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导数压轴题专项4


导数压轴题专项

四、不等式恒成立求字母范围 恒成立之最值的直接应用
1. (2011北京理18倒数第3大题,最值的直接应用)
x

已知函数 f ( x) ? ( x ? k ) 2 e k 。 ⑴求 f ( x) 的单调区间; ⑵若对于任意的 x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ≤

1 ,求 k 的取值范围. e

2.

(2008天津理20倒数第3大题,最值的直接应用,第3问带有小的处理技巧)

已知函数 f ? x ? ? x ?

a ? b? x ? 0 ? ,其中 a, b ? R . x

⑴若曲线 y ? f ? x ? 在点 P?2, f ?2 ?? 处切线方程为 y ? 3 x ? 1 , 求函数 f ? x ? 的解析式; ⑵讨论函数 f ? x ? 的单调性; ⑶若对于任意的 a ? ? ,2? ,不等式 f ? x ? ? 10 在 ? ,1? 上恒成立,求 b 的取值范围. 2 4 3. (转换变量,作差) 已知函数 f ( x) ? ( x 2 ? a )e x . ⑴若 a ? 3 ,求 f ( x) 的单调区间; ⑵ 已 知 x1 , x2 是 f ( x) 的 两 个 不 同 的 极 值 点 , 且 | x1 ? x2 |?| x1 x2 | , 若

?1 ?

? ?

?1 ? ? ?

3 3 f (a ) ? a 3 ? a 2 ? 3a ? b 恒成立,求实数b的取值范围。 2

恒成立之分离常数
4. (分离常数) 已知函数 f ( x) ?

a ? ln x ? 1, a ? R. x

(1) 若 y ? f ( x) 在 P (1, y0 ) 处的切线平行于直线 y ? ? x ? 1 ,求函数 y ? f ( x) 的单调区间; (2) 若 a ? 0 ,且对 x ? (0, 2e] 时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

1

导数压轴题专项
7 6

5

4

3

2

1

-8

-6

-4

-2

-1

A

2

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6

8

10

12

-2

-3

-4

-5

5.

(2011长春一模,恒成立,分离常数,二阶导数)

已知函数 f ( x) ? e x ?

x2 ? ax ? 1 , (其中 a ? R, e 为自然对数的底数). 2

(1)当 a ? 0 时, 求曲线 y ? f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)当 x ≥1时, 若关于 x 的不等式 f ( x) ≥0恒成立, 求实数 a 的取值范围. (改x≥0时, f ( x) ≥0恒成立. a ≤1) (两边取对数的技巧)设函数 f ( x) ? (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)求 f ( x) 的取值范围; (3)已知 2 x ?1 ? ( x ? 1) m 对任意 x ? (?1, 0) 恒成立,求实数 m 的取值范围。 7. (分离常数)
1

6.

1 ( x ? ?1 且 x ? 0 ) ( x ? 1) ln( x ? 1)

1 ? ln x . x 1 (Ⅰ)若函数在区间 ( a, a ? ) 其中a >0,上存在极值,求实数a的取值范围; 2 k (Ⅱ)如果当 x ? 1 时,不等式 f ( x) ? 恒成立,求实数k 的取值范围; x ?1
已知函数 f ( x) ? 8. (2010湖南,分离常数,构造函数)
2

导数压轴题专项
已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b, c ? R ), 对任意的 x ? R, 恒有f?(x)≤ . ⑴证明:当 x ≥ 0时,f ( x) ≤ ( x ? c) 2 ; ⑵若对满足题设条件的任意b、 c, 不等式 f (c) ? f (b) ≤ M (c 2 ? b 2 ) 恒成立, 求M的最小值。

9. (第3问不常见,有特点,由特殊到一般,先猜后证)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求函数f (x)的定义域 (Ⅱ)确定函数f (x)在定义域上的单调性,并证明你的结论. (Ⅲ)若x>0时 f ( x) ?

1 ? 1n( x ? 1) x

k 恒成立,求正整数k 的最大值. x ?1

10. (恒成立,分离常数,涉及整数、较难的处理) 已知函数 f ( x) ?

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 0). x

(Ⅰ)试判断函数 f ( x)在(0,??) 上单调性并证明你的结论; (Ⅱ)若 f ( x) ?

k 恒成立,求整数k 的最大值; (较难的处理) x ?1

(Ⅲ)求证:(1+1× 2)(1+2× 3) …[1+n(n+1)]>e2n -3 . 11. (分离常数,双参,较难)已知函数 f ( x) ? ( x 3 ? 6 x 2 ? 3 x ? t )e x , t ? R . (1)若函数 y ? f ( x) 依次在 x ? a, x ? b, x ? c(a ? b ? c ) 处取到极值. ①求 t 的取值范围;②若 a ? c ? 2b 2 ,求 t 的值. (2) 若存在实数 t ? ? 0, 2? , 使对任意的 x ? ?1, m ? , 不等式 f ( x) ? x 恒成立. 求正整数 m 的最大值. 12. (2008湖南理22,分离常数,复合的超范围) 已知函数 f ( x) ? ln 2 (1 ? x) ? ⑴求函数 f ( x) 的单调区间; ⑵若不等式 (1 ? )

x2 . 1? x

1 n

n?a

≤ e 对任意的 n ? N* 都成立(其中e是自然对数的底数) ,求a的最大

值. (分离常数) 13. (变形,分离常数) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x (a为实常数).
2

3

导数压轴题专项
(1)若 a ? ?2 ,求证:函数 f ( x) 在(1,+∞)上是增函数; (2)求函数 f ( x) 在[1, e]上的最小值及相应的 x 值; (3)若存在 x ? [1, e] ,使得 f ( x) ? (a ? 2) x 成立,求实数a的取值范围. 14. (分离常数,转换变量,有技巧) 设函数 f ( x) ? a ln x ? bx 2 .

1 相切: 2 1 ①求实数 a, b 的值;②求函数 f ( x) 在 [ , e] 上的最大值; e 3 2 ⑵当 b ? 0 时,若不等式 f ( x) ≥ m ? x 对所有的 a ? [0, ], x ? [1, e ] 都成立,求实数 m 的 2
⑴若函数 f ( x) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? 取值范围.

恒成立之讨论字母范围
15. (2007全国I,利用均值,不常见) 设函数 f ( x) ? e x ? e ? x . ⑴证明: f ( x) 的导数 f ?( x) ≥ 2 ; ⑵若对所有 x ≥ 0 都有 f ( x) ≥ ax ,求 a 的取值范围.
x

16. 设函数 f (x)=e +sinx,g(x)=ax,F (x)=f (x)-g(x). (Ⅰ)若 x=0 是 F(x)的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)当 a=1 时, 设 P (x1,f (x1)), Q(x2, g(x 2 ))(x1 >0, x2>0), 且 PQ//x 轴, 求 P 、 Q 两点间的最短距离; (Ⅲ):若 x≥0 时, 函数 y=F (x)的图象恒在 y=F(-x)的图象上方, 求实数 a 的取值范围. 17. (用到二阶导数,二次) 设函数 f ( x) ? e ?
x

k 2 x ? x. 2

⑴若 k ? 0 ,求 f ( x) 的最小值; ⑵若当 x ? 0 时 f ( x) ? 1 ,求实数 k 的取值范围. 18. (第 3 问设计很好,2 问是单独的,可以拿掉)已知函数 f ( x) ? b( x ? 1) ln x ? x ? 1 ,斜 率为 1 的直线与 f ( x) 相切于 (1, 0) 点. (Ⅰ)求 h( x) ? f ( x) ? x ln x 的单调区间;
4

导数压轴题专项
(Ⅱ)当实数 0 ? a ? 1 时,讨论 g ( x) ? f ( x) ? (a ? x) ln x ? (Ⅲ)证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0 . 19. (2011全国I文21,恒成立,一次,提出一部分再处理的技巧) 设函数 f ( x) ? x e ? 1 ? ax .
x 2

1 2 ax 的极值点。 2

?

?

⑴若a =

1 ,求 f ( x) 的单调区间; 2

⑵若当 x ≥0时 f ( x) ≥0,求a的取值范围. 20. (2011全国新理21,恒成立,反比例,提出公因式再处理的技巧,本题的创新之处是将 一般的过定点(0,0)变为过定点(1,0) ,如果第2问范围变为 x ? 1 则更间单) 已知函数 f ( x) ?

a ln x b ? 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 . x ?1 x ln x k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x

⑴求 a 、 b 的值; ⑵如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x) ?

21. (恒成立,讨论, 较容易,但说明原理)已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? a ln x . (1)求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (2)若 f ( x) ? 0 对 x ? [1,??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围. 22. (2010新课程理21,恒成立,讨论,二次,用到结论 e x ≥ 1 ? x ) 设函数 f ( x) ? e x ? 1 ? x ? ax 2 . ⑴若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; ⑵若当 x ≥ 0 时 f ( x) ≥ 0 ,求 a 的取值范围. 23. (恒成立,2010全国卷2理数,利用⑴结论,较难的变形讨论)
?x 设函数 f ? x ? ? 1 ? e .

⑴证明:当 x>-1 时, f ? x ? ? ⑵设当 x ? 0 时, f ? x ? ? 24. 已知函数 f ( x ) ?

x ; x ?1

kx ? 1 ,且函数 f ? x ? 是 ? ?1, ?? ? 上的增函数。 x ?1
kx?1 x ?1

x ,求a的取值范围. ax ? 1

(1)求 k 的取值范围; (2)若对任意的 x ? 0 ,都有 e 整数 k 的值。
5

? x ? 1 (e 是自然对数的底) ,求满足条件的最大

导数压轴题专项
25. (2008山东卷21) 已知函数 f ( x) ?

1 ? a ln( x ? 1), 其中n∈N*, a为常数. (1 ? x) n

⑴当n=2时,求函数f (x)的极值; ⑵当a=1时,证明:对任意的正整数n, 当x≥2时,有f (x)≤x-1.

6

导数压轴题专项

四、不等式恒成立求字母范围 恒成立之最值的直接应用
26. (2011北京理18倒数第3大题,最值的直接应用) 已知函数 f ( x) ? ( x ? k ) 2 e k 。 ⑴求 f ( x) 的单调区间; ⑵若对于任意的 x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ≤
x

1 ,求 k 的取值范围. e

解:⑴ f ?( x) ?

x 1 2 ( x ? k 2 )e k ,令 f ?( x) ? 0, x ? ? k , k

当 k ? 0 时, f ( x) 与 f ?( x) 的情况如下 :

x
f ?( x) f ( x)

(??, ?k )
+

?k
0

(?k , k )

k
0 0

(k , ??)
+

?

4k 2 e ?1

所以, f ( x) 的单调递增区间是 (??, ? k ) 和 (k , ??) :单调递减区间是 (? k , k ) , 当 k ? 0 时, f ( x) 与 f ?( x) 的情况如下 :

x
f ?( x) f ( x)

(??, k )

k
0 0

(k , ?k )
+

?k
0

(?k , ??)

?

?

4k 2 e ?1

所以, f ( x) 的单调递减区间是 (??, k ) 和 (? k , ??) :单调递减区间是 (k , ? k ) 。 ⑵当 k ? 0 时,因为 f (k ? 1) ? e
k ?1 k

1 1 ? ,所以不会有 ?x ? (0, ??), f ( x) ? . e e

当 k ? 0 时,由(Ⅰ)知 f ( x) 在 (0, ??) 上的最大值是 f ( ? k ) ?

4k 2 , e

所以 ?x ? (0, ??), f ( x) ?

1 1 4k 2 1 ? ,解 ? ? k ? 0. 等价于 f ( ? k ) ? e e 2 e

7

导数压轴题专项
综上:故当 ?x ? (0, ??),

1 1 f ( x) ? 时, k 的取值范围是[ ? ,0]. e 2

27. (2008天津理20倒数第3大题,最值的直接应用,第3问带有小的处理技巧) 已知函数 f ? x ? ? x ?

a ? b? x ? 0 ? ,其中 a, b ? R . x

⑴若曲线 y ? f ? x ? 在点 P?2, f ?2 ?? 处切线方程为 y ? 3 x ? 1 , 求函数 f ? x ? 的解析式; ⑵讨论函数 f ? x ? 的单调性; ⑶若对于任意的 a ? ? ,2? ,不等式 f ? x ? ? 10 在 ? ,1? 上恒成立,求 b 的取值范围. 2 4 解:⑴ f ?( x) ? 1 ?

?1 ?

? ?

?1 ? ? ?

a ,由导数的几何意义得 f ?(2) ? 3 ,于是 a ? ?8 . x2

由切点 P (2, f (2)) 在直线 y ? 3 x ? 1 上可得 ?2 ? b ? 7 ,解得 b ? 9 . 所以函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? x ? ⑵ f ?( x) ? 1 ?

8 ?9. x

a . x2

当 a ? 0 时,显然 f ?( x) ? 0 ( x ? 0 ), 这时 f ( x) 在 (??, 0) , (0, ??) 上内是增函数. 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ? a . 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x) f ( x)

(??, ? a )
+ ↗

? a
0 极大值

(? a , 0)
- ↘

(0, a )
- ↘ 0

a

( a , ??)
+ ↗

极小值

∴ f ( x) 在 (??, ? a ) , ( a , ??) 内是增函数,在 (? a , 0) , (0, ??) 内是减函数. ⑶由⑵知, f ( x) 在 [ ,1] 上的最大值为 f ( ) 与 f (1) 的较大者,对于任意的 a ? [ , 2] ,不

1 4

1 4

1 2

39 ? 1 ? ? 4a 1 ? f ( ) ? 10 ?b ? 4 等式 f ( x) ? 10 在 [ ,1] 上恒成立,当且仅当 ? 4 ,即 ? ,对任意的 4 ? ? f (1 ) ? 10 b ? 9 ? a ? ?
1 7 7 a ? [ , 2] 成立.从而得 b ? ,所以满足条件的 b 的取值范围是 (??, ] . 2 4 4
28. (转换变量,作差)
8

导数压轴题专项
已知函数 f ( x) ? ( x 2 ? a )e x . ⑴若 a ? 3 ,求 f ( x) 的单调区间; ⑵ 已 知 x1 , x2 是 f ( x) 的 两 个 不 同 的 极 值 点 , 且 | x1 ? x2 |?| x1 x2 | , 若

3 3 f (a ) ? a 3 ? a 2 ? 3a ? b 恒成立,求实数b的取值范围。 2
解:⑴

a ? 3,? f ( x) ? ( x 2 ? 3)e x , f ?( x) ? ( x 2 ? 2 x ? 3)e x ? 0 ? x ? ?3 或1
(1, ??) 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? (?3,1) ,

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? (??, ?3)

? f ( x) 的增区间为 (??, ?3), (1, ??) ;减区间为 (?3,1) ,
⑵ f ?( x) ? ( x 2 ? 2 x ? a )e x ? 0 ,即 x 2 ? 2 x ? a ? 0 由题意两根为 x1 , x2 ,? x1 ? x2 ? ?2, x1 ? x2 ? ? a ,又 | x1 ? x2 |?| x1 x2 | ??2 ? a ? 2 且△ ? 4 ? 4a ? 0 ,??1 ? a ? 2 . 设 g (a) ? 3 f (a) ? a ?
3

3 2 3 a ? 3a ? 3(a 2 ? a )e a ? a 3 ? a 2 ? 3a , 2 2

g ?(a ) ? 3(a 2 ? a ? 1)(e a ? 1) ? 0 ? a ?

?1 ? 5 或a ? 0 2 5 ?1 2
0

a
g ?(a ) g (a)

(?1, 0)

0

(0,

5 ?1 ) 2

(

5 ?1 , 2) 2
+

2

+

0

?

极大值
2

极小值

g (2)

2 又 g (0) ? 0 , g (2) ? 6e ? 8 , g (a ) max ? 6e ? 8 ,? b ? 6e 2 ? 8 .

恒成立之分离常数
29. (分离常数) 已知函数 f ( x) ?

a ? ln x ? 1, a ? R. x

(1) 若 y ? f ( x) 在 P (1, y0 ) 处的切线平行于直线 y ? ? x ? 1 ,求函数 y ? f ( x) 的单调区间; (2) 若 a ? 0 ,且对 x ? (0, 2e] 时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

9

导数压轴题专项
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5

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3

2

1

-8

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-4

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-1

A

2

4

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10

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-3

-4

-5

解: (1) f ( x) ?

a ? ln x ? 1, a ? R. f ( x) 定义域为 (0,??) , 直线 y ? ? x ? 1 的斜率为 ? 1 , x a 1 2 1 x?2 f ' ( x) ? ? 2 ? , f ' (1) ? ?a ? 1 ? ?1 ,? a ? 2 . 所以 f ' ( x) ? ? 2 ? ? 2 x x x x x
由 f ' ( x) ? 0得x ? 2 ; 由 f ' ( x) ? 0得0 ? x ? 2

? ?) , 减区间为 (0,2) . 所以函数 y ? f ( x) 的单调增区间为 (2,
(2) a ? 0 ,且对 x ? (0, 2e] 时, f ( x) ? 0 恒成立

a ? ln x ? 1 ? 0在x ? (0, 2e]恒成立 , 即 a ? x(ln x ? 1) . x
设 g ( x) ? x(1 ? ln x) ? x ? x ln x, x ? (0,2e] .

g ' ( x) ? 1 ? ln x ? 1 ? ? ln x, x ? (0,2e]
当 0 ? x ? 1 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x)为增函数 当 0 ? x ? 2e 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x)为减函数 . 所以当 x ? 1 时, 函数 g ( x) 在 x ? (0,2e] 上取到最大值, 且 g (1) ? 1 ? ln 1 ? 1 所以 g ( x) ? 1 , 所以 a ? 1 所以实数 a 的取值范围为 (1,??) . (法二)讨论法

f ?( x) ?

x?a , f ( x ) 在 (0, a ) 上是减函数,在 (a, ??) 上是增函数. x2

当 a ≤ 2e 时, f ( x ) ≥ f (a) ? 1 ? ln a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 1 ,∴ 1 ? a ≤ 2e .

10

导数压轴题专项
当 a ? 2e 时, f ( x) ? f (2e) ? 综上 a ? 1 .

a ? ln(2e) ? 1 ? 0 ,解得 a ? 2e ln 2 ,∴ a ? 2e . 2e

30. (2011长春一模,恒成立,分离常数,二阶导数) 已知函数 f ( x) ? e x ?

x2 ? ax ? 1 , (其中 a ? R, e 为自然对数的底数). 2

(1)当 a ? 0 时, 求曲线 y ? f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)当 x ≥1时, 若关于 x 的不等式 f ( x) ≥0恒成立, 求实数 a 的取值范围. (改x≥0时, f ( x) ≥0恒成立. a ≤1) 解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? e x ?

x2 ? 1 ,? f ' ( x) ? e x ? x ,? f (0) ? 0, f ' (0) ? 1 , 2

? 切线方程为 y ? x .
(2)[方法一]

x2 2 x ? ?1 x e ? x ≥1,? f ( x) ? e ? ? ax ? 1 ≥ 0 ? a ≤ , 2 2 x
x



g ( x) ?

ex ?

x2 x2 ? ?1 ( x ? 1)e x ? 1 ,则 , 2 2 ? g ' ( x) 2 x x

设 ? ( x) ? ( x ? 1)e x ?

x2 ? 1 , 则 ? ' ( x) ? x(e x ? 1) ? 0 , 2
1 ?0, 2

? ? ( x) 在 [1,??) 上为增函数, ?? ( x) ≥ ? (1) ?

? g ' ( x) ?

( x ? 1)e x ? x2

x2 x2 ?1 ex ? ? 1 [1,??) , 在 上为增函数, 2 2 ? 0 ? g ( x) ? x

? g ( x) ≥ g (1) ? e ?

3 3 ,? a ≤ e ? . 2 2

[方法二]? f ( x) ? e x ?
x

x2 ? ax ? 1 , ? f ' ( x) ? e x ? x ? a , 2
x

设 h( x ) ? e ? x ? a , h' ( x ) ? e ? 1 ,

11

导数压轴题专项
? x ≥0, ? h' ( x) ? e x ? 1 ≥0,? h( x) ? e x ? x ? a 在 [1,??) 上为增函数,
? h( x) ≥ h(1) ? e ? 1 ? a .
又? f ( x ) ? e x ?

3 3 x2 ? ax ? 1 ≥0恒成立,? f (1) ? e ? a ? ≥0,? a ≤ e ? , 2 2 2

? h( x) ≥ h(1) ? e ? 1 ? a ? 0 , ? f ' ( x) ? e x ? x ? a ? 0 ,

3 x2 f ( x) ? e ? ? ax ? 1 在 [1,??) 上为增函数, 此时 f ( x) ≥ f (1) ? e ? a ? ≥0恒成 2 2
x

立,

3 ?a ≤ e ? . 2
(改x≥0时, f ( x) ≥0恒成立. a ≤1) 解:先证明 g ( x) 在 (0, ??) 上是增函数,再由洛比达法则 ∴ g ( x) ? 1 , ∴

ex ? lim
x ?0

x2 ?1 ex ? x , 2 ? lim ?1 x ? 0 x 1

a ≤ 1. ( 正 常 的 讨 论 进 行 不 了 , 除 非 系 数 调 到 二 次 项 上

f ( x) ? e x ?

a 2 x ? x ? 1 ,分两种情况讨论可得 a ≤1) 2

31. (两边取对数的技巧)设函数 f ( x) ? (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)求 f ( x) 的取值范围;

1 ( x ? ?1 且 x ? 0 ) ( x ? 1) ln( x ? 1)

(3)已知 2 x ?1 ? ( x ? 1) m 对任意 x ? (?1, 0) 恒成立,求实数 m 的取值范围。 解: (1)

1

f '( x) ? ?

ln( x ? 1) ? 1 ( x ? 1) 2 ln 2 ( x ? 1)

,

? 当 f '( x) ? 0 时,即 ln( x ? 1) ? 1 ? 0, ?1 ? x ? e ?1 ? 1 .
当 f '( x) ? 0 时,即 ln( x ? 1) ? 1 ? 0, 0 ? x ? e ?1 ? 1 或 x ? 0 .
?1 故函数 f ( x) 的单调递增区间是 (?1, e ? 1)

.

?1 函数 f ( x) 的单调递减区间是 (e ? 1, 0), (0, ??) .

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导数压轴题专项
(2)由 f '( x) ? 0 时,即 ln( x ? 1) ? 1 ? 0, x ? e ?1 ? 1 , 由(1)可知 f ( x) 在 (?1, e ?1 ? 1) 上递增, 在 (e ?1 ? 1, 0) 递减,所以在区间(-1,0)上, 当 x ? e ?1 ? 1 时, f ( x) 取得极大值,即最大值为 f (e ?1 ? 1) ? ? w . 在区间 (0, ??) 上, f ( x) ? 0 .

? 函数 f ( x) 的取值范围为 (??, ?e) (0, ??) . 分
( 3)
1 1 2 x ?1 ? ( x ? 1) m ? 0, x ? (?1, 0) ,两边取自然对数得 x ? 1 ln 2 ? m ln( x ? 1)

32. (分离常数)

1 ? ln x . x 1 (Ⅰ)若函数在区间 ( a, a ? ) 其中a >0,上存在极值,求实数a的取值范围; 2 k (Ⅱ)如果当 x ? 1 时,不等式 f ( x) ? 恒成立,求实数k 的取值范围; x ?1 1 ? ln x ln x 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? , x >0,则 f ?( x) ? ? 2 , x x
已知函数 f ( x) ? 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x) 在(0,1)上单调递增;在 (1, ??) 上单调递减, 所以函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值. 因为函数 f ( x) 在区间 ( a, a ? ) (其中 a ? 0 )上存在极值,

1 2

?a ? 1, ? 所以 ? 1 a ? ? 1, ? ? 2

解得

1 ? a ? 1. 2

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导数压轴题专项
(Ⅱ)不等式 f ( x) ? 所以 g ?( x) ? ?

k ( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ? 1)(1 ? ln x) , 即为 ? k , 记 g ( x) ? , x ?1 x x

( x ? 1)(1 ? ln x) ?? x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) ? x ? ln x x2 x2 1 令 h( x) ? x ? ln x ,则 h?( x) ? 1 ? , x

x ? 1 , ? h?( x) ? 0, ? h( x) 在 ?1, ??) 上单调递增,
?? h( x) ?min ? h(1) ? 1 ? 0 ,从而 g ?( x) ? 0 ,
故 g ( x) 在 ?1, ??) 上也单调递增, 所以 ? g ( x) ?min ? g (1) ? 2 ,所以 k ? 2 .

33. (2010湖南,分离常数,构造函数) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b, c ? R ), 对任意的 x ? R, 恒有f?(x)≤ . ⑴证明:当 x ≥ 0时,f ( x) ≤ ( x ? c) 2 ; ⑵若对满足题设条件的任意b、 c, 不等式 f (c) ? f (b) ≤ M (c 2 ? b 2 ) 恒成立, 求M的最小值。

14

导数压轴题专项
34. (第3问不常见,有特点,由特殊到一般,先猜后证)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求函数f (x)的定义域 (Ⅱ)确定函数f (x)在定义域上的单调性,并证明你的结论. (Ⅲ)若x>0时 f ( x) ?

1 ? 1n( x ? 1) x

k 恒成立,求正整数k 的最大值. x ?1

解: (1)定义域 (?1,0) ? (0,??) (2) f ?( x) ?

?1 1 [ ? ln( x ? 1)] x2 x ?1

当x ? 0时, f ?( x) ? 0 单调递减。

当 x ? (?1,0) ,令

g ( x) ?

1 ? ln( x ? 1) x ?1 1 ? ln( x ? 1) x ?1

g ?( x) ? ?

1 1 x ? ? ?0 2 x ? 1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1)



g ( x) ?

g ?( x) ? ?

1 1 x ? ? ?0 2 ( x ? 1) x ? 1 ( x ? 1) 2

故 g ( x) 在(-1,0)上是减函数,即 g ( x) ? g (0) ? 1 ? 0 ,

1 1 [ ? ln( x ? 1)] x2 x ?1 在(-1,0)和(0,+ ? )上都是减函数 k (3)当x>0时, f ( x) ? 恒成立,令 x ? 1有k ? 2[1 ? ln 2] x ?1
故此时 f ?( x) ? ? 又k为正整数,∴k的最大值不大于3 下面证明当k=3时, f ( x) ? 当x>0时

k ( x ? 0) 恒成立 x ?1

( x ? 1) ln( x ? 1) ? 1 ? 2 x ? 0 恒成立

令 g ( x) ? ( x ? 1) ln( x ? 1) ? 1 ? 2 x ,则 g ?( x) ? ln( x ? 1) ? 1, 当x ? e ? 1时

g ?( x) ? ln( x ? 1) ? 1, 当x ? e ? 1时 , g ?( x) ? 0 ,当 0 ? x ? e ? 1时, g ?( x) ? 0
∴当 x ? e ? 1时, g ( x) 取得最小值 g (e ? 1) ? 3 ? e ? 0 当x>0时, ( x ? 1) ln( x ? 1) ? 1 ? 2 x ? 0 恒成立,因此正整数k的最大值为3

35. (恒成立,分离常数,涉及整数、较难的处理) 已知函数 f ( x) ?

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 0). x

(Ⅰ)试判断函数 f ( x)在(0,??) 上单调性并证明你的结论;

15

导数压轴题专项
(Ⅱ)若 f ( x) ?

k 恒成立,求整数k 的最大值; (较难的处理) x ?1

(Ⅲ)求证:(1+1× 2)(1+2× 3) …[1+n(n+1)]>e2n -3 .

1 x 1 1 [ ? 1 ? ln( x ? 1)] ? ? 2 [ ? ln( x ? 1)] 2 x x ?1 x x ?1 1 ? x ? 0,? x 2 ? 0, ? 0, ln( x ? 1) ? 0,? f ?( x) ? 0. ? f ( x)在(0, ?) 上递减. x ?1 k ( x ? 1)[1 ? ln( x ? 1)] 恒成立, 即h( x) ? ? k恒成立. (II) f ( x) ? x ?1 x x ? 1 ? ln( x ? 1) h ?( x) ? , 记g ( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1)( x ? 0). x x ? 0,? g ( x)在(0,??) 上单调递增, 则 g ?( x) ? x ?1
解: (I) f ?( x) ? 又 g (2) ? 1 ? ln 3 ? 0, g (3) ? 2 ? 2 ln 2 ? 0.

? g ( x) ? 0 存在唯一实根a,且满足 a ? (2,3), a ? 1 ? ln(a ? 1).
当 x ? a时,g ( x) ? 0, h ?( x) ? 0,当0 ? x ? a时,g ( x) ? 0, h ?( x) ? 0. ∴ h( x) min ? h(a ) ?

(a ? 1)[1 ? ln(a ? 1)] (a ? 1)a ? ? a ? 1 ? (3,4) a a

故正整数k 的最大值是3 . (Ⅲ)由(Ⅱ)知

1 ? ln( x ? 1) 3 ? ( x ? 0) x x ?1 3x 3 3 ?1 ? 2 ? ? 2? ∴ ln( x ? 1) ? x ?1 x ?1 x
令 x ? n(n ? 1)(n ? N *) ,则 ln[1 ? n(n ? 1)] ? 2 ? ∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]

3 n(n ? 1)

3 3 3 ) ? (2 ? ) ? ? ? [2 ? ] 1? 2 1? 3 n(n ? 1) 1 3 1 ? 2n ? 3[ ? ??? ] 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 1 3 ? 2n ? 3(1 ? ) ? 2n ? 3 ? ? 2n ? 3 n ?1 n ?1 ? (2 ?
∴(1+1×2) (1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n -3 36. (分离常数,双参,较难)已知函数 f ( x) ? ( x ? 6 x ? 3 x ? t )e , t ? R .
3 2 x

(1)若函数 y ? f ( x) 依次在 x ? a, x ? b, x ? c(a ? b ? c ) 处取到极值. ①求 t 的取值范围;②若 a ? c ? 2b 2 ,求 t 的值.
16

导数压轴题专项
(2) 若存在实数 t ? ? 0, 2? , 使对任意的 x ? ?1, m ? , 不等式 f ( x) ? x 恒成立. 求正整数 m 的最大值. 解: (1)① f ?( x) ? (3 x 2 ? 12 x ? 3)e x ? ( x 3 ? 6 x 2 ? 3 x ? t )e x ? ( x 3 ? 3 x 2 ? 9x ? t ? 3)e x

f ( x)有3个极值点,? x 3 ? 3 x 2 ? 9x ? t ? 3 ? 0有3个根a, b, c. 令g ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9x ? t ? 3, g '( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 1)( x ? 3)

g ( x)在(-?,-1),(3,+?)上递增, (-1,3)上递减.
?g(-1)>0 g ( x)有3个零点? ? ??8 ? t ? 24. ? g (3) ? 0


a, b, c是f ( x)的三个极值点

? x3 ? 3x 2 ? 9x ? t ? 3 ? (x-a)(x-b)(x-c)=x 3 ? (a ? b ? c) x 2 ? (ab ? bc ? ac) x ? abc

?a ? b ? c ? 3 3 ? ? ?ab ? ac ? bc ? ?9 ? b ? 1或 ? (舍 2 ?t ? 3 ? ?abc ?

?a ? 1 ? 2 3 ? ?t ? 8 . b ? (-1,3)) ? ?b ? 1 ? ?c ? 1 ? 2 3

(2)不等式 f ( x) ? x ,即 ( x 3 ? 6 x 2 ? 3 x ? t )e x ? x ,即 t ? xe ? x ? x 3 ? 6 x 2 ? 3x . 转化为存在实数 t ? ? 0, 2? ,使对任意 x ? ?1, m ? ,不等式 t ? xe ? x ? x 3 ? 6 x 2 ? 3x 恒成立,即 不等式 0 ? xe ? x ? x 3 ? 6 x 2 ? 3 x 在 x ? ?1, m ? 上恒成立。 即不等式 0 ? e ? x ? x 2 ? 6 x ? 3 在 x ? ?1, m ? 上恒成立。 设 ? ( x) ? e
?x

? x 2 ? 6 x ? 3 ,则 ? ?( x) ? ?e ? x ? 2 x ? 6 。
?x

设 r ( x) ? ? ?( x) ? ?e

? 2 x ? 6 ,则 r ?( x) ? e ? x ? 2 ,因为 1 ? x ? m ,有 r ?( x) ? 0 。

故 r ( x) 在区间 ?1, m ? 上是减函数。 又 r (1) ? 4 ? e
?1

? 0, r (2) ? 2 ? e ?2 ? 0, r (3) ? ?e ?3 ? 0

故存在 x0 ? (2,3) ,使得 r ( x0 ) ? ? ?( x0 ) ? 0 。 当 1 ? x ? x0 时,有 ? ?( x) ? 0 ,当 x ? x0 时,有 ? ?( x) ? 0 。 从而 y ? ? ( x) 在区间 ?1, x0 ? 上递增,在区间 ? x0 , ?? ? 上递减。

17

导数压轴题专项
又 ? (1) ? e ?1 ? 4 ? 0, ? (2) ? e ?2 ? 5>0, ? (3) ? e ?3 ? 6>0,

? (4) ? e?4 ? 5>0,? (5) ? e ?5 ? 2 ? 0,? (6) ? e ?6 ? 3 ? 0.
所以当 1 ? x ? 5 时,恒有 ? ( x) ? 0 ;当 x ? 6 时,恒有 ? ( x) ? 0 ; 故使命题成立的正整数 m 的最大值为5. 37. (2008湖南理22,分离常数,复合的超范围) 已知函数 f ( x) ? ln 2 (1 ? x) ? ⑴求函数 f ( x) 的单调区间; ⑵若不等式 (1 ? ) 值. (分离常数) 解: ⑴函数 f ( x) 的定义域是 (?1, ??) ,

x2 . 1? x

1 n

n?a

≤ e 对任意的 n ? N* 都成立(其中e是自然对数的底数) ,求a的最大

f ?( x) ?

2 ln(1 ? x) x 2 ? 2 x 2(1 ? x) ln(1 ? x) ? x 2 ? 2 x ? ? . 1? x (1 ? x) 2 (1 ? x) 2

设 g ( x) ? 2(1 ? x) ln(1 ? x) ? x 2 ? 2 x, 则 g ?( x) ? 2 ln(1 ? x) ? 2 x. 令 h( x) ? 2 ln(1 ? x) ? 2 x, 则 h?( x) ?

2 ?2 x ?2 ? . 1? x 1? x

当 ?1 ? x ? 0 时, h?( x) ? 0, h( x) 在(-1,0)上为增函数, 当x >0时, h?( x) ? 0, h( x) 在 (0, ??) 上为减函数. 所以h(x)在x=0处取得极大值,而h(0)=0, 所以 g ?( x) ? 0( x ? 0) , 函数g(x)在 (?1, ??) 上为减函数. 于是当 ?1 ? x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 0, 当x>0时, g ( x) ? g (0) ? 0. 所以,当 ?1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 在(-1,0)上为增函数. 当x>0时, f ?( x) ? 0, f ( x) 在 (0, ??) 上为减函数. 故函数 f ( x) 的单调递增区间为(-1,0) ,单调递减区间为 (0, ??) . ⑵不等式 (1 ? )

1 n

n?a

1 ? e 等价于不等式 (n ? a ) ln(1 ? ) ? 1. n
18

导数压轴题专项
1 1 1 a≤ ? n. 1 由 1 ? ? 1 知, ln(1 ? ) >0,∴上式变形得 ln(1 ? ) n n n
设x?

1 1 1 ? , x ? ? 0,1? , 则 ,则 G ( x) ? ln(1 ? x) x n

G?( x) ? ?

1 1 (1 ? x) ln 2 (1 ? x) ? x 2 ? ? 2 . (1 ? x) ln 2 (1 ? x) x 2 x (1 ? x) ln 2 (1 ? x)
x2 ? 0, ( f ( x) ≤ f (0) ? 0 )即 (1 ? x) ln 2 (1 ? x) ? x 2 ? 0. 1? x

由⑴结论知, ln 2 (1 ? x) ?

所以 G?( x) ? 0, x ? ? 0,1? , 于是G (x )在 ? 0,1? 上为减函数. 故函数 G ( x) 在 ? 0,1? 上的最小值为 G (1) ? 所以a的最大值为

1 ? 1. ln 2

1 ? 1. ln 2

38. (变形,分离常数) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x (a为实常数). (1)若 a ? ?2 ,求证:函数 f ( x) 在(1,+∞)上是增函数; (2)求函数 f ( x) 在[1, e]上的最小值及相应的 x 值; (3)若存在 x ? [1, e] ,使得 f ( x) ? (a ? 2) x 成立,求实数a的取值范围. 解:⑴当 a ? ?2 时, f ( x) ? x 2 ? 2 ln x ,当 x ? (1,??) , f ?( x) ? 故函数 f ( x) 在 (1,??) 上是增函数. ⑵ f ?( x) ?

2( x 2 ? 1) ?0, x

2x 2 ? a ( x ? 0) ,当 x ? [1, e] , 2 x 2 ? a ? [a ? 2, a ? 2e 2 ] . x

若 a ? ?2 , f ?( x) 在 [1, e] 上非负(仅当 a ? ?2 ,x=1时, f ?( x) ? 0 ) ,故函数 f ( x) 在 [1, e] 上 是增函数,此时 [ f ( x)] min ? f (1) ? 1 . 若 ? 2e 2 ? a ? ?2 ,当 x ?

?a ?a 时, f ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 2 2

是减函数;当

?a ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 是增函数. 2

19

导数压轴题专项
故 [ f ( x)] min ? f (

a a a ?a ) ? ln(? ) ? . 2 2 2 2

若 a ? ?2e 2 , f ?( x) 在 [1, e] 上非正(仅当 a ? ?2e 2 ,x=e时, f ?( x) ? 0 ) ,故函数 f ( x) 在

[1, e] 上是减函数,此时 [ f ( x)] min ? f (e) ? a ? e 2 .
⑶不等式 f ( x) ? (a ? 2) x ,可化为 a ( x ? ln x) ? x 2 ? 2 x . ∵ x ? [1, e] , ∴ ln x ? 1 ? x 且等号不能同时取,所以 ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0 , 因而 a ?

x 2 ? 2 x x ? [1, e] ( ) x ? ln x

令 g ( x) ?

( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x) x 2 ? 2 x x ? [1, e] ( ) ,又 g ?( x) ? , ( x ? ln x) 2 x ? ln x

当 x ? [1, e] 时, x ? 1 ? 0, ln x ? 1 , x ? 2 ? 2 ln x ? 0 , 从而 g ?( x) ? 0 (仅当x=1时取等号) ,所以 g ( x) 在 [1, e] 上为增函数, 故 g ( x) 的最小值为 g (1) ? ?1 ,所以a的取值范围是 [?1,??) . 39. (分离常数,转换变量,有技巧) 设函数 f ( x) ? a ln x ? bx 2 .

1 相切: 2 1 ①求实数 a, b 的值;②求函数 f ( x) 在 [ , e] 上的最大值; e 3 2 ⑵当 b ? 0 时,若不等式 f ( x) ≥ m ? x 对所有的 a ? [0, ], x ? [1, e ] 都成立,求实数 m 的 2
⑴若函数 f ( x) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? 取值范围. 解: (1)① f '( x) ?

a ? 2bx 。 x
.

?a ? 1 ? f '(1) ? a ? 2b ? 0 1 ? ? ∵函数 f ( x) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? 相切? ? 1 , 解得 ? 1 f (1) ? ?b ? ? b? 2 ? ? ? 2 ? 2
② f ( x) ? ln x ?

1 2 1 1 ? x2 x , f '( x) ? ? x ? 2 x x



1 1 ?1 ? ? x ? e 时,令 f '( x) ? 0 得 ? x ? 1 ;令 f '( x) ? 0 ,得1 ? x ? e ,? f ( x)在? ,1? 上 e e ?e ? 1 . 2

单调递增,在[1,e]上单调递减,? f ( x) max ? f (1) ? ?

20

导数压轴题专项
2 (2)当b=0时, f ( x) ? a ln x 若不等式 f ( x) ? m ? x 对所有的 a ? ? 0, ? , x ? 1, e ? ? 都成 2

? 3? ? ?

?

2 立,则 a ln x ? m ? x 对所有的 a ? ? 0, ? , x ? 1, e ? ? 都成立, 2

? 3? ? ?

?

即 m ? a ln x ? x, 对所有的 a ? [0, ], x ? 1, e

3 2

? ? 都成立,
2

令 h(a ) ? a ln x ? x, 则h(a ) 为一次函数, m ? h(a ) min

.

3 x ? ?1, e 2 ? ? ,? ln x ? 0, ? h(a )在a ? [0, 2 ] 上单调递增,? h(a ) min ? h(0) ? ? x ,
? m ? ? x 对所有的 x ? ?1, e 2 ? ? 都成立.
2 1 ? x ? e 2 ,??e 2 ? ? x ? ?1, ? m ? (? x) min ? ?e ..

2 (注:也可令 h( x) ? a ln x ? x, 则m ? h( x) 所有的 x ? 1, e ? ? 都成立,分类讨论得

?

3 m ? h( x) min ? 2a ? e 2 对所有的 a ? [0, ] 都成立,? m ? (2a ? e 2 ) min ? ?e 2 ,请根据过程 2
酌情给分)

恒成立之讨论字母范围
40. (2007全国I,利用均值,不常见) 设函数 f ( x) ? e x ? e ? x . ⑴证明: f ( x) 的导数 f ?( x) ≥ 2 ; ⑵若对所有 x ≥ 0 都有 f ( x) ≥ ax ,求 a 的取值范围.
x ?x 解:⑴ f ( x) 的导数 f ?( x) ? e ? e .由于 e x ? e-x ≥ 2 e x e ? x ? 2 ,故 f ?( x) ≥ 2 .

(当且仅当 x ? 0 时,等号成立) .
x ?x ⑵令 g ( x) ? f ( x) ? ax ,则 g ?( x) ? f ?( x) ? a ? e ? e ? a ,

①若 a ≤ 2 ,当 x ? 0 时, g ?( x) ? e ? e
x

?x

? a ? 2? a≥0 ,

? ∞) 上为增函数, 故 g ( x) 在 (0,
所以, x ≥ 0 时, g ( x) ≥ g (0) ,即 f ( x) ≥ ax .

21

导数压轴题专项
②若 a ? 2 ,方程 g ?( x) ? 0 的正根为 x1 ? ln

a ? a2 ? 4 , 2

此时,若 x ? (0,x1 ) ,则 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在该区间为减函数. 所以, x ? (0,x1 ) 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 f ( x) ? ax ,与题设 f ( x) ≥ ax 相矛盾.

2? . 综上,满足条件的 a 的取值范围是 ? ?∞,
41. 设函数 f (x)=e +sinx,g(x)=ax,F (x)=f (x)-g(x). (Ⅰ)若 x=0 是 F(x)的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)当 a=1 时, 设 P (x1,f (x1)), Q(x2, g(x 2 ))(x1 >0, x2>0), 且 PQ//x 轴, 求 P 、 Q 两点间的最短距离; (Ⅲ):若 x≥0 时, 函数 y=F (x)的图象恒在 y=F(-x)的图象上方, 求实数 a 的取值范围. 解:(Ⅰ)F (x)= ex+sinx-ax, F '( x) ? e x ? cos x ? a . 因为 x=0 是 F (x)的极值点, 所以 F '(0) ? 1 ? 1 ? a ? 0, a ? 2 . 又当 a=2 时, 若 x<0, F '( x) ? e x ? cos x ? a ? 0 ;若 x>0, F '( x) ? e x ? cos x ? a ? 0 . ∴x=0 是 F(x)的极小值点, ∴a=2 符合题意.
x

(Ⅱ) ∵a=1, 且 PQ//x 轴, 由 f (x1 )=g(x2)得: x2 ? ex1 ? sin x1 , 所以 x2 ? x1 ? ex1 ? sin x1 ? x1 . 令 h( x) ? e x ? sin x ? x, h '( x) ? e x ? cos x ?1 ? 0 当 x>0 时恒成立. ∴x∈[0,+∞ ) 时, h(x)的最小值为 h(0)=1. ∴|PQ|mi n =1. (Ⅲ)令 ? ( x) ? F ( x) ? F (? x) ? e x ? e? x ? 2sin x ? 2ax. 则 ? '( x) ? ex ? e? x ? 2cos x ? 2a. S ( x) ? ? ''( x) ? e x ? e? x ? 2sin x . 因为 S '( x) ? ex ? e? x ? 2cos x ? 0 当 x≥0 时恒成立, 所以函数 S(x)在[0, ??) 上单调递增, ∴S(x)≥S(0)=0 当 x∈[0,+∞ ) 时恒成立; 因此函数 ? '( x ) 在 [0, ??) 上单调递增, ? '( x ) ? ? '(0) ? 4? 2 a 当 x∈[0,+∞ ) 时恒成立. 当 a≤2 时, ? '( x) ? 0 , ? ( x) 在[0,+∞ ) 单调递增, 即? ( x) ? ? (0) ? 0 . 故 a≤2 时 F(x)≥F(-x)恒成立.

22

导数压轴题专项
当a ? 2时,? '( x) ? 0, 又 ? '( x)在?0, ?? ? 单调递增, ?总存在x0 ? (0, ??), 使得在区间?0,x0 ? 上? '( x) ? 0.导致? ( x)在?0, x0 ? 递减,而? (0) ? 0, ?当x ? (0, x0 )时,? ( x) ? 0,这与F ( x) ? F (? x) ? 0对x ? ?0, ?? ? 恒成立不符, ? a ? 2不合题意.综上a取值范围是 ? -?,2?.???14分

42. (用到二阶导数,二次) 设函数 f ( x) ? e ?
x

k 2 x ? x. 2

⑴若 k ? 0 ,求 f ( x) 的最小值; ⑵若当 x ? 0 时 f ( x) ? 1 ,求实数 k 的取值范围. 解: (1) k ? 0 时, f ( x) ? e x ? x , f '( x) ? e x ? 1 . 当 x ? (??, 0) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? 0 . 所以 f ( x) 在 (??, 0) 上单调减小,在 (0, ??) 上单调增加 故 f ( x) 的最小值为 f (0) ? 1 (2) f '( x) ? e x ? kx ? 1 , f ??( x) ? e x ? k 当 k ? 1 时, f ??( x) ? 0 ( x ? 0) ,所以 f ?( x) 在 ? 0, ?? ? 上递增, 而 f ?(0) ? 0 ,所以 f '( x) ? 0 ( x ? 0) ,所以 f ( x) 在 ? 0, ?? ? 上递增, 而 f (0) ? 1 ,于是当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 . 当 k ? 1 时,由 f ??( x) ? 0 得 x ? ln k 当 x ? (0, ln k ) 时, f ??( x) ? 0 ,所以 f ?( x) 在 (0, ln k ) 上递减, 而 f ?(0) ? 0 ,于是当 x ? (0, ln k ) 时, f '( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0, ln k ) 上递减, 而 f (0) ? 1 ,所以当 x ? (0, ln k ) 时, f ( x) ? 1 . 综上得 k 的取值范围为 (??,1] . 43. (第 3 问设计很好,2 问是单独的,可以拿掉)已知函数 f ( x) ? b( x ? 1) ln x ? x ? 1 ,斜 率为 1 的直线与 f ( x) 相切于 (1, 0) 点.
23

导数压轴题专项
(Ⅰ)求 h( x) ? f ( x) ? x ln x 的单调区间; (Ⅱ)当实数 0 ? a ? 1 时,讨论 g ( x) ? f ( x) ? (a ? x) ln x ? (Ⅲ)证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0 . 解: (Ⅰ)由题意知: f ?( x) ? b(ln x ?

1 2 ax 的极值点。 2

f ?(1) ? 2b ? 1 ? 1, b ? 1 ………………………………2 分 h( x) ? f ( x) ? x ln x ? ln x ? x ? 1 1 h?( x ) ? ? 1 x 1 1 h?( x) ? ? 1 ? 0 解得: 0 ? x ? 1 ; h?( x) ? ? 1 ? 0 解得: x ? 1 x x 所以 h( x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减………………4 分 1 2 1 2 (Ⅱ) g ( x) ? f ( x) ? (a ? x) ln x ? ax = (1 ? a ) ln x ? ax ? x ? 1 2 2 1 ? ? a ? x ? ( ? 1) ? ( x ? 1) 2 1? a ax ? x ? 1 ? a ? ax ? (1 ? a ) ? ( x ? 1) a ? ? ? ? ? g / ( x) ? ? ax ? 1 ? x x x x 1 g ?( x) ? 0 得: x1 ? ? 1, x 2 ? 1 . a 1 1 1 0 若 0 ? ? 1 ? 1, a ? 0 即 ? a ? 1 , 0 ? x1 ? x2 a 2 x (0, x1 ) x1 ( x1 , x2 ) x2 ( x2 ,??) / 0 0 + + f ( x) ? 1 此时 g ( x) 的极小值点为 x ? 1 ,极大值点 x ? ? 1 ………………………………7 分 a 1 1 2 0 若 ? 1 ? 1, a ? 0 即 a ? ,x1 ? x2 ? 1 , 则 g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0,??) 上单调递增, 2 a
极大值 极小值 无极值点.

x ?1 ) ?1 x

f ( x)

?

?

1 1 ? 1 ? 1, a ? 0 即 0 ? a ? , x1 ? x2 ? 1 , a 2 x (0, x2 ) x2 ( x2 , x1 ) x1 / 0 0 + f ( x) 极大值 极小值 f ( x) ? ? 1 此时 g ( x) 的极大值点为 x ? 1 ,极小值点 x ? ? 1 . a
30 若
综上述:

( x1 ,??)
+

?

1 1 ? a ? 1 时, g ( x) 的极小值点为 x ? 1 ,极大值点 x ? ? 1 ; 2 a 1 当 a ? 时, g ( x) 无极值点; 2

24

导数压轴题专项
当0 ? a ?

1 1 时, g ( x) 的极大值点为 x ? 1 ,极小值点 x ? ? 1 . 2 a

44. (2011全国I文21,恒成立,一次,提出一部分再处理的技巧) 设函数 f ( x) ? x e ? 1 ? ax .
x 2

?

?

⑴若a =

1 ,求 f ( x) 的单调区间; 2

⑵若当 x ≥0时 f ( x) ≥0,求a的取值范围. 解:⑴ a ?

1 1 2 x 时, f ( x) ? x(e ? 1) ? x , f '( x) ? e x ? 1 ? xe x ? x ? (e x ? 1)( x ? 1) . 2 2

当 x ? ? ??, ?1? 时 f '( x) ? ? ;当 x ? ? ?1, 0 ? 时, f '( x) ? 0 ; 当 x ? ? 0, ?? ? 时, f '( x) ? 0 . 故 f ( x) 在 ? ??, ?1? , ? 0, ?? ? 单调增加,在(-1,0)单调减少. ⑵ f ( x) ? x(e ? 1 ? ax) . 令 g ( x) ? e ? 1 ? ax ,则g?(x)?e?a.
x x x

①若 a ? 1 ,则当 x ? ? 0, ?? ? 时, g '( x) ? ? , g ( x) 为减函数,而 g (0) ? 0 , 从而当x≥0时 g ( x) ≥0,即 f ( x) ≥0,符合题意. ②若 a ? ? ,则当 x ? ? 0, ln a ? 时, g '( x) ? ? , g ( x) 为减函数,而 g (0) ? 0 , 从而当 x ? ? 0, ln a ? 时 g ( x) <0,即 f ( x) <0,不合题意. 综合得 a 的取值范围为 ? ??,1?

45. (2011全国新理21,恒成立,反比例,提出公因式再处理的技巧,本题的创新之处是将 一般的过定点(0,0)变为过定点(1,0) ,如果第2问范围变为 x ? 1 则更间单)
25

导数压轴题专项
已知函数 f ( x) ?

a ln x b ? 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 . x ?1 x ln x k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x

⑴求 a 、 b 的值; ⑵如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x) ?

解:⑴

f '( x) ?

a(

x ?1 ? ln x) b x ? 2, 2 ( x ? 1) x
1 a 1 ,即 b ? 1 , ? b ? ? ,解得 a ? 1 , b ? 1 . 2 2 2

依意意 f (1) ? 0, 且 f ?(1) ? ? ⑵由⑴知 f ( x) ?

ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) ln x 1 ? )? (2ln x ? ). ? ,所以 f ( x) ? ( x ?1 x 1 ? x2 x x ?1 x

设 h( x) ? 2 ln x ? ( x ? 0) ,则 h '( x) ?

(k?1)x2 x

(k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x . x2

(注意h(x)恒过点(1,0),由上面求导的表达式发现讨论点0和1) ① 当 k ? 0 ,由 h '( x) ?

k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 , (变形难想,法二) x2

当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 . 而 h(1) ? 0 ,故

1 h( x ) ? 0 ; 1 ? x2 1 h( x) >0, 当x ? (1,+ ? )时, h( x) <0,可得 1? x2 ln x k ln x k 从而当x>0, 且x ? 1时, f ( x) -( + )>0,即 f ( x) > + . x ?1 x x ?1 x k 法二: h?( x) 的分子 (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x ≤ <0,∴ h '( x) ? 0 . 1? k 1 ②当0< k <1,由于当x ? (1, )时,(k -1)(x2 +1)+2x >0, 故 h?( x) >0, 而 1? k 1 1 h(1) =0,故当x ? (1, h( x) <0, 不合题意. )时, h( x) >0,可得 1? k 1? x2
当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得 ③当k ≥1,此时 h?( x) >0,则x ? (1,+ ? )时, h( x) 递增, h( x) ? h(1) ? 0 ,∴

f ( x) ?

1 h( x) <0, 不合题意. 1 ? x2 综上,k 的取值范围为(- ? ,0]

46. (恒成立,讨论, 较容易,但说明原理)已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? a ln x . (1)求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (2)若 f ( x) ? 0 对 x ? [1,??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围.
26

导数压轴题专项
解: (1) f ' ( x) ? 1 ?

a x?a ( x ? 0) . ? x x
x?a ? 0, 得x ? a , x

当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 ,在 (0,??) 上增, 无极值;当 a ? 0 时, 由f ' ( x) ?

f ( x) 在 (0, a ) 上减,在 (a,??) 上增, ∴ f ( x) 有极小值 f (a ) ? (a ? 1) ? a ln a ,无极大值.

a x?a ? x x f ' ( x ) ? 0 当 a ? 1 时, 在 [1,??) 上恒成立,则 f ( x) 是单调递增的, 则只需 f ( x) ? f (1) ? 0 恒成立,所以 a ? 1 . 当 a ? 1 时, f ( x) 在上 (1, a ) 减,在 (a,??) 上单调递增,所以当 x ? (1, a ) 时, f ( x) ? f (1) ? 0 这与 f ( x) ? 0 恒成立矛盾,故不成立. 综上: a ? 1 .
(2) f ' ( x) ? 1 ? 47. (2010新课程理21,恒成立,讨论,二次,用到结论 e x ≥ 1 ? x ) 设函数 f ( x) ? e x ? 1 ? x ? ax 2 . ⑴若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; ⑵若当 x ≥ 0 时 f ( x) ≥ 0 ,求 a 的取值范围. 解:命题意图:本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围 问题,考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力. ⑴ a ? 0 时, f ( x) ? e x ? 1 ? x , f '( x) ? e x ? 1 . 当 x ? (??, 0) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? 0 . 故 f ( x) 在 (??, 0) 单调减少, 在 (0, ??) 单调增加. ⑵①当 a ≤

1 时, f ?( x) ? e x ? 1 ? 2ax , 2

x 由⑴结论知 f ( x) ? e ? 1 ? x ≥ f (0) ? 0 ,则 e x ≥ 1 ? x ,

故 f '( x) ? x ? 2ax ? (1 ? 2a ) x ,从而当 1 ? 2a ? 0 ,即 a ? 而 f (0) ? 0 ,于是当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,符合题意. ②a ?

1 时, f '( x) ? 0 ( x ? 0) , 2

1 x ?x 时,由 e ? 1 ? x( x ? 0) 可得 e ? 1 ? x( x ? 0) . (太难想,法二) 2

f '( x) ? e x ? 1 ? 2a(e ? x ? 1) ? e ? x (e x ? 1)(e x ? 2a) ,
故当 x ? (0, ln(2a )) 时, f '( x) ? 0 ,而 f (0) ? 0 ,于是当 x ? (0, ln(2a )) 时, f ( x) ? 0 .

27

导数压轴题专项
综合得 a 的取值范围为 ( ??, ] . 法二:设 g ( x) ? f ?( x) ? e x ? 1 ? 2ax , 则 g ?( x) ? e x ? 2a , 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ln(2a ) ? 0 .

1 2

2a)] g ?( x) ? 0 , g ( x) 在此区间上是增函数,∴ g ( x) ≤ g (0) ? 0 , 当x?[0,ln(,
∴ f ( x) 在此区间上递增,∴ f (ln(2a )) ≤ f (0) ? 0 ,不合题意.

48. (恒成立,2010全国卷2理数,利用⑴结论,较难的变形讨论)
?x 设函数 f ? x ? ? 1 ? e .

⑴证明:当 x>-1 时, f ? x ? ? ⑵设当 x ? 0 时, f ? x ? ?

x ; x ?1

x ,求a的取值范围. ax ? 1

解: 本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式, 考查考生综合运用知识的能力及分类 讨论的思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.

28

导数压轴题专项

【点评】导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基 础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力 度不会减弱。作为压轴题,主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题,利用导数证明不等 式等,常伴随对参数的讨论,这也是难点之所在. 49. 已知函数 f ( x ) ?

kx ? 1 ,且函数 f ? x ? 是 ? ?1, ?? ? 上的增函数。 x ?1
kx?1 x ?1

(1)求 k 的取值范围; (2)若对任意的 x ? 0 ,都有 e 整数 k 的值。 解析: ( 1 )设 f ?( x) ? ,求满足条件的最大 ? x ? 1 (e 是自然对数的底)

k ?1 ,所以 g? ? x ? ? 0 ,得到 k ? ?1 .所以 k 的取值范围为 ( x ? 1) 2

(? 1, ?? )………2 分
( 2 )令 g ( x) ? e
kx?1 x ?1

,因为 f ? x ? 是 ? ?1, ?? ? 上的增函数,且 e ? 1 ,所以 g ? x ? 是

? ?1, ??? 上的增函数。…………………………4 分
由条件得到 g (1) ? 2 ? e
2 x ?1

k ?1 2

,猜测最大整 ? 2 ? k ? 2 ln 2 ? 1 ? 3 (两边取自然对数)

数 k ? 2 ,现在证明 e x ?1 ? x ? 1 对任意 x ? 0 恒成立。…………6 分

e x ?1 ? x ? 1 等价于 2 ?
设 h ? x ? ? ln ? x ? 1? ?

2 x ?1

3 3 ? ln ? x ? 1? ? ln ? x ? 1? ? ? 2 ,………………8 分 x ?1 x ?1

3 1 3 x?2 , ? h? ? x ? ? ? ? 2 2 x ?1 x ? 1 ? x ? 1? ? x ? 1?

当 x ? ? 0,2? 时, h? ? x ? ? 0 ,当 x ? ? 0, ??? 时, h? ? x ? ? 0 ,
29

导数压轴题专项
所以对任意的 x ? 0 都有 h ? x ? ? h ? 2? ? ln3 ? 1 ? 2 ,即 e x ?1 ? x ? 1 对任意 x ? 0 恒成 立, 所以整数 k 的最大值为 2.……………………………………………………14 分 50. (2008山东卷21) 已知函数 f ( x) ?
2 x ?1

1 ? a ln( x ? 1), 其中n∈N*, a为常数. (1 ? x) n

⑴当n=2时,求函数f (x)的极值; ⑵当a=1时,证明:对任意的正整数n, 当x≥2时,有f (x)≤x-1. 解:⑴由已知得函数f (x)的定义域为{x|x>1}, 当n=2时, f ( x) ?

1 2 ? a(1 ? x) 2 ? ? a ln( x ? 1), f ( x ) ? . 所以 (1 ? x) 2 (1 ? x)3

①当a>0时,由f (x)=0得 x1 ? 1 ?

2 2 >1, x2 ? 1 ? <1, a a

此时 f ?( x) =

?a ( x ? x1 )( x ? x2 ) . (1 ? x)3

当x∈(1,x1 )时, f ?( x) <0, f(x)单调递减; 当x∈(x1 +∞)时, f ?( x) >0, f (x)单调递增. ②当a≤0时, f ?( x) <0恒成立,所以f (x)无极值. 综上所述,n=2时, 当a>0时,f (x)在 x ? 1 ? 当a≤0时,f (x)无极值. ⑵证法一:因为a=1, 所以 f ( x) ?

2 2 a 2 处取得极小值,极小值为 f (1 ? ) ? (1 ? ln ). a a 2 a

1 ? ln( x ? 1). (1 ? x) n 1 ? ln( x ? 1), (1 ? x) n

①当n为偶数时,令 g ( x) ? x ? 1 ?

则 g ?( x) )=1+

n 1 x?2 n ? ? ? >0(x≥2). n ?1 ( x ? 1) x ? 1 x ? 1 ( x ? 1) n ?1

所以当x∈[2,+∞]时,g(x)单调递增, 又g(2)=0,因此 g ( x) ? x ? 1 ?

1 ? ln( x ? 1) ≥g(2)=0恒成立, ( x ? 1) n
30

导数压轴题专项
所以f (x)≤x-1成立. ②当n为奇数时,要证 f ( x) ≤x-1, 由于 令h(x)=x-1-ln(x-1), 则 h?( x) =1-

1 <0,所以只需证ln(x-1) ≤x-1, (1 ? x) n
1 x?2 ? ≥0(x≥2), x ?1 x ?1

所以, 当x∈[2,+∞]时, h( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1) 单调递增,又h(2)=1>0, 所以当x≥2时,恒有h(x)>0, 即ln(x-1)<x-1命题成立. 综上所述,结论成立. 证法二:当a=1时, f ( x) ?

1 ? ln( x ? 1). (1 ? x) n 1 ≤1, (1 ? x) n

当x≤2,时,对任意的正整数n,恒有 故只需证明1+ln(x-1) ≤x-1.

令 h( x) ? x ? 1 ? (1 ? ln( x ? 1)) ? x ? 2 ? ln( x ? 1), x ? ? 2, ?? ? 则 h?( x) ? 1 ?

1 x?2 ? , x ?1 x ?1

当x≥2时, h?( x) ≥0,故h(x)在 ? 2, ?? ? 上单调递增, 因此,当x≥2时,h(x)≥h(2)=0,即1+ln(x-1) ≤x-1成立. 故当x≥2时,有 即f (x)≤x-1.

1 ? ln( x ? 1) ≤x-1. (1 ? x) n

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