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2012届高考数学知识点复习测试题19


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第1讲
新疆 王新敞
奎屯

随机事件及其概率

★ 知 识 梳 理 ★ 11 事件的定义:随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件;必然事件:在一 定条件下必然发生的事件;不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件
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m 2.随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 n 总是接近
某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P ( A) . 特别提醒: 只有在每一种可能出现的概率都相同的前提下, 计算出的基本事件的个数才是正

m P ( A) = n 来进行计算 确的,才能用等可能事件的概率计算公式

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3. 概率的确定方法:通过进行大量的重复试验,用这个事件发生的频率近似地作为它的概 率; 4.概率的性质:必然事件的概率为 1 ,不可能事件的概率为 0 ,随机事件的概率为

0 ≤ P ( A) ≤ 1 ,必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形
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5 互斥事件:不可能同时发生的两个事件. P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) 一般地:如果事件 互斥
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A1 , A2 ,L , An 中的任何两个都是互斥的,那么就说事件 A1 , A2 ,L , An 彼此

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特别提醒:若事件 A 与 B 不是互斥事件而是相互独立事件,那么在计算 P ( A + B ) 的值时绝 对不可以使用 P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) 这个公式

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6.对立事件:必然有一个发生的互斥事件. P ( A + A) = 1 ? P ( A) = 1 ? P ( A) 7.互斥事件的概率的求法:如果事件

A1 , A2 ,L , An

彼此互斥,那么

P ( A1 + A2 + L + An )



P ( A1 ) + P ( A2 ) + L + P ( An )

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特别提醒:一. 对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解: 1.互斥事件研究的是两个事件之间的关系; 2.所研究的两个事件是在一次试验中涉及的; 3.两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的. 从集合角度来看,A、B 两个事件互斥,则表示 A、B 这两个事件所含结果组成的集合的交 集是空集. 二. 对立事件是互斥事件的一种特殊情况,是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事 件,集合 A 的对立事件记作 A ,从集合的角度来看,事件 A 所含结果的集合正是全集 U 中
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由事件 A 所含结果组成集合的补集,即 A∪ A =U,A∩ A = ? .对立事件一定是互斥事件, 但互斥事件不一定是对立事件. 三.事件 A、B 的和记作 A+B,表示事件 A、B 至少有一个发生.当 A、B 为互斥事件时,事 件 A+B 是由“A 发生而 B 不发生”以及“B 发生而 A 不发生”构成的.

★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点:了解随机事件,了解两个互斥事件的概率加法公式。 2.难点:会用基本公式计算相关的概率问题. 3.重难点:. (1) “有序”与“无序”混同. 问题 1: 从 10 件产品(其中次品 3 件)中,一件一件地不放回地任意取出 4 件,求 4 件中 恰有 1 件次品的概率。 错解:因为第一次有 10 种取法,第二次有 9 种取法,第三次有 8 种取法,第四次有 7 种取 法,由乘法原理可知从 10 件取 4 件共有 10×9×8×7 种取法,故从 10 件产品(其中次品 3 件)中,一件一件地不放回地任意取出 4 件含有 10×9×8×7 个可能的结果。 设 A=“取出的 4 件中恰有 1 件次品” ,则 A 含有 再从 7 件正品中取 3 件) ,
1 3 C3 × C7

种结果(先从 3 件次品中取 1 件,

P( A) =

1 3 C3 × C7 1 = . 10 × 9 × 8 × 7 48

点拨:计算所有可能结果个数是用排列的方法,即考虑了抽取的顺序;而计算事件 A 所包 含结果个数时是用组合的方法,即没有考虑抽取的顺序。 正解: (1)都用排列方法 所有可能的结果共有
4 1 1 3 A10 个,事件 A 包含 A4 ? A3 ? A7 个结果(4 件中要恰有 1 件次品,可以 1

看成四次抽取中有一次抽到次品,有 A4 种方式,对于每一方式,从 3 件次品中取一件,再 从 7 件正品中一件一件地取 3 件,共有
1 1 3 A4 ? A3 ? A7 1 ∴ P( A) = = 4 2 A10 1 1 3 A4 ? A3 ? A7 种取法)

(2)都用组合方法 一件一件不放回地抽取 4 件,可以看成一次抽取 4 件,故共有 有
1 3 C 3 ? C 7 种结果。 1 3 C3 ? C7 1 = . 4 2 C10 4 C10 个可能的结果,事件 A 含

∴ P( A) =

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(2) “互斥”与“对立”混同 问题 2: 从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是 ( ) A.至少有 1 个白球,都是白球 B.至少有 1 个白球,至少有 1 个红球 C.恰有 1 个白球,恰有 2 个白球 D.至少有 1 个白球,都是红球 错误答案(D) 点拨: 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同 要准确解答这类问题, 必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别, 这二者的联系与区别主 要体现在以下三个方面: (1)两事件对立,必定互斥,但互斥未必对立; (2)互斥的概念适用于多个事件,但对立概念只适用于两个事件; (3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生,即至多只能发生其中一个,但可以都 不发生;而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。 正解(A)(B)不互斥,当然也不对立, , (C)互斥而不对立, (D)不但互斥而且对立 所以正确答案应为(C) 。 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点一:随机事件的概率 题型 1.椭机事件的判断 [例 1](1)给出下列四个命题: ①“当 x ∈ R 时, sin x + cos x ≤ 1 ”是必然事件;②“当 x ∈ R 时, sin x + cos x ≤ 1 ”是 不 可 能 事 件 ; ③ “ 当 x ∈ R 时 , sin x + cos x < 2 ” 是 随 机 事 件 ; ④ “ 当 x ∈ R 时 ,

sin x + cos x < 2 ”是必然事件;其中正确的命题个数是:
0 B1 C2 D3 (2)判断是否正确: “若某疾病的死亡率是 90℅,一地区已有 9 人患此病死亡,则第 10 个 病人必能成活。 ” (3) 判断是否正确:“某次摸彩的彩票共有 10 万张,中大奖的概率是 10 万分子 1,若已有 9 万 9 千张彩票已被摸出而且没有大奖, 某人包下剩下的 1 千张彩票, 那么此人必能中大奖。 ” (4)某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,经过如下表: 投篮次数 n 进球次数 m 8 6 0.75 10 8 0.8 15 12 0.8 20 17 0.85 30 25 0.83 40 32 0.8 50 38 0.76

m 进球频率 n

问:随着这位运动员投篮次数的无穷增加,他的进球的概率会是多少? [解题思路]:正确理解概率的相关概念. 解析: (1)B; (2)否; (3)是; (4)0.8. [例 2] (四川省成都市新都一中高 2008 级 12 月月考)已知非空集合 A、B 满足 A ≠ B,给出 以下四个命题: ①若任取 x∈A,则 x∈B 是必然事件
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?

②若 x ? A,则 x∈B 是不可能事件

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③若任取 x∈B,则 x∈A 是随机事件 ④若 x ? B,则 x ? A 是必然事件 其中正确的个数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4 答案:C [解题思路]:本题主要考查命题、随机事件等基本概念及其灵活运用. 解析:①③④正确,②错误. 【名师指引】正确理解概率辩证的概念,它既不是机械的也不是虚无缥缈的.此类题目多见 于选择判断题,比较简单,但要求对相关的的概念要掌握牢固,否则易出现混淆。 【新题导练】 1. (江苏省南通通州市 2008 届高三年级第二次统一测试)从一堆苹果中任取了 20 只,并得 到它们的质量(单位:克)数据分布表如下: 分组 频数

100 110 120 130 140 150 [90, ) [100, ) [110, ) [120, ) [130, ) [140, )
1 2 3 10 %. 1

则这堆苹果中,质量小于 120 克的苹果数约占苹果总数的

答案:30 频率 2. (2009 年广东省广州市高三年级调研测试数学(文 科) ) 0.40 某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后, 随机地 0.35 在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学 0.30 生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了 22 人. 0.25 抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形 0.20 图如图 5 所示,其中 120~130(包括 120 分但不包括 130 分) 0.15 的频率为 0.05,此分数段的人数为 5 人. 0 0.10 (1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人? 0.05 (2) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于 90 分的概率.

分数 70 80 90 100 110 120 130

5 = 100 解:(1) 由频率分布条形图知,抽取的学生总数为 0.05 人.
∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为 d , 由 4 × 22 + 6d =100,解得 d = 2 .

……4 分

∴各班被抽取的学生人数分别是 22 人,24 人,26 人,28 人. ……8 分 (2) 在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于 90 分的概率为 0.35+0.25+0.1+0.05=0.75. 题型 2。求随机事件的概率 [例 3] (广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)旅游公司为 3 个旅游团提供 4 条旅游线路,每个旅游团任选其中一条. (1)求 3 个旅游团选择 3 条不同的线路的概率 (2)求恰有 2 条线路没有被选择的概率. [解题思路]:分别找出总事件和所求事件的个数,即可求出随机事件的概率。
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解析: (1)3 个旅游团选择 3 条不同线路的概率为:

p1 =

3 A4 3 = 43 8

(2)恰有两条线路没有被选择的概率为:

p2 =

C42 ? C32 ? A22 9 = 43 16

m 【名师指引】在确定应用公式 P(A)= n 后,关键是要把 m, n 的值求正确。
【新题导练】 3. (广东省北江中学 2009 届高三月考)将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求: (Ⅰ)两数之和为 8 的概率; (Ⅱ)两数之和是 3 的倍数的概率; 解: 将一颗骰子先后抛掷 2 次,此问题中含有 36 个等可能基本事件-----------1 分 记“两数之和为 8”为事件 A,则事件 A 中含有 5 个基本事件,

5 所以 P(A)= 36 ; 5 答:两数之和为 6 的概率为 36 。--------------------------------------- 5 分
(2)记“两数之和是 3 的倍数”为事件 B,则事件 B 中含有 12 个基本事件,

1 所以 P(B)= 3 ; 1 答:两数之和是 3 的倍数的概率为 3 。------------------------------9 分
4. (珠海市斗门中学 2009 届高三上学期第三次模拟)小明、小华用 4 张扑克牌(分别是黑 桃 2、黑桃 4,黑桃 5、梅花 5)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,小明 先抽,小华后抽,抽出的牌不放回,各抽一张. (1)若小明恰好抽到黑桃 4; ①请绘制出这种情况的树状图 ②求小华抽出的牌的牌面数字比 4 大的概率. (2)小明、小华约定:若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大,则小明胜,反之,则小明 负,你认为这个游戏是否公平,说明你的理由. 解: (1) ① 小明抽出的牌 小华抽出的牌 结果 2 (4,2) 4 5 (4,5) 5 (4,5) 3分

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2 ② 由①可知小华抽出的牌面数字比 4 大的概率为: 3
(2)小明获胜的情况有: (4,2)(5,4)(5,4)(5,2)(5,2) 、 、 、 、

6分

5 5 7 < 故小明获胜的概率为: 12 , 因为 12 12 ,所以不公平.

13 分

考点二: 互斥事件、对立事件的概率 题型 1:互斥事件 、对立事件的概念考查 [例 4]18 个篮球队中有 2 个强队,先任意将这 8 个队分成两个组(每组 4 个队)进行比赛, 则这两个强队被分在一个组内的概率是 ; [解题思路]:正确理解互斥事件 、对立事件的概念。 解析一:2 个强队分在同一组,包括互斥的两种情况:2 个强队都分在 A 组和都分在 B 组。 2 个强队都分在 A 组,可看成“从 8 个队中抽取 4 个队,里面包括 2 个强队”这一事件,其

C 62 C4 概率为 8 ;2 个强队都分在 B 组,可看成“从 8 个队中抽取 4 个队,里面没有强队”这一
2 C 64 C 6 C 64 3 P= 4 + 4 = C 84 ;因此 2 个强队分在同一个组的概率为 C8 C8 7 。 事件,其概率为

解析二: 个强队分在同一个组”这一事件的对立事件“2 个组中各有一个强队” “2 ,而两个 组中各有一个强队,可看成“从 8 个队中抽取 4 个队,里面恰有一个强队” ,这一事件,其
1 3 C2C6 C 1C 3 4 3 P = 1? 2 4 6 = 1? = 4 7 7。 C8 ,因此 2 个强队分在同一个组的概率为: C8 概率为

[例 5](广东省 www.ks5u.com 高明一中 2009 届高三上学期第四次月考数学理) 甲、 ) 乙两班各派 2 名同学参加年级数学竞 赛,参赛同学成绩及格的概率都为 0.6,且参赛同学的成绩相互之间没有影响,求: (1)甲、乙两班参赛同学中各有 1 名同学成绩及格的概率; (2)甲、乙两班参赛同学中至少有 1 名同学成绩及格的概率. [解题思路]:利用概率乘法公式和互斥事件,对立事件的基础知识 解析: (1)甲班参赛同学恰有 1 名同学成绩及格的概率为 C21×0.6×0.4=0.48. 乙班参赛同学中恰有一名同学成绩及格的概率为 C21×0.6×0.4=0.48. 故甲、乙两班参赛同学中各有 1 名同学成绩几个的概率为 p=0.48×0.48=0.230 4. (2)方法一:甲、乙两班 4 名参赛同学成绩都不及格的概率为 0.44=0.025 6. 故甲、乙两班参赛同学中至少有一名同学成绩都不及格的概率为 P=1-0.0256=0.974 4. 方法二:甲、乙两班参赛同学成绩及格的概率为 C41×0.6×0.43=0.153 6. 甲、乙两班参赛同学中恰有 2 名同学成绩及格的概率为 C42×0.62×0.42=0.345 6. 甲、乙两班参赛同学中恰有 3 名同学成绩及格的概率为 C43×0.63×0.4=0.345 6. 甲、乙两班 4 名参赛同学成绩都及格的概率为 0.64=0.129 6.
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故甲、乙两班参赛同学中至少有 1 名同学成绩及格的概率为 p=0.153 6+0.345 6+0.345 6+0.129 6=0.974 4. 【名师指引】运用互斥事件的概率加法公式解题时, 首先要分清事件是否互斥,同时要学 会把一个事件分拆为几个互斥事件,做到不重不漏。 【新题导练】

1 5. (2008 年韶关第一次调研) 一台机床有 3 的时间加工零件 A, 其余时间加工零件 B, 加 3 2 工 A 时,停机的概率是 10 ,加工 B 时,停机的概率是 5 , 则这台机床停机的概率为(
A. 11 30 B. 7 30 C. 7 10 D. 1 10

)

1 3 2 2 11 .A 解析:机床停机的概率就是 A,B 两种零件都不能加工的概率,即 × + × = . 3 10 3 5 30 6. (广东深圳外国语学校 2008 月考理科数学试题)有朋自远方来,已知他乘火车、轮船、 汽车、飞机来的概率分别是 0.3,0.2,0.1,0.4. (1)求他乘火车或飞机来的概率; (2)求他不乘轮船来的概率; (3)如果他来的概率为 0.4,请问他有可能是乘何种交通工具来的? 解:设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件 A,B,C,D,则 P(A)=0.3,P(B)=0.2, P(C)=0.1,P(D)=0.4,且事件 A,B,C,D 之间是互斥的. (1)他乘火车或飞机来的概率为 P1=P(A∪D)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7. (2)他乘轮船来的概率是 P(B)=0.2, _ 所以他不乘轮船来的概率为 P(B)=1-P(B)=1-0.2=0.8. (3)由于 0.4=P(D)=P(A)+P(C), 所以他可能是乘飞机来,也可能是乘火车或汽车来的. ★ 抢 分 频 道 ★ 基础巩固训练 1. (江苏省启东中学 2009 届高三综合测试)从 2004 名学生中选取 50 名组成参观团,若采用 下面的方法选取: 先用简单随机抽样从 2004 人中剔除 4 人, 剩下的 2000 人再按系统抽样的 方法进行,则每人入选的概率

25 1 A.不全相等 B.均不相等 C.都相等且为 1002 D.都相等且为 40
答案:C 2. (广东省佛山市三水中学 2009 届高三测试)甲、乙、丙三位同学上课后独立完成 5 道自我

4 2 2 检测题,甲及格概率为 5 ,乙及格概率为 5 ,丙及格概率为 3 ,则三人中至少有一人及格

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的概率为(



1 A. 25
答案:B

24 B. 25

C.

16 75

59 D. 75

3.(上海市部分重点中学 2008 届高三第二次联考)某机关的 2008 年新春联欢会原定 10 个节 目已排成节目单, 开演前又增加了两个反映军民联手抗击雪灾的节目, 将这两个节目随机地 排入原节目单,则这两个新节目恰好排在一起的概率是_______________

11 A22 1 = 答案: 11× 12 6
4. (广东省深圳市 2009 届高三九校联考)从编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 的十 个形状大小相同的球中,任取 3 个球,则这 3 个球编号之和为奇数的概率是________. 1 2
3

方法一:任取 3 个球有 C 10 种结果,编号之和为奇数的结果有 C 5 C 5 + C 5 =60(种) ,故

1

2

3

60 1 = 3 C10 2 . 所求概率为
方法二:十个球的编号中,恰好有 5 个奇数和 5 个偶数,从中任取 3 个球,3 个球编号之和 1 为奇数与 3 个球编号之和为偶数的机会是均等的,故所求概率为 . 2 5. (广东省黄岐高级中学 2009 届高三上学期 12 月月考) 将 A、B 两枚骰子各抛掷一次,观察向上的点数,问: (I)共有多少种不同的结果? (II)两枚骰子点数之和是 3 的倍数的结果有多少种? (III)两枚骰子点数之和是 3 的倍数的概率是多少? 解: (I) 共有 6 × 6 = 36 种结果 ………………4 分

(II) 若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数,则点数之和是 3 的倍数的结果有: (1,2)(2,1)(1,5)(5,1)(2,4)(4,2) , , , , , , (3,3)(4,5)(5,4)(3,6)(6,3)(6,6)共 12 种.……8 分 , , , , ,

12 1 = (III)两枚骰子点数之和是 3 的倍数的概率是:P= 36 3

…………12 分

6. (江西省鹰潭市 2008 届高三第一次模拟)在一次语文测试中,有一道我国四大文学名著 《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》与它们的作者的连线题,已知连对一个得 2 、 、 、 分,连错一个不得分. (Ⅰ)求该同学得 0 分的概率; (Ⅱ)求该同学至多得 4 分的概率. 解: (I)设该同学得 0 分的概率;

P=

9 9 = 4 A4 24

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(Ⅱ)解法一:该同学至多得 4 分的概率.

P=

1 1 9 C4C2 C42 9 23 + 4 + 4 A44 A4 A4 = 24 +1+1= 24 3 4

解法二:该同学至多得 4 分的概率.

P = 1? P = 1?

1 23 = 24 24

综合拔高训练 7.有一种密码,明文是由三个字符组成,密码是由明文对应的五个数字组成,编码规则如 下表:明文由表中每一排取一个字符组成,且第一排取的字符放在第一位,第二排取的字符 放在第二位, 第三排取的字符放在第三位, 对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成 一组成. 第一排 第二排 第三排 明文字符 密码字符 明文字符 密码字符 明文字符 密码字符 A 11 E 21 M 1 B 12 F 22 N 2 C 13 G 23 P 3 D 14 H 24 Q 4

(Ⅰ)求密码中有两个不同数字的概率。 (Ⅱ)求密码中有三个不同数字的概率。 解: (Ⅰ)由密码中只有两个数字,注意到密码的第 1,2 列分别总是 1,2,即只能取表格

第 1,2 列中的数字作为密码.

P=

23 1 = . 43 8

(Ⅱ).由密码中只有三个数字,注意表格的第一排总含有数字 1,第二排总含有数字 2 则密

码中只可能取数字 1,2,3 或 1,2,4.

p1 =

1 2(2 2 A3 + 2C32 + 1) 19 = . 43 32

8. (广东省 www.ks5u.com 高明一中 2009 届高三上学期第四次月考数学理) 盒中有 6 只灯泡,其中 2 只次品,4 只正品,有放回地从中任取两次,每次取一只,试求下 列事件的概率: (1)取到的 2 只都是次品; (2)取到的 2 只中正品、次品各一只; (3)取到的 2 只中至少有一只正品。 解:从 6 只灯泡中有放回地任取两只,共有 62=36 种不同取法…………… 2 分 4 1 = (1)取到的 2 只都是次品情况为 22=4 种,因而所求概率为 36 9 …………4 分 (2)由于取到的 2 只中正品、次品各一只有两种可能:第一次取到正品,第二次取到次品; 4× 2 2× 4 4 P= + = 36 36 9 …………8 分 及第一次取到次品,第二次取到正品。因而所求概率为 (3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件, 1 8 P =1? = 9 9 …………12 分 因而所求概率为
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A = { x | a < x < 0} B = { x | ?b < x < b } A 9. 定义 A 与 B 的差集: ? B = {x | x ∈ A 且 x ? B} 。 若 ,
设 a , b , x 均为整数,且 x ∈ A 。 P ( E ) 为 x 取自 A ? B 的概率, P ( F ) 为 x 取自 A I B 的概

率,写出 a 与 b 的二组值,使 解:要使
P( E ) =
2 3

P( E ) =

2 1 P( F ) = 3, 3。



P( F ) =

1 3

。可以使 A 中有 3 个元素, A ? B 中有 2 个元素, A I B 中有 1

个元素。则

a = ?4 , b = 2



a = ?7 , b = 3 ② A 中有 6 个元素, A ? B 中有 4 个元素, A I B 中有 2 个元素。则
10. (广州市海珠区 2009 届高三综合测试二)将一枚骰子先后抛掷 2 次,观察向上面的点数 (Ⅰ)点数之和是 5 的概率; (Ⅱ)设 a, b 分别是将一枚骰子先后抛掷 2 次向上面的点数,求式子 2
a ?b

= 1 成立的概率.

解:将一枚骰子先后抛掷 2 次,向上的点数共有 36 种不同的结果.……1 分 (Ⅰ)将一枚骰子先后抛掷 2 次,向上的点数分别记为 a, b ,点数之和是 5 的情况有以下 4 种不 同的结果

?a = 1 ?a = 4 ?a = 2 ?a = 3 ,? ,? ,? ? ?b = 4 ?b = 1 ?b = 3 ?b = 2 ……5 分
P1 = 4 1 = . 36 9 ……6 分

因此,点数之和是 5 的概率为 (Ⅱ)由 2
a ?b

= 1 得 2 a ?b = 2 0 ,∴ a ? b = 0,∴ a = b. ……8 分

而将一枚骰子先后抛掷 2 次向上的点数相等的情况有以下 6 种不同的结果:

?a = 1 ?a = 2 ?a = 3 ?a = 4 ?a = 5 ?a = 6 ,? ,? ,? ,? ,? ? ?b = 1 ?b = 2 ?b = 3 ?b = 4 ?b = 5 ?b = 6 ……11 分
a ?b

因此,式子 2

= 1 成立的概率为

P2 =

6 1 = . 36 6 ……12 分

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