全国高中数学联合竞赛试题(B卷)一试

全国高中数学联合竞赛试题（B 卷） 一 一、填空题（每小题 8 分，共 64 分， ） 1. 函数 f ( x) ? 试 x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是 . . 2. 已知函数 y ? (a cos2 x ? 3) sin x 的最小值为 ? 3 ，则实数 a 的取值范围是 3. 双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的右半支与直线 x ? 100 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整 数的点）的个数是 . 4. 已知 {an } 是公差不为 0 的等差数列，{bn } 是等比数列，其中 a1 ? 3, b1 ? 1, a2 ? b2 ,3a5 ? b3 ，且 存在常数 ? , ? 使得对每一个正整数 n 都有 an ? log? bn ? ? ，则 ? ? ? ? . 5. 函数 f ( x) ? a 2 x ? 3a x ? 2(a ? 0, a ? 1) 在区间 x ? [?1,1] 上的最大值为 8， 则它在这个区间上的 最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜，否则轮由另一 人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的 9 条棱长都相等， P 是 CC1 的中点，二面角 B ? A1 P ? B1 ? ? , 则 sin ? ? . . 8. 方程 x ? y ? z ? 2010满足 x ? y ? z 的正整数解（x,y,z）的个数是 二、解答题（本题满分 56 分） 3 2 9. （16 分）已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) ，当 0 ? x ? 1 时， f ?( x) ? 1，试求 a 的最 大值. 10.（20 分）已知抛物线 y 2 ? 6 x 上的两个动点 A( x1 , y1 )和B( x2 , y2 ) ，其中 x1 ? x 2 且 x1 ? x2 ? 4 . 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ，求 ?ABC 面积的最大值. 3 11. （20 分） 证明： 方程 2 x ? 5x ? 2 ? 0 恰有一个实数根 r ， 且存在唯一的严格递增正整数数列 {an } ， 使得 2 ? r a1 ? r a2 ? r a3 ? ? . 5 加 试 A 1. （40 分）如图，锐角三角形 ABC 的外心为 O，K 是边 BC 上一点 （不是边 BC 的中点） ， D 是线段 AK 延长线上一点， 直线 BD 与 AC 交于点 N，直线 CD 与 AB 交于点 M．求证： 若 OK⊥MN，则 A，B，D，C 四点共圆． B O EK D C P Q N M 2. （ 40 分 ） 设 k 是 给 定 的 正 整 数 ， r?k? 1 ( 1 ) ． 记 f ( r) ? 2 f (? r) ? ? ? ?r ，r f (l ) (r ) ? f ( f (l ?1) (r )), l ? 2 ．证明：存在正整数 m，使得 f ( m) (r ) 为一个整数．这里， ? ? x? ? 表示不小于实 数 x 的最小整数，例如： ? ? ? 1 ， ? ?1? ? ? 1． 2 3. （50 分）给定整数 n ? 2 ，设正实数 a1 , a2 , ?, an 满足 ak ? 1, k ? 1, 2, ?, n ，记 ?1? ? ? Ak ? 求证： a1 ? a2 ? ? ? ak , k ? 1,