tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2000年全国高中数学联合竞赛题及解答


               中学数学月刊          46 2000 年第 11 期 由条件 ( ii) 得 a 2 + b 2≤ 144, ② 在 O ab 平面上赋给①, ②式以 “形” 的意 义, 不难将问 题归结为直线①与 圆② ( 含内 部 ) 是 否有公共点的问题. 下面沿另一 条思 路, 即从建立对应关系入手, 借助于对应关系 的性质解题 . 由② , 令 a = rco s t , b = r s in t , 0< r ≤ 12, t 为参数 ( 0≤ t< 2Π). 代入①, 得 sin ( t + Η ) = 3x + 2 15 , r x + 1 ) ?≤ 1, 不难证明, 当 0< r ≤ 因?sin ( t + Η 12, 及 x ∈Z 时 , 上式不成立, 由此得出矛盾 . 例 9 把 △AB C 的 各 边 n 等分, 过各分 点分 别作各边的 平行 线, 得 到一些 由三 角形的边和这些平 行线所组成的平行 四边形 , 试计 算这 些平行四边形的个数 .
图2
2

C′ 依次设为 1, 2, … , n + 2, 图 2 中所示的小

平行四 边形 所在 的四 条线 分别 交 B ′ 于 i, C′ j , k , l. 记 P = { 边不平行于 B C 的小平行四边 形}, Q = {i , j , k , l ) ?1 ≤ i < j < k < l ≤ n + 2}. 把小平行四边形的四条边延长且交 B ′
C′ 边于四点的过 程定义为一个 映射 f : P → Q.

下面证明 f 是 P 与 Q 的一一对应 . 事实 上, 不同的小平行四边形至少有一条边不相 同, 那么交于 B ′ C′ 的四点亦不会相同, 所以 , 四点组 ( i , j , k , l ) 亦不相同 , 从而 f 是 P 到 Q 的一一映射 . 任给一个四点组 ( i , j , k , l ) , 1 ≤ i < j < k < l ≤ n + 2, 过 i, j 点作 A B 的平行线 , 过 k , l 作 A C 的平行线, 必交出一个 边不平 行于 B C 的小平行四边形 , 所以, 映射 f 是 P 到 Q 的满射 . 综合之 f 是 P 与 Q 的一一对应 , 于是有 ?P ?= ?Q ?= C 4 n+ 2. 加上边不平行于 AB 和 A C 的两类小平 行四 边形 , 得到 所有 平行 四边 形的 总数 是 3C n4+ 2. 构造法还常与反证法、 数学归纳法、 极端 原理等配合使 用, 使这些 方法更具活 力 . 但 是, 构造法并不是万能的 , 有些问题不易用构 造法解 . 有些虽能用 , 但如有更简单的方法就 不一定需要构造法.

解 如图 2 所示 , 我们由对称性, 先考虑 边不平行于 B C 的小平行四边形. 把 A B 边 和 A C 边各延长一等分 , 分别到 B ′ ,C′ , 连B ′ . 将 AB ′ 的 n 条平行线分 别延长, 与 B ′ C′ C′ 相交 , 连同 B ′ , C′ 共有 n + 2 个分点, 从 B ′ 至

2000 年 全 国 高 中 数 学 联 合 竞 赛 题 及 解 答
一 、 选择题 ( 本题满分 36 分, 每小题 6 分)
(B )、 本 题 共 有 6 个小 题, 每小 题 给出 了 (A ) 、 (C ) 、 (C ) 四个结论, 其中只有一 个是正确的, 请把正

Α
3

的取值范围是 Π (A ) (2k Π + , 2k Π + 6 2k Π Π 2k Π (B ) ( + , + 3 6 3 5Π (C ) (2k Π + , 2kΠ + 6 Π)
3 3 , k∈Z

(  )

确的结论的 代表字母 写在题 后圆括号 内 . 每小题选 对得 6 分; 不选、 选 错或 选出 的代 表字 母 超过 一 个 (不论是否写在圆括号内) , 一律得 0 分 .
1 . 设 全集是 实数集, 若 A = {x ? = {x ?10x
2- 2

Π

) , k ∈Z

) , k ∈Z Π

x - 2 ≤ 0} , B (  )

?是 = 10x }, 则 A ∩ B Α
3

(A ) { 2}   (B ) { - 1}   (C ) {x ?x ≤2}   (D ) ? 2 . 设 sin Α > 0 , cos Α < 0 , 且 sin > co s

Π Π) ( 5Π (D ) (2kΠ ), + , 2kΠ + ∪ 2kΠ + , 2k Π + Π 4 3 6 k∈Z
3 . 已知点 A 为双 曲线 x 2 - y 2 = 1 的左 顶点, 点 B 和点 C 在双曲线的右分支 上, △A B C 是等边 三角

Α
3

,则

2000 年第 11 期           中学数学月刊                47  
形, 则△AB C 的面积是
(A ) (C ) 3 3 3 (  ) 3 2 3 3 1 2 13 x + 在区 间 [a , b ] 上 2 2 的最小值为 2a , 最大 值为 2b, 求[ a, b ]. 14. 若函数 f (x ) = x2 y2 15. 已知 C 0 ∶x 2 + y 2 = 1 和 C 1 ∶ 2 + 2 = 1 (a a b > b> 0). 试问: 当且仅当 a, b 满足什么条件时, 对 C 1

    (B)
3

(D ) 6

4 . 给定正数 p , q, a , b, c, 其中 p ≠q, 若 p , a , q 是

等比 数 列, p , b, c , q 是 等 差数 列, 则 一 元二 次 方 程
bx - 2ax + c= 0 (A ) 无实根   (B ) 有两个相等实根 (C ) 有两个同号相异实根 (D ) 有两个异号实根 5 . 平面 上整 点 ( 纵、 横坐 标都 是整数 的点) 到 直 5 4 线 y= x+ 的距离中的最小值是 3 5 34 (A )   (B ) 170 (  )
2

上任 意一点 P , 均存 在以 P 为顶 点, 与 C 0 外 切、 与
C 1 内接的平行四边形? 并证明你的结论 .

(  )

加  试
一、 ( 本题满分 50 分) 如图, 在 锐角 三 角形A B C 的 B C 边 上 有两 点 E, F, 满 足 ∠ B A E = ∠CA F , 作
FM ⊥ AB , FN ⊥ A C ( M , N 是 垂足) , 延长 图1 A E 交三 角形 A BC 的外接 圆于 D 点 . 证明: 四边 形 . AM D N 与三角形 A BC 的面积相等 ( 本题满分 50 分) 二、

34 1 1    (C)   (D ) 85 20 30

6 . 设 Ξ= co s + isin , 则以 Ξ, Ξ3 , Ξ7 , Ξ9 为 5 5 (  ) 根的方程是 (A ) x 4 + x 3 + x 2 + x + 1= 0 (B ) x 4 - x 3 + x 2 - x + 1= 0 (C ) x 4 - x 3 - x 2 + x + 1= 0 (D ) x 4 + x 3 + x 2 - x - 1= 0

Π

Π

设数列{a n }和{bn } 满足 a 0 = 1, b0 = 0 且
a n + 1 = 7a n + 6bn - 3, bn+ 1 = 8a n + 7bn - 4,

二 、 填空题 ( 本题满分 54 分, 每小题 9 分) 各小题只要求直接填写结果 .
)= 7 . a rc sin ( sin 2000° 8 . 设 a n 是 ( 3n

 n = 0, 1, 2, …

证明 a n (n= 1, 2, …) 是完全平方数 .
.

三、 ( 本题满分 50 分) 有 n 个 人, 已 知他们 中的任意 两人至 多通电 话 一次, 他们中的任意 n - 2 个人之间通电话的总次 数 相等, 都 是 3k 次, 其中 k 是自 然数, 求 n 的所有 可能 值 .
n

x ) 的展开 式中 x 项的系 数
n →∞

( n = 2, 3, 4, … ) , 则 lim ( .

3 3 3 + + …+ ) = a3 an a2

2

3

9 . 等比 数列 a + log 2 3, a + log4 3, a + log 8 3 的 公

比是

. 10. 在椭 圆

参考答案
一、 1. (D ) ; 2 . (D ) ; 3. (C ) ; 4. ( A ); 5. ( B ) ; 6. (B ). 二、 7. 28.
N 三、 13 . 由已知, 对任何 n ∈N, 有 f ( n) = ( n + 32) S n+

x2 y2 = 1 (a > b > 0 ) 中, 记左焦 点 2 + a b2 为 F , 右顶 点为 A , 短轴 上方的 端点 为 B. 若 该椭 圆

Π
9

; 8. 18; 9 .

1 ; 10 . 90° ; 11. 3

2 Π a 3; 12. 24 S

的离心率是

5 - 1 , 则∠ AB F = 2

.

11. 一个球与正四面体的六条棱都相 切, 若正四

1

面体的棱长为 a , 则这个球的体积是

.

n n = ( = = n + 32) (n+ 2 ) n2 + 34n + 64 64 + 34≥2 n

1 n+ 34+ 64 n

,

12. 如果: (1) a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4}; (2 ) a ≠ b, b≠c, c ≠d , d ≠a; (3 ) a 是 a , b, c, d 中的最小值, 那

么, 可 以 组 成 的 不 同 的 四 位 数 abcd 的 个 数 是
.

三 、 解答题 ( 本题满分 60 分, 每小题 20 分)
13. 设 S n = 1 + 2 + 3+ …+ n , n ∈N, 求 f (n ) = Sn 的最大值 . (n + 32 ) S n+ 1

64 + 34= 50, n 1 1 故对任何 n ∈N, 有 f (n ) = ≤ . 64 50 n + 34+ n 1 1 由于 f ( 8) = , 故 f (n ) 的最 大值 为 . 50 50 14. 分三种情况讨论区间 [ a , b ] .

又因 n +

n

               中学数学月刊          48 2000 年第 11 期
(1 ) 若 0 ≤a< b, 则 f (x ) 在 [ a , b ] 上单调递减, 故 2b= f (a ) = 2b , f (b) = 2a. 于是 有 2a = 1 2 13 a + , 2 2 1 2 13 b+ , 2 2 [ r 2 sin ( Η + b2

Π)
2 1

]2 = + 1 1,

于 是,
=

? O P ?2

? OQ ?2

解之得[ a , b ]= [ 1, 3 ] . (2) 若 a < 0< b, f ( x ) 在 [ a , 0 ] 上单 调 递增, 在
[ 0, b ] 上单 调递 减, 因 此 f (x ) 在 x = 0 处 取 最大 值 2b, 在 x = a 或 x = b 处 取最小 值 2a. 故 2b= 13 . 由于 a < 0, 又 f (b) = 4 13 , b= 2 1 13 2 13 39 ( ) + = > 0, 2 4 2 32 1 2 a + 2

1 1 + r 1 2 r2 2

= (

co s2Η sin 2 Η )+ 2 + 2
a b
2

[
=

co s ( Η + Π) 2
a
2

+

sin 2 ( Η + Π) 2
b
2

]   

图2  

故 f (x ) 在 x = a 处取 最小 值 2a, 即 2a = 13 , 解 得 a = - 22

17; 于 是 得 [ a , b ] = [ - 2 -

1 1 + 2 = 1. a2 b 又在 R t △P OQ 中, 设点 O 到 P Q 的距 离为 h , 1 1 1 = + = 1, 故得 h = 1 . h2 ? O P ?2 ? OQ ?2 同理, 点 O 到 Q R, RS , S P 的 距离 也为 1, 故 菱

13 17 , ]. 4 (3 ) 当 a < b≤0 时, f (x ) 在 [ a , b ] 上单调递增, 故 f (a ) = 2a , f (b) = 2b, 即 2a = b2 + 13 . 2 1 2 13 + , 2b= 2 a 2 1 2



形 PQ RS 与 C 0 外切 . 充分性得证.

加试试题参考答案
一、 连结 M N , BD , ∵
FM ⊥A B , FN ⊥A C ,

1 13 由于方程 x 2 + 2x = 0 的 两根异 号, 故 满 2 2 足 a< b< 0 的区间不存在 .

∴A , M , F , N 四 点 共 圆 . ∴ ∠AMN ∠ A FN , 即M N ⊥ A D.
1 AD M N 2 ∵∠CA F = ∠D AB , ∠A CF = ∠ ADB , = 图3

综上所 述, 所 求 区间 为 [ 1, 3 ] 或 [ - 213 ]. 4 15. 所求条件为 1 1 + 2 = 1. a2 b

17,

∴∠ AM N + ∠ B AE = ∠ A FN + ∠CA F = 90° ,

必要性: 易知, 圆外 切平行 四边形一 定是 菱形, 圆心即菱形中心 . 假设结论成立, 则对点 ( a, 0) , 有 (a , 0 ) 为顶 点的 菱形与 C 1 内接, 与 C 0 外切 . (a , 0 ) 的 相对顶点为 ( a , 0) , 由于菱形的对角线互相垂直平分, 另外两个顶 AD

∴S A MD N =

∴△A FC∽ △A BD ]
A F.

AF AC = ] AB AB AD

AC =

点必在 y 轴上, 为 ( 0, b ) 和 (0, - b). 菱形一条边的 方
x y 程为 + = 1, 即 bx + ay = ab. 由 于菱形 与 C 0 外 a b ab 1 1 切, 故 必有 = 1, 整理得 2 + 2 = 1. 必要 性 2 2 a b a + b 得证 . a b P , O 作 C 1 的 弦 P R , 再过 O 作与 P R 垂 直的弦 Q S ,

又 A F 是过 A ,M , F , N 四点的圆的直径,
MN = A F ] A F sin ∠BA C = M N . sin ∠BA C 1 ∴S △AB C = A B A C sin ∠BA C 2



充分性: 设 12 + 12 = 1, P 是 C 1 上任意 一点, 过

1 AD 2 1 = 2 AD =

AF

sin ∠BA C

MN = S AM D N

二、 由假设得 a 1 = 4, b1 = 4 且 当 n≥1 时,
(2a n+ 1 - 1) + 3 bn + 1 3 (8a n + 7bn - 4 ) 3 ). 3 )n1

则 P QR S 为与 C 1 内接的菱形 . 设? O P ?= r 1 , ? O Q ?=
) , 点 Q 的坐标为 r 2 , 则点 P 的坐标为 ( r 1 co s Η , r 1 sin Η ( r2 co s ( Η + ( r1 co s Η ) a2
2

= (14a n + 12bn - 7 ) + = [ ( 2a n - 1) +

Π)

Π) ) , r2 sin ( Η + , 代 入 椭 圆 方程, 得 2 2
+ r1 sin Η ) b2
2

3 bn ] ( 7+ 4 3 bn = ( 7+ 4 3 ).
n

依次类推可得
(2 a n - 1) + (2a 1 - 1 + 3 b1 ) = (7+ 4

[ r 2 co s (Η + = 1, a2

Π
2

) ]2 +

2000 年第 11 期           中学数学月刊                49  
同理 (2a n - 1) a n= 1 ( 7+ 4 4 3 bn = ( 7- 4 1 ( 3 ) n+ 7- 4 4 3 ) n. 从而 1 3 ) n+ . 2

故Κ i, s≡1, Κ j , s≡0. s≠ i, j, 1≤s≤n. 因此, m i ≥n - 2, m j ≤1. 于是, m i - m j ≥n - 3≥2. 出现 矛盾, 故 m i - m j = 0, 即 m s ( 1 ≤s≤ n) 恒 为 常数 . 根据 (3 ) 知, Κ . i , j ≡0 或 Κ i, j ≡ 1 若Κ i, j ≡0, 则m s ≡0, 1≤s≤n. 与已知条件矛盾 . 因此, Κ i , j ≡1] m s≡n 1, 1≤s≤n. 所以
1 ( n n - 1) - (2n - 3) = 3k , 2

3 ) 2, 1 1 所以 a n = [ ( 2+ 3 ) n+ (23 ) n ] 2. 2 2 1 ( 1 ( 由二 项式展 开得 c n = 2+ 3 ) n+ 22 2

由于 7±4

3 = (2±

3 ) =

n

0 ≤2k ≤n

∑C

2k
n

3

k

2

n-

2k

,

显然 cn 为整数, 于是 a n 为完全平方数 . 三 、 显 然 n ≥5. 记 n 个 人为 A 1 , A 2 , …A n , 设 A i 通 话 的次数为 m i , A i 与 A j 之间通话的次数为 Κ i , j , 1 ≤i , j
n

即 (n - 2) (n - 3) = 2×3k. 设 n- 2= 2×3 k1 , n - 3= 3k 2 , k 1 ≥k2 , 则 2× 3k1 - 3k2 = 1, 于是
3k 2 (2 ×3k 1 k2

≤n. 则 m i + m j - Κ ∑ - 3k = c. i, j = 2 s= 1 m s 其中 c 是常数, 1 ≤i, j ≤n.

1

(3 )

- 1) = 1, 得 3k 2 = 1, 2×3 k1 -

k2

- 1=

由 (3 ) 知, ? = ?(m i + m s ) - (m j + m s) ? m i- m j ? = ? ≤1, 1≤i , j , s≤n . Κ i , sΚ j, s? ] ? m i- m j? ≤1, 1≤ i, j ≤n. 设 m i = m ax {m s, 1 ≤s ≤n. } , m j = m in {m s, 1 ≤s ≤n. }, 则 m i - m j ≤1. 若m i - m j = 1, 则对于任意 s ≠i, j , 1 ≤s ≤n,
(m j + m s- Κ (Κ 都有 (m i + m s - Κ i, s) j, s= 1i, s Κ j , s)

1, 因此 k2 = 0, k 1 = 0 . 这与 k≥1 矛盾 .

设 n- 2= 3k 1 , n - 3= 2×3k 2 , k 1 ≥k2 + 1, 则 3k 1 - 2 ×3k2 = 1, 于是
3k 2 (3 k1 k2

- 2 ) = 1, 得 3 k2 = 1, 3k1 -

k2

- 2= 1,

因此 k2 = 0, k1 = 1, n = 5. 此时, 若 5 个人中每两人之间都 通话一次, 则 其 中任意 3 个人之间通话的总次数为 31 次 . 综上所述, n = 5 为 n 的所有可能值.

≡0, 即 Κ Κ i, sj , s≡1.

良好素质 , 是你一生成功的希望 善于创新 , 才能成为社会的栋梁

( 小学版) 素 质 教 育 ( 中学版) 、
让我们学会创造 学会关心 学会独立 学会生存 学会竞争 同时也学会考试 《素质教育 》 由中国人民 大学创办, 是全国首家面向广大中 小学生全面推广素质 教育的刊物, 它以 “面向
未来, 助你成才” 为办刊宗旨 . 《素质教育》 选载知识性、 趣味性、 实用性俱佳的精品文章, 帮助中小学生朋友拓宽视野、 锻炼思维、 培养技 能 、 健康身心, 全面提高个人综合素质, 以适应未来社会的种种挑战 . 《素质教育》 ( 中学版) 主要栏目: 本期话 题 、 成长 宣言、 青春对话、 生命之 美 、 创 新课堂、 智力 冲浪、 技能园 地 、 点子快递、 青春自卫、 形象工作室、 缤纷世界等 . 同时特别关注中高考动态信息, 专设 “中高考指南” 栏目, 为 广大中学生适应向素质教育转轨的中高考新形势提供帮助 .
(小学版) 主要栏目为: 特别推荐、 《素质教育》 伴你成长、 自 我保护 72 变、 智慧火花、 异想天 开、 自 己动手、

乐在其中、 一点通、 画龙点睛、 动画城、 开心果 、 世界真奇妙等 . 中学版, 月刊, 邮发代号: 2- 414, 定价: 3. 50 元, 全年定价 42 元 小学版, 双月刊, 邮发代号: 2- 415, 定价: 3. 50 元, 全年定价 24 元 也可向我中心直接订购, 订购处: 中 国人 民大 学书 报资 料中 心营 销部 编辑部地址: 北京 1 12 2 信箱 《素质教育》 编辑 部  邮编: 10 00 07 订购电话: ( 010) 6403 94 43, 6 404 17 92  联系人: 余洪波 联系电话: (0 10) 62 51 51 69  13 80 12 60 18 3


推荐相关:

2000年全国高中数学联赛试卷及答案

2000年全国高中数学联赛试卷及答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学联赛...年全国高中数学联合竞赛试卷答案 2000 年全国高中数学联合竞赛试卷答案 加试一、...


2000年全国高中数学联赛试题及解答

2000年全国高中数学联赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2000 年全国高中数学联合竞赛试卷第一试 (10 月 15 日上午 8:00?9:40) 一、选择题(本题满分...


2000年-2011年全国高中数学联合竞赛一试和二试试题及答案

2000年-2011年全国高中数学联合竞赛一试和二试试题及答案_学科竞赛_小学教育_教育专区。2011 年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)一、填空题:本大题共 8 小...


2001年全国高中数学联赛试题及解答

+a2000x2000,则 a0+a3+a6+a9+…+a1998 的值为 (A)3333 (B)3666 (C)...第2页 共8页 2001 年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准一.选择题:...


2000年全国高中数学联赛试题及解答

全国高中数学联赛试题及解答全国高中数学联赛试题及解答隐藏>> 2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚 2000 年全国高中数学联合竞赛试卷(10 月 15 日上午 8:00?9:40) ...


2000年全国高中数学联赛试题及解答

2000年全国高中数学联赛试题及解答 高中数学竞赛高中数学竞赛隐藏>> 2000 年全国高中数学联合竞赛试卷(10 月 15 日上午 8:00?9:40) 一、选择题(本题满分 36 ...


2000年全国高中数学联赛试题及解答

2000年全国高中数学联赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2000年全国高中数学联赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区...


全国高中数学联合竞赛2000年题及答案

高中数学联合竞赛高中数学联合竞赛隐藏>> 2000 年全国高中数学联合竞赛试卷及参考答案 (10 月 15 日上午 8:009:40) 一,选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分...


2000年全国高中数学联赛试题及点评

2000年全国高中数学联赛试题及点评_学科竞赛_高中教育_教育专区。我们老师点评,有多题给出独特的解法 2000 年全国高中数学联合竞赛试题 第一试一、选择题(本题满分...


2000年全国高中数学联合竞赛试卷及参考答案

2000 年全国高中数学联合竞赛试卷及参考答案(10 月 15 日上午 8:00?9:40) 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.设全集是实数,若 A={x| x ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com