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全国高中数学联合竞赛试题(B卷)一试


全国高中数学联合竞赛试题(B 卷) 一 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分, ) 1. 函数 f ( x) ? 试 x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是 . . 2. 已知函数 y ? (a cos2 x ? 3) sin x 的最小值为 ? 3 ,则实数 a 的取值范围是 3. 双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的右半支与直线 x ? 100 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整 数的点)的个数是 . 4. 已知 {an } 是公差不为 0 的等差数列,{bn } 是等比数列,其中 a1 ? 3, b1 ? 1, a2 ? b2 ,3a5 ? b3 ,且 存在常数 ? , ? 使得对每一个正整数 n 都有 an ? log? bn ? ? ,则 ? ? ? ? . 5. 函数 f ( x) ? a 2 x ? 3a x ? 2(a ? 0, a ? 1) 在区间 x ? [?1,1] 上的最大值为 8, 则它在这个区间上的 最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜,否则轮由另一 人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的 9 条棱长都相等, P 是 CC1 的中点,二面角 B ? A1 P ? B1 ? ? , 则 sin ? ? . . 8. 方程 x ? y ? z ? 2010满足 x ? y ? z 的正整数解(x,y,z)的个数是 二、解答题(本题满分 56 分) 3 2 9. (16 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) ,当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 1,试求 a 的最 大值. 10.(20 分)已知抛物线 y 2 ? 6 x 上的两个动点 A( x1 , y1 )和B( x2 , y2 ) ,其中 x1 ? x 2 且 x1 ? x2 ? 4 . 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ,求 ?ABC 面积的最大值. 3 11. (20 分) 证明: 方程 2 x ? 5x ? 2 ? 0 恰有一个实数根 r , 且存在唯一的严格递增正整数数列 {an } , 使得 2 ? r a1 ? r a2 ? r a3 ? ? . 5 加 试 A 1. (40 分)如图,锐角三角形 ABC 的外心为 O,K 是边 BC 上一点 (不是边 BC 的中点) , D 是线段 AK 延长线上一点, 直线 BD 与 AC 交于点 N,直线 CD 与 AB 交于点 M.求证: 若 OK⊥MN,则 A,B,D,C 四点共圆. B O EK D C P Q N M 2. ( 40 分 ) 设 k 是 给 定 的 正 整 数 , r?k? 1 ( 1 ) . 记 f ( r) ? 2 f (? r) ? ? ? ?r ,r f (l ) (r ) ? f ( f (l ?1) (r )), l ? 2 .证明:存在正整数 m,使得 f ( m) (r ) 为一个整数.这里, ? ? x? ? 表示不小于实 数 x 的最小整数,例如: ? ? ? 1 , ? ?1? ? ? 1. 2 3. (50 分)给定整数 n ? 2 ,设正实数 a1 , a2 , ?, an 满足 ak ? 1, k ? 1, 2, ?, n ,记 ?1? ? ? Ak ? 求证: a1 ? a2 ? ? ? ak , k ? 1,


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