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湖北省大悟县楚才高级中学高中物理 4.4感生电磁感应竞赛试题


湖北省大悟县楚才高级中学高中物理 4.4 感生电磁感应竞赛试 题

自身不可避免的局限, 他没有再追究这一现象的深层本质。 接过接力棒再创佳绩的是麦克斯 韦,他指出感应电动势其实跟导体的性质和种类无关,纯粹是由变化多端的磁场引起的。放 置了闭合回路,回路中就有电流,这只是表面现象,不是事情的本质。麦克斯韦相信,即使 不在导体回 路,变化着的磁场也能在其周围空间激发一种称为涡旋电场的场,涡旋电场和 静电场的共同点就是对电荷都有作用力,当然差异 点也有不少。例如静电 荷它可以单独存 在,其电场线是闭合的无头尾无始终。如果恰好变化磁场中有闭合导体回路,变化磁场产生 的涡旋电场电场线跟导体不垂直因而分解出与导体相切的分量, 导体中的自由电荷受其作用 力就会定向移动成为电流。 这就是感应电动势的非静电力的来源。 麦克斯韦最早分析了这种 情况,他敏感地预见到这一现象,表明电场和磁场之间必然有某种当时尚未发现的新关系。 让我们更具体地分析:一个物理场,既呈现 某种空间分布又随时间依一定规律变化。我们说 这个场是空间和时间的函数。磁场和电场一样, B
?B ? 恒量 ?t

B t t

产生E涡
t

产生E涡 E涡
t
1

E涡
R t

图 4-4-1

是矢量场。如果说它是匀强的,是指它非稳恒,空间分布状况不变但随时间改变其大小,场 线会随时间变密或变疏。本题中变化磁场产生涡旋电场的问题,按麦克斯韦的理论,是一个 十分复杂的问题。 仅在非常特殊的场合, 再附加上非常苛刻的条件, 场的分布才是很确定的, 中学阶段我们面对的模型几乎都是这样的: 磁场被限制在一个圆柱状空间, 有理想边界即磁 场在边界上突变,在界内匀强,在圆柱外突变为零。磁感线跟圆柱轴线平行,在与磁场垂直 的平面上磁场边界是有限大的圆。按麦克斯韦理论:如果磁场随时间均匀变化,那么产生的 涡旋电场就不随时间变化;如果磁场随时间 是振荡的,那么产生的涡旋电场就是同频率振 荡的,如图 4-4-1 所示。涡旋电场的电场线是一系列环抱磁感线的同心圆。沿这些同心圆的 半径方向放置导体,导体上是不可能产生感应电动势的,在这个方向上导体内的带电 粒子 即受到涡旋电场力作用也不会沿导体定向移动。 如果有环形导体恰好与电场线平行, 导体上 能产生感应电动势,那是确定无疑的。 在上述这些特殊条件下,由变化磁场产生的涡旋电场,其特征是:①空间各点的 定处在与磁场垂直的平面上,即 说过

E涡 一

E涡 没有跟 B 平行的分量;②磁场边界内外都有 E涡 。上面

E涡 的场线是与磁场边界同心封闭圆,任何一个磁场边界同心的圆周上任意一点的 E涡 E涡 的指向与磁场变化的关系遵从楞次定律,即 E涡 的方向就是感应电动势

沿切线方向;③ 的方向; ④

E涡 的大小, 可以从涡旋电场力是非静电力这一点出发来推导, 根据电动势定义,

电动势应等于单位正电荷从电源负极通过电源内部移往正极,单位正电荷在回路上绕行一 周,非静电力做功

W ? W非 / q ? E ? 2?r ,此处设该回路半径为 r,又根据法拉第电磁感应

定律

??

?? ?B ?B ?S ? ?r 2 ?t ?t ?t ,这两个ε 在本质与现象的关系,其实是一回事,数值上 E涡 ? 2?r ? ?r 2 ?B r ?B E涡 ? ?t ,所以 2 ?t 。该结果仅适用于 r≤R 的范围(R 是磁

应相等,即

?B E 场边界半径),其说明 涡 大小由两个因素决定:一是磁感应强度变化率 ? t ;二是 r,如果
2

?B ?B E涡 2?r ? ?R 2 E ∝ r ? t 是恒量,那么 ?t ,磁通量 ? ? BS 中的 S, 涡 ,在 r>R 处,

R ?B ?B 2 E 只能计及有磁感线穿过的面积 ?R , 涡 = 2r ?t 。请我们关注 ? t 这个物理量,这是一
2

?B 个非常重要的物理量,以下的每个 A 类例题和 B 类例题,我们都要跟 ? t 打交道。
产生感应电磁现象的原因是由于感生涡旋电场的作用, 假如有一个局限在圆柱形范围内 的匀强磁场 B,B 的方向平行于圆柱体的轴。当 B 的大小在增加时,感生电场的方向如图图 4-4-2 所示。根据对称性,在回路上各点处的感生电场方向必然与回路想切,感生电场的电 场线是一些同心圆。因此,感生电场的电感线是闭合线,无头无尾,像旋涡一样,所以由磁 场变化而激发的电场也叫旋涡电场。 而静电场的电感线却是起于正电荷而终于负电荷, 是有 头有尾的。这是一个很重要的区别。 根据电动势和电场的关系,如果磁场区域半径为 R,回路的半径为 r,回路上的电场强 度为 E,则

2 因为 所以有

?rE ?

?? ?t
2

E E E B E

?? ? ?r ?B,

图 4-4-2
? r ?B ? 2 ? ?t , ? E?? 2 ? R ? ?B , ? ? 2 r ?t

4.4.1、磁场中导体的感生电动势 在一个半径为 R 的长直螺线管中通有变化的电流,使管内圆柱形的空间产生变化的磁 场,且 ?B / ?t >0(图 4-4-3)。如果在螺线管横截面内,放置一根长为 R 的导体棒 ab,使得

oa ? ab ? ob ,那么 ab 上的感生电动势 ? ab 是多少?如果将导体棒延伸到螺线管外,并使
3

得 ab ? bc ? R 呢? 前面已说过:长直通电螺线管内是匀强磁场,而管外磁场为零,所以本题研究的是一个 圆柱形匀强磁场。 尽管根据前述 E 的表达式,可知 ab 棒所在各点的电场强度,但要根据这些场强来求出

? ab 却要用到积分的知识,因此,一般中学生无法完成,我们可取个等边三角形面积 oab,
因为 oa 和 ob 垂直于感生电场的电力线, 所以 oa 和 ob 上没有感生电动势。 又根据法拉第电 磁感应定律,oab 回路上的感生电动势

??
这也就是

?? 3 2 ?B ? R ?t 4 ?t

B O

? ab 的大小。

a
图 4-4-3

b

c

如果将 ab 延伸到 c,则可研究 ?oac ,根据同样的道理可知

? ac ?

?? ? 3 ? ? 2 ?B ?? ? ? ? R ?t ?t ? ? 4 12 ?

很明显, 上面这个问题可以这样解的前提是磁场局限于圆柱形内。 如果一根导体棒是放 在一个宽广的或是其它范围不规则的磁场内,那是得不出上述结果的,假如将一个导体闭 合回路放在磁场中,对磁场就没有那么严格的要求了,这类问题一般说来同学们是熟悉的, 但如果是一个比较复杂的电路放在磁场中,处理时就要用一些新的方法。 4.4.2、磁场中闭合电路的感生电动势

4

解 磁场中 一个比 V ?

a
a
? V

I2 S2

IV O B

Q I1 IV S1 P

(a)
较复杂 图 4-4-4

(b)

图 4-4-5

的闭合电路的感生电流的问题, 一般除了用到有关电磁感应的知识以外, 还要用到解复杂电 路的回路电压定律和节点电流定律。 将一个半径 a、 电阻为 r 的圆形导线, 接上一个电阻为 R 的电压表后按图 4-4-4(a)、 (b) 两种方式放在磁场中,连接电压表的导线电阻可忽略,(a)、(b)中的圆心角都是θ 。均匀 变化的磁场垂直于圆面,变化率 ?B / ?t ? k 。试问(a)、(b)中电压表的读数各为多少? 因为电压表的读数与它两端的正负无关, 所以可以任意假设磁场 B 的方向和变化率的正 负。现在我们设 B 垂直于纸面向里,且 ?B / ?t

? k >0(图 4-4- 5)。回路 OPS1Q 的面积

S1 ?

? 2? ? ? ? ? ?a 2 ? S2 ? ?a 2 ? OPS Q 2? 2? 2 ,回路 的面积 。这两个回路单独存在

时的感生电流方向相同,都是逆时针的,感生电动势的大小分别为

? 1 ? S1

?B ? ? ?a 2 k , ?t 2?

?

?

? ?S
2

2

?B 2? ? ? ??a ?k , ? ?t 2?
2

?1 / ? 2 ? ? /(2? ? ? )


PS1Q 段导线和 QS2 P 段导线电阻分别为
R1 ?

? 2? ? ? r, R ? r 2? 2?
2



如图 4-4-6 中标出的电流,应该有

IV ? I 2 ? I1


5

对两个回路分别列出电压方程

?1 ? I1R1 ? IV R,

④ ⑤

? 2 ? I 2 R2 ? IV R (R 为伏特表的内阻)。
由①、②、③、④、⑤可解得

?? ? ? 2? ? ? ? I1 ? ?2? ? ? ?r ? ?R? ? I 2 ? ? ? r ? ?R?, ? 2? ? ? 2? ?
即有 因此

I1 ? I 2
IV ? 0
I2 O

a

所以图 4-4-4(a)的接法中电压表的读数为零。 再看图 4-4-4 (b)中的接法:电流设定如图 4-4-6,小回路和 大回路的感生电动势大小分别为

? S2

a IV

V1

S?
I1

图 4-4-6

? ? S1 ? ?1
?

?B ? ? 1 ? ? ? ?a 2 ? a 2 sin ? ?k ?t ? 2? 2 ?

1 2 ka ?? ? sin ? ? 2
2

? ? ? S?
2

?B ? 2? ? ? 2 1 2 ? ?? ?a ? a sin ? ?k ?t ? 2? 2 ?

?

1 2 ka ?2? ? ? ? sin ?? 2

IV ? I 2 ? I1 , ?? 2 ? I 2 R2 ? I V R (R 为伏特表的内阻)。
由上述方程可解得

r ? ? I V ? 2? 2 a 2 k sin ? / ???2? ? ?? ? 4? 2 ? R R ? ?
由些可知电压表 的读数为

r ? ? V ? I V R ? 2? 2 a 2 k sin ? / ?? ?2? ? ? ? ? 4? 2 ? R ? ?
6

本问题中我们用到的电流方程(如③式)和回路电压方程(如④、 ⑤式), 实际上就是上一 讲中提到过的基尔霍夫方程。在解决电磁感应的问题时,用电压回路方程十分方便,因为电 磁感应的电动势是分布在整个回路上的。 附:静电场与感生电场的比较 就产生原因而言,静电场是静止电荷产生的,而感生电场是变化多端的磁场激发的。就 性质而言, 当单位正电荷绕封闭合回路一周静电场力的功为零。 当感生电场驱使单位正电荷 绕付线圈一周时,感生电场力的功不为零,其数值恰为副线圈内产生的感生电动势,数值上 等于通过副线圈的磁通量对时间的变化率。静电场是保守场,感生电场是非保守场。静电场 的电力线是有头有尾的不封闭曲线, 而感生电场的电力线是无头无尾的闭合曲线。 静电场是 有源场,而感生电场是无源场。 典型例题 例 1、 无限长螺线管的电流随时间作线性变化( ?I / ?t ? 常数)时, 其内部的磁感应强度 B 也随时间作线性变化。已知 ?B / ?t 的数值,求管内外的感生电场。 解:如图 4-4-7 所示为螺线管的横截面图,C 表示螺线管的边缘,其半径为 R。由于对 称性以及感生电场的电力线是一些封闭曲线的性质,可知管内外的感生电场电力线都是与 C 同心的同心圆,因此:

当 r<R 时,

? ? E 感 ? 2?r ? 1 ?B ?S 2?r ?t

?? ?t
R



E感 ? ?

1 ?B ? ?r 2 2?r ?t r ?B ? 2 ?t
当 r>R 时

图 4-4-7

? ? E感 ? 2?r ?

?B ? ?rR 2 ?t
7

所以

E感 ?

R 2 ?B 2r ?t

? E感 的大小在管内与 r 成正比,在管外与 r 成反比。感生电场电力线的方向可由楞次定
?B 律确定,当 ? t >0 时,电力线方向为逆时针方向。
例 2、在一无限长密绕螺线管中有一均匀磁场,磁感应强度随时间线性变化(即

?B / ?t ? 常数),求螺线管内横截面上长为 l 的直线段 MN 上的感生电 动势。(横截面圆的
圆心 O 到 MN 的垂直距离为 h) 解:求感生电动势有两种方法。 (1) 根据电动势的定义:某一线段上的感生电动势等于感生电场搬运单位正电荷

? E ? l ? l ? l 沿此段运动时所做的功。 在 MN 上任选一小段 , O 点到 距离为 r, 处的 感 如图 4-4-8
所示,与 ?l 的夹角为θ ,感生电场沿 ?l 移动单位正电荷所做的功为

?A ? E感 ?l cos? , 而
r ?B ?A ? ? ?l cos ? 2 ?t


E感 ?

r ?B 2 ?t 则
M

O h? r

E然
?
N

?l

r cos ? ? h
h ?B ?A ? ?l 2 ?t

图 4-4-8



把 MN 上所有 ?l 的电动势相加,

???

1 ?B 1 ?B ?l ? hl 2 ?t 2 ?t

(2)用法拉第定律求解。连接 OM,ON,则封闭回路三角形 OMN 的电动势等 于其所包围的 磁通量的变化率。

1 lhB 2 ?? 1 ?B ?? ? hl ?t 2 ?t ? ? BS ?
8

? E OM 和 ON 上各点的感生电场 感 均各自与 OM 和 ON 垂直, 单位正电荷 OM 和 ON 上移动时,
感生电场的功为零, 故 OM 和 ON 上的感生电动势为零, 封闭回路 OMNO 的电动势就是 MN 上的 电动势。 电动势的方向可由楞次定律确定。 例 3、两根长度相度、材料相同、电阻分别为 R 和 2R 的细导线,围成一直径为 D 的圆 环,P、Q 为其两个接点,如图 4-4-9 所示。在圆环所围成的区域内,存在垂直于圆指向纸 面里的匀强磁场。磁场的磁感强度的大小随时间增大,变化率为恒定值 b。已知圆环中的感 应电动势是均匀分布的。设 MN 为圆环上的两点,MN 间的弧长为半圆弧 PMNQ 的一半。试求 这两点间的电压

U M ?U N 。

分析:就整个圆环而言,导线的粗细不同,因而电阻的分布不同,但感应电动势的分布 都是均匀的。求解时要注意电动势的方向与电势的高低。 解:根据电磁感应定律,整个圆环中的感应电动势的大小为

E?

?? 1 ? ?D 2 b ?t 4

此电动势均匀分布在整个环路内,方向是 逆时针方向。由欧姆定律可知感应电流为

I?
M、N 两点的电 压

E R ? 2R
Q

N

R

M

D2
2R

P

UM ?U N ?
由以上各式,可得

1 R? ? E ? I ? 2R ? ? 4 2? ?

图 4-4-9
1 ?D 2 b 48

UM ?U N ? ?
可见,M 点电势比 N 点低

9


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