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第三章 直线与方程教师用


※清北教育※内部资料

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主编:崔庆超

第三章 直线与方程 3.1.1 直线的倾斜角与斜率 ★★★知识要点 一.直线的倾斜角??? (1)定义:当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间 所成的角 ? 叫做直线 l 的倾斜角. (2)直线的倾斜角的取值及范围:当直

线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0? , 则直线的倾斜角的取值范围是 0? ? ? ? 180? . 【例题 1】已知直线 l 的倾斜角为 ? ?15? ,则下列结论正确的是(C )

A. 0? ? ? ? 180?

B. 15? ? ? ? 1 8 0 ?

C. 15? ? ? ? 1 9 5 ?

D. 15? ? ? ? 1 8 0 ?

二.直线的斜率??? (1)定义:我们把一条直线的倾斜角 ? 的正切值叫做这条直线的斜率.通常用 k 表示,即 k ? tan? ,倾斜角为 90? 的直线没有斜率. (2)对倾斜角和斜率关系的理解: ①当倾斜角是 90? 时, 直线的斜率不存在.但并不是该直线不存在, 此时, 该直线垂直于 x 轴. ②所以的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率. 【例题 2】下列说法正确的是( D ) A. 一条直线和 x 轴正方向所成的角叫做这条直线的倾斜角 B. 直线的倾斜角 ? 的取值范围是第一或第二象限角 C. 和 x 轴平行的直线它的倾斜角是 180 ? D. 每一条直线都存在倾斜角,但不是每条直线都存在斜率 【例题 3】下列说法正确的是( D ) A. 直线的倾斜角为 ? ,则此直线的斜率为 tan? B. 直线的斜率为 tan? ,则直线的倾斜角 ? C. 若直线的倾斜角为 ? ,则 sin ? ? 0 D. 任一直线都有倾斜角,但它不一定有斜率 三.直线斜率的表示方法:两点式

P 已知两点 P ( x1 , y1 ) , 2 ( x2 , y2 ) , 如果 x1 ? x2 , P P2 的斜率为 k ? 则 1 1
则其斜率不存在. 【例题 4】经过下列两点的斜率是否存在?如果存在,求其斜率 (1) (1,?1), (?3,2) (2) (1,?2), (5,?2) (3) (3,4), (?2,?5)

y2 ? y1 , 如果 x1 ? x2 , x2 ? x1

(4) (3,0), (3,2)

【例题 5】过点 P(?2, m) 和 Q(m,4) 的直线的斜率为 1,则 m 等于_________________1 【例题 6】求经过两点 P(2,1) 和 Q(m,2) 的直线的斜率的取值范围?

★★★基础练习??? 一、选择题 1、已知直线 l 的斜率的绝对值等于 3 ,则直线的倾斜角为( C )

A. 60?

B. 30?

C. 60? 或 120 ?

D. 30? 或 150 ?

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2、已知直线 l1 的斜率为 k1 ,倾斜角是 ? 1 ,直线 l 2 的斜率为 k 2 ,倾斜角是 ? 2 ,则(

D)

A. k1 ? k2 ? ?1 ? ? 2 C. ?1 ? ? 2 ? k1 ? k2
A. 0? B. 45?

B. k1 ? k2 ? ?1 ? ? 2 D. ?1 ? ? 2 ? k1 ? k2
C)

3、若直线 x ? 5 ? 0 的倾斜角为 ? ,则 ? 等于(

C. 90?
A)

D. 不存在

4、直线 l 经过原点和点 (?1,1) ,则它的倾斜角是(

A.

3? 4

B.

5? 4

C.

? 5? 或 4 4

D. ?

?
4

5、 直线 l1 过点 P(3 ? 3 ,6 ? 3 ) ,Q(3 ? 2 3 ,3 ? 3 ) , 直线 l 2 的倾斜角与 l1 的倾斜角互补, 则直线 l 2 的倾斜角是( D )

A. 150 ?

B. 120 ?

C. 60?

D. 30?
C)

6、若三点 P(2,3) , Q(3, a) , R(4, b) 共线,那么下列成立的是(

A. a ? 4, b ? 5

B. b ? a ? 1

C. 2a ?b ? 3

D. a ? 2b ? 3

7、经过两点 (?3,1) , (1,0) 的直线的倾斜角 ? 的正切值为( C)

A. ? 4
二、填空题

B. 4

C. ?

1 4

D.

1 4

l1

l2

1、如图,直线 l1 , l 2 , l 3 的斜率分别是 k1 , k 2 , k3 ,则_______________ 2、直线 l 过 (m, n) , (n, m) 两点,其中 m ? n , mn ? 0 ,则直线 l 的 倾斜角为_______________ 135 ? 3、若直线 l 经过第二、四象限,则直线 l 的倾斜角 ? 的取值范围是_______ ?90?,180 ?? 4、在 y 轴上有一点 m ,它与点 (? 3 ,1) 连成的直线的倾斜角为 120 ? , 则点 m 的坐标是____________________ (0,?2) 5、 直线 l 的斜率 k ? 1 ? m , 则直线 l 的倾斜角的范围是_____________ ?0?,45?? ? ?90?,180 ??
2

l3

三、解答题 1、已知 A(2,?3) , B(?3,?2) 两点,直线 l 过定点 P(1,1) 且与线段 AB 相交,求直线 l 的斜

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率 k 的取值范围? k ?

3 或 k ? ?4 4
2

2、若直线 l 的斜率为函数 f (a) ? a ? 4a ? 3 的最小值,求直线 l 的倾斜角和斜率?

3? ,-1 4

3、已知 A(4,4) , B(2,4) 若 PA 的斜率是 PB 斜率的 2 倍,求 P 点坐标? (0,4) 或 (6,0) 4、已知 A(a,2) , B(3,7) , C (?2,?9a) 三点在同一直线上,求实数 a 的值?

2 或2 9

★★★能力提升??? 一、选择题 1、直线 l 过原点 (0,0) ,且不过第三象限,那么倾斜角 ? 的取值范围是( C)

A. ?0?,90 ??

B. ?90?,180 ??

C. ?90?,180 ??? ?0??

D. ?90?,135 ??

2、设直线 l 过原点,其倾斜角 ? ,将直线 l 绕原点沿逆时针方向旋转 45? ,得到直线 l1 ,则

l1 的倾斜角为(

D)

A. ? ? 45? B. ? ?135 ? C. 135 ? ? ? D. 当 0? ? ? ? 135? 时为 ? ? 45? ,当135? ? ? ? 180? 为 ? ?135 ?
3、直线 l 过点 A(1,2) ,且不过第四象限,那么直线 l 的倾斜角的取值范围是( A)

A. ?0,2?

B. ?0,1?

? 1? C. ?0, ? ? 2?

? 1? D. ? 0, ? ? 2?
B)

4、顺次连接 A(?4,3) , B(2,5) , C (6,3) , D(?3,0) 四个点,所构成的图形是(

A. 平行四边形

B. 直角梯形

C. 等腰梯形

D. 以上都不对
3 OQ ,则直线 l 的斜

5、直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴正半轴分别交于 P, Q 两点,若 OP ? 率为( B)

A. ? 3

B. ?

3 3

C. ?

1 2

D.

1 2
A)

6、已知 l1 , l 2 关于 y 轴对称,则它们的倾斜角 ? 1 与 ? 2 之间的关系是(

A. ?1 ? ? 2 ? ?
二、填空题

B. ?1 ? ? 2 ?

?
2

C . ?1 ? ? 2 ? ?

D. ?1 ? ? 2 ?

?
2

1、已知直线 l1 的倾斜角为 ? (? ? 0) ,直线 l 2 与 l1 关于 x 轴对称,则直线 l 2 的倾斜角为

180 ? ? ? ______
2、若直角三角形 ABC 三边长分别为 a, b, c ,则三点 (a ? b, c) , (b ? c, a) , (a ? c, b) 满足

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的关系是______________________三点共线 3、已知实数 x 、 y 满足 x ? 2 y ? 6 ,当 1 ? x ? 3 时, ______ ? ,?? ? ? ? ? ?,? ? 2 2

y ?1 的取值范围为 x?2

?1 ?

? ? ? ?

3? ?

三、解答题 1、已知直线 l 上的两点 A(?2,3) , B(3,?2) ,求其斜率,若 C (a, b) 在直线 l 上,求 a, b 间 应满足的关系,并求当 a ?

1 时, b 的值? 2

1 2

2、已知直线的倾斜角为 ? , sin ? ? 点,求 y1 和 x2 -1 或 4 9

2 ,且 P (2, y1 ), P2 ( x2 ,?3), P3 (4,2) 是直线上的三个 1 2

0

3、已知 M (2m ? 3, m), N (m ? 2,1) ,当 m 为何值时,直线 MN 的倾斜角为: (1)锐角

m ? 1或 m ? ?5 (2)直角

m ? ?5 (3)钝角

?5 ? m ?1

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 ★★★知识要点 一、两条直线平行??? 对于两条不重合的直线 l1 , l 2 ,其斜率分别为 k1 , k 2 ,有 l1 // l 2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ★注意★上述两条直线平行的条件是斜率都存在且不重合, 若斜率都不存在, 则它们都垂直 于x轴 【例题 1】下列说法正确的有( A ) ①若两直线斜率相等,则两直线平行②若 l1 // l 2 ,则 k1 ? k2 ③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交 ④若两直线的斜率都不存在,则两直线平行 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【例题 2】已知直线 l1 的倾斜角为 60? ,直线 l 2 经过点 A(1, 3 ) , B(?2,?2 3 ) ,判断直线

l1 , l 2 的位置关系.

平行或重合

二、两条直线垂直??? 当两条直线的斜率都存在是, l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 当两条直线中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为 0,则这两条直线也垂直 【例题 3】已知点 P(2,3) , Q(4,5) , A(?1, a) , B(2a,2) ,当 a 为何值时,直线 PQ 与直

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线 AB 互相垂直.

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【例题 4】已知直线 l1 经过点 A(3, a) , B(a ? 2,?3) ,直线 l 2 经过点 C (2,3) , D(?1, a ? 2) , 如果 l1 ? l2 ,则 a 等于______________-6 或 5 三、易错点:判断直线平行与垂直关系时对斜率的讨论 【例题 5】已知直线 m1 经过点 A(3, a), B(a ? 2,3) ,直线 m2 经过点 M (3, a), N (6,5) ,若

m1 ? m2 ,求 a 的值. 0 或 5
四、数学结合在直线的平行与垂直关系中的应用 【例题 6】一条光线从 A(3,2) 发出,到 x 轴上的 M 点后,经 x 轴反射通过点 B(?1,6) ,求 反射光线所在直线的斜率. -2

【例题 7】过 P(?1,2) 的直线 l 与线段 AB 相交,若 A(?2,?3) B(3,0) ,求直线 l 的斜率 k 的

取值范围. 五、典型例题

?5,?? ? ? ? ? ?,? 1 ? ? ?
? 2?

已知实数 x, y 满足 2 x ? y ? 8 ,当 2 ? x ? 3 时,求 ★★课堂练习? 1、判断下列各题中的直线 l1 , l 2 是平行还是垂直

y 的最大值与最小值. x

2

2 3

(1) l1 经过点 A(?1,?2) , B(2,1) , l 2 经过点 M (3,4) , N (?1,?1) (2) l1 的斜率是 1, l 2 经过点 A(1,1), B(2,2) (3) l1 经过点 A(?3,2), B(?3,10) , l 2 经过点 M (5,?2), N (5,5) 2、当 m 为何值时,过点 A(1,1), B(2m ? 1, m ? 2) 的直线:
2

(1)与过 C (3,2), D(0,?7) 两点的直线垂直 (2)与过 M (2,?3), N (?4,9) 两点的直线平行 ★★★基础练习??? 一、选择题 1、下列说法正确的是( B) A. 平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B. 平行的两条直线的倾斜角一定相等 C. 垂直的两条直线的斜率之积为 ? 1 D. 只有斜率相等的两条直线才一定平行

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2、 l1 经过点 A(m,1), B(?3,4) , l 2 经过点 C (1, m), D(?1, m ? 1) ,当直线 l1 平行于直线 l 2 时, 则 m 的值为(A )

A. 3

B. ? 1

C. ? 3

D. 1

3、经过点 P(2, m), Q(m,4) 的直线平行于斜率等于 1 的直线,则 m 的值为(A )

A. 3

B. 4

C. 1 或 3

D. 1 或 4

4、给定三点 A(1,0), B(?1,0), C (1,2) ,则过 A 点且与直线 BC 垂直的直线经过( A )

A. (0,1)

B. (0,0)

C. (?1,0)

D. (0,?1)

5、过点 ( 3 , 6 ) , (0,3) 的直线与过点 ( 6 , 2 ) , (2,0) 的直线的位置关系为( A )

A. 垂直
二、填空题

B. 平行

C. 重合

D. 以上都不正确
1 1 1 ? 等于___________ a b 2

1、若三点 A(2,2), B(a,0), C (0, b) 共线,则

2 若点 A(0,1) 、 B( 3 ,4) 在直线 l1 上,若直线 l1 ? l2 ,则 l 2 的倾斜角为________ 150 ? 3、已知点 M (1,?3), N (1,2), P(5, y) ,且 ?NMP ? 90? ,则 log 8
(7? y )

等于___________

2 3

4、将直线 l 沿 x 轴正方向平移 2 个单位长度,再沿 y 轴负方向平移 3 个单位长度,又回到 原来的位置,则直线 l 的斜率是________________ ?

3 2

5、已知两点 M (2,2), N (5,?2) ,点 P 在 x 轴上,且 ?MPN ? 90? ,则 P 点坐标为 _______________________ (1,0) 或 (6,0) 三、解答题 1、 已知 ?ABC 的顶点 B(2,1) ,C (?6,3) , 其垂心为 H (?3,2) , 求顶点 A 的坐标. (?19,?62) 2、已知 A(1,1), B(2,2), C (3,?3) ,求点 D ,使 CD ? AB, CB // AD . ( ,? ) 3、已知四边形 ABCD 的顶点为 A(2,2 ? 2 2 ), B(?2,2), C (0,2 ? 2 2 ), D(4,2) ,试判断四边 形的形状. 矩形 ★★★能力提升??? 1、已知 A(0,3), B(?1,0), C (3,0) ,求 D 点坐标,使四边形 ABCD 为直角梯形( A, B, C, D 按逆时针方向排列)

3 2

3 2

(3,3) 或 (

18 9 , ) 5 5

2、已知 A, B, C , 三点的坐标分别是 A(0,?1), B(2,1), C (?1,3) ,试确定 D 点坐标,使四边形

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ABCD 为平行四边形.

(?3,1) 或 (1,5) 或 (3,?3)
3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式、斜截式方程

★★★知识要点 一、直线的点斜式方程??? (1)形式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (2) 适用范围: 直线的点斜式方程适用于斜率存在并过已知点的直线, 即直线不垂直于 x 轴. 【例题 1】根据条件写出下列各题中的直线方程 (1)经过点 A(1,2) ,斜率为 2 (2)经过点 B(?1,4) ,倾斜角为 135 ? (3)经过点 C (?3,1) 与 x 轴垂直 (4)经过点 D(?3,5) 与 x 轴平行 二、直线的斜截式方程??? (1)方程形式: y ? kx ? b (其中 b 为直线在 y 轴上的截距,即直线过 (0, b) 点) (2)适用范围:斜率存在即不垂直于 x 轴的直线 【例题 2】根据条件写出下列各题中的直线方程 (1)斜率为 2,在 y 轴上的截距为 5 (2)倾斜角为 150 ? ,在 y 轴上的截距为 ? 2 ★★★基础练习??? 一、选择题 1、已知直线的方程是 y ? 2 ? ? x ? 1 ,则( C)

A. 直线经过点 (?1,2) ,斜率为 ? 1 C. 直线经过点 (?1,?2) ,斜率为 ? 1
2、方程 y ? k ( x ? 2) 表示(C )

B. 直线经过点 (?1,2) ,斜率为 1 D. 直线经过点 (?1,?2) ,斜率为 1

A. 过点 (?2,0) 的所有直线 C. 过点 (2,0) 且不垂直于 x 轴的直线

B. 过点 (2,0) 的所有直线 D. 过点 (2,0) 且除去 x 轴的直线
B)

3、直线 l : y ? 1 ? k ( x ? 2) 的倾斜角为 135 ? ,则直线 l 在 y 轴上的截距是(

A. 1

B. ? 1

C. 3

D. ? 3
D)

4、直线 y ? ax ? 2 与 y ? (a ? 2) x ? 1 垂直,则 a 等于(

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A. 2

B. 1

C. 0

D. ? 1
A)

5、经过点 (?1,1) ,倾斜角是直线 y ? x ? 2 的倾斜角的 2 倍的直线是(

A. x ? ?1 C. y ? 1 ? 2( x ? 1)
二、填空题

B. y ? 1 D. y ? 1 ? 2( x ? 1)

1、经过点 (?3,2) ,倾斜角为 30? 的直线方程为______________________ 2、直线 (m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 2m 在 y 轴上的截距是 3,则 m 等于______________6 3、过原点和点 (m, n) (m ? 0) 的直线方程是______________________ y ?

n x m

4 、 与 直 线 y ? 2x ? 1 ? 0 垂 直 且 在 y 轴 上 的 截 距 为 4 的 直 线 方 程 为 ___________ y ? ?

1 x?4 2

5、原点在直线 l 上的射影为点 H (?2,1) ,则直线 l 的方程为______________ 6、直线 l : y ? a ? (a ? 1)( x ? 2) ,若直线 l 在 y 轴上的截距为 6,则 a 等于_________ 三、解答题 1、求过点 A(?1,2) ,且平行于直线 直线 l1 : y ? 2 x ? 3 (1)若直线 l 2 与 l1 关于 y 轴对称,求 l 2 的方程 (2)若直线 l 3 与 l1 关于 x 轴对称,求 l 3 的方程

8 3

x y 1 ? ? 1 的直线的方程 y ? 2 ? ( x ? 1) 4 2 2

y ? ?2 x ? 3 y ? ?2 x ? 3

2、三角形的三个顶点 A(1,1), B(4,0), C (3,2) ,求三角形 BC 边上的高所在的直线方程.

1 y ? 1 ? ( x ? 1) 2
3、 已知直线 l 在 y 轴上的截距为 ? 3 , 且它与两坐标轴围成的三角形的面积为 6, 求直线 l 的 方程

y?

3 3 x ? 3或 y ? ? x ? 3 4 4

★★★能力提升??? 一、选择题 1、 将直线 y ? 3x 绕原点逆时针旋转 90? , 再向右平移 1 个单位, 所得到的直线方程为 ( A)

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1 1 A. y ? ? x ? 3 3

1 B. y ? ? x ? 1 3

C . y ? 3x ? 3

D. y ? 3x ? 1
B)

2、以 A(1,3), B(?5,1) 为端点的线段的垂直平分线方程是(

A. 3x ? y ? 8 ? 0 C . 3x ? y ? 6 ? 0

B. 3x ? y ? 4 ? 0 D. 3x ? y ? 2 ? 0
A)

3、过点 (?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为(

A. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0

B. 2 x ? y ? 5 ? 0 D. x ? 2 y ? 7 ? 0
C)

4、直线 kx ? y ? 1 ? 3k ,当 k 变动时,所有直线都通过定点(

A. (0,0)

B. (0,1)
A)

C. (3,1)

D. (2,1)

5、直线 y ? x ? b 一定经过(

A. 第一、三象限 C. 第一、二、四象限

B. 第二、四象限 D. 第二、三、四象限
A)

6、直线 y ? kx ? b (b ? 0) 不经过第三象限,则(

A. kb ? 0
二、填空题

B. kb ? 0

C. kb ? 0

D. kb ? 0

1、若 k ? 0, b ? 0 ,则直线 y ? kx ? b 必不通过第_______象限



2 、 直 线 y ? ? 3 ( x ? 2) 绕 点 (2,0) 按 顺 时 针 方 向 旋 转 30? 后 所 得 的 直 线 方 程 是 ______________ x ? 2 3、直线 l 过原点,且平分平行四边形 ABCD 的面积,若 B(1,4) , D(5,0) ,则直线 l 的方程 是________________________ y ? 2 ?

2 ( x ? 3) 3

4 、 P(1,?2) 在 直 线 l 上 的 射 影 为 Q(?1,1) , 则 直 线 l 的 方 程 为 _______________ 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 5、已知 A(2,0), B(4,8) ,线段 AB 的垂直平分线的方程是_____________ y ? 4 ? ?

1 ( x ? 3) 4

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三、解答题 1、求与两坐标轴围成的三角形周长为 9 且斜率为 ? 已知直线 y ? kx ? 3k ? 1 (1)求直线恒过的定点

4 的直线方程 3

4 y ? ? x?3 3

(?3,1)

(2)当 ? 3 ? x ? 3 时,直线上的点都在 x 轴上方,求实数 k 的取值范围

k ??

1 6

2、已知直线方程为 y ? kx ? b ,当 x ? ?? 3,4? 时, y ? ?? 8,13? ,求此直线方程

y ? 3x ? 1 或 y ? ?3x ? 4
当 a 为何值时直线 l1 : y ? ? x ? 2a 与 l2 : y ? (a ? 2) x ? 2 平行
2

当 a 为何值时直线 l1 : y ? (2a ? 1) x ? 3 与 l2 : y ? 4 x ? 3 垂直 3.2.2 直线的两点式、截距式、一般式方程 ★★★知识要点 一、直线的两点式方程??? (1)形式:

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

(2)适用范围:直线的两点式方程适用于斜率存在且斜率不等于零的直线. 【例题 1】求经过下列两点的直线方程 (1) A(2,5), B(4,3) (2) A(2,5), B(5,5) (3) A(2,5), B(2,7) 【例题 2】已知 ?ABC 的三个顶点坐标 A(2,?1), B(2,2), C (4,1) ,求三角形三边所在的直线 方程. 二、直线的截距式方程??? (1)形式: ?

x a

y ? 1 ,其中 a, b 分别是直线在 x, y 轴上部位零的截距,即直线过 A(a,0) 和 b

B(0, b) .
(2)适用范围:不含有垂直坐标轴及过坐标原点的直线. 【例题 3】根据下列条件求出各题中的直线方程 (1)在 x 轴上的截距为 ? 3 ,在 y 轴上的截距为 2 (2)在 x 轴上的截距为 1,在 y 轴上的截距为 ? 4 【例题 4】求过点 A(1,1) ,且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 三、直线的一般式方程???

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(1)形式: Ax ? By ? C ? 0( A ? B ? 0)
2 2

(2)适用范围:适用于任何一条直线 【例题 5】根据下列条件写出直线方程,并把它化成一般式. (1)过点 A(?2,3) ,斜率为 ?

3 5

(2)在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 ? 3 和 4 【例题 6】设直线 l 的方程为 (m ? 2m) x ? 2my ? 6 ? m ? 0 ,已知 l 在 y 轴上的截距为 2,
2

试确定 m 的值. ★★课堂练习? 一、选择题 1、过两点的(5,0)(2, ? 5 )的直线的方程是 ( B , A、 5x ? 3 y ? 25 ? 0 C、 3x ? 5 y ? 25 ? 0 B、 5x ? 3 y ? 25 ? 0 D、 5x ? 3 y ? 25 ? 0



2、在 x 轴、 y 轴上的截距分别是 ? 3 ,4 的直线方程是(B A、 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 C、 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 B、 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 D、 4 x ? 3 y ? 1 ? 0



3、直线

x y ? 2 ? 1 在 y 轴上的截距是( B 2 a b
B、 ? b
2



A、 b

C、 b

2

D、 ? b

4、已知 2 x1 ? 3 y1 ? 4,2 x2 ? 3 y2 ? 4 ,则过点 A( x1 , y1 ) ,B、 x2 , y2 )的直线 l 的方程是 ( ( A ) B、 2 x ? 3 y ? 0 D、 3x ? 2 y ? 0 )

A、 2 x ? 3 y ? 4 C、 3x ? 2 y ? 4

5、直线 2 x ? y ? m ? 0 和 x ? 2 y ? n ? 0 的位置关系式( C A、平行 C 相交单不垂直 B、垂直 D、不能确定 )

6、直线 ax ? by ? 1(ab ? 0) 与两坐标轴围成的面积是( D A、

1 ab 2

B、

1 ab 2

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C、

1 ab 2

D、

1 2 ab


7、若果直线 Ax ? By ? C ? 0 的倾斜角为 45? ,则有关系式( B A、 A ? B C、 AB ? 1 二、填空题 B、 A ? B ? 0 D、以上均不可能

1 、 已 知 直 线 l 过 点 ( 3 , ?1 ) 且 与 两 轴 围 成 一 个 等 腰 直 角 三 角 形 , 则 l 的 方 程 为 , ________________ x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 4 ? 0 2、过两点(5,7)和(1,3)的直线一般式方程为___________________, x ? 2 y ? 2 ? 0 若点(a,12)在此直线上,a=____________10 三、解答题 1、根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程 (1)斜率是 3 ,且经过点 A(5,3) (2)斜率是 4,在 y 轴上的截距为 ? 2 (3)经过 A(?1,5), B(2,?1) ;两点 (4)在 x 、 y 轴上的截距分别为 ? 3 , ? 1 2、过点( ? 5 , ? 4 )作一直线 l ,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5.

8x ? 5 y ? 20 ? 0 或 2 x ? 5 y ? 10 ? 0
★★★基础练习??? 一、选择题 1、直线 l1 : 2 x ? (m ? 1) y ? 4 ? 0 与直线 l2 : mx ? 3 y ? 2 ? 0 平行,则 m 的值为( D)

A. 2

B. ? 3

C. 2 或 ? 3

D. ? 2 或 ? 3

2、已知直线 l1 : (a ? 1) x ? y ? 2 ? 0 与直线 l2 : ax ? (2a ? 2) y ? 1 ? 0 互相垂直,则实数 a 的 值为( B) A. ? 1 或 2

B. ? 1 或 ? 2

C. 1 或 2

D. 1 或 ? 2
A)

3、直线 l 过点 (?1,2) 且与直线 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 垂直,则直线 l 的方程是(

A. 3x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 5 ? 0

B. 3x ? 2 y ? 7 ? 0 D. 2 x ? 3 y ? 8 ? 0

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4、过点(2,4)且在 x 轴、 y 轴上的截距相等的直线是( B A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条



5、如果 AC ? 0 ,且 BC ? 0 ,那么直线 Ax ? by ? C ? 0 不通过( C A、第一象限 C、第三象限
2



B、第二象限 D、第四象限 )

6、 若直线 (m ? 2) x ? (m ? 2m ? 3) y ? 2m 在 x 轴上的截距是 3。 则 m 的值是 , ( D

2 5 2 C、 5
A、

B、6 D、 ? 6 )

7、方程 (a ? 1) x ? y ? 2a ? 1 ? 0(a ? R) 表示的直线( A A、恒过( ? 2 ,3) C、恒过( ? 2 ,3)或(2,3) B、恒过(2,3) D、都是平行直线

8、直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0 的斜率为 k ,在 y 轴上的截距为 b ,则有(

C)

3 2 3 C、 k ? ? , b ? ?3 2
A、 k ? ? , b ? 3

B、 k ? ?

3 , b ? ?2 2 2 D、 k ? ? , b ? ?3 3
A)

9、直线 bx ? ay ? 1 (b ? 0) 在 x 轴上的截距为(

A、

1 b

B、 b

C、

1 b

D、 b

二、填空题 1、若直线 l1 : 2 x ? my ? 1 ? 0 与直线 l2 : y ? 3x ? 1 平行,则 m 等于___________ 2 、 一 直 线 过 点 ( ? 3 , 4 ) 并 且 在 两 坐 标 上 的 截 距 之 和 为 12 , 这 条 直 线 方 程 是 ___________________

x y x y ? ? 1或 ? ?1 9 3 ? 4 16

3、直线 l 的倾斜角为 45? ,在 x 轴上的截距为 ? 2 的直线方程___________ x ? y ? 2 ? 0 4、过点 (?2,3) 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为____________________

3x ? 2 y ? 0 或 x ? y ? 5 ? 0
三、解答题 1、已知三角形的顶点是 A(?5,0), B(3,?3), C (0,2) ,求 ( 1 ) 三 边 所 在 的 直 线 方 程 . AC

2 x ? 5 y ? 10 ? 0

AB

3x ? 8 y ? 15 ? 0

BC

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5x ? 3 y ? 6 ? 0
(2) AC 边上的中线所在的直线方程

8x ? 11 y ? 9 ? 0
2、直线 l 过点 P(?6,3) ,且它在 x 轴上的截距是它在 y 轴上的截距地 3 倍,求直线 l 的方程

x ? 3y ? 3 ? 0 或 x ? 2 y ? 0
3、 已知直线 l1 : mx ? 8 y ? m ? 10 ? 0 与 l2 : x ? 2my ? 4 ? 0 问两直线是否垂直, 若垂直求 m 的值 0

4、已知直线 l1 : x ? my ? 2m ? 2 ? 0, l2 : mx ? y ? 1 ? m ? 0 ,问 m 为何止时: (1) l1 ? l 2 ; m ? 0 (2) l1 // l 2 m ? 1 5、设直线 l 的方程为 (m ? 2m ? 3) x ? (2m ? m ? 1) y ? 2m ? 6 ? 0 ,根据下列条件确定 m
2 2

的值. (1)在 x 轴上的截距是 ? 3

m??

5 (2)斜率是 ? 1 3

m?

4 3

★★★能力提升??? 一、选择题 1、三条直线 x ? y ? 0 , x ? y ? 0 , x ? ay ? 3 构成三角形,则 a 的取值范围是( A )

A. a ? ?1

B. a ? 1 , a ? 2

C. a ? ?1

D. a ? ?1 , a ? 2
C)

2、过点 A(1,4) 且在 x 轴、 y 轴上的截距的绝对值相等的直线共有(

A. 1 条

B. 2 条

C. 3 条

D. 4 条

3、点 M (a, b) 与 N (b ? 1, a ? 1) 关于下列哪种图形对称( A )

A. x ? y ? 1 ? 0

B. x ? y ? 1 ? 0

1 1 C. 点 (? , ) 2 2

D. x ? y ? a ? b ? 0
B)

4、把直线 x ? y ? 3 ? 1 ? 0 绕点 (1, 3 ) 逆时针旋转 15? 后,所得直线 l 的方程是(

A. y ? ? 3x

B. y ? 3 x

C. x ? 3 y ? 2 ? 0

D. x ? 3 y ? 2 ? 0
D)

5、若直线 Ax ? By ? C ? 0 经过第一、二、三、象限,则(

A. A ? B ? 0, B ? C ? 0

B. A ? B ? 0, B ? C ? 0

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C. A ? B ? 0, B ? C ? 0
二、填空题

D. A ? B ? 0, B ? C ? 0

1 、 若 直 线 x ? a y ? 6 ? 0 和 直 线 (a ? 2) x ? 3ay ? 2a ? 0 没 有 公 共 点 , 则 a 等 于
2

__________ a ? 0 或 a ? ?1 2 、 如 果 直 线 l 与 直 线 x ? y ?1 ? 0 关 于 y 轴 对 称 , 则 直 线 l 的 方 程 等 于 ___________ x ? y ? 1 ? 0 3、若直线 (2t ? 3) x ? y ? 6 ? 0 不经过第一象限,则 t 的取值范围是__________ ? ,?? ? 4、已知直线 x ? 2 y ? 2k ? 0 与两坐标轴围成的三角形面积不大于 1,则实数 k 的取值范围 是_________________ ?? 1,1? 5、直线 mx ? 3 y ? 5 ? 0 经过连接 A(?1,?2), B(3,4) 的线段的中点,则 m ? ________2 6、不论 m 为何实数,直线 l : (2m ? 1) x ? (m ? 3) y ? (m ? 11) ? 0 恒过一定点,则此定点的 坐标是_________________________ (2,?3) 三、解答题 1、已知直线过点 P(2,3) ,且在两坐标轴上截距的绝对值相等,求直线的方程.

?3 ?2

? ?

x ? y ? 5 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 或 3x ? 2 y ? 0
2、直线 l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为 2,两截距之差为 3,求直线 l 的 一般式方程. x ? 4 y ? 4 ? 0 或 4 x ? y ? 4 ? 0 3、已知直线 l1 : 5ax ? 5 y ? a ? 3 ? 0 . (1)求证:不论 a 为何值,直线 l 总过第一象限 (2)为使直线不经过第二象限,求 a 的取值范围

a?3
2 2

4、当 0 ? a ? 2 时,直线 l1 : ax ? 2 y ? 2a ? 4 与 l2 : 2 x ? a y ? 2a ? 4 和两坐标轴围成一个 四边形,问 a 为何值时,这个四边形的面积最小?并求这个数
2 2

1 2

15 4

5、设直线 l 的方程为 (m ? 2m ? 3) x ? (2m ? m ? 1) y ? 6 ? 2m ? 0 ,根据下列条件分别确 定 m 的值 (1) 在 x 轴上的截距是 ? 3 ; m ? ?

5 3

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(2)斜率是 1. m ?

4 3

6、光线从点 A( ? 3 ,4)射出,经 x 轴上的点 B 反射后交 y 轴与 C 点,再经过 C 点从 y 轴上 反射恰好经过点 D( ? 1 ,6),求直线 AB,.BC,CD 的方程。

x ? 2 y ? 7 ? 0 , 5x ? 2 y ? 7 ? 0 , 5x ? 2 y ? 7 ? 0
3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离 ★★★知识要点 一、两直线的交点??? 设两直线的方程是 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 两直线是否有交点,就 要看两直线组成的方程组是否有解,有以下三种情况: (1)若方程组无解,则两条直线平行,反之,亦成立 (2)若方程组有无穷多解,则两直线重合,反之,亦成立 (3)若方程组有且仅有一解,则两直线相交,反之,亦成立,方程组的解就是交点坐标. 两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交的条件是: A1B2 ? A2 B1 ? 0 二、两点间的距离??? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则 AB ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

【例题 1】判断下列各题中直线的位置关系,若相交,求出交点坐标 (1) l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0, l2 : x ? 2 y ? 1 ? 0 (2) l1 : x ? y ? 2 ? 0, l2 : 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 (3) l1 : x ? y ? 1 ? 0, l2 : 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 【例题 2】求下列两点间的距离 (1) A(2,0), B(0,8)

(?1,?1)

2 17

(2) A(1,3), B(?2,1)

13 (3) A(a,3), B(a,?3)

6

【例题 3】 (1)求过直线 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的交点且与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行 的直线方程

15 x ? 5 y ? 16 ? 0

( 2 ) 求 经 过 直 线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 和 2 x ? y ? 2 ? 0 的 交 点 且 过 坐 标 原 点 的 直 线 方 程

x? y ?0
【例题 4】在直线 l : 3x ? y ? 1 ? 0 上求一点 P ,使点 P 到两点 A(1,?1), B(2,0) 的距离相等. P(0,1)

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【例题 5】若直线 mx ? 4 y ? 8 和 3x ? 2 y ? 6 的交点在第一象限,求 m 的取值范围. m ? 4 三、直线系方程 ( 1 ) 过 两 直 线 交 点 的 直 线 系 方 程 : 经 过 两 直 线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,

l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0









线









A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ,它不能表示直线 l 2
( 2 ) 垂 直 线 系 方 程 : 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 ( A ? 0, B ? 0) , 垂 直 的 直 线 系 方 程 是

Bx ? Ay ? ? ? 0
【例题 6】 求经过两直线 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的交点且与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行 的直线方程. 15 x ? 5 y ? 16 ? 0 【例题 7】求过点 A(2,1) 和直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与 2 x ? 3 y ? 2 ? 0 的交点的直线方程.

5x ? 7 y ? 3 ? 0
★★课堂练习? 三、解答题

1 2 k 为何值时,直线 y ? x ? 3k ? 2 与直线 y ? ? x ? 1 的交点在第一象限. ? ? k ? 1 4 3
已知直线 x ? my ? 6 ? 0 与直线 (m ? 2) x ? 3 y ? 2m ? 0 ,当 m 为何值时,两条直线相交?0 或-1 求 过 两 直 线 l1 : 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 与 l2 : 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 的 交 点 且垂 直 于 l1 的 直 线 的 方 程 .

48 x ? 32 y ? 29 ? 0
★★★基础练习??? 二、填空题 直线 y ? kx ? 3 过直线 2 x ? y ? 1 ? 0 与 y ? x ? 5 的交点,则 k 等于___________

3 2

三、解答题 已知 2m ? 3n ? 1 ,求: mx ? ny ? 5 所过的定点坐标.(10,-15)

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★★★能力提升??? 一、选择题 若三条直线 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 , x ? y ? 1 ? 0 和 x ? ky ? 0 相交于一点,则 k 的值等于( B)

A. ? 2
二、填空题

B. ?

1 2

C. 2

D.

1 2

直 线 5x ? 4 y ? 2m ? 1 ? 0 与 2 x ? 3 y ? m ? 0 的 交 点 在 第 四 象 限 , 则 m 的 取 值 范 围 是 _______________________ (? 三、解答题 已知点 A(2,?1), B(5,3) ,若直线 kx ? y ? 1 ? 0 与线段 AB 相交,求 k 的取值范围. ? ? 1, ? 5

3 , 2) 2
? ? 2? ?

求 三 条 直 线 ax ? y ? 1 ? 0 , x ? ay ? 1 ? 0 , x ? y ? a ? 0 构 成 三 角 形 的 条 件 .

a ? ?1, a ? ?2
3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离 ★★★知识要点 一、点到直线的距离公式 点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 ( A, B 不同时为零)的距离 d ? 注意:在使用此公式时,必须把其它形式的直线先化为一般式 二、两平行线间的距离 已 知 两 条 平 行 线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 , l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 则 它 们 之 间 的 距 离

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

d?

C1 ? C2 A2 ? B 2

注意(1)化其它形式为一般式 (2)使 x, y 系数相等 【例题 1】求下列点到直线的距离 (1) A(?1,0), l : 5x ? 12 y ? 9 ? 0 (2) A(?1,0), l : 2 x ? y ? 1 ? 0 (3) A(?1,2), l : y ? ?2( x ? 5) (4) A(4,?2), l : 2 y ? 3 【例题 2】求两平行线 l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 , l2 : 6 x ? 8 y ? 4 ? 0 之间的距离

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★★课堂练习? 1、求下列点到直线的距离 (1) A(?1,2), l : 2 x ? y ? 10 ? 0 (2) A(2,?3), l : x ? y (3) A(?1,2), l : y ? 3 x ? 3 2、求下列两条平行线间的距离 (1) 5x ? 12 y ? 2 ? 0 与 5 x ? 12 y ? 15 ? 0 (2) 6 x ? 4 y ? 5 ? 0 与 y ?

3 x 2

(3) 3x ? 4 y ? 10 与 3x ? 4 y ? 15 三、利用距离公式反求直线方程时,不和忽略直线斜率不存在的情况 【例题 1】求经过点 A(1,2) 且到原点的距离等于 1 的直线方程. x ? 1,3x ? 4 y ? 5 ? 0 【例题 2】已知直线 l 经过点 P(3,1) ,且被两平行直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 和 l2 : x ? y ? 6 ? 0 截 得的线段长为 5,求直线 l 的方程.y=1 或 x=3


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