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【同步备课】高中数学(北师大版)必修一教案:第2章 函数的单调性 教学设计


“函数的单调性”教学设计
【教学目标】 【知识目标】:使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,学会利用函 数图像理解和研究函数的性质,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明 函数单调性的方法. 【能力目标】通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合数学思想方法, 培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明, 提高学生的推理论证能力. 【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证 的良好思维习惯,让学生经历从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认 知过程. 【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明. 函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质,并在今 后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广 泛的实际应用, 【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性. 由于判断或证明函数的单调性,常常要综合运用一些知识(如不等式、因 式分解、配方及数形结合的思想方法等)所以判断或证明函数的单调性是本节课 的难点. 【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一,它把自变量的变化方向和函 数值的变化方向定性的联系在一起,所以本节课在教材中的作用如下 (1)函数的单调性起着承前启后的作用。一方面,初中数学的许多内容在解决函 数的某些问题中得到了充分运用,函数的单调性与前一节内容函数的概念和图像 知识的延续有密切的联系;函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性, 合称为函数的简单性质,是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单 调性的理论基础。 (2)函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材,这节课通过对具体函数图像 的归纳和抽象,概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确定义,明确指 出函数的增减性是相对于某个区间来说的。教材中判断函数的增减性,既有从图

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像上进行观察的直观方法,又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法,最后 将两种方法统一起来,形成根据观察图像得出猜想结论,进而用推理证明猜想的 体系。同时还要综合利用前面的知识解决函数单调性的一些问题,有利于学生数 学能力的提高。 (3)函数的单调性有着广泛的实际应用。在解决函数值域、定义域、不等式、 比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性;同时在这一节中利用函数图 象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个数学教学。 因此“函数的单调性”在中学数学内容里占有十分重要的地位。它体现了函 数的变化趋势和变化特点,在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用,为 培养创新意识和实践能力提供了重要方式和途径。 【学情分析】 从学生的知识上看,学生已经学过一次函数,二次函数,反比例函数等简单 函数,函数的概念及函数的表示,能画出一些简单函数的图像,从图像的直观变 化,学生能粗略的得到函数增减性的定义,所以引入函数的单调性的定义应该是 顺理成章的。 从学生现有的学习能力看,通过初中对函数的认识与实验,学生已具备了一 定的观察事物的能力,积累了一些研究问题的经验,在一定程度上具备了抽象、 概括的能力和语言转换能力。 从学生的心理学习心理上看,学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例,但 并没有上升为“概念”的水平,如何“定性” “定量”地描述函数性质是学生关注 的问题,也是学习的重点问题。函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容 易发现的一个性质,学生也容易产生共鸣,通过对比产生顿悟,渴望获得这种学 习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。但是如何运用数学符号将自然语言 的描述提升为形式化的定义,学生接受起来比较困难?在教学中要多引导,让学 生真正的理解函数单调性的定义。 【教学方法】教师是教学的主体、学生是学习的主体,通过双主体的教学模 式方法: 启发式教学法——以设问和疑问层层引导,激发学生,启发学生积极思考,逐 步从常识走向科学,将感性认识提升到理性认识,培养和发展学生的抽象思维能

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力。 探究教学法——引导学生去疑;鼓励学生去探; 激励学生去思,培养学生的 创造性思维和批判精神。 合作学习——通过组织小组讨论达到探究、归纳的目的。 【教学手段】计算机、投影仪. 【教学过程】 一、创设情境,引入课题(利用电脑展示) 1. 如图为某市一天内的气温变化图: (1)观察这个气温变化图,说出气温在这一天内 的变化情况. (2)怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间 的增大,气温逐渐升高或下降”这一特征? 引导学生识图,捕捉信息,启发学生思考. 问题:观察图形,能得到什么信息? 预案:(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到; (2)在某时刻的温度;(3)某些时段温度升高,某些时段温度降低. 在生活中,我们关心很多数据的变化规律,了解这些数据的变化规律, 是很有帮助的. 问题:还能举出生活中其他的数据变化情况吗? 预案:股票价格、水位变化、心电图等等

春兰股份线性图

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水位变化图 归纳:用函数观点看,其实就是随着自变量的变化,函数值是变大还是变小. 〖设计意图〗由生活情境引入新课,激发兴趣. 二、归纳探索,形成概念 对于自变量变化时,函数值是变大还是变小,初中同学们就有了一定的认识, 但是没有严格的定义,今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义. 1.借助图象,直观感知 问题 1:分别作出函数 y ? x ? 2, y ? ? x ? 2, y ? x 2 , y ?
1 的图象,并且观察自变 x

量变化时,函数值有什么变化规律?(学生自己动手画,然后电脑显示下图)

预案:生:函数 y ? x ? 2 在整个定义域内 y 随 x 的增大而增大;函数 y ? ? x ? 2 在整个定义域内 y 随 x 的增大而减小. 师:函数 y ? x2 的图像变化规律 生:在 y 轴的的左侧 y 随 x 的增大而减小.在 y 轴的的右侧 y 随 x 的增大而增大。 师:我们学过区间的表示方法,如何用区间的概念来表述图像的变化规律 生:在 (0, ??) 上 y 随 x 的增大而增大,在 (??, 0) 上 y 随 x 的增大而减小. 师:这样表述就比较严密了,很好。由上面的讨论可知,函数的单调性与自变量 的范围有关,一个函数并不一定在整个正义域内是单调函数,但在定义城的某个 子集上可以是单调函数。
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(3)函数 y ?

1 的图像变化规律如何。 x

生:(1)定义域中的减函数。 (2)在 (0, ??) 上 y 随 x 的增大而减小,在 (??, 0) 上 y 随 x 的增大而减小. 师:对于两种答案,哪一种是正确的,为什么?学生分组讨论。从定义域,图像 的角度考虑,也可以举反例 引导学生进行分类描述 (增函数、减函数).并引导学生用区间明确描述函数 的单调性从而让学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,是函数的 局部性质. 问题 2:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 预案:如果函数 f ( x) 在某个区间上随自变量 x 的增大,y 也越来越大,我们 说函数 f ( x) 在该区间上为增函数; 如果函数 f ( x) 在某个区间上随自变量 x 的增大,

y 越来越小,我们说函数 f ( x) 在该区间上为减函数.
教师指出:这种认识是从图象的角度得到的,是对函数单调性的直观,描述 性的认识. 〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性,完成对函数单调性的第一次认识. 2.探究规律,理性认识
2 问题 1:下图是函数 y ? x ? ( x ? 0) 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间 x

为增函数和减函数吗?(电脑显示,学生分组讨论)

学生的困难是难以确定分界点的确切位置. 通过讨论,使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观,但有时不 够精确,需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.

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〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性. 问题 2:如何从解析式的角度说明 f ( x) ? x2 在 [0, ??) 为增函数? 预案: 生: 在给定区间内取两个数,例如 1 和 2,因为 12<22,所以 f ( x) ? x2 在 [0, ??) 为增函数. 生:仅仅两个数的大小关系不能说明函数 y=x2 在区间[0,+∞)上为单 调递增函数,应该举出无数个。 由于很多学生不能分清“无数”和“所有”的区别,所以许多学生对学生 2 的说法表示赞同。 生:函数 y ? x 2 ( x ? [?1, ? ?) )无数个如(2)中的实数,显然 f(x)也随 x 的增大而 增大,是不是也可以说函数 y ? x 2 在区间 [?1,??) 上是增函数?可这与图象矛盾 啊? 师: “无数个”能不能代表“所有”呢?比如:2、3、4、5??有无数个自然数都
3 3 比 大,那我们能不能说所有的自然数都比 大呢?所以具体值取得再多,也不 2 2

能代表所有的,思考如何体现区间上的所有值。引导学生利用字母表示数。
2 2 生: 任取 x1 , x2 ?[0, ??) 且 x1 ? x2 ,因为 x12 ? x2 , 所以 ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 0 ,即 x12 ? x2

f ( x) ? x2 在为增函数.
旧教材的定义在这里就可以归纳出来,但是人教 B 版新教材使用了自变量的 增量和函数值的增量来表述,并为以后学习利用导数判断函数的单调性做准备, 所以需进一步引导学生利用增量来定义函数的单调性。 (5)仿(4) x1 , x2 ?[0, ??) 且 x1 ? x2 ,由图象可知,即给自变量一个增量

?x ? x2 ? x1 ? 0 , x2 ? x1 ? ?x ,函数值的增量
?y ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ? ( x1 ? ?x) 2 ? x1 ? x1 ? 2?x ? x1 ? (?x) 2 ? x1 ? 2?x ? x1 ? (?x) 2 ? ?x(2 x1 ? ?x)
2 2 2

所以 f ( x) ? x2 在 [0, ??) 为增函数。 对于学生错误的回答,引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生 认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举,从而引导学生在给定的区间内任意
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取两个自变量进一步寻求自变量的增量与函数值的增量之间的变化规律,判断函 数单调性。注意这里的“都有”是对应于“任意”的。 〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的 第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法,为证明单调性做好铺垫. 3.抽象思维,形成概念 问题:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 师生共同探究,得出增函数严格的定义,然后学生类比得出减函数的定义. (1)板书定义 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A, 区间 M ? A, 如果取区间 M 中的任意两个值 x1 , x 2 , 当改变量 ?x ? x2 ? x1 ? 0 时, 都有 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , 那么就称函数 y ? f ( x) 在 区间 M 上是增函数,如图(1)当改变量 ?x ? x2 ? x1 ? 0 时,都有

?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,那么就称函数 y ? f ( x) 在区间 M 上是减函数,如图(2)

(2)巩固概念(以下问题老师提问后,学生适当讨论后回答) 师:根据函数的单调性的定义思考:由 f(x)是增(减)函数且 f(x1)<f(x2)能 否推出 x1<x2(x1>x2), 生: 能。 因为定义中区间 M 中的任意两个值 x1 , x 2 若 x1 ? x2 ,?x ? x2 ? x1 ? 0 都 有 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 。 师: 我们来比较一下增函数与减函数定义中 ?x, ?y 的符号规律,你有什么发现 没有? 生:增函数都为正,减函数一正一负。 师:如果将增函数中的“当 ?x ? x2 ? x1 ? 0 时,都有 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ”
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改为当 ?x ? x2 ? x1 ? 0 时,都有 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 结论是否一样呢? 生:一样 师:减函数的定义是否也可以进行这样修改? 生:可以。 师:根据刚才的分析,你们有没有发现自变量的差量与函数值的差量之间的 关系? 生:自变量的差量与相应的函数值的差量如果保持同号就可以说明其是单调 递增函数,如果是异号则是单调递减函数。 师:那你们能否将定义修改地更为简洁呢? 生:如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1,x2,若

f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?y ? 0 ,则函数 y=f(x)是增函数,若 ? 0即 ?0即 ?x x1 ? x2 x1 ? x2
?y ? 0 ,则函数 y=f(x)为减函数。 ?x

师:很好,事实上

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?y 的符号决定了函数 f(x)的单调性,我们 ? x1 ? x2 ?x

不仅要能从图象上直观判断函数的单调性,更应该要从单调性的本质上来理解这 个概念。能用这种表达形式来描述函数单调性,说明大家对单调性概念的理解还 是比较非常深刻的。 【设计意图】这一阶段教师领导学生对函数单调性的概念进行了剖析,带领 学生深入定义的表达形式,探索概念的本质。实现学生将概念从具体的图形表达 形式化到一般的数学表达形式,实现了从具体到抽象的转化。事实上,这一阶段 是对函数单调性的概念进行了第四次归纳——由数学符号叙述抽象到了形式化 判断题: ①已知 f ( x) ?
1 因为 f (?1) ? f (2) ,所以函数 f ( x) 是增函数. x

②若函数 f ( x) 满足 f (2) ? f (3) 则函数 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上为增函数. ③若函数 f ( x) 在区间 (1, 2] 和 (2,3) 上均为增函数,则函数 f ( x) 在区间 (1,3) 上 为增函数.

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④因为函数 f ( x) ?

1 1 在区间 ? ??,0),(0, ??) 上都是减函数,所以 f ( x) ? 在 x x

(??,0) ? (0, ??) 上是减函数.

⑤观察问题情境 1 中气温变化图像,根据图像说出函数的单调区间及其单 调性。 通过判断题,强调三点: ①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上 单调性. ②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是 定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数). ③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质,不能用特殊值说明问题。 ④函数在定义域内的两个区间 A,B 上都是增(或减)函数,一般不能认为函 数在 A ? B 上是增(或减)函数.如图所示
y o

O o

x

思考:如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 说明:要说明一个命题是正确的,必须给出完整的证明。说明一个命题是错 误的,只需举一个反例即可。 〖设计意图〗让学生由特殊到一般,从具体到抽象归纳出单调性的定义,通 过对判断题的辨析,加深学生对定义的理解,完成对概念的第三次认识. 三、掌握证法,适当延展 例 证明函数 f ( x) ?
1 在(0,+ ? )是减函数. x

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1.分析解决问题

针对学生可能出现的问题,组织学生讨论、交流. 设元

证明:任取 x1 , x2 ? (0,??) 且 x1 ? x2 , ?x ? x2 ? x1 ? 0

?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

1 1 ? x 2 x1

求差

?

x1 ? x2 x1 x2

变形

?

? ?x x1 x 2

? 0 ? x1 ? x2 ? ?x ? 0, x1 ?x 2 ? 0
?y ? 0
1 在(0,+ ? )是减函数. x 1 思考:如何证明 f ( x) ? 在(- ?,0) 上的单调性。 x

断号

∴函数函数 f ( x) ?

定论

2.归纳解题步骤 引导学生归纳证明函数单调性的步骤:设元、作差、变形(因式分解、配方、 不等式等)断号、定论. 练习:证明函数 f ( x) ? x 在 ? 0, ??? 上是增函数. 问题:要证明函数 f ( x) 在区间 ( a, b) 上是增函数,除了用定义来证,可以让学 生尝试用这种等价形式---对任意的 x1 , x2 ? R, x1 , x2 ? (a, b) ,且 x1 ? x2 有 明函数 f ( x) ? x 在 ? 0, ??? 上是增函数. 〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤.等价形式进 一步发展可以得到导数法,为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔. 四、归纳小结,提高认识 学生交流在本节课学习中的体会、收获,交流学习过程中的体验和感受,师 生合作共同完成小结. 1.小结 (1) 概念探究过程:直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.
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?y ? 0 ,证 ?x

(2) 证明方法和步骤:求函数的定义域,设元、作差、变形、断号、定论. (3) 数学思想方法和思维方法:数形结合,等价转化,类比等. 2.作业 书面作业:课本第 50 页练习 B 3,课本第 56 页 课后探究: (1) 函数值的改变量与自变量的改变量之比
?y y2 ? y1 叫做函数 y ? f ( x) 从 ? ?x x2 ? x1

习题 2.1 A 第 6 题.

x1 到 x2 之间的平均变化率。研究一个函数在某个区间上是增函数还是减函数时,
能否根据函数的平均变化率, 即比值 增函数还是减函数?比值
?y 的符号来判断函数 y=f(x)在某个区间上是 ?x

?y 的大小与函数值增大的快慢有什么关系? ?x 1 (2) 研究函数 f ( x) ? x ? ( x ? 0) 的单调性,并结合描点法画出函数的草图. x

教学反思 1、新课标明确指出:函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,不仅把 函数看成是变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,函数的 思想将贯穿高中数学课程的始终《函数的单调性》的课标教学要求,从结合实际 问题出发, ,让学生感受运用函数概念建立模型的过程和方法,体会函数在数学和 其他学科中的重要性,初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的间断问 题。数学新课标还提到:要注重提高学生的数学思维能力,即“在学生学习数学 运用数学解决问题时,应经历直观感知,观察发现、归纳类比、空间想象、抽象 概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程” 。所 以在本节课的教学设计中在分析学生的认知发展水平和已有的只是经验的基础 上,让学生通过观察函数图像的变化规律,然后归纳猜测,勇于实践探究式的教 学方法,取得了较好的教学成果。 2、函数的单调性是函数的一个重要性质 在理解函数单调性的定义时,值得注意下列三点: (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在不同的区间上可以有不 同的单调性. 在讨论函数的单调性时,特别要注意,若 f(x)在区间 D1,D2 上分别是 增函数, 但 f(x)不一定在区间 D1∪D2 上是增函数,例如:函数 f(x)=
x ?1 在(-∞, x ?1

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-1)上是增函数,在(-1,+∞)上也是增函数,但在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上不 是增函数,f(1)<f(-3)便是一例. (2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质,因此定义中的 x1,x2 具有任意 性,不能用特殊性替代. (3)由于定义都是充要性命题,因此由 f(x)是增(减)函数且

f(x1)<f(x2) ? x1<x2(x1>x2),这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间
的不等关系可以“正逆互推”. 2.判断函数的单调性或单调区间时,可以结合函数的图象升降进行判定,对于 一般函数需用增、减函数定义加以证明,用定义的证明函数的单调性学生还存在 问题较多。 3.一次函数、二次函数、反比例函数及 y=x+
a (a>0)型的函数的单调性和单 x

调区间要记熟,把它们作为性质,可应用到一般函数单调性的判断上. 4.由于时间的限制,这节课对二次函数单调性的讨论及应用进行的并不充分, 下节课对于函数的单调性的定义的可逆性,已知二次函数在某个区间的增减性, 求参数的取值等问题还需进一步探讨。 《函数的单调性》教学设计说明 一、教学内容的分析 函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质,是函数学 习中第一个用数学符号语言刻画的概念,为进一步学习函数其它性质提供了方法 依据. 对于函数单调性,学生的认知困难主要在两个方面:(1)要求用准确的数学 符号语言去刻画图象的上升与下降,这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变 对高一的学生是比较困难的;(2)单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到 的代数论证内容,而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的.根据以上的 分析和教学大纲的要求,确定了本节课的重点和难点. 二、教学目标的确定 根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平, 从三个不同的方面确定了教学目标,重视单调性概念的形成过程和对概念本质的

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认识;强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透;突出 语言表达能力、推理论证能力的 培养和良好思维习惯的养成. 三、教学方法和教学手段的选择 本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发讲授,学生探究学习的教学方 法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使 用了多媒体投影和计算机来辅助教学,目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特 点,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识. 四、教学过程的设计 为达到本节课的教学目标, 突出重点, 突破难点, 教学上采取了以下的措施: (1)在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到 理性的认知过程,完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深 入. (2)在应用概念阶段,通过对证明过程的分析,帮助学生掌握用定义证明函 数单调性的方法和步骤. (3)考虑到有些学生数学基础较好、思维较为活跃的特点,对判断方法进 行适当的延展,加深对定义的理解,同时也为用导数研究单调性埋下伏笔。

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