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2一元二次不等式的解法(教师版)


2014—2015 学年度高一数学补充内容 编号:06

使用时间:2014—9—10、1 课时

§ 一元二次不等式的解法
编制人:徐广平 高一 班 第 组 编号 姓名 审核人: 小组评价 老师评价

【学习目标】 1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系. 2.一元二次不等式的解法. 3. 通过由图

象找解集的方法提高学生逻辑思维能力,渗透数形结合思想. 【重点难点】 重点:一元二次不等式的解法,数形结合的思想。 难点:熟练掌握解一元二次不等式。 【使用说明】 1.查找初中有关教材内容。 [来源:Z 2.用 15 分钟完成【问题导学】和【预习自测】 ,并尝试对【探究点】进行研究,用红笔标 注疑问。用 15 分钟完成本导学案其它栏目 【问题导学】

1、复习回顾:二次函数 y=ax2 + bx +c 的图像和函数性质 (略)

2、①解方程 x 2 ? x ? 6 ? 0
x1 ? 2 , x2 ? 3

②作函数 y ? x 2 ? x ? 6 的图象,并指出它的性质。 (略)

【预习自测】 1、从图象上看当 x 取 2或3 时,y=0,即 x ? x ? 6 ? 0
2

2、从图象上看当 x 取 x<2 或 x>3 时,y>0,即 x ? x ? 6 ? 0
2

3、从图象上看当 x 取

2<x<3 时,y<0,即 x ? x ? 6 ? 0
2

1

【合作探究】

如何利用图象解一元二次不等式? 1、解一元二次不等式 x 2 ? x ? 2 ? 0
x ? ?1 或 x ? 2

2、解一元二次不等式 x2 – 3x +2< 0

1<x<2

3、解一元二次不等式 x2 – x + 6< 0

?2? x ?3

4、解一元二次不等式 x2 – 2x +1> 0

{x|x≠1}

【典型例题】

你能不画图象快速写出不一元二次不等式的解吗? 1、解下列不等式:

?1? x

2

–x + 6> 0;

? 2? ? x 2 ? 2x ? 3 ? 0 ;
(2)Φ

(1)R

2、解下列不等式: (1) - x2+4x +12≥ 0; (1){X|- 2≤X≤6}

(2)3x2 – x -2> 0 (2){X|X>1, 或 X<-2/3}

2

归纳总结:填写下表( a>0) 方程 函数
ax2 ? bx ? c ? 0

不等式的解集
ax2 ? bx ? c ? 0 ax2 ? bx ? c ? 0

y ? ax2 ? bx ? c

的解的情况 图象 当 ? ? 0 时方程有两个 不等的根 x1 , x2 当 ? ? 0 时方程有一根

?x | x ? x1或x ? x2 ?
?x | x ? x0 ?


?x | x1 ? x ? 2 ?
? ?

x0
当 ? ? 0 时方程无实根

【基础达标】

解下列不等式 1、 x 2 ? 3x ;
答案;

2、 ?4 x 2 ? x ? 5 ? 0

1、{X|0<X<3}

2、{X|-1/4<X<5}

3、 x2 ? 2 x ? 3 ? 0
答案; (3) {x|x>1 或 x<-3}

4、 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0

(4) R

5、 4 x 2 ? 4 x ? 15 .
{ x | x>

6、 13 ? 4 x 2 ? 0 . {x| ?

5 3 或 x< ? } 2 2

13 <x 2

13 } 2

3

【拓展提升】

1、解关于 x 的不等式: x2 ? ( a ? 1 )x ? a ? 0 解:原不等式化为: ? x ? 1?? x ? a ? ? 0 ⑴当 a=1 时,原不等式的解集为 ?x | x ? 1? ⑵当 a>1 时,原不等式的解集为 ?x | x ? 1或x ? a? ⑶当 a<1 时,原不等式的解集为 ?x | x ? a或x ? 1?

2、解关于 x 的不等式: x 2 ? ax ? 1 ? 0 解: ? ? a 2 ? 4 ⑴当 ? ? a 2 ? 4 ? 0 ,即 ?2 ? a ? 2 时,原不等式的解集为 ? ⑵当 ? ? a 2 ? 4 ? 0 ,即 a ? ?2 , 若 a ? ?2 ,则原不等式的解集为 ?x | x ? 1? , 若 a ? 2 ,则原不等式的解集为 ?x | x ? ?1? ⑶当 ? ? a 2 ? 4 ? 0 ,即 a ? ?2或a ? 2 时,

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 方程 x ? ax ? 1 ? 0 的解为 x1 ? , x2 ? 2 2 此时原不等式的解集为, ?x | x ? x1或x ? x2 ?
2

3、当 a 取什么数时不等式: ax 2 ? ax ? 1 ? 0 对 x ? R 恒成立。 解:不等式: ax 2 ? ax ? 1 ? 0 对 x ? R 恒成立,即不等式 ax 2 ? ax ? 1 ? 0 解集为 R ⑴当 a ? 0 时,必需 ? ? a 2 ? 4a ? 0 此时 0 ? a ? 4 ⑵当 a ? 0 时,原不等式变为 1>0,显然对 x ? R 恒成立。
综上所述,当 0 ? a ? 4 时,不等式: ax ? ax ? 1 ? 0 对 x ? R 恒成立。
2

【学习反思】

10.通常先将不等式化为 ax2 ? bx ? c ? 0 或 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的形式; 20.然后求出对应方程的根(若有根的话) ,再写出不等式的解: 30.大于 0 时两根之外,小于 0 时两根之间; ☆☆利用二次函数的图象来写出一元二次不等式的解集。
4


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