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2015年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛题及答案


2015 年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛
暨 2015 年吉林省高中数学联赛试题及参考答案
一、选择题
? 1 x ?( ) , x ? ( ? ? , 1 ) 1.已知 f ( x) ? ? 4 ,则 f ? f ( ? 1)? ? ( ?log 1 x, x ? ? 1 , ? ? ? ? 2



A. 2

B. ?2

C.

1 4

D. ? )

1 2

2. “实数 a , b, c , d 依次成等差数列”是“ a ? d ? b ? c ”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

3.若方程 f ( x) ? 2 ? 0 在 (??, 0) 内有解,则 y ? f ( x) 的图象可能是(

? 4.已知向量 a, b 的夹角为 60 ,且 a ? 1 , a ? 2b ? 13 ,则 b ? (



A. 2

B.

3 2

C. 2 2

D. 2

5.已知 f ( x) ? x | x | ,若对任意的 x ? 1 有 f ( x ? m) ? mf ( x) ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围 是( ) A. (??, ?1)
3

B. (??, ?1]

C. (??, ?2)

D. (??, ?2] )

6.函数 f ( x ) ? 4 x ? 3 x 在 (a, a ? 2) 上存在最大值,则实数 a 的取值范围是( A. ( ?

5 ,?1) 2

B. ( ?

5 ,?1] 2

C. ( ?

5 1 ,? ) 2 2

D. ( ?

5 1 ,? ] 2 2

二、填空题 7.四棱锥 S ? ABCD 的底面是边长为 2 的正方形, SD ? 平面ABCD ,且 SD ? AB ,则 四棱锥 S ? ABCD 的外接球的表面积为 8.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 4an ? 3 (n ? 1, 2, __ __ ___. __ __.

) .则数列 ?an ? 的通项公式为

1

9. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? )sin(? x ? )(? ? 0) 的最小正周期为 ? , 则 f ? x ? 在区间 ? 0, ? 2 4 ? 2? 上的值域为 __ ___. 10. 如图,在四棱锥 E ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,

?

?

? ??

AE ? 平面 CDE , 已知 AE ? DE ? 3 ,F 为线段 DE 上的一点,
二面角 E ? BC ? F 与二面角 F ? BC ? D 的大小相等, 则 DF 的 长为__ ___.

11.从 0,1,2, ,9 中选出三个不同数字组成四位数(其中的一个数 字用两次) ,如 5224 ,则这样的四位数共有___________个.
? ?ax ? 2 y ? 8 ? 0 ? ? ? ? 12.非空集合 A ? ?( x, y ) ? x ? y ? 1 ? 0 ? ,当 ( x, y ) ? A 时,目标 ? ? ? ?2 x ? ay ? 2 ? 0? ?

函数 z ? y ? x 既存在最大值,又存在最小值,则实数 a 的取值范围是__ 三、解答题

___.

13.在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? (Ⅰ)求 △ ABC 的周长的最大值; (Ⅱ)若 2sin 2 A ? sin(2 B ? C) ? sin C ,求 △ ABC 的面积. 14.已知椭圆 G :

? . 3

x2 ? y 2 ? 1 ,直线 l 交椭圆 G 于 A, B 两点,且 | AB |? 2 ,判断直线 l 与圆 4

x2 ? y 2 ? 1 的位置关系,并给出证明.

1 15.已知不等式 ln x ? a(1 ? ) ? 0 对任意的 x ? 1 均成立,求实数 a 的取值范围. x
16.已知 A ? {1,2,
,3 } 1 {1 , ? 0 , ? (1) 、 ?? 1 , 2? x 3, x ? A ; (2) 、 x1 , 2
,2014} ,设实数 ?1 , ?2 , ?3 , x1 , x2 , x3 满足:

且不全为 0 ;

(3) 、若 xi ? x j ,则 ?i ? j ? ?1 ( 1 ≤ i, j ≤ 3 ) . 如果所有形如 x1 x2 x3 和 ?1 x1 ? ?2 x2 ? ?3 x3 的数均不是 2014 的倍数,则称 A 为“好集” . 求“好集” A 所含元素个数的最大值.

2

参考答案
一、选择题 1. B 5. B 2. A 3. D 4. D

提 示 : 显 然 m ? 0 , 且 ?m f ( x) ? f ( ? m x ), 又 f ( x) ? x | x |为 增 函 数 且 为 奇 函 数 , 故

f ( x ? m) ? mf ( x) ? 0 ? f ( x ? m) ? ?mf ( x) ? f ( x ? m) ? f ( ?mx) ? x ? m ? ?mx
6. B 提 示 : 考 虑 到 f ( x) ? 4 x ? 3 x 的 唯 一 极 大 值 点 为 x ? ?
3

1 1 , 且 f (? ) ? 1? f (1) ,故 2 2

1 5 a ? ? ? a ? 2 ? 1 ,解得 ? ? a ? ?1. 2 2 二、填空题 7. 12?
8. an ? ( ) 9. [0,

4 3

n ?1

2? 2 ] 4

10. 6 5 ? 12 11. 3888
3 1 2 2 提 示 : 分 三 类 : 不 含 0 的 有 C9 ?C3 ?C 4 ?A 2 ? 3024 个 ; 含 0 且 0 只 用 一 次 的 有

2 1 2 C9 ? C2 ? 3 ? 3 ? 648 个 ; 含 0 且 0 用 两 次 的 有 C92 ? 3 ? A2 ? 216 个 , 于 是 共 有

3 0 2? 4 6? 48 12. [2, ??)

2 ? 1 6 个. 3888

提示:当 a ? 2 时,区域为三角形,显然满足;当 a ? 2 时,目标函数 z ? y ? x 分别在边界 x ? y ? 1 ? 0 和 2 x ? 2 y ? 8 ? 0 上取得最小值和最大值. 三、解答题 13. (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

( a ? b) 2 于是 (a ? b) ? 4 ? 3ab ? 4 ? 3 ? ,得 a ? b ? 4 ,所以 △ ABC 的周长的最大值为 6, 4
2

当 △ ABC 为等边三角形时取到. (Ⅱ)由 2sin 2 A ? sin(2 B ? C) ? sin C 得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A ,
3

当 cos A ? 0 时, A ?

? ? 4 3 2 3 ,B ? ,a ? ,b ? , 2 6 3 3

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a ,

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 2 3 4 3 联立方程组 ? 解得 a ? ,b ? . 3 3 ?b ? 2a,
所以 △ ABC 的面积 S ?

1 2 3 . ab sin C ? 2 3

14. 当直线 l 的斜率不存在时, 由 | AB |? 2 知点 A, B 的坐标分别为 (0,1) ,(0, ?1) , 即直线 l 的 方程为 x ? 0 ,此时直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相交。 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m .
? y ? kx ? m, ? 由 ? x2 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 . 2 ? y ? 1, ? ?4

设 A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ,则

x1 ? x2 ? ?

8km 4m2 ? 4 , , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

? ? (8km)2 ? 4(4k 2 ? 1)(4m2 ? 4) ? 16(4k 2 ? 1 ? m2 ) ? 0 .

所以 | AB | ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4x1 x2 ] ? (1 ? k 2 ) ? 从而 m2 ? (4k 2 ? 1) ?
(4k 2 ? 1)2 。 4(k 2 ? 1)

16(4k 2 ? 1 ? m2 ) ? 2. (1 ? 4k 2 )2

圆 x2 ? y 2 ? 1 的半径 r ? 1,其圆心到直线 l 的距离
d? |m| k2 ?1 ? 4k 2 ? 1 (4k 2 ? 1)2 1 4k 2 ? 1 ? ? ? ( 2 ? 2)2 ? 1 ? 1 ? r 2 2 2 k ? 1 4(k ? 1) 4 k ?1

当 k2 ?

1 1 时,直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相切,当 k 2 ? 时,直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相交。 2 2

综上,直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相切或相交。 15.由已知, x ln x ? a( x ? 1) ? 0 对任意的 x ? 1 均成立. 记 f ( x) ? x ln x ? a( x ? 1) ,其中 x ? 1 。 ①当 a ? 1 时, f ?( x) ? ln x ? 1 ? a ? 0 ? (1 ? a) ? 0 (其中 x ? 1 ) 故 f ( x) 在 [1, ??) 上单调增,故 f ( x) ? f (1) ? 0 ,符合题设; ② 当 a ? 1 时 , 若 1 ? x ? ea ?1 , 则 f ?( x) ? ln x ? 1? a ? 0 , 故 f ( x) 在 (1, ea ?1 ) 上 单 调 减 , 故
f ( x) ? f (1) ? 0 ,不符合题设.

综上, a ? 1 . 16. (1)构造一个 503 元“好集” A .
4

设 A ? {1,3,5,

,1005} .

? ?x 3?x ? 若 ?1 , ?2 , ?3 均不为 0 , 则 ?1 x 1 ? 2 2x ? 3? 3 x 1?x 2
一定不是 2014 的倍数.

1 m (o d 2 )

? ? ? , 即 ?1 x 1 ? 2 2x 3 3 x

为奇数,

若 ?1 , ?2 , ?3 中有 0 ,不妨设 ?3 ? 0 ,则由(1)知 ?1 , ?2 中至少有一个不为 0 。由条件(3)知

?1 x1 ? ?2 x2 ? 0 。 x | ≤1 | ?1 x | ? |2? ≤ x| | |2?x | 2 ≤ 1 0 0 5 ? 2 0 1 4? 又 | ?1 x 1 ?? 2 2 2 x | 1
一定不是 2014 的倍数. 显然 x1 x2 x3 为奇数,一定不是 2014 的倍数. 综上, A ? {1,3,5, ,1005} 为 503 元“好集” . (2)设 S 为一个 “好集” ,下面证明 | S |≤ 503 .

, 因此 ?1 x1 ? ?2 x2

设 S 的最小元素为 d ,则 S 中任意两元素的差不为 d .否则设 a1 , a2 ? S , a1 ? a2 ? d , 得 a1 ? a2 ? d ? 0 为 2014 的倍数,矛盾. 将 {1, 2,3, ,1006} 中大于 d 的元素从大到小每 2 d 个分为一组,设可分成 q 组,余下的 r 个数( 0 ≤ r ? 2d )为 d ? 1, d ? 2, , d ? r ,显然 2dq ? r ? d ? 1006 , q 组中的每一组至多有
d 个数在 S 中.

由“好集”的定义知, 2014,1007 ? S ,且 k 和 2014 ? k 不同在 S 中. 我们不妨设 S ? {1, 2,3, ,1006} ,否则只需将 S 中大于 1007 的元素换成 2014 ? k ,理由 是若 ?1 x1 ? ?2 x2 ? ?3 x3 中有某个 xi ? 1007 ,则将其中的 ?i 变为 ??i ,将 xi 变为 2014 ? xi 后得到 的数与 ?1 x1 ? ?2 x2 ? ?3 x3 对 mod 2014 不改变. 下面对 r 分情况讨论: ① 若 d ≤ r ? 2d , 则 d ? 1 , d ? 2 ,
d ,? 中 r 至 多 有 d ?1 个 数 属 于 S , 所 以

|S ≤ | 1? d (?

? 1 dq ) ? dq ? d ≤ dq ?

r d ? ? 2 2

. 503

r d 1 ? ? ? 503.5 .即 | S |≤ 503 . 2 2 2 综上,任意一个 “好集”S 必满足 | S |≤ 503 .
②若 0 ≤ r ≤ d ? 1 ,则 | S |≤ 1 ? r ? dq ≤ dq ? 由(1) (2) , “好集” A 所含元素个数的最大值为 503 .

5


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