,知道线 性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念,能正确地利用图解法 解决线性规划问题,并用之解决简单的实际问题,了解线性规划方法在数学方面的应用; 会用线性规划方法解决一些实际问题. 3. 理解“曲线的方程” “方程的曲线”的意义,了解解析几何的基本思想,掌握求 、 曲线的方程的方法. 4.掌握圆的标准方程: ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r (r>0) ,明确方程中各字母的几何意 义,能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练地求出圆
2 2 2

心坐标和半径,掌握圆的一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,知道该方程表示圆的充 要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化,能根据条件,用待定系数法求出圆的方
2 2

程,理解圆的参数方程 ?

? x ? r cos ? ? y ? r sin ?

(ζ 为参数) ,明确各字母的意义,掌握直线与圆的位

置关系的判定方法. 5.正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义,明确焦点、焦距的概念;能根据椭圆、双 曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程;记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程; 能根据条件,求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程;掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何
83

性质:范围、对称性、顶点、离心率、准线(双曲线的渐近线)等,从而能迅速、正确地 画出椭圆、双曲线和抛物线;掌握 a、b、c、p、e 之间的关系及相应的几何意义;利用椭 圆、双曲线和抛物线的几何性质,确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程,并解决简单问 题;理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程,并掌握它的应用;掌握直线与椭圆、双曲线 和抛物线位置关系的判定方法.

四、双基透视
高考解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 30 分左右, 考查的知识点约为 20 个左右。 其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查。选择题和填 空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥 曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆锥曲 线的位置关系,求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法,这一点值得强化。 ............... (一)直线的方程 1.点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) ;2. 截距式: y ? kx ? b ;

?1; y 2 ? y 1 x 2 ? x1 a b 5.一般式: Ax ? By ? C ? 0 ,其中 A、B 不同时为 0.
3.两点式: ;4. 截距式: (二)两条直线的位置关系 两条直线 l1 , l 2 有三种位置关系:平行(没有公共点) ;相交(有且只有一个公共点) ; 重合(有无数个公共点).在这三种位置关系中,我们重点研究平行与相交. 设直线 l1 : y = k 1 x + b1 ,直线 l 2 : y = k 2 x + b 2 ,则

y ? y1

?

x ? x1

x

?

y

l1 ∥ l 2 的充要条件是 k 1 = k 2 ,且 b1 = b 2 ; l1 ⊥ l 2 的充要条件是 k 1 k 2 =-1.
(三)线性规划问题 1.线性规划问题涉及如下概念: ⑴存在一定的限制条件,这些约束条件如果由 x、y 的一次不等式(或方程)组成的不等 式组来表示,称为线性约束条件. ⑵都有一个目标要求,就是要求依赖于 x、y 的某个函数(称为目标函数)达到最大值或 最小值.特殊地,若此函数是 x、y 的一次解析式,就称为线性目标函数. ⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题. ⑷满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解. ⑸所有可行解组成的集合,叫做可行域. ⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解,叫做这个问题的最优解. 2.线性规划问题有以下基本定理: ⑴ 一个线性规划问题,若有可行解,则可行域一定是一个凸多边形. ⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的. ⑶ 对于不是求最优整数解的线性规划问题,最优解一定在凸多边形的顶点中找到. 3.线性规划问题一般用图解法. (四)圆的有关问题 1.圆的标准方程

( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2 (r>0) ,称为圆的标准方程,其圆心坐标为(a,b) ,半径为 r.
特别地,当圆心在原点(0,0) ,半径为 r 时,圆的方程为 x ? y ? r . 2.圆的一般方程
2 2 2

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4 F >0)称为圆的一般方程,
84

其圆心坐标为( ?

D 2

,?

E 2

) ,半径为 r ?

1 2

D 2 ? E 2 ? 4F .

当 D 2 ? E 2 ? 4 F =0 时,方程表示一个点( ?

D 2

,?

E 2

) ;

当 D 2 ? E 2 ? 4 F <0 时,方程不表示任何图形. 3.圆的参数方程 圆的普通方程与参数方程之间有如下关系:

? x ? r cos ? x2 ? y2 ? r 2 ? ? ? y ? r sin ?

(ζ 为参数)

( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ?

? x ? a ? r cos ? ? ? y ? b ? r sin ?

(ζ 为参数)

(四)椭圆及其标准方程 1. 椭圆的定义: 椭圆的定义中, 平面内动点与两定点 F1 、F2 的距离的和大于| F1 F2 | 这个条件不可忽视.若这个距离之和小于| F1 F2 |,则这样的点不存在;若距离之和等于 | F1 F2 |,则动点的轨迹是线段 F1 F2 . 2.椭圆的标准方程:

x2 a2

?

y2 b2

, ? 1 ( a > b >0)

y2 a2

?

x2 b2

? 1 ( a > b >0).
2

3.椭圆的标准方程判别方法:判别焦点在哪个轴只要看分母的大小:如果 x 项的分母 大于 y 项的分母,则椭圆的焦点在 x 轴上,反之,焦点在 y 轴上. 4.求椭圆的标准方程的方法:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待定 系数法求解. (五)椭圆的简单几何性质 1.椭圆的几何性质:设椭圆方程为
2

x2 a2

?

y2 b2

? 1 ( a > b >0).

⑴ 范围: -a≤x≤a,-b≤x≤b,所以椭圆位于直线 x= ? a 和 y= ? b 所围成的矩形里. ⑵ 对称性:分别关于 x 轴、y 轴成轴对称,关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭 圆的中心. ⑶ 顶点:有四个 A1 (-a,0) A2 (a,0) B1 (0,-b) B 2 (0,b). 、 、 线段 A1 A2 、 B1 B 2 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b,a 和 b 分 别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点. ⑷ 离心率: 椭圆的焦距与长轴长的比 e ?

c a

叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平

程度.0<e<1.e 越接近于 1 时,椭圆越扁;反之,e 越接近于 0 时,椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义 ⑴ 定义:平面内动点 M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e ? (e<1=时,这个动点的轨迹是椭圆. ⑵ 准线:根据椭圆的对称性,

c a

x2 a2

?

y2 b2

? 1 ( a > b >0)的准线有两条,它们的方程
85

为x ? ? 即y??

a2 c a2 c

.对于椭圆 .

y2 a2

?

x2 b2

? 1 ( a > b >0)的准线方程,只要把 x 换成 y 就可以了,

3.椭圆的焦半径:由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.

? 1 ( a > b >0)的左、右两焦点, b2 M(x,y)是椭圆上任一点,则两条焦半径长分别为 MF1 ? a ? ex , MF2 ? a ? ex .
设 F1 (-c,0) F2 (c,0)分别为椭圆 ,

x2

a2

?

y2

椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便. 椭圆的四个主要元素 a、b、c、e 中有 a = b + c 、 e ?
2

2

2

c a

两个关系,因此确定椭圆的

标准方程只需两个独立条件. (六)椭圆的参数方程 椭圆

x2 a
2

?

? x ? a cos ? ? 1 ( a > b >0)的参数方程为 ? (ζ 为参数). b ? y ? b sin ?

y2
2

说明 ⑴ 这里参数ζ 叫做椭圆的离心角.椭圆上点 P 的离心角ζ 与直线 OP 的倾斜角α 不同: tan ? ?

b a

tan ? ;
x2 a
2

⑵ 椭圆的参数方程可以由方程

?

y2 b
2

? 1 与三角恒等式 cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 相比较

而得到,所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. (七)双曲线及其标准方程 1.双曲线的定义:平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a(小于 | F1 F2 |)的动点 M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件 2a<| F1 F2 |,这一条 件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若 2a=| F1 F2 |,则动点的轨迹是两条 射线;若 2a>| F1 F2 |,则无轨迹. 若 MF1 < MF 2 时,动点 M 的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若 MF1 > MF 2 时, 轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值”. 2. 双曲线的标准方程:

x2 a2

?

y2 b2

? 1和

y2 a2

?

x2 b2

? 1 (a>0,b>0).这里

b 2 ? c 2 ? a 2 ,其中| F1 F2 |=2c.要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3.双曲线的标准方程判别方法是:如果 x 项的系数是正数,则焦点在 x 轴上;如果 y 项的系数是正数,则焦点在 y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于 b,因此不能像椭圆那样, 通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方 程后,运用待定系数法求解. (八)双曲线的简单几何性质 1.双曲线
2
2

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1 的实轴长为 2a, 虚轴长为 2b, 离心率 e ?

c a

>1, 离心率 e 越大,
86

双曲线的开口越大. 2. 双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1 的渐近线方程为 y ? ?

b a

x 或表示为

x2 a2

?

y2 b2

? 0 .若已知双曲

线的渐近线方程是 y ? ?

m n

x ,即 mx ? ny ? 0 ,那么双曲线的方程具有以下形式:

m 2 x 2 ? n 2 y 2 ? k ,其中 k 是一个不为零的常数.
3.双曲线的第二定义:平面内到定点(焦点)与到定直线(准线)距离的比是一个大 于 1 的常数(离心率)的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线 (-c,0)和(c,0) ,与它们对应的准线方程分别是 x ? ? 在双曲线中,a、b、c、e 四个元素间有 e ?

x2 a2 a2 c
2

?

y2 b2

? 1 ,它的焦点坐标是 a2 c
.

和x ?
2

c a

与 c ? a ? b 的关系,与椭圆一样确
2

定双曲线的标准方程只要两个独立的条件. (九)抛物线的标准方程和几何性质 1.抛物线的定义:平面内到一定点(F)和一条定直线(l)的距离相等的点的轨迹叫 抛物线。这个定点 F 叫抛物线的焦点,这条定直线 l 叫抛物线的准线。 需强调的是,点 F 不在直线 l 上,否则轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线,而不是抛物 线。 2.抛物线的方程有四种类型:

y 2 ? 2 px 、 y 2 ? ?2 px 、 x 2 ? 2 py 、 x 2 ? ?2 py .
对于以上四种方程:应注意掌握它们的规律:曲线的对称轴是哪个轴,方程中的该项 即为一次项;一次项前面是正号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的正方向;一次项前面是 负号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的负方向。 3.抛物线的几何性质,以标准方程 y2=2px 为例 (1)范围:x≥0; (2)对称轴:对称轴为 y=0,由方程和图像均可以看出; (3)顶点:O(0,0) ,注:抛物线亦叫无心圆锥曲线(因为无中心) ; (4)离心率:e=1,由于 e 是常数,所以抛物线的形状变化是由方程中的 p 决定的; (5)准线方程 x ? ?

p 2



(6)焦半径公式:抛物线上一点 P(x1,y1) 为抛物线的焦点,对于四种抛物线的 ,F 焦半径公式分别为(p>0) :

y 2 ? 2 px : PF ? x1 ? x 2 ? 2 py : PF ? y1 ?

p 2 p 2

; y 2 ? ?2 px : PF ? ? x1 ? ; x 2 ? ?2 py : PF ? ? y1 ?

p 2 p 2

(7)焦点弦长公式:对于过抛物线焦点的弦长,可以用焦半径公式推导出弦长公式。 设过抛物线 y2=2px(p>O)的焦点 F 的弦为 AB,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,AB 的倾斜 角为α ,则有①|AB|=x 1 +x 2 +p
87

以上两公式只适合过焦点的弦长的求法,对于其它的弦,只能用“弦长公式”来求。 (8)直线与抛物线的关系:直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程: x 2 +bx+c=0,当 a≠0 时,两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同,用判别式法即可; 但如果 a=0, 则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线, 此时, 直线和抛物线相交, 但只有一个公共点。 (十)轨迹方程 ⑴ 曲线上的点的坐标都是这个方程的解; ⑵ 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形或轨迹).

五、注意事项
1. ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念, 斜率 k 反映了直线相对于 x 轴的倾斜程度. 当斜率 k 存在时,直线方程通常用点斜式或斜截式表示,当斜率不存在时,直线方程为 x=a (a∈R).因此,利用直线的点斜式或斜截式方程解题时,斜率 k 存在与否,要分别考虑. ⑵ 直线的截距式是两点式的特例, b 分别是直线在 x 轴、 轴上的截距, a、 y 因为 a≠0, b≠0,所以当直线平行于 x 轴、平行于 y 轴或直线经过原点,不能用截距式求出它的方程, 而应选择其它形式求解. ⑶求解直线方程的最后结果,如无特别强调,都应写成一般式. ⑷当直线 l1 或 l 2 的斜率不存在时,可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直 ⑸在处理有关圆的问题,除了合理选择圆的方程,还要注意圆的对称性等几何性质的 运用,这样可以简化计算. 2. ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时,要分清焦点在 x 轴上还是 y 轴上,还是两种 都存在. ⑵注意椭圆定义、性质的运用,熟练地进行 a、b、c、e 间的互求,并能根据所给的方 程画出椭圆. ⑶求双曲线的标准方程 应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方 程后,运用待定系数法求解. ⑷双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1 的渐近线方程为 y ? ?

b a

x 或表示为

x2 a2

?

y2 b2

? 0 .若已知双曲

线的渐近线方程是 y ? ?

m n

x ,即 mx ? ny ? 0 ,那么双曲线的方程具有以下形式:

m 2 x 2 ? n 2 y 2 ? k ,其中 k 是一个不为零的常数.
⑸双曲线的标准方程有两个

x2 a2

?

y2 b2

?1和

y2 a2

?

x2 b2

? 1 (a>0,b>0).这里

b2 ? c2 ? a2 , 其中| F1 F2 |=2c.要注意这里的 a、 c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. b、
⑹求抛物线的标准方程,要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型,再求抛物线的 标准方程,要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型,再由条件确定参数 p 的值.同时, 应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中抛物线的标准方 程、焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中一个,就可以求出其他两个.

六、范例分析
88

例 1、 求与直线 3x+4y+12=0 平行, 且与坐标轴构成的三角形面积是 24 的直线 l 的方程。 分析:满足两个条件才能确定一条直线。一般地,求直线方程有两个解法,即用其中 一个条件列出含待定系数的方程,再用另一个条件求出此参数。 解法一:先用“平行”这个条件设出 l 的方程为 3x+4y+m=0①再用“面积”条件去求

m ,0) ,交 y 轴于 B(0,? m ) 由 1 ? ? m ? ? m ? 24 ,得 m ? ?24 ,代 2 3 4 3 4 入①得所求直线的方程为: 3x ? 4 y ? 24 ? 0
m,∵直线 l 交 x 轴于 A(? 解法二:先用面积这个条件列出 l 的方程,设 l 在 x 轴上截距离 a,在 y 轴上截距 b,

1 ab ? 24 ,因为 l 的倾角为钝角,所以 a、b 同号,|ab|=ab,l 的截距式为 x ? y ? 1 , 2 a 48 a 48 ? a 2 ? ? 48 a ,∴ a ? ?8 代入②得所 2 即 48x+a y-48a=0②又该直线与 3x+4y+2=0 平行, ∴ 3 4 2 求直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 24 ? 0
则有 说明:与直线 Ax+By+C=0 平行的直线可写成 Ax+By+C1=0 的形式;与 Ax+By+C=0 垂 直的直线的方程可表示为 Bx-Ay+C2=0 的形式。 例 2、若直线 mx+y+2=0 与线段 AB 有交点,其中 A(-2, 3),B(3,2),求实数 m 的取值 范围。 解:直线 mx+y+2=0 过一定点 C(0, -2),直线 mx+y+2=0 实际上表示的是过定点(0, -2) 的直线系,因为直线与线段 AB 有交点,则直线只能落在∠ABC 的内部,设 BC、CA 这两 条直线的斜率分别为 k1、k2,则由斜率的定义可知,直线 mx+y+2=0 的 y 斜率 k 应满足 k≥k1 或 k≤k2, ∵A(-2, 3) B(3, 2)

4 k ??5 2 3 2 4 或-m≤ ? 5 即 m≤ ? 4 或 m≥ 5 ∴-m≥ 3 2 3 2
∴ k1 ?

A

o
C(0,-2)

B x

说明:此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题,这里要清楚直线 mx+y+2=0 的斜率-m 应为倾角的正切,而当倾角在(0°,90°)或(90°,180°)内,角的正切函数都是单 调递增的,因此当直线在∠ACB 内部变化时,k 应大于或等于 kBC,或者 k 小于或等于 kAC, 当 A、B 两点的坐标变化时,也要能求出 m 的范围。 例 3、已知 x、y 满足约束条件 x≥1, x-3y≤-4, 3x+5y≤30, 求目标函数 z=2x-y 的最大值和最小值. 解:根据 x、y 满足的约束条件作出可行域,即 如图所示的阴影部分(包括边界). 作直线 l 0 :2x-y=0,再作一组平行于 l 0 的直线 l : 2x-y=t,t∈R. 可知,当 l 在 l 0 的右下方时,直线 l 上的点(x,y) 满足 2x-y>0,即 t>0,而且直线 l 往右平移时,t 随之增大.当直线 l 平移至 l1 的位置时,直线经过可

y
6 5 4 3 2 1

l2 C l0: 2x-y=0 l1
x-3y+4=0

B A
1 x=1 2 3 4 5 6 3x+5y-30=0

O

89

x

行域上的点 B, 此时所对应的 t 最大; l 在 l 0 的左上方时, 当 直线 l 上的点 (x, 满足 2x-y y) <0,即 t<0,而且直线 l 往左平移时,t 随之减小.当直线 l 平移至 l 2 的位置时,直线经过 可行域上的点 C,此时所对应的 t 最小. x-3y+4=0, 由 解得点 B 的坐标为(5,3) ; 3x+5y-30=0, x=1, 由 3x+5y-30=0, 所以, z 最大值 =2?5-3=7; z 最小值 =2?1解得点 C 的坐标为(1,

27 5

).

27 5

=?

17 5

.

例 4、某运输公司有 10 辆载重量为 6 吨的 A 型卡车与载重量为 8 吨的 B 型卡车,有 11 名驾驶员.在建筑某段高速公路中,该公司承包了每天至少搬运 480 吨沥青的任务.已知每 辆卡车每天往返的次数为 A 型卡车 8 次,B 型卡车 7 次;每辆卡车每天的成本费 A 型车 350 元,B 型车 400 元.问每天派出 A 型车与 B 型车各多少辆,公司所花的成本费最低,最低为 多少? 解:设每天派出 A 型车与 B 型车各 x、y 辆,并设公司每天的成本为 z 元.由题意,得 x≤10, y≤5, y x+y≤11, 48x+56y≥60, 12 x,y∈N, 10 x+y=11 且 z=350x+400y. 8 x≤10, y=5 6 y≤5, A 4 l0 6x+7y=0 即 x+y≤11, 2 6x+7y≥55, 2 4 6 8 B10 12 x,y∈N, O x x=10 作 出 可 行 域 , 作 直 线 l 0 : 350x+400y=0 , 即
l1 7x+8y=0 7x+8y=0. 作出一组平行直线:7x+8y=t 中(t 为参数)经过可行域内的点和原点距离最近的直线,此

直线经过 6x+7y=60 和 y=5 的交点 A( 所以可行域内的点 A(

25 6

,5) ,由于点 A 的坐标不都是整数,而 x,y∈N,

25 6

,5)不是最优解.

为求出最优解,必须进行定量分析. 因为, 7?

25 6

+8?5≈69.2, 所以经过可行域内的整点 (横坐标和纵坐标都是整数的点)

且与原点最小的直线是 7x+8y=10,在可行域内满足该方程的整数解只有 x=10,y=0,所以 (10,0)是最优解,即当 l 通过 B 点时,z=350?10+400?0=3500 元为最小. 答:每天派出 A 型车 10 辆不派 B 型车,公司所化的成本费最低为 3500 元.
90

例 5、已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点,AB=2、OT=t (0<t<1),以 AB 为直腰作 直角梯形 AA?B?B ,使 AA? 垂直且等于 AT,使 BB ? 垂直且等于 BT, A?B? 交半圆于 P、 Q 两点,建立如图所示的直角坐标系. (1)写出直线 A?B? 的方程; (2)计算出点 P、Q 的坐标; (3)证明:由点 P 发出的光线,经 AB 反射 后,反射光线通过点 Q. 解: (1 ) 显然 A ?1,1 ? t ? , B ?? 1,? t ?,于是 1 直线 A?B? 的方程为 y ? ?tx ? 1 ;
'



? x 2 ? y 2 ? 1, (2)由方程组 ? ? y ? ? tx ? 1,
P (0,1) 、 Q (
2t 1? t2 1? t2 , 1? t2 );

解出

1? t2

(3) k PT ?

1? 0 1 ?? , 0?t t

2 k QT ? 1 ? t 2t

?0 ? ?t

1? t2 t (1 ? t )
2

?

1 . t

1? t2

由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知,由点 P 发出的光线经点 T 反射,反 射光线通过点 Q. 说明:需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗? 例 6、设 P 是圆 M:(x-5)2+(y-5)2=1 上的动点,它关于 A(9, 0)的对称点为 Q,把 P 绕原 点依逆时针方向旋转 90°到点 S,求|SQ|的最值。 解:设 P(x, y),则 Q(18-x, -y),记 P 点对应的复数为 x+yi,则 S 点对应的复数为: (x+yi)?i=-y+xi,即 S(-y, x) ∴ | SQ |? (18 ? x ? y) 2 ? (? y ? x) 2

? 18 2 ? x 2 ? y 2 ? 36 x ? 36 y ? 2 xy ? x 2 ? y 2 ? 2 xy ? 2 ? x 2 ? y 2 ?18 x ?18 y ? 81 ? 81 ? 2 ? ( x ? 9) 2 ? ( y ? 9) 2
其中

( x ? 9) 2 ? ( y ? 9) 2 可 以 看 作 是 点 P 到 定 点 B(9, -9) 的 距 离 , 共 最 大 值 为

| MB | ?r ? 2 53 ?1 最小值为 | MB | ?r ? 2 53 ?1 ,则
|SQ|的最大值为 2 106 ? 2 ,|SQ|的最小值为 2 106 ? 2 例 7、 已知⊙M: x ? ( y ? 2) ? 1, Q是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B
2 2

两点, (1)如果 | AB |?

4 2 3

,求直线 MQ 的方程;

(2)求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程. 解:(1)由 | AB |?

4 2 3

,可得 | MP |?

| MA | 2 ? (

| AB | 2

) 2 ? 12 ? (

2 2 3

)2 ?

1 3

,由

91

射影定理,得

| MB | 2 ?| MP | ? | MQ |, 得 | MQ |? 3, 在 Rt△MOQ 中,
32 ? 2 2 ? 5,

| OQ |? | MQ | 2 ? | MO | 2 ?
故 a ? 5或 a ? ? 5 , 所以直线 AB 方程是

2 x ? 5 y ? 2 5 ? 0或 2 x ? 5 y ? 2 5 ? 0; (2)连接 MB,MQ,设 P ( x, y ), Q ( a,0), 由
点 M,P,Q 在一直线上,得

2 ?a

?
2

y?2 x

, (*) 由射影定理得 | MB | 2 ?| MP | ? | MQ |,
2 2

即 x ? ( y ? 2 ) ? a ? 4 ? 1, (**) 把(*)及(**)消去 a, 并注意到 y ? 2 ,可得 x ? ( y ?
2

7 4

)2 ?

1 16

( y ? 2).

说明:适时应用平面几何知识,这是快速解答本题的要害所在。 例 8、 直线 l 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点, 且与抛物线相交于 A ( x1 , y1 )和 B ( x 2 , y 2 )
2

两点.(1)求证: 4 x1 x 2 ? p ; (2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦 CD,直线 l 不是 CD 的垂直平分线.
2

解: (1)易求得抛物线的焦点 F ( P ,0) .
2

若 l⊥x 轴,则 l 的方程为 x ?

P 2

, 显然 x1 x2 ?

P2 . 4

若 l 不垂直于 x 轴,可设 y ? k ( x ? P ) ,代入抛物线方程整理得
2

x 2 ? P (1 ?

2P k2

)x ?

P

2

4
2

? 0, 则 x1 x 2 ?

P . 4

2

综上可知

4 x1 x 2 ? p 2 .
2

(2)设 C ( c , c ), D ( d , d )且 c ? d ,则 CD 的垂直平分线 l ? 的方程为
2p 2p

y?

c?d 2

??

c?d 2p

(x ?

c ?d2
2

4p

)

2 2 假设 l ? 过 F,则 0 ? c ? d ? ? c ? d ( p ? c ? d ) 整理得

2

2p

2

4p

(c ? d )( 2 p ? c ? d ) ? 0 ? p ? 0
2 2 2

? 2 p 2 ? c 2 ? d 2 ? 0 ,? c ? d ? 0 .

这时 l ? 的方程为 y=0, 从而 l ? 与抛物线 y ? 2 px 只相交于原点. 而 l 与抛物线有两个不同的
2

交点,因此 l ? 与 l 不重合,l 不是 CD 的垂直平分线. 说明:此题是课本题的深化,课本是高考试题的生长点,复习要重视课本。 例 9、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,能否在此椭圆位于 y 轴左侧的部分上找到一点 M,使它 4 3
92

到左准线的距离为它到两焦点 F1、F2 距离的等比中项,若能找到,求出该点的坐标,若不 能找到,请说明理由。 解:假设存在满足条件的点, M 1, 1) 2=4, 2=3, 设 (x y a b ∴a=2,b ?

3 ,c=1, e ? ∴

1 , 2

| MF1 | ? | MF2 |? ( a ? ex1 )( a ? ex1 ) ? a 2 ? e 2 x1 ? 4 ?
2

1 2 x1 ,点 M 到椭圆左准线的距离 4 a2 1 2 , ∴ , ∴ d ? x1 ? ? x1 ? 4 r1 r2 ? d , ? 4 ? x1 ? ( x1 ? 4 ) 2 c 4 12 2 5 x1 ? 32 x1 ? 48 ? 0 ,∴ x1 ? ?4 或 x1 ? ? ,这与 x1∈[-2,0)相矛盾,∴满足条件的 5
例 10、已知椭圆中心在原点,焦点在 y 轴上,焦距为 4,离心率为 (Ⅰ)求椭圆方程;

点 M 不存在。

2 3



(Ⅱ) 设椭圆在 y 轴正半轴上的焦点为 M, 又点 A 和点 B 在椭圆上, M 分有向线段 AB 且 所成的比为 2,求线段 AB 所在直线的方程。 解: (Ⅰ)设椭圆方程为 故 a=3,

y2 a
2

?

x2 b
2

?1

由 2c=4 得 c=2



c a

?

2 3

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 5 ∴所求的椭圆方程为
AM MB

y

2

9

?

x

2

5

?1

(Ⅱ)若 k 不存在,则 又设 A ( x1, y1 )

? 2 ,若 k 存在,则设直线 AB 的方程为:y=kx+2

B( x 2 , y 2 )
(9 ? 5k 2 ) x 2 ? 20 kx ? 25 ? 0

? y ? kx ? 2 ? 由? x2 得 y2 ? ?1 ? 9 ? 5 ?20 k x1 ? x2 ? ?① 9 ? 5K 2

x1 ? x2 ?

?25 9 ? 5K 2

?②

∵点 M 坐标为 M(0,2) ∴ AM ? ( ? x1 , 2 ? y1 ) MB ? ( x 2 , y 2 ? 2 ) 由

AM MB

?2

得 AM ? 2 MB ∴ ( ? x1 ,2 ? y1 ) ? 2( x 2 , y 2 ? 2)

∴ x1 ? ?2x 2 代入①、②得 x2 ? 由③、④ 得 2(

20 k 9 ? 5k
2 2

? ③ ∴k ?
2

2 2 x2 ?

25 9 ? 5k 2
3 3

?④

20 k 9 ? 5k
2

)2 ?

25 9 ? 5k
3 3

1 3

k??

∴线段 AB 所在直线的方程为: y ? ?

x ? 2。
93

说明:有向线段所成的比,线段的定比分点等概念,本身就是解析几何研究的一类重 要问题。向量概念的引入,使这类问题的解决显得简洁而流畅。求解这类问题可以用定比 分点公式,也可以直接用有向线段的比解题。 另外,向量的长度,点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系,向量与解析几何 的结合,为解决这些问题开辟了新的解题途径。 例 11、已知直线 l 与椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a ? b ? 0) 有且仅有一个交点 Q,且与 x 轴、y

轴分别交于 R、S,求以线段 SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程. 解:从直线 l 所处的位置, 设出直线 l 的方程, 由已知,直线 l 不过椭圆的四个顶点,所以设直线 l 的方程为 y ? kx ? m( k ? 0). 代入椭圆方程 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2,得
b 2 x 2 ? a 2 ( k 2 x 2 ? 2 kmx ? m 2 ) ? a 2 b 2 .

化简后,得关于 x 的一元二次方程
( a 2 k 2 ? b 2 ) x 2 ? 2 ka 2 mx ? a 2 m 2 ? a 2 b 2 ? 0.

于是其判别式 ? ? ( 2ka 2 m ) 2 ? 4( a 2 k 2 ? b 2 )( a 2 m 2 ? a 2 b 2 ) ? 4a 2 b 2 ( a 2 k 2 ? b 2 ? m 2 ). 由已知,得△=0.即 a 2 k 2 ? b 2 ? m 2 . ① m 在直线方程 y ? kx ? m 中,分别令 y=0,x=0,求得 R ( ? ,0), S (0, m ). k 令顶点 P 的坐标为(x,y) ,
m y ? ? ?x ? ? k , ?k ? ? x , ? 由已知,得 ? 解得 ? ? ? y ? m. ? m ? y. ? ? ? ?

2 2 代入①式并整理,得 a ? b ? 1 , 即为所求顶点 P 的轨迹方程. 2 2

x

y

2 说明:方程 a

x2

?

b2 y2

? 1 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?

例 12、已知双曲线 距离是

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1 的离心率 e ?

2 3 3

,过 A( a,0), B (0,?b) 的直线到原点的

3 2

. (1)求双曲线的方程;

(2)已知直线 y ? kx ? 5( k ? 0) 交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的 圆上,求 k 的值. 解:∵(1) c ? 2
d ?
a ab 3
x y , 原点到直线 AB: ? ? 1 的距离 a b ab 3 ? ? . c 2 .
x2 3

3

a2 ? b2

? b ? 1, a ?

3.
? y 2 ? 1.

故所求双曲线方程为

94

(2)把 y ? k x ? 5代入 x 2 ? 3 y 2 ? 3 中消去 y,整理得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 30 kx ? 78 ? 0 . 设 C ( x1 , y1 ), D ( x 2 , y 2 ), CD 的中点是 E ( x 0 , y 0 ) ,则
x0 ? k BE 15 k 5 ? y 0 ? k x0 ? 5 ? , 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 y ?1 1 ? 0 ?? . x0 k 2 ? x1 ? x 2

? x 0 ? ky0 ? k ? 0,


15 k 1 ? 3k
2

?

5k 1 ? 3k
2

? k ? 0, 又 k ? 0,? k 2 ? 7

故所求 k=± 7 . 说明:为了求出 k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构 k 的方程. 例 13、过点 P (? 3 , 0) 作直线 l 与椭圆 3x2+4y2=12 相交于 A、 两点, 为坐标原点, B O 求△OAB 面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。 y 分析:若直接用点斜式设 l 的方程为 y ? 0 ? k ( x ? 3 ) ,则要 A 求 l 的斜率一定要存在,但在这里 l 的斜率有可能不存在,因此要 P 讨论斜率不存在的情形, 为了避免讨论, 我们可以设直线 l 的方程 O x 为 x ? my ? 3 ,这样就包含了斜率不存在时的情形了,从而简 B 化了运算。 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) l : x ? my ? ,

3

1 1 | OP | ? | y1 | ? | OP | ? | y 2 |? 3 (| y1 | ? | y 2 |) ? 3 ( y1 ? y 2 ) 2 2 2 2 2 把 x ? my ? 3 代入椭圆方程得: 3( m y ? 2 3my ? 3) ? 4 y ? 12 ? 0 ,即 S ?AOB ?
( 3m 2 ? 4 ) y 2 ? 6 3my ? 3 ? 0 , y1 ? y 2 ?

6 3m 3 , y1 y 2 ? ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4

| y1 ? y 2 |?
?

108 m 2 12 1 ? ? 144 x 2 ? 48 2 2 2 2 ( 3m ? 4 ) 3m ? 4 3m ? 4

4 9 m 2 ? 3 4 3 ? 3m 2 ? 1 4 3 ? 3m 2 ? 1 ? ? 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4 ( 3m 2 ? 1) ? 3

?
2

4 3m 3m ? 1 ? 3 3m 2 ? 1

?

4 3 2 3

?2

∴S ?

3 ?2 ? 2

3 ,此时 3m 2 ? 1 ?
3 6 ??

3 3m 2 ? 1
6 2

m??

6 3

令直线的倾角为 ? ,则 tg? ? ?

95

即△OAB 面积的最大值为 3 ,此时直线倾斜角的正切值为 ?

6 。 2
?

例 14、 (2003 年江苏高考题)已知常数 a ? 0 ,向量 c ? (0, a ), i ? (1, 0). 经过原点 O 以 c ? ? i 为方向向量的直线与经过定点 A(0,a)以 i ? 2? c 为方向向量的直线 相交于点 P,其中 ? ? R. 试问:是否存在两个定点 E、F,使得|PE|+|PF|为定值.若存在,求 出 E、F 的坐标;若不存在,说明理由.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

解:∵ i =(1,0) c =(0,a) , , ∴ c +λ i =(λ ,a) i -2λ , 因此,直线 OP 和 AP 的方程分别为 ?y ? ax 和 y ? a ? ?2?ax . 消去参数λ ,得点 P ( x, y ) 的坐标满足方程 y ( y ? a ) ? ?2 a 2 x 2 . a ( y ? )2 整理得 x 2 2 ? 1. ??① ? 1 a 2 ( ) 8 2 因为 a ? 0, 所以得: (i)当 a

? c =(1,-2λ

a).

?

2 2

时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点 E 和 F;

(ii)当 0 ? a ? 两个定点; (iii)当 a ?

1 2 时,方程①表示椭圆,焦点 E( 2 2

1

a 1 ? a 2 , ) 和 F (? 2 2 2
a2 ? 1

1

a ? a 2 , ) 为合乎题意的 2 2

1 2 时,方程①也表示椭圆,焦点 E ( 0, ( a ? 2 2 题意的两个定点.

1 1 2 )) 和 F (0, ( a ? a ? )) 为合乎 2 2 2

说明:由于向量可以用一条有向线段来表示,有向线段的方向可以决定解析几何中直线 的斜率,故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是: 根据直线的方向向量得出直线方程,再转化为解析几何问题解决。 例 15、已知椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a ? b ? 0) 的长、短轴端点分别为 A、B,从此椭圆上一

点 M 向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F1 ,向量 AB 与 OM 是共线向量。 (1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任意一点, F1 、 F2 分别是左、右焦点,求∠ F1QF 2 的取值范围; 解: (1)∵ F1 ( ? c ,0), 则 x M ? ? c , y M ? ∵ k AB ? ? (2)设

b2 a

,∴ k OM ? ?

b2 ac



b

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