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2016届江门一模文科数学(word精校版)


江门市 2016 年高考模拟考试 数学(文科)2016.4.12
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.若集合 M ? x | x 2 ? 1 , N ? ?? 2 , 0 , 1?,则 M ? N ? (

?

?

/>


A. ?? 2 , 0 , 1?

B. ?0 , 1?

C. ?? 2 , 0?

D. ?


2.设数列 ?an ? 满足 an ? i n , i 是虚数单位, n ? N * ,则数列 ?an ? 的前 2015 项和为( A. i B. ? i C. 1 D. ? 1


3.设向量 a ? (2 , ? 4) , b ? (6 , x) ,若 | a ? b |?| a ? b | ,则 x ? ( A. 3 B. ? 3 C. 12 D. ? 12

4.一个几何体的三视图如图所示,其中,俯视图是半径为 2 、圆心角为
该几何体的表面积是( )

? 的扇形。 2
2
正视图

3

侧视图

A. 3? ? 12

B. 5?

C. 5? ? 12

D. 8? ? 12
俯视图

?2 x ? y ? 10 ? 5.实数 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 14 ,则 | x | ? | y | 的最大值为( ?x ? y ? 6 ?
A. 6 B. 8 C. 10

2


D. 14

输出 a 结束

6.执行如下图所示的程序框图(算法流程图) ,输出的结果是(
开始

a ? 1, b ? 2

c ? a?b

c ? 2016 ?
a?b
C. 130




b ? c2
A. 9 B. 121

D. 17021

7.已知函数 f ( x) ? sin ?x ? cos?x , ? ? 0 是常数, x ? R ,且图象上相邻两个最高点的距离为 ? ,则下列
说法正确的是( )

A. ? ? 1 C.曲线 y ? f ( x) 与直线 x ?

B.曲线 y ? f ( x) 关于点 (? , 0) 对称

?
2

对称

D.函数 f ( x) 在区间 (0 ,

?
3

) 单调递增


8.若 a , b 都是不等于 1 的正数,则“ loga 2 ? logb 2 ”是“ 2 a ? 2 b ”的( A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.非充分非必要条件

9.已知 f ( x) ? ax 2 ?
( )

b 3 1 1 1 ( a ? 0 ,b ? 0 ) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1 , f (1)) 处的切线经过点 ( , ) ,则 ? 有 x 2 2 a b
B.最大值 9 C.最小值 4 D.最大值 4

A.最小值 9

10. 已知 F 是抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,P 是抛物线上一点, 延长 PF 交抛物线于点 Q , 若 | PF |? 5 , 则 | QF |?
( )

A.

9 8

B.

5 4

C.

3 2

D. 2

11.某商店经营一批进价为每千克 3.5 元的商品,调查发现,此商品的销售单价 x (元/千克)与日销量 y (千 克)之间有如下关系:

x

5

6

7

8

y

20

17

15

12

若 x 与 y 具有线性相关关系 y ? b x ? a ,且 b ? ?2.6 ,为使日销售利润 最大,则销售单价应定为(结果保留 .....
一位小数) ( )

?

?

?

A. 7.5

B. 7.8

C. 8.1

D. 8.4

12.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 是奇函数,满足 f ( x ? 3) ? f ( x) , f (?2) ? ?3 ,数列 ?an ? 满足 a1 ? ?1 ,且
前 n 项和 S n 满足

Sn a ? 2 ? n ? 1 ,则 f (a5 ) ? f (a6 ) ? ( n n
C. 0 D. 6



A. 3

B. ? 3

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题~24 题为 选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.从 2 , 0 , 1 , 6 四个数中随机取两个数组成一个两位数,并要求所取得较大的数为十位数字,较小的数为 个位数字,则所组成的两位数是奇数的概率 P ? 14.若双曲线



1 x2 y2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的渐近线与圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 相切,且圆 C 的圆心是双曲 2 2 a b


线的其中一个焦点,则双曲线的实轴长为

15 .已知四面体 P ? ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上,若 PB ? 平面 ABC , AB ? AC ,且 AB ? 1 ,

PB ? AC ? 2 ,则球 O 的表面积 S ?



16.若数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且

1 a n ?1

?

1 ,则数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ? n ?1( n ? N * ) an



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若向量 m ? (2a ? b, c) 与 n ? (cos B,cos C) 共线. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 | m |? 2 | n |? 2 ,求 a 的大小.

?? ?

?? ?

18. (本小题满分 12 分) 环保组织随机抽检市内某河流 2015 年内 100 天的水质,检测单位体积河水中重金属含量 x ,并根据抽检数 据绘制了如下图所示的频率分布直方图. (Ⅰ)求图中 a 的值; (Ⅱ)假设某企业每天由重金属污染造成的经济损失 y (单位:元)与单位体积河水中重金属含量 x 的关系

?0 , ? 式为 y ? ?4 x ? 400, ?5 x ? 600, ?
不超过 500 元的概率.

0 ? x ? 100 100 ? x ? 200 ,若将频率视为概率,在本年内随机抽取一天,试估计这天经济损失 200 ? x ? 250

19. (本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABA 1 ? DCD1 中, D1C ? 中点. (Ⅰ)证明: AF ? ED1 ; (Ⅱ)求点 E 到平面 AFD 1 的距离. A1

2a , DD1 ? DA ? DC ? a ,点 E 、 F 分别是 BC 、 DC 的
D1

D A

F O

C E B

20. (本小题满分 12 分)

5 x2 y2 已知椭圆 ? : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦距为 4 ,且经过点 P ( 2 , ) . 3 a b
(Ⅰ)求椭圆 ? 的方程; (Ⅱ)若直线 l 经过 M (0 , 1) ,与 ? 交于 A 、 B 两点, MA ? ?

2 MB ,求 l 的方程. 3

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x 2 ? 2ax)e ? x ( a ? R ) . (Ⅰ)当 a ?

1 时,试证明 f / ( x) ? 1 ; 2

(Ⅱ)讨论 f ( x) 在区间 (1 , 3) 上的单调性.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O 的直径, C 为⊙ O 上一点, AD 和过 C 点的切线互相垂直,垂足为 D . (Ⅰ)求证: AC 平分 ? DAB ; (Ⅱ)若 AB ? 9 , AC ? 6 ,求 CD .

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

?x ? sin ? ? cos? ( ? 为参数,? ? [0 , 2? ) ) ,以原点为极点, ? y ? 1 ? sin 2?

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? ? cos? ? 2 .
(Ⅰ)写出直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)求直线 l 与曲线 C 交点的直角坐标.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ)解不等式 | 3 ? 2 x |? 5 ; (Ⅱ)若 ?x ? [1 , 2] , x? | x ? a |? 1 恒成立,求常数 a 的取值范围.

评分参考
一、选择题:BDAC CBDD ABCA 二、填空题: 三、解答题: 17.解: (Ⅰ)依题意 c ? cos B ? (2a ? b) ? cosC ……1 分 由正弦定理得, sin C cos B ? (2 sin A ? sin B) ? cosC ……3 分

1 2n , 2 , 9? , 3 n ?1

sin(B ? C ) ? sin C cos B ? sin B cosC ? 2 sin A cosC ……5 分
B ? C ? ? ? A ,所以 sin(B ? C ) ? sin A , cos C ?
2 2 (Ⅱ)由 | n |? 1得 cos B ? cos C ? 1 , cos C ?

1 ? , 0 ? C ? ? , C ? ……6 分 2 3

1 3 得 cos B ? ? ……7 分 2 2

B?

?
6

或B ?

5? ? ? ,因为 C ? ,所以 B ? ……8 分 6 3 6 1 3 a ,c ? a ……9 分 2 2

所以 ?ABC 是直角三角形, b ?

由 | m |? 2 得, (2a ? b) 2 ? c 2 ? 4 ……10 分 代入得, (2a ?

1 2 3 2 2 3 ……12 分 a) ? ( a) ? 4 ,解得 a ? 2 2 3

18.解: (Ⅰ)依题意, a ? 50 ? 2 ? 0.004 ? 50 ? 0.005 ? 50 ? 0.006 ? 50 ? 1 ……2 分 解得 a ? 0.001 ……3 分 (Ⅱ)解 4 x ? 400 ? 500 ,得 x ? 225 ……5 分 解 5 x ? 600 ? 500 ,得 x ? 220 ……7 分 所求概率为 2 ? 0.004? 50 ? 0.005? 50 ? 0.006? 50 ? 0.001? (220 ? 200) ……10 分

? 0.97 ……11 分
答: (略)……12 分 19.证明与求解: (Ⅰ)由已知得 DD1 ? DC 2 ? D1C 2 , DD1 ? DC ……1 分 连接 DE ,由已知得 AD ? DD1 , 又 DD1 ? DC , AD ? DC ? D ,所以 DD1 ? 平面 ABCD ……2 分
2

AF ? 平面 ABCD ,所以 DD1 ? AF ……3 分

DA ? DC ? a , CE ? DF ?

1 a , ?ADF ? ?DCE ? 900 , 2

?ADF ? ?CDE , ?DAF ? ?CDE , AF ? DE ……4 分

DD1 ? DE ? D ,所以 AF ? 平面 D1 DE , AF ? ED1 ……5 分
(Ⅱ)设三棱锥 D1 ? AEF 的体积为 V ,点 E 到平面 AFD 1 的距离为 h

1 1 1 1 1 1 1 1 V ? ? S ?AEF ? DD1 ? ? (a 2 ? 2 ? ? a ? a ? ? a ? a) ? a ? a 3 ……7 分 3 3 2 2 2 2 2 8

D1 F ? AF ?

3 5 a ……9 分, a , AD1 ? 2a ,过 F 作 FG ? AD1 于 G ,则 FG ? 2 2 6 2 a ……10 分 4

?AD1 F 的面积 S ?

6 1 6 2 1 a ……12 分 ? a ? h ? a 3 ……11 分,解得 h ? 4 3 4 8
20.解: (Ⅰ)依题意, 2c ? 4 ,椭圆 ? 的焦点为 F1 (?2 , 0) , F2 (2 , 0) ……1 分

5 5 2a ?| PF1 | ? | PF2 |? (2 ? 2) 2 ? ( ) 2 ? (2 ? 2) 2 ? ( ) 2 ? 6 ……3 分 3 3
所以 b ? a ? c ? 5 ,椭圆 ? 的方程为
2 2 2

x2 y2 ? ? 1 ……4 分 9 5

(Ⅱ)若 l 与 x 轴垂直,则 l 的方程为 x ? 0 , A 、 B 为椭圆短轴上两点 (0 , ? 5 ) ,不符合题意…5 分

? x2 y2 ?1 ? ? 设 l 的方程 y ? kx ? 1 ,由 ? 9 得, (9k 2 ? 5) x 2 ? 18kx ? 36 ? 0 ……7 分 5 ? y ? kx ? 1 ?

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ?
由 MA ? ? 所以

18 k 36 , x1 ? x 2 ? ? 2 ……8 分 2 9k ? 5 9k ? 5

2 2 2 MB 得, ( x1 , y1 ? 1) ? ? ( x 2 , y 2 ? 1) , x1 ? ? x 2 ……9 分 3 3 3

1 18k 2 2 36 54 k 2 54 x2 ? ? 2 ) ? 2 , ? x2 ? ? 2 , (? 2 ……11 分 3 3 9k ? 5 9k ? 5 9k ? 5 9k ? 5 1 1 ,直线 l 的方程为 y ? ? x ? 1 ……12 分 3 3

解得 k ? ?

21.解: (Ⅰ) f ( x) ?
/

( x 2 ? x) / 2 ?x , f ( x) ? (? x ? x ? 1)e ……1 分 x e
/ 2 ?x

设 g ( x) ? f ( x) ,则 g ( x) ? ( x ? 3x)e ……2 分 解 g ( x) ? ( x ? 3x)e
/ 2 ?x

? 0 得, x ? 0 或 x ? 3 ……3 分

x
g / ( x)

(?? , 0)

0

(0 , 3)

3

(3 , ? ?)



0



0



g ( x)











大值

小值 ……5 分

g (0) ? 1 , g (3) ? ?5e ?3 ,且 x ? ??) 时, g ( x) ? (? x 2 ? x ? 1)e ? x ? 0 ,
所以 g ( x) 的最大值为 g (0) ? 1 , g ( x) ? f / ( x) ? 1 ……6 分 (Ⅱ) f / ( x) ? ?[ x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2a]e ? x ……7 分 解 f / ( x) ? 0 得, x1 ? 1 ? a ? 1 ? a 2 或 x2 ? 1 ? a ? 1 ? a 2 ……8 分

x

(?? , x1 )

x1

( x1 , x2 )

x2

( x2 , ? ?)

f / ( x)



0



0



f ( x)


极 ↗ 小值

极 ↘ 大值 ……9 分

3 ,解 1 ? a ? 1 ? a 2 ? 3 得 a ? ? ……10 分 f / (1) ? e ?1 ? 0 (即 1 ? ( x1 , x2 ) ) 4
当a ? ? 当a ? ?

3 时, x2 ? 1 ? a ? 1 ? a 2 ? 3 , f ( x) 在区间 (1 , 3) 上的单调递增……11 分 4 3 时, x2 ? 1 ? a ? 1 ? a 2 ? 3 , f ( x) 在区间 (1 , 1 ? a ? 1 ? a 2 ) 上的单调递增, 4

在区间 (1 ? a ? 1 ? a 2 , 3) 上的单调减……12 分(不计是否包括 1 ? a ? 1 ? a 2 ) 22.证明与求解: (Ⅰ)连接 OC ,则 OC ? CD , ?OAC ? ?OCA ……2 分 因为 AD ? CD ,所以 AD // OC , ?DAC ? ?OCA ……4 分

?OAC ? ?DAC , AC 平分 ?DAB ……5 分
(Ⅱ)连接 BC ,则 BC ? AC ,又 AC 平分 ? DAB ,所以 ?ABC ~ ?ACD ……7 分

AB AC ? ,解得 AD ? 4 ……9 分,所以 CD ? AC2 ? AD2 ? 2 5 ……10 分 AC AD
2 2 23.解: (Ⅰ)由 x ? sin ? ? cos ? 得, x ? 1 ? sin 2? ……2 分,所以 x ? y ……3 分

又 x ? sin ? ? cos ? ?

2 sin(? ?
2

?
4

) ,所以 x ?[? 2 ,

2] ,

与参数方程等价的普通方程是 x ? y , x ? [? 2 ,

2 ] ……4 分

⑵由 ? sin ? ? ? cos? ? 2 得 x ? y ? 2 ? 0 ……6 分 解?

?x 2 ? y ? x ? ?1 ?x ? 2 得? ,或 ? ……9 分(对 1 个给 2 分,全对 3 分) ?x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 1 ?y ? 4

检验知,交点为 (?1 , 1) ……10 分 24.解: (Ⅰ)由 | 3 ? 2 x |? 5 得 | 2 x ? 3 |? 5 ,所以 2 x ? 3 ? 5 或 2 x ? 3 ? ?5 ……2 分 解得 x ? 4 或 x ? ?1 ……4 分,原不等式的解集为 ?x | x ? 4或x ? ?1?……5 分 (Ⅱ)由已知得, | x ? a |? x ? 1 ? 0 , ( x ? a) 2 ? ( x ? 1) 2 ……6 分

(a ? 1)(a ? 2 x ? 1) ? 0 ,
a ? 1 时, (a ? 1)(a ? 2 x ? 1) ? 0 恒成立……7 分 a ? 1 时,由 (a ? 1)(a ? 2 x ? 1) ? 0 得, a ? 2 x ? 1 ,从而 a ? 3 ……8 分 a ? 1 时,由 (a ? 1)(a ? 2 x ? 1) ? 0 得, a ? 2 x ? 1 ,从而 a ? 1 ……9 分
综上所述, a 的取值范围为 (?? , 1] ? [3 , ? ?) ……10 分

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