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5.7《平面向量数量积的坐标表示》课件


5.7 平面向量数量积的坐标表示

5.7 平面向量数量积的坐标表示
平面向量的数量积
a ? b ? a b cos ?
cos ? ? a ?b | a || b |

a⊥b

?

a· b=0 (判断两向量垂直的依据)
a ? ?? b ?

>
运算律: 1.a ? b ? b ? a 2.? ? a ? ? b ? ? ? a ? b ? ?

3. ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c 平面向量基本定理: 如果 e 1、 e 2 是同一平面内的两个不共 线向量,那么对于平面内的任一向量a ,有且只有与一对实数
? 1、 ? 2 ,

使

a ? ?1e1 ? ? 2 e 2



5.7 平面向量数量积的坐标表示
单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同,求 1 ① i ? i ? _____ 0 ③ j ? i ? ______ ② ④

0 i ? j ? ______
j? j ?

1 _____

能否推导出 a ? b 的坐标公式?
a ? b ? ? x 1 i ? y1 j ? ? ? x 2 i ? y 2 j ?
? x 1 x 2 i ? x 1 y 2 i ? j ? x 2 y1i ? j ? y1 y 2 j
2 2

? x 1 x 2 ? y1 y 2

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即
a ? b ? x 1 x 2 ? y1 y 2

5.7 平面向量数量积的坐标表示
性质 (1)设a =(x,y),则 | a | ? x ? y
2

2

2

或|a |=
2

x ? y
2

2

.
2

B 若设 A ? x 1 , y 1 ? 、 ? x 2 , y 2 ? 则

AB ?

? x 2 ? x 1 ? ? ? y 2 ? y1 ?

即平面内两点间的距离公式.
(2)写出向量夹角公式的坐标式,向量平行和垂直的坐 标表示式.
cos ? ?
2

x 1 x 2 ? y1 y 2 x 1 ? y1 ?
2

x2 ? y2
2

2

a // b ? x 1 y 2 ? x 2 y 1 ? 0
a ? b ? x 1 x 2 ? y1 y 2 ? 0

5.7 平面向量数量积的坐标表示
例题讲解
例1.设a 解:
? ? 5 , ? 7 ? , ? ? ? 6 , ? 4 ? ,求 a ? b . b a ? b ? 5 ? ?? 6 ? ? ?? 7 ? ? ?? 4 ? ? ? 2

a 、b 夹角的余弦值?
cos ? ? x 1 x 2 ? y1 y 2 x 1 ? y1 ?
2 2

x2 ? y2
2

2

?

?2 74 52

?

962 962

5.7 平面向量数量积的坐标表示
B C 例2.已知 A ?1, 2 ? , ? 2 , 3 ? , ? ? 2 , 5 ? ,求证 ? ABC 是直角三角形.

证明:∵ AB

? ? 2 ? 1, 3 ? 2 ? ? ?1,1 ?

AC ? ? ? 2 ? 1, 5 ? 2 ? ? ? ? 3 , 2 ?

∴ AB ? AC ? 1 ? ? ? 3 ? ? 1 ? 3 ? 0
? ABC 是直角三角形.

5.7 平面向量数量积的坐标表示
例3.求 a ? ? 3 ? 1, 3 ? 1 ? 与向量的夹角为 45 ? 的单位向 量. 解:设所求向量为 b ? ? cos ? , sin ? ? ∵ a 与b 成 45 ? ∴
a ?b ? 2 ? 8 ? 2

另一方面 ?

a ?b ?

3 ? 1 ? cos ? ?
3 ? 1 ? cos ? ?

?

2 3 ? 1 ? sin ? ? 2
3 ? 1 ? cos ?

?
2

?

……①

? ? cos ? ? 1 1 3 cos ? ? ? , ? ? sin 联立解之: 2 2 1 3 或 cos ? ? ? ,sin ? ? 2 2 3 1? 3? ? ? 1 ? b1 ? ? ? , ?或 b 2 ? ? ? , ? 2 2? ? ? 2 2 ?



sin

2

……②

5.7 平面向量数量积的坐标表示
练习:
b (1)已知 a ? 3 , ? ?1, 2 ? 且 a // b ,求 a .
6 ? 3 6 ? ? 3 ? a ?? , ,? ?或 a ? ? ? ? 5? 5 5? ? 5 ?

(2)已知a =(4,2),求与a 垂直的单位向量.
2 ? 1 2 ? ? 1 ? e ?? ,? 或e ? ?? , ? ? 5? 5 5? ? 5 ?
AC AB Rt (3) ? ABC 中, ? ? 2 , 3 ? , ? ?1, k ?

,求k 的值.
11 3

① A ? 90 ?时 k ? ?
③ C ? 90 ?时 k ?

2 3

② B ? 90 ?时 k ?
13 2

3?


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