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12-13学年高中数学 1.2.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则2课件 新人教A版选修2-2


? 1.了解复合函数的定义,并能写出简单 函数的复合过程; ? 2.掌握复合函数的求导方法,并运用求 导方法求简单的复合函数的导数.

? ? ? ?

本节重点: ①导数公式和导数运算法则的应用. ②复合函数的导数. 本节难点:复合函数的求导方法.

? 1.若复合函数y=f(g(x))由函数y=f(u),

u=g(x) 复合而成,则函数y=f(u),u=g(x)的定义域、 值域满足的关系. ? 在复合函数中,内层函数u=g(x)的值域必须是 外层函数y=f(u)的定义域的子集. ? 2.求复合函数的导数处理好以下环节 ? (1)中间变量的选择应是基本函数结构; ? (2)关键是正确分析函数的复合层次; ? (3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地 求导; ? (4)善于把一部分表达式作为一个整体; ? (5)最后要把中间变量换成自变量的函数.

复合函数及其求导法则

一般地,对于两个函数y=f(u)和u 复合函 =g(x),如果通过变量u,y可以表 ,那么称这个函数 数的概 示成 x的函数 念 为y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记 作 y=f(g(x)) . 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y 复合函 =f(u),u=g(x)的导数间的关系为 .即y对x的导数等 数的求 yx′= yu′·ux′ 导法则 于 y对u的导数与u对x的导数的乘积 .

[例 1] 的. ①y=a

指出下列函数是由哪些基本初等函数复合成

3x+2

②y=ln ex+2 ④y=sin(x2+1) ⑥y= 3-lnx 4

3

③y=log2(x2-2x+3)

[解析]

①y=au,u=3x+2

③y=log2u,u=x2-2x+3 ④y=sinu,u=x2+1 ⑤y=eu,u=x2-2

[例 2]

求下列函数的导数 (2)y=ln(6x+4)

(1)y=(3x-2)2 (3)y=e2x
+1

(4)y= 2x-1 (6)y=cos2x

? π? (5)y=sin?3x-4? ? ?

? [分析] 抓住构成复合函数的基本初等函数 是求复合函数导数的关键,解题时可先把 复合函数分拆成基本初等函数,再运用复 合函数求导法则.

? [解析] (1)看成函数y=u2与u=3x-2的复 合函数,根据复合函数求导法则有:y′x= y′u·u′x=2u·3=6u=6(3x-2)=18x-12.
? 开始学习复合函数求导时,要紧扣上述步 骤进行,待熟练后可简化步骤如下: ? y′=2(3x-2)·(3x-2)′=6(3x-2)=18x-12.

? (6)y′ = 2cosx·(cosx)′ = - 2cosx·sinx = - sin2x ? [点评] 法则可简单叙述成:复合函数对 自变量的导数,等于已知函数对中间变量 的导数,乘以中间变量对自变量的导数.

求下列函数的导数: sin2x (1)y=ln x ; (2)y= x . 1-x

? [例3] 某日中午12时整,甲船自A处以 16km/h的速度向正东行驶,乙船自A的正 北18km处以24km/h的速度向正南行驶,则 当日12时30分时两船之间的距离对时间的 瞬时变化率是________km/h. ? [分析] 瞬时变化率就是位移s对时间t的导 数. ? [答案] -1.6

? [点评] 导数在实际问题中有着广泛的应 用,如物理学中,位移s对时间t的导数是 表示时刻t处的瞬时速度,而速度对时间t 的导数就是时刻t处的加速度.

设 y=8sin x,求曲线在点
[解析]

3

?π ? P?6,1?处的切线方程. ? ?

y′=(8sin3x)′=8(sin3x)′

=24sin2x(sinx)′=24sin2xcosx, ∴曲线在点 k=
?π ? P?6,1?处的切线的斜率 ? ?


π =24sin · =3 3. cos 6 6

∴适合题意的曲线的切线方程为 y-1=3
? π? 3?x-6?,即 ? ?

6 3x-2y- 3π+2=0.

一、选择题 1 x -x 1.y=2(e +e )的导数是 1 x -x A.2(e -e ) 1 x -x B.2(e +e ) D.ex+e-x ( )

? [答案] A
[解析] 1 x 1 -x = e + e (-x)′ 2 2

C.ex-e-x

1 x 1 -x y′=2(e )′+2(e )′

1 x 1 -x 1 x -x = e - e = (e -e ),故应选 A. 2 2 2

1 2.已知 f(x)=sin ,则 f′(x)= x 1 A. 2x xcos x 1 1 C.- cos 2x x x -1 B. 2x xcos x 1 1 D. cos 2x x x

(

)

? [答案] C

3.下列函数求导数,正确的个数是 ①(e2x)′=e2x
2

(

)

②[(x2+3)8]′=8(x2+3)· 2x

2 ③(ln x)′= ④(a2x)′=2a2x x A.0 C.2 B.1 D.3

? [答案] A

二、填空题 4.设
? π? f(x)=2sin?3x+4?,则 ? ? ?π? f′?4?=________. ? ?

[答案] -6

[解析]

? π? ? π? ?3x+ ?′ ∵f′(x)=2cos?3x+4?· 4? ? ??

? π? =6cos?3x+4?, ? ? ?π? ?3 π? ∴f′?4?=6cos?4π+4?=-6. ? ? ? ?

5.曲线 y= 3x +1在点(1, 4)处的切线方程为 ________________.
[答案] x- 2y+1=0 3

3

2

3

三、解答题 6.求下列函数的导数: (1)y=(1-3x)3; 1 (2)y=ln ; x
? x? 2x (3)y=sin2?1-2cos 4?. ? ?

[解析]

(1)y′=3(1-3x)2(1-3x)′=-9(1-3x)2.

? 1? 1 ?1? 1 ? ?- (2)y′= · ?′=x· x2?=- . 1 ?x? x ? ? x

x x 1 (3)y=-sin · =- sinx. cos 2 2 2
? 1 ? 1 ?- sinx?′=- cosx. ∴y′= 2 2 ? ?


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