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高一试卷


涡阳四中 2012-2013 学年高二(下)第四次质量检测

数 学 试 题(理科)
命题人:丁建成 审题人:邓辉 2013 年 4 月
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.注意事项:将试题答案写在答题卷上,在本试卷上作答无效 。 .........

第Ⅰ卷(

选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分共 50 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。
1.函数 f ( x) ? sin 2 x 的导数 f ?( x) ? ( A. cos 2 x B.2 cos 2 x )

C. ?2 cos 2 x D. ? cos 2 x f (1 ? ?x) ? f (1) 2.设函数 y ? f ( x) 可导,则 lim 等于( ) . ?x ? 0 3?x 1 A. f '(1) B. 3 f '(1) C. f '(1) D.以上都不对 3 1 3.函数 y ? x 2 ? ln x 的单调递减区间为( ) 2 (A) ( ? 1,1] (B) (0,1]
3

(C.)[1,+∞)

(D) (0,+∞) )

4. 曲线 y ? x ? x ? 2 在点 P0 处的切线平行于直线 y ? 4 x ,则点 P0 的坐标是( A.(0,1) 5.观察式子: 1 ? 式子为( A. 1 ? ) B. 1 ? B.(1,0) C.(-1,-4)或(1,0) D.(-1,-4)

1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? , 1 ? 2 ? 2 ? , 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ,…,则可归纳出 2 2 2 2 3 3 2 3 4 4

1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 2 2 3 n 2n ? 1 1 1 1 2n D. 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 3 n 2n ? 1 4 3 2 6. 设 p:f(x)=x +2x +mx+1 在(-∞,+∞)内单调递增,q:m≥ ,则 p 是 q 的 ( 3
A,充分不必要条件 C,充分必要条件 B,必要不充分条件 D,既不充分也不必要条件

1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 2 2 3 n 2n ? 1 1 1 1 2n ? 1 C. 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 3 n n



7.用数学归纳法证明等式 2 ? 2 4 ? 2 7 ? ? ? 2 3n ?10 ? 左边应取的项是 ( )

2 n?4 (8 ? 1)(n ? N ? ) 时,验证 n ? 1 , 7

A. 2

B. 2 ? 2 ? 2
4

7

C. 2 ? 2 ? 2 ? 2
4 7

10

D. 2 ? 2 ? 2 ? 2
4 7

10

? 213

8.已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx 的图象在点 A(1, f (1)) 处的切线的斜率为 3, 数列 ? 和为 Sn ,则 S2011 的值为

? 1 ? ? 的前 n 项 ? f ( n) ?




A.

2008 2009

B.

2009 2010

C.

2010 2011
)

D.

2011 2012

9.设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数.当 x<0 时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0, 且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是 ( A.(-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
'

B.(-3,0)∪(0,3) D.(-∞,-3)∪(0,3)
'

10.已知函数 y ? xf ( x ) 的图象如图(1)所示(其中 f ( x) 是函数 f(x)的导函数), 下面四个图象 中,y=f(x)的图象大致是( )

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二.填空题:共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横线上. 11. 如图, 函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y=-x+8, 则 f(5)+f′(5) =_______.

12.已知 f ( x ) ? x ? 2 x ? f ?(1) ,则 f ?(0) ? _______
2

13.曲线

y ? ln(2 x ? 1) 上的 点到直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的最短距离是 _______

14. 在 Rt?ABC 中,两直角边分别为 a 、 b ,设 h 为斜边上的高,则

1 1 1 ? ? ,由此类 h2 a 2 b2

比:三棱锥 S ? ABC 中的三条侧棱 SA 、 SB 、 SC 两两垂直,且长度分别为 a 、 b 、 c ,设 棱锥底面 ABC 上的高为 h ,则 .

15.已知函数 f ( x) ? ( x ? 2 x)e ,下列说法中正确的有___________.
2 x

(1) f ( x) 在 R 上有两个极值点;

(2) f ( x) 在 x ? 2 ? 6 处取得最大值;

(3) f ( x) 在 x ? 2 ? 6 处取得最小值; (4) f ( x) 在 x ? 2 ? 6 处取得极小值 (5)函数 f ( x) 在 R 上有三个不同的零点

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过 程及演算步骤。 16.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3x3 ? 9 x ? 5 .
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 [?2, 2] 上的最大值和最小值.

17.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? x ? x ? 16 .
3

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, ? 6) 处的切线方程; (Ⅱ)直线 l 为曲线 y ? f ( x) 的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标.

18.(本小题满分 12 分)

已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ?

1 2 1 a n ? na n ? 1( n ? N * ), 且 a 1 ? 3. 2 2

(Ⅰ)计算 a 2 , a 3 , a 4 的值; (Ⅱ)由此猜想数列 {a n } 的通项公式,并给出证明.

19.(本小题满分 12 分)

1 已知函数 f(x)=x3- x2+bx+c. 2

(Ⅰ)若 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求 b 的取值范围; (Ⅱ)若 f(x)在 x=1 处取得极值,且 x∈[-1,2]时,f(x)<c2 恒成立,求 c 的取 值范围.

20. (本小题满分 13 分) 一艘轮船在航行过程中的燃料费与它的速度的立方 成正比例关系,其他与速度无关的费用每小时 96 元,已知在速度为每小时 10 公里时,每小时的燃料费是 6 元,要使行驶 1 公里所需的费用总和最小,这艘 轮船的速度应确定为每小时多少公里?

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ?

2 ? 1( x ? 0, a ? 0) 。 x ?1

(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间;
1 (Ⅱ)若 a ? 1 且 b ? 0 ,函数 g ( x) ? bx 3 ? bx ,若对于 ?x1 ? (0,1) ,总存在 x 2 ? (0,1) 3
使得 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) ,求实数 b 的取值范围

涡阳四中 2012-2013 学年高二(下)第四次质量检测 数学试题(理科)参考答案
一、选择题:BCBCC 二.填空题:
11.2 12.-4 14、 13、 5 15: (1) (5)

CCDBC

1 1 1 1 ? ? ? h2 a 2 b2 c2

三.解答题
16. (本小题满分14分) 解: (1) f '( x) ? 9 x 2 ? 9 . 分 令 9 x2 ? 9 ? 0 , ------------------------------------------------4 分 解此不等式,得 x ? ?1或x ? 1 . 因此,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?1)和(1, ??) .------------------6 分 (2) 令 9 x 2 ? 9 ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? ?1 .----------------------------------------8 分 当 x 变化时, f '( x) , f ( x) 变化状态如下表: x (?2, ?1) (?1,1) 1 (1, 2) 2 2 f '( x) 1 + 1 分 从表中可以看出,当 x ? ?2或x ? 1 时,函数 f ( x) 取得最小值 ?1 . 当 x ? ?1或x ? 2 时,函数 f ( x) 取得最大值 11.-----------------------------14 分 17.解: (1) Q f ( x) ? 3 x ? 1
' 2

------------------------------------------------- 2

0 1

-

0 -

+

f ( x)

?

?

?

1

1 1 1 -------------------------------------------12

? 在点 (2, ? 6) 处的切线的斜率 k ? f ?(2) ? 3 ? 22 ? 1 ? 13 , ? 切线的方程为 y ? 13 x ? 32 ;
(2)设切点为 ( x0,y0 ) ,则直线 l 的斜率为 f ?( x0 ) ? 3 x0 ? 1 ,
2

2 3 ? 1)( x ? x0 ) ? x0 ? x0 ? 16 . ? 直线 l 的方程为: y ? (3 x0

又直线 l 过点 (0, 0) ,
2 3 ? 0 ? (3 x0 ? 1)(? x0 ) ? x0 ? x0 ? 16 , 3 整理,得 x0 ? ?8 , ? x0 ? ?2 ,

? y0 ? (?2)3 ? (?2) ? 16 ? ?26 ,

l 的斜率 k ? 3 ? (?2) 2 ? 1 ? 13 ,? 直线 l 的方程为 y ? 13 x ,切点坐标为 (?2, ? 26) .
18.证明:⑴ a2 ? 4 , a3 ? 5 , a4 ? 6 ,猜想: an ? n + 2(n ? N* ) . ①当 n ? 1 时, a1 ? 3 ,结论成立; ②假设当 n ? k (k ≥ 1, k ? N* ) 时,结论成立,即 ak ? k + 2 , 则当 n ? k + 1 时, ak ?1 ?

1 2 1 1 1 ak ? kak ? 1= (k + 2) 2 ? k (k +2)+1=k +3=(k +1)+2 , 2 2 2 2

即当 n ? k + 1 时,结论也成立,由①②得,数列{an } 的通项公式为 an ? n + 2(n ? N* ) . (说明:本题依据你得到的等式的深刻性分层评分. )

19.解:

(1)f′(x)=3x2-x+b,因 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,则 f′(x)≥0,即 3x2

-x+b≥0, ∴b≥x-3x2 在(-∞,+∞)上恒成立. 设 g(x)=x-3x2. 1 1 1 当 x= 时,g(x)max= ,∴b≥ . 6 12 12 (2)由题意知 f′(1)=0,即 3-1+b=0,∴b=-2. x∈[-1,2]时,f(x)<c2 恒成立,只需 f(x)在[-1,2]上的最大值小于 c2 即可.因 f′(x)= 2 3 3x2-x-2,令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=- .∵f(1)=- +c, 3 2 2? 22 1 f? ?-3?=27+c,f(-1)=2+c, f(2)=2+c. ∴f(x)max=f(2)=2+c,∴2+c<c2.解得 c>2 或 c<-1,所以 c 的取值范围为(-∞, -1)∪(2,+∞).

20.解: 设轮船的速度为 x 千米/小时(x>0) ,…………1 分 则航行 1 公里的时间为 t ?

1 小时。 x
3

依题意,设与速度有关的每小时燃料费用为 p ? kx ,…………2 分

3 3 3 ,? p ? x , ……………………4 分 500 500 3 3 1 3 16000 故每公里航行费用为y ? (96 ? p )t ? (96 ? x ) ? ( ? x 2 ), …6 分 500 x 500 x 3 8000 ? y? ? ( x ? 2 ), 由y? ? 0 ? x ? 20, 250 x 且0 ? x ? 20时, y ? ? 0; x ? 20时, y ? ? 0. 则 6 ? k ?103 ? k ?

.

……………………10 分

x
y?
y

(0,20 ) — 单调递减

20 0 极小值

?20,?? ?
+ 单调递增

? x ? 20时, y达到最小值

3 16000 36 ( ? 20 2 ) ? 元 ……………………13 分 500 20 5

答:轮船的速度应定为每小时 20 公里,行驶 1 公里所需的费用总和最小。 21.(本小题 14 分) 解: (1) f ' ( x) ?

a 2 a ( x ? 1) 2 ? 2(ax ? 1) ? ? ax ? 1 ( x ? 1) 2 (ax ? 1)( x ? 1) 2 ax 2 ? a ? 2 (ax ? 1)( x ? 1) 2
…………4

?

? f ' (1) ? 0即2a ? 2 ? 0,? a ? 1
(2)? f ' ( x) ?

ax 2 ? a ? 2 (a ? 0, x ? 0) (ax ? 1)( x ? 1) 2

若 a ? 2, x ? 0得f ' ( x) ? 0

即f ( x)在(0,+?)单调递增
若 0 ? a ? 2令f ' ( x) ? 0得x ?

…………………6

2?a 或? a
(0, 2?a ) a

2?a (舍去) a
2?a a

x

(

2?a ,??) a

f ' ( x)
f ( x)



0



? f ( x)在(0,

2?a )上是减函数 a 2?a ,+?)上是增函数 …………………9 a

在(

(3) a ? 1 由(2)得 f ( x)在(0,1 )上是减函数

? ln 2 ? f ( x) ? 1即f ( x)值域A=(ln 2,1) ………………10
又 g ' ( x) ? bx ? b ? b( x ? 1)( x ? 1)
2

?b ? 0
? x ? (0,1)时g ' ( x) ? 0 ? g ( x)在(0,1)上递增
2 ? g ( x)的值域B=(0,- b) 3
…………………12

由 ?x1 ? (0,1), ?x 2 ? (0,1)使得f ( x1 ) ? g ( x 2 )

2 3 ? A ? B, 即 ? b ? 1,? b ? ? 3 2

…………………14


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