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《导数及其应用》单元测试题(理科)


《导数及其应用》单元测试题(理科) 导数及其应用》单元测试题(理科) 及其应用 测试题
(满分 150 分 时间:120 分钟 ) 一、选择题(本大题共 8 小题,共 40 分,只有一个答案正确) 1.函数 f ( x ) = (2πx ) 的导数是(
2

) (C) f ′( x) = 8π 2 x ) (D) f ′( x) = 16πx

(A) f ′( x ) = 4πx

(B) f ′( x) = 4π 2 x

2.函数 f ( x) = x ? e ? x 的一个单调递增区间是( (A) [? 1,0] (B) [2,8] (C) [1,2]

(D) [0,2]

3 . 已 知 对 任 意 实 数 x , 有 f ( ? x) = ? f ( x),g ( ? x) = g ( x) , 且 x > 0 时 ,

f ′( x) > 0,g ′( x) > 0 ,则 x < 0 时(
A. f ′( x ) > 0,g ′( x ) > 0 C. f ′( x ) < 0,g ′( x ) > 0



B. f ′( x ) > 0,g ′( x ) < 0 D. f ′( x ) < 0,g ′( x ) < 0

4.



2 1

1 1 1 ( + 2 ? 3 )dx = ( x x x
(A) ln 2 +



7 8

(B) ln 2 ?

7 8

(C) ln 2 +

5 4

(D) ln 2 +

1 8

5.曲线 y = e A.

1 x 2

在点 (4,e 2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( B. 4e
2

) D. e
2

9 2 e 2

C. 2e

2

6.设 f ′( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y = f ( x) 和 y = f ′( x ) 的图象画在同一个直角坐标系 中,不可能正确的是( )

2 7.已知二次函数 f ( x ) = ax + bx + c 的导数为 f '( x ) , f '(0) > 0 ,对于任意实数 x 都有

f ( x) ≥ 0 ,则
A. 3

f (1) 的最小值为( f '(0)
B.



5 2

C. 2

D.

3 2

8.设 p : f ( x) = e x + ln x + 2 x 2 + mx + 1 在 (0, ∞) 内单调递增, q : m ≥ ?5 ,则 p 是 q 的 + ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

二.填空题(本大题共 6 小题,共 30 分) 9.用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,则 该长方体的长、宽、高各为 10.将抛物线 y = 的体积等于 11.已知函数 f ( x ) = x 3 ? 12 x + 8 在区间 [ ?3,3] 上的最大值与最小值分别为 M , m ,则 时,其体积最大.

x2 和直线 y = 1 围成的图形绕 y 轴旋转一周得到的几何体 2

M ? m = __.
12.对正整数 n,设曲线 y = x n (1 ? x) 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则数列

? an ? ? ? 的前 n 项和的公式是 ? n + 1? 2 3 13.点 P 在曲线 y = x ? x + 上移动,设在点 P 处的切线的倾斜角为为 α ,则 α 的取值 3
范围是
14.已知函数 y =

1 3 x + x 2 + ax ? 5 (1)若函数在 (? ∞,+∞ ) 总是单调函数,则 a 的取值范围 3
. (2)若函数在 [1,+∞) 上总是单调函数,则 a 的取值范围 . .



(3)若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数 a 的取值范围是 在区间( , )上单调递减, 在区间 三.解答题(本大题共 6 小题,共 12+12+14+14+14+14=80 分)
15.设函数 f ( x ) = e ? e .
x

?x

(1)证明: f ( x ) 的导数 f ′( x ) ≥ 2 ; (2)若对所有 x ≥ 0 都有 f ( x ) ≥ ax ,求 a 的取值范围.

16.设函数 f ( x) = ? x3 + 3 x + 2 分别在 x1、x2 处取得极小值、极大值. xoy 平面上点 A、B 的

uuu uuu r r 坐标分别为 x1 ,f ( x1 )) (x2 ,f ( x2 )) ( 、 ,该平面上动点 P 满足 PA ? PB = 4 ,点 Q 是点 P 关于直
线 y = 2( x ? 4) 的对称点,.求 (1)求点 A、B 的坐标; (2)求动点 Q 的轨迹方程.

17.已知函数 f ( x) = ax ln x + bx ? c (x>0)在 x = 1 处取得极值-3-c,其中 a,b,c 为常数。
4 4

(1)试确定 a,b 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调区间; (3)若对任意 x>0,不等式 f ( x) ≥ ?2c 2 恒成立,求 c 的取值范围。

18.已知 f ( x) =

ax 3 ? (a + 1) x 2 + 4 x + 1(a ∈ R ) 3

(1)当 a = ?1 时,求函数的单调区间。 (2)当 a ∈ R 时,讨论函数的单调增区间。 (3)是否存在负实数 a ,使 x ∈ [? 1,0] ,函数有最小值-3? ) 负实数

19.已知函数 f ( x ) = x 3 ? 3 x. (1)求曲线 y = f ( x) 在点 x = 2 处的切线方程; (2)若过点 A(1, m) ( m ≠ ?2) 可作曲线 y = f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

20.已知函数 f ( x ) = x +

(2)若对任意的 x1 , x2 ∈ [1,e] ( e 为自然对数的底数)都有 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) 成立,求 实数 a 的取值范围.

a2 , g ( x ) = x + ln x ,其中 a > 0 . x (1)若 x = 1 是函数 h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) 的极值点,求实数 a 的值;

【理科测试解答】
一、选择题

1. f ( x) = (2πx ) = 4π 2 x 2 ,∴ f ′( x) = 2 ? 4π 2 x = f ′( x ) = 8π 2 x ;
2

或 f ′( x) = 2 ? (2πx ) ? (2πx )′ = 4πx ? 2π = 8π 2 x (理科要求:复合函数求导) 2. f ( x) = x ? e ? x =
x x x (1 ? x ) ? e x > 0,∴ x < 1 选(A) . ∴ f ′( x) = 1 ? e ? x ? e = , 2 ex ex [e x ]2

[ ]

或 f ′( x) = 1 ? e ? x + x ? e ? x ? (? 1) = (1 ? x ) ? e ? x > 0. Q e ? x > 0,∴ x < 1. 3.(B)数形结合 4.(D) 5.(D) 6.(D) 7.(C) 8.(B) 二、填空题 9.2cm,1cm,1.5cm ; 设长方体的宽为 x(m),则长为 2x(m),高为
h= 18 ? 12 x = 4.5 ? 3x(m) 4 3? ? ? 0<x< ? . 2? ?

故长方体的体积为
V ( x) = 2 x 2 (4.5 ? 3x) = 9 x 2 ? 6 x 3 (m 3 ) 3 (0<x< ). 2

从而 V ′( x) = 18 x ? 18 x 2 ( 4.5 ? 3x) = 18 x(1 ? x). 令 V′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=1,因此 x=1. 当 0<x<1 时,V′(x)>0;当 1<x<
2 时,V′(x)<0, 3

故在 x=1 处 V(x)取得极大值,并且这个极大值就是 V(x)的最大值。 从而最大体积 V=V′(x)=9×12-6×13(m3),此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m. 10. π . S =
11.32 12. y
/ x =2

1 ∫ πx dy = π ∫ 2 ydy = (πy )0 = π .
1 2 1 2 0 0

(图略)

= ?2n ?1 ( n + 2 ) , 切线方程为 : y + 2n = ?2n ?1 ( n + 2 ) ( x ? 2) ,令 x=0,求出切线
n

与 y 轴交点的纵坐标为 y0 = ( n + 1) 2 ,所以

Sn =

2 (1 ? 2n ) 1? 2

an ? a ? = 2n ,则数列 ? n ? 的前 n 项和 n +1 ? n + 1?

= 2n +1 ? 2

13. ?0, π ? ∪ ? 3π , π ? ? ? 2? ? 4 ? ? ? ?

14. (1) a ≥ 1; ( 2)a ≥ ?3; ( 3) a ≤ ?3. 三、解答题 15.解:(1) f ( x ) 的导数 f ′( x) = e x + e ? x . 由于 e + e ≥ 2 e e
x -x x ?x

= 2 ,故 f ′( x) ≥ 2 .

(当且仅当 x = 0 时,等号成立). (2)令 g ( x ) = f ( x ) ? ax ,则

g ′( x) = f ′( x) ? a = e x + e ? x ? a ,
(ⅰ)若 a ≤ 2 ,当 x > 0 时, g ′( x ) = e + e
x ?x

? a > 2? a≥0,

故 g ( x ) 在 (0, ∞) 上为增函数, + 所以, x ≥ 0 时, g ( x ) ≥ g (0) ,即 f ( x ) ≥ ax .

(ⅱ)若 a > 2 ,方程 g ′( x ) = 0 的正根为 x1 = ln

a + a2 ? 4 , 2

此时,若 x ∈ (0,x1 ) ,则 g ′( x ) < 0 ,故 g ( x ) 在该区间为减函数. 所以, x ∈ (0,x1 ) 时, g ( x ) < g (0) = 0 ,即 f ( x ) < ax ,与题设 f ( x ) ≥ ax 相矛盾. 综上,满足条件的 a 的取值范围是 ( ?∞,] . 2 16.解:(1)由题意知 f (1) = ?3 ? c ,因此 b ? c = ?3 ? c ,从而 b = ?3 . 又对 f ( x ) 求导得

f ′( x) = 4ax3 ln x + ax 4

1 + 4bx 3 x

= x3 (4a ln x + a + 4b) .
由题意 f ′(1) = 0 ,因此 a + 4b = 0 ,解得 a = 12 . (2)由(I)知 f ′( x ) = 48 x 3 ln x ( x > 0 ),令 f ′( x ) = 0 ,解得 x = 1 . 当 0 < x < 1 时, f ′( x ) < 0 ,此时 f ( x ) 为减函数; 当 x > 1 时, f ′( x ) > 0 ,此时 f ( x ) 为增函数.

因此 f ( x ) 的单调递减区间为 (0, ,而 f ( x ) 的单调递增区间为 (1 + ∞) . 1) , (3)由(II)知, f ( x ) 在 x = 1 处取得极小值 f (1) = ?3 ? c ,此极小值也是最小值,要使

f ( x) ≥ ?2c 2 ( x > 0 )恒成立,只需 ?3 ? c ≥ ?2c 2 .
即 2c ? c ? 3 ≥ 0 ,从而 (2c ? 3)(c + 1) ≥ 0 ,
2

解得 c ≥

3 或 c ≤ ?1 . 2

所以 c 的取值范围为 ( ?∞, 1] U ? , ∞ ? ? + 17.解: (1)令 f ′( x ) = ( ? x 3 + 3 x + 2) ′ = ?3 x 2 + 3 = 0 解得 x = 1或x = ?1 当 x < ?1 时, f ′( x ) < 0 , 当 ? 1 < x < 1 时, f ′( x ) > 0 ,当 x > 1 时, f ′( x ) < 0 所 以 , 函 数 在 x = ?1 处 取 得 极 小 值 , 在 x = 1 取 得 极 大 值 , 故

?3 ?2

? ?

x1 = ?1, x 2 = 1 , f (?1) = 0, f (1) = 4
所以, 点 A、B 的坐标为 A( ?1,0), B (1,4) . (2) 设 p ( m, n) , Q ( x, y ) , PA ? PB = (? 1 ? m,? n ) ? (1 ? m,4 ? n ) = m ? 1 + n ? 4n = 4
2 2

1 y?n 1 y+n ?x+m ? k PQ = ? , 所以 = ? , PQ 的中点在 y = 2( x ? 4) 上, 又 所以 = 2? ? 4? 2 x?m 2 2 ? 2 ?
消去 m, n 得 ( x ? 8) + ( y + 2 ) = 9 .
2 2

另法:点 P 的轨迹方程为 m 2 + (n ? 2 ) = 9, 其轨迹为以(0,2)为圆心,半径为 3 的圆;
2

设点(0,2)关于 y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点 Q 的轨迹为以(a,b),为圆心,半径为 3 的圆, 由

b?2 1 b+2 ?a+0 ? =? , = 2? ? 4 ? 得 a=8,b=-2 a?0 2 2 ? 2 ?

18(1) x ∈ (? ∞,?2 ), 或 x ∈ (2,+∞), f (x)递减; x ∈ (? 2,2 ), f (x)递增; (2)1、当 a = 0,
x ∈ (? ∞,?2 ),

f (x) 递 增 ;2 、 当 a < 0, x ∈ ? 2 ,2 ?, f (x) 递 增 ;3 、 当 0 < a < 1, x ∈ (? ∞,2), 或 ? ?
?a ?

?2 ? x ∈ ? ,+∞ ?, f (x) 递增; 当 a = 1, x ∈ (? ∞,+∞ ), ?a ?

f (x) 递增;当 a > 1, x ∈ ? ? ∞, 2 ?, 或 x ∈ (2,+∞ ), f (x) ? ?
? a?

递增; 3) a < 0, 由②分两类 ( 因 (依据: 单调性, 极小值点是否在区间[-1,0]上是分类 “契机” :

3 1、当 2 ≤ ?1, ? a ≥ ?2, x ∈ [? 1,0] ? ? 2 ,2 ?, f (x)递增, f (x)min= f (? ) =? ,解得 a = ? > ?2, 1 3 ? ? 4 a ?a ?

3 2、当 2 > ?1, ? a ≤ ?2, 由单调性知: f (x)min= f ( ) =? ,化简得: 3a 2 + 3a ? 1 = 0 ,解得 a a
a=

2

3 ? 3 ± 21 > ?2, 不合要求;综上, a = ? 为所求。 4 6
………………………2 分

19.解(1) f ′( x) = 3 x 2 ? 3, f ′(2) = 9, f (2) = 23 ? 3 × 2 = 2 (2)过点 A(1, m) 向曲线 y = f ( x) 作切线,设切点为 ( x0 , y0 ) 则 y0 = x0 ? 3 x0 , k = f ′( x0 ) = 3 x0 ? 3.
3 2

∴曲线 y = f ( x) 在 x = 2 处的切线方程为 y ? 2 = 9( x ? 2) ,即 9 x ? y ? 16 = 0 ;………4 分

则切线方程为 y ? ( x0 ? 3 x0 ) = (3 x0 ? 3)( x ? x0 ) ………………………………………6 分
3 2

整理得 2 x0 ? 3 x0 + m + 3 = 0 (*)
3 2

过点 A(1, m) ( m ≠ ?2) 可作曲线 y = f ( x) 的三条切线 ∴方程(*)有三个不同实数根.


记 g ( x ) = 2 x 3 ? 3 x 2 + m + 3, g ′( x) = 6 x 2 ? 6 x = 6 x( x ? 1) 则 x, g ′( x ), g ( x ) 的变化情况如下表 x (?∞, 0) 0 (0,1) ? g ′( x) + 0 令 g ′( x ) = 0, x = 0 或 1. …………………………………………………………10 分

1 0
极小

(1, +∞)

+
………………………12 分

g ( x)

极大

当 x = 0, g ( x ) 有极大值 m + 3; x = 1, g ( x ) 有极小值 m + 2 . 由 g ( x ) 的简图知,当且仅当 ? 即?

? g (0) > 0 , ? g (1) < 0

?m + 3 > 0 , ? 3 < m < ?2 时, ?m + 2 < 0 函数 g ( x ) 有三个不同零点,过点 A 可作三条不同切线. 所以若过点 A 可作曲线 y = f ( x) 的三条不同切线, m 的范围是 ( ?3, ?2) .…………14 分
20.(1)解法1:∵ h ( x ) = 2 x + 解法1 解法 ∴ h′ ( x ) = 2 ?

a2 + ln x ,其定义域为 ( 0,+ ∞ ) , x

a2 1 + . x2 x 2 ∵ x = 1 是函数 h ( x ) 的极值点,∴ h′ (1) = 0 ,即 3 ? a = 0 . 3. 3 时, x = 1 是函数 h ( x ) 的极值点,

∵ a > 0 ,∴ a = 经检验当 a = ∴a =

3.

解法2 解法2:∵ h ( x ) = 2 x + ∴ h′ ( x ) = 2 ?

a2 + ln x ,其定义域为 ( 0, ∞ ) , + x

a2 1 + . x2 x a2 1 2 2 令 h′ ( x ) = 0 ,即 2 ? 2 + = 0 ,整理,得 2 x + x ? a = 0 . x x 2 ∵ ? = 1 + 8a > 0 ,
∴ h′ ( x ) = 0 的两个实根 x1 =

当 x 变化时, h ( x ) , h′ ( x ) 的变化情况如下表:

?1 ? 1 + 8a 2 ?1 + 1 + 8a 2 (舍去), x2 = , 4 4

x h′ ( x ) h ( x)
依题意,

( 0, x2 )


x2
0 极小值

( x2 , +∞ )


?1 + 1 + 8a 2 = 1 ,即 a 2 = 3 , 4 ∵ a > 0 ,∴ a = 3 . ( 2 ) 解 : 对 任 意 的 x1 , x2 ∈ [1,e] 都 有 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) 成 立 等 价 于 对 任 意 的

x1 , x2 ∈ [1,e] 都有 ? f ( x ) ? min ≥ ? g ( x ) ? max . ? ? ? ? 1 当 x ∈ [1, e ]时, g ′ ( x ) = 1 + > 0 . x ∴函数 g ( x ) = x + ln x 在 [1,e] 上是增函数.
∴ ? g ( x )? ? ?
max

a 2 ( x + a )( x ? a ) = ,且 x ∈ [1, e] , a > 0 . x2 x2 ( x + a )( x ? a ) > 0 , ①当 0 < a < 1 且 x ∈ [1, e ]时, f ′ ( x ) = x2 a2 ∴函数 f ( x ) = x + 在[1, e ]上是增函数, x
∵ f ′( x) = 1? ∴ ? f ( x ) ? = f (1) = 1 + a 2 . ? ? min 由 1 + a ≥ e + 1 ,得 a ≥ e , 又 0 < a < 1 ,∴ a 不合题意.
2

= g (e) = e +1 .

②当1≤ a ≤ e 时, 若1≤ x < a ,则 f ′ ( x ) =

( x + a )( x ? a ) < 0 ,
x2 ( x + a )( x ? a ) x2
>0.

若 a < x ≤ e ,则 f ′ ( x ) =

∴函数 f ( x ) = x + ∴ ? f ( x )? ? ? min

a2 在 [1, a ) 上是减函数,在 ( a,e] 上是增函数. x = f ( a ) = 2a .
e +1 , 2

由 2a ≥ e + 1 ,得 a ≥ 又1≤ a ≤ e ,∴

e +1 ≤a ≤e. 2

③当 a > e 且 x ∈ [1, e ]时, f ′ ( x ) =

( x + a )( x ? a ) < 0 ,
x2

a2 ∴函数 f ( x ) = x + 在 [1,e] 上是减函数. x a2 ∴ ? f ( x )? = f ( e ) = e + . ? ? min e a2 由e+ ≥ e + 1 ,得 a ≥ e , e 又 a > e ,∴ a > e . ? e +1 ? 综上所述, a 的取值范围为 ? , +∞ ? . ? 2 ?

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