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1.1.4二倍角公式


二倍角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ?

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

复习:两角和与差的正余弦正切公式

tan(? ? ? ) ?

1 ? tan? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

sin(? ? ? ) ?

tan(? ? ? ) ?
tan(? ? ? ) ?

?1? sin(? ? ? ) ? sin ? cos? ? cos? sin ?
即sin 2? ? 2sin ? cos ?

? 2? cos(? ? ? ) ? cos? 2cos? ? sin ? sin ? 2
?cos2? ? cos ? ? sin ?
2 2

? cos ? ? 1 ? sin ? 2 ?cos 2? ? 1 ? 2sin ?
? sin ? ? 1 ? cos ? 2 ?cos 2? ? 2cos ? ?1
2 2

? cos 2? ? 1 ? 2sin ?
2

1 ? cos 2? ? sin ? ? 2
2

? cos 2? ? 2cos ? ?1
2

1 ? cos 2? ? cos ? ? 2
2

公式 sin 2? ? 2sin ? cos ?

的应用
/

求值:sin67 30 ? cos 67 30
0 / 0

1 0 / 0 / 解原式 ? ? 2 ? sin67 30 ? cos 67 30 2
1 0 ? sin135 2

1 0 ? sin45 2 1 2 2 ? ? ? 2 2 4

2 tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan 2 ? 2 tan ? 即 tan 2? ? 2 1 ? tan ?

公式 sin 2? ? 2sin ? cos ?

cos 2? ? cos ? ? sin ? 2 cos 2? ? 1 ? 2sin ?
2 2

cos 2? ? 2cos ? ? 1
2

2 tan ? tan 2? ? 2 1 ? tan ?

练习书上P8

3 ? 2 ?? 3?

3 例1.已知 sin ? ? , 且? 为第二象限的角, 5 求 sin 2? , cos 2?的值.

解 :??为第二象限的角
4 ?3? ? cos ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 ?5?
2 2

24 ? sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 25 7 2 cos 2? ? 1 ? 2sin ? ? 25

? ? 1 例2.已知 cos ? ? , 且? ? ?? , 2? ? , 求 sin ? , cos 的值. 4 2 3 ? ?? ?
解 : ? ? ?? , 2? ? ? ?

1 2 2 ? sin ? 1 ? cos ? 1? ? 2 2 9 3 ? ? 2 2 ? 1? 4 2 ? sin ? ? 2sin cos ? 2 ? ??? ? ? ? 2 2 3 ? 3? 9 1
2

?

? ? ,? ? 2 ?2 ?

?

? ? 1? ? ? ? 1 ? cos ? ?? ? ? 3? ? 1 2 ? 2 ? ? ? ? , ? ? 且 cos ? 4 ?4 4 2 2 3 ?

?

3 ? cos ? 4 3

?

1 ? cos ? 例3求证:tan ? 2 sin ?
证 : 右边 ? 2sin 2sin
2

?

?
2

?
2

cos

?
2

?

sin cos

? ?
2 2

? tan

?
2

? 左边


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