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广东省十校2014届高三上学期第一次联考数学理试题


“十校”2013—2014 学年度高三第一次联考

理科数学试题
本试卷共 6 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填 写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用黑色字迹钢笔或签字笔将答案填写在答题卡上对应题目的 序号下面,如需改动,用橡皮擦干净后,再选填其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、 多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

(选择题

共 4 0 分)

一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设集合 P ? ?3, log 2 a? , Q ? ?a, b? ,若 P ? Q ? ?0? ,则 P ? Q ? ( ) 3, 0? 3, 0, 2? C. ?3 , 0 ? 1 , 3, 0,1, 2? A. ? B. ? D. ?
2.如图,在复平面内,复数 z1 , z 2 对应的向量分别是

??? ??? ? ? z OA , OB ,则复数 1 对应的点位于( z2
B.第二象限 D.第四象限



A.第一象限 C.第三象限 A . 55

3.已知等差数列 ?a n ?中, a2 ? 5 , a4 ? 11 ,则前 10 项和 S10 ? ( B . 155 C . 350 4.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况,抽取了 n (单 位:元) ,其中支出在 ? 30,50 ? (单位:元)的同学 有 67 人,其频率分布直方图如右图所示,则 n 的值为( ) D.390 ??? C.130 ? ??? ? ? 5.平面四边形 ABCD 中 AB ? CD ? 0 , ??? ???? ???? ? ( AB ? AD ) ? AC ? 0 ,则四边形 ABCD 是 ( A.矩形 B.梯形 C.正方形 A.100 B.120 个同学进行调查,结果显示这些同学的支出都在[10,50)



D . 400

) D.菱形

6. 一个四棱锥的三视图如图所示,其中主视图是腰长为 1 的等腰 直角三角形,则这个几何体的体积是 A.

1 2

B. 1

C.

3 2
2

D. 2
2

7.下列命题:①函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最小正周期是 ? ;
1

②函数 f ( x) ? (1 ? x) ③若

1? x 是偶函数; 1? x

?

a

1

1 dx ? 1(a ? 1) ,则 a ? e ; ④椭圆 2 x 2 ? 3 y 2 ? m(m ? 0) 的离心率不确定。 x
B.③④ ) B.81 个 C.165 个 D.216 个 C.②④ D.①③

其中所有的真命题是( ) A.①② 这样的三位数 n 有( A.45 个 8.设三位数 n ? abc ,若以 a, b, c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)
(一)必做题(9~13 题)

? 3 9. 已知 sin( ? ? ) ? , ?0 ? ? ? ? ? ,则 tan? =________ . 2 2
10.若 (1 ? 2 x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? a4 x ? a5 x ,
5 2 3 4 5

则 a3=



11. 右图是一个算法的程序框图,最后输出的 W=________. 12.在区间 [?5,5] 内随机地取出一个数 a ,使得 1?{x | 2 x 2 ? ax ? a 2 ? 0} 的概率为 . 13.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩 上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图4中的 实心点个数1,5,12,22,?, 被称为五角形数,其中第1个五角形数记作 a1 ? 1 , 第 2 个 五 角 形 数 记 作 a2 ? 5 , 第 3 个 五 角 形 数 记 作 a3 ? 12 , 第 4 个 五 角 形 数 记 作

a4 ? 22 ,??,若按此规律继续下去,若 an ? 145 ,则 n ?



1

5

12 图4

22

(二)选做题:第 14、1 5 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计 算前一题的得分.
14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知在平面直角坐标系 xoy 中圆 C 的参数方程为:

? x ? 3 ? 3cos ? ? , ? 为参数) ( ,以 OX 为极轴建立极坐标系,直线极坐标方程为:ks5u ? y ? 1 ? 3sin ? ? ?

2

? ? cos( ? ) ? 0, ?
6

则圆 C 截直线所得弦长为 的内接三角形, 于点 D,

.

15.(几何证明选讲选做题)如图,△ABC 是 PA 是 的切线,PB 交 AC 于点 E,交 PA=PE, ?ABC ?

60

? ,PD=1,PB=9,则 EC=

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 1 sin πx ? cos πx , x ?R . 2 2

(1)求函数 f ( x) 的最大值和最小值; (2)设函数 f ( x) 在 [?1,1] 上的图象与 x 轴的交点从左到右分别为 M、N,图象的最高点为

P,

求 PM 与 PN 的夹角的余弦.

???? ?

????

17. (本小题满分 12 分) PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物, 也称为可 入肺颗粒物。 我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值, PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级; 即 在 35 微克/立方米 ~ 75 微克/立方米之间空气质量为二级; 75 微克/立方米以上空气质量 在 为超标. 某试点城市环保局从该市市区 2011 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机的抽取 15 天的 数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶) (I)从这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,求 恰有一天空气质量达到一级的概率; (II)从这 15 天的数据中任取三天数据,记 ? 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数,求 ? 的分布列; (III)以这 15 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况, 则一年(按 360 天计算)中平均有多少天的空气质量达到 一级或二级.

3

19. (本小题满分 14 分)

设 S n 为数列 ? an ? 的前 n 项和,对任意的 n ? N ? ,都有 Sn ? (m ? 1) ? man ( m 为正常数).

(1)求证:数列 ? an ? 是等比数列; (2)数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2a1 , bn ?

bn ?1 , (n ? 2, n ? N ? ) ,求数列 ?bn ? 的通项公式; 1 ? bn ?1
2 n ?1 cos(n ? 1)? } 的前 n 项和 Tn . bn

(3)在满足(2)的条件下,求数列 {

x2 y 2 3 20. (本大题满分 14 分)如图,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以 2 a b
椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T : ( x ? 2) ? y ? r (r ? 0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N . (1)求椭圆 C 的方程; ???? ??? ? (2)求 TM ? TN 的最小值,并求此时圆 T 的方程; y (3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任意一点, 且直线 MP , NP 分别与 x 轴交于点 R , S , O 为坐标原点, P 求证: OR ? OS 为定值. M
2 2 2

21. (本大题满分 14 分) 已知函数

R

T N

S

O

x

x2 f ( x) ? ln(2ax ? 1) ? ? x 2 ? 2ax(a ? R). 3
(1)若 x=2 为 f ( x) 的极值点,求实数 a 的值; (2)若 y ? f ( x) 在 ?3, ?? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (3)当 a ? ?

(1 ? x)3 b 1 ? 有实根,求实数 b 的最大值。 时,方程 f (1 ? x) ? 3 x 2

“十校”2013—2014 学年度高三第一次联考
4

理科数学答案
一、选择题 C B B A DADC 1. 【答案】 【解析】 P ? Q ? ?0? ,得 log 2 a ? 0 ∴ a ? 1 , C 由 从而 b=0 ,P ? Q ? ?3, 0,1? , ,
2. 【答案】B 【解析】复数 z1 ? ?2 ? i , z2 ? i ,

z1 ?2 ? i ?(2 ? i)i ? ? ? ?1 ? 2i , z2 i i2

3. 【答案】B 【解析】由 ? 4. 【答案】A

?a2 ? a1 ? d ? 5 ?a ? 2 ?? 1 ? S10 ? 10a1 ? 10(10?1) d ? 155 。 2 a4 ? a1 ? 3d ? 11 ?d ? 3 ?

【解析】支出在 ? 30,50 ? 的同学的频率为 1 ? (0.01 ? 0.023) ? 10 ? 0.67 ,

n?

5. 【答案】D 【解析】 AB ? CD ? 0 ? AB ? ?CD ? DC ? ABCD是平行四行边形 ,

??? ??? ? ??? ? ? ? ??? ???? ? ??? ???? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ( AB ? AD ) ? AC ? DB ? AC ? 0 ? DB ? AC ,?平行四行边形ABCD是菱形 。
1 1 2 1 ? (1 ? 2) ? 2 ? ? 3 2 2 2
2? ?? 2

67 ? 100 。 0.67

6. 【答案】A 【解析】四棱锥如图, V ?

7. 【答案】D 【解析】① f ( x) ? ?(cos 2 x ? sin 2 x) ? ? cos 2 x, T ? ②

1? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1 , f ( x) 定义域不关于原点对称, f ( x) 不是偶函数。 1? x
a 1

③若 ?

a 1 dx ? ln x ? ln a ? ln1 ? ln a ? 1 ?a ? e ,则 a ? e ; 1 x

2 2 m m c2 a2 ? b2 1 3 ④ 2 x 2 ? 3 y 2 ? m(m ? 0) ? x ? y ? 1, a 2 ? , b 2 ? , e 2 ? 2 ? ? ?e ? 2 2 3 3 3 a a m m 2 3 (确定)

8. 【答案】 【解析】a, b, c 要能构成三角形的边长, C 显然均不为 0。 a, b, c ? {1,2,3,? ? ?,9} 即 (1)若构成等边三角形,设这样的三位数的个数为 n1 ,由于三位数中三个数码都相同,所 以,。 n1 ? C 9 ? 9 (2)若构成等腰(非等边)三角形,设这样的三位数的个数为 n 2 ,由
1

于三位数中只有 2 个不同数码。设为 a、b,注意到三角形腰与底可以置换,所以可取的数 码组(a,b)共有 2C 9 组。但当大数为底时,设 a>b,必须满足 b ? a ? 2b 。此时,不能构
2

成三角形的数码是 a b 9 4,3 2,1 8 4,3 2,1 7 3,2 1 6 3,2 1 5 1,2 4 1,2 3 1 2 1
2

1

共 20 种情况。 同时,每个数码组(a,b)中的二个数码填上三个数位,有 C 3 种情况。 故 n2 ? C3 (2C9 ? 20) ? 156 ,。 综上, n ? n1 ? n2 ? 165 。
2 2

二、填空题:9.

3 ;10. 80 ; 11. 22 ; 13. 10 ;14. 4 2 ;15. 4 。 3

5

9. 【答案】

3 3

sin( 【解析】

?
2

? ? ) ? cos? ?
3 3

3 3 , ?0 ? ? ? ? ? 所以 ? ? 30 0 ,tan? = 2 3
3

10. 【答案】80 11. 【答案】22

【解析】 T3?1 ? C5 (2 x) ? 80 x , a 3 ? 80 【解析】第 1 次运算得:S=1,T=3 ;第 2 次运算得:S=8 ,T= 5 ;第 3

次运算得:S=25-8 =17>10, 这时输出的 W=17+5=22 3 2 2 2 12. 【答案】 【解析】由 1 ? x | 2 x ? ax ? a ? 0 ,得 a ? a ? 2 ? 0 ? ?1 ? a ? 2 , 10 3 所以所求概率为 .

?

?

10

13. 【答案】10

类比得 an ? an?1 ? 4 ? 3[(n ? 1) ? 1] ? 3n ? 2

【解析】由于 a2 ? a1 ? 4, a3 ? a2 ? 7, a4 ? a3 ? 10, ??? ,

所以 an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ??? ? (an ? an ?1 ) ? 1 ? 4 ? 7 ? ??? ? (3n ? 2)

?

1 ? 3n ? 2 3n ? 1 3n ? 1 29 n? n ,由 an ? n ? 145 ,得 n ? 10 或 n ? ? (舍) 2 2 2 3
? x ? 3 ? 3cos ? ? 的圆心为 ( 3 ,1) ,半径为 3, ? y ? 1 ? 3sin ? ?

14. 【答案】 4 2 【解析】圆 C 的参数方程为 ?

直线普通方程为 ? (cos ? cos

?

? 3 1 ? sin ? sin ) ? x ? y ? 0 ,即 3x ? y ? 0 , 6 6 2 2
2

| 3 ? 1| ?1, 圆心 C ( 3 ,1) 到直线 3x ? y ? 0 的距离为 d ? 3 ?1
所以圆 C 截直线所得弦长 | AB |? 2 r ? d ? 2 3 ? 1 ? 4 2
2 2 2 2

15. 【答案】4 【解析】弦切角 ?PAE ? ?ABC ? 60 ,又 PA=PE,
0

所以 ?PAE 为等边三角形,由切割线定理有 PA ? PD ? PB ? 9 ,所以 AE=EP=PA=3,
2

ED=EP ? PD=2,EB=PB ? PE=9 ? 3=6,由相交弦定理有: EC ? EA ? EB ? ED ? 12

EC ? 12 ? 3 ? 4
三、解答题: 16.解: (1) f ( x) ?

3 1 π sin πx ? cos πx ? sin(πx ? ) , ???3 分 2 2 6

∵ x ?R ,∴ ?1 ? sin(πx ? ) ? 1 , ∴函数 f ( x) 的最大值和最小值分别为 1,-1. (2)解法 1:令 f ( x) ? sin(πx ? ) ? 0 得 πx ? ???5 分

π 6

π π ? kπ, k ? Z .???6 分 6 6 1 5 1 5 ∵ x ?[?1,1] ,∴ x ? ? 或 x ? ,∴ M (? , 0), N ( , 0). ???8 分 6 6 6 6 π 1 1 由 sin(πx ? ) ? 1 ,且 x ?[?1,1] 得 x ? ,∴ P ( ,1), ???9 分 6 3 3 ???? ? ???? 1 1 ∴ PM ? (? , ?1), PN ? ( , ?1), ???10 分 2 2
6

???? ???? ? ???? ???? ? PM ? PN 3 ? ???? ? . ∴ cos PM , PN ? ???? | PM | ? | PN | 5

???12 分

解法 2:过点 P 作 PA ? x 轴于 A ,则 | PA |? 1, 由三角函数的性质知 | MN |?

???6 分

1 5 1 , ???8 分 T ? 1 , | PM |?| PN |? 12 ? ( ) 2 ? 2 2 2

5 ? 2 ?1 ???? ???? | PM |2 ? | PN |2 ? | MN |2 ? 3 由余弦定理得 cos PM , PN ? =4 ? .???12 5 2 | PM | ? | PN | 5 2? 4
分 解法 3:过点 P 作 PA ? x 轴于 A ,则 | PA |? 1, ???6 分

由三角函数的性质知 | MN |? 1 T ? 1 , | PM |?| PN |? 1 ? ( ) ? .???8 分 2 2 2
2 2

1

5

在 Rt?PAM 中, cos ?MPA ?

| PA | 1 2 5 .???10 分 ? ? | PM | 5 5 2


∵PA



?M

P



N

∴ cos ?MPN ? cos 2?MPA ? 2cos2 ?MPA ? 1 ? 2 ? ( 2 5 ) 2 ? 1 ? 3 ?12 分 5 5 17.解: (Ⅰ)记“从 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质 量达到一级”为事件 A , P ( A) ?
1 2 C5 ? C10 45 ? . ???4 分 3 C15 91

(Ⅱ) 依据条件, 服从超几何分布: 其中 N ? 15, M ? 5, n ? 3 , 的可能值为 0,1, 2,3 ? ? ???5 分 其分布列为:
3 C5k C10?k P ?? ? k ? ? ? k ? 0,1, 2,3? . 3 C15

?
???8

0
24 91

1
45 91

2
20 91

3

P



2 91

(Ⅲ)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 P ? 分 一年中空气质量达到一级或二级的天数为? ,则? ~ B(360, )

10 2 ? ,?9 15 3
???10 分 ??11 分 ?? 12 分

2 3

? E? ? 360 ?

?一年中平均有 240 天的空气质量达到一级或二级
7

2 ? 240 , 3

18.证明:记 PD 中点为 F 。连结 EF 、FA ,则 AB 1分 所以 FABE 为平行四边形。? BE // AF 又 AF ? 面PAD , EF ? 面PAD ? BE // 面PAD ( 2 ) 连 结 BD

1 CD, FE 2

1 CD, 所以 AB 2

FE?

???2 分 ???4 分
0

在 直 角 梯 形 ABCD 中 。 ?ADC ? ?DAB ? 90 , 2 2 BC ? AD ? ( DC ? AB)2 ? 2 , BD2 ? AD2 ? AB2 ? 2 ,所以 BD2 ? BC 2 ? 4 ? CD2 ,

BC ? BD ?? 5 分
? 面PCD ? 面ABCD ? CD ? ? ? ? PD ? 面ABCD ? PD ? BC ,? 6 分 PD ? CD ? ? PD ? 面PCD ?
又 BC ? BD , BD ? PD ? D ? BC ? 面PDB ,? 7 分 而 BC ? 面PBC ?面 PBD ? 面 PBC ?? 8 分

面PCD ? 面ABCD

19. (本小题满分 14 分) (1)证明:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? (m ? 1) ? ma1 ,解得 a1 ? 1 .?????1 分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? man ?1 ? man .即 (1 ? m)an ? man ?1 .????2 分

an m ? (n ? 2) . an ?1 1 ? m m ∴数列 {an } 是首项为 1,公比为 的等比数列. 1? m (2)解: b1 ? 2a1 ? 2 . ?????????4 分
又 m 为常数,且 m ? 0 ,∴

????????3 分

8

∵ bn ? ∴? ∴

bn ?1 1 1 1 1 ,∴ ? ? 1 ,即 ? ? 1(n ? 2) .????5 分 bn bn ?1 bn bn ?1 1 ? bn ?1

?1? 1 ? 是首项为 ,公差为 1 的等差数列.?????????6 分 2 ? bn ?

1 1 2n ? 1 2 ,即 bn ? ? ? (n ? 1) ?1 ? bn 2 2 2n ? 1

(n ? N ? ) .????7 分

(3)解:由(2)知 bn ?

2 2 n ?1 ,则 cos(n ? 1)? ? (?1) n ?1 (2n ? 1) ? 2 n bn 2n ? 1
2 3 4 n ?1

所以 Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?(?1)

(2n ? 1) ? 2 n

??

8分 当 n 为偶数时, Tn ? 1 ? 2 ? 5 ? 2 3 ? ?9 ? 2 5 ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 3) ? 2 n?1 ? [3 ? 2 2 ? 7 ? 2 4 ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n ] 令 S ? 1 ? 2 ? 5 ? 2 3 ? ?9 ? 2 5 ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 3) ? 2 n ?1 ①-②得 ???① 则 4S ? 1 ? 2 3 ? 5 ? 2 5 ? ?9 ? 2 7 ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 7) ? 2 n ? (2n ? 3) ? 2 n ?1 ???②

? 3S ? 1 ? 2 ? 4 ? 2 3 ? 4 ? 2 5 ? ? ? ? ? ? ? 4 ? 2 n ?1 ? (2n ? 3) ? 2 n ?1
n

4 ? 2 3 (1 ? 4 2 ) = 1? 2 ? ? (2n ? 3) ? 2 n?1 1? 4 ? 6 ? 32 ? 2 n ?3 ? 3(2n ? 3) ? 2 n ?1 26 ? (6n ? 13) ? 2 n ?1 = = ?3 ?3 n ?1 26 ? (6n ? 13) ? 2 ?S ? 9
分 令 S ? 3 ? 2 ? 7 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? 2
/ 2 4 n

?1

??10

???③

4S / ? 3 ? 2 4 ? 7 ? 2 6 ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 5) ? 2 n ? (2n ? 1) ? 2 n ? 2 ???④
/ 2 4 6 n n?2 ③-④得 ? 3S ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? 4 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 4 ? 2 ? (2n ? 1) ? 2

4 ? 2 (1 ? 4 ) ? (2n ? 1) ? 2 n? 2 1? 4 ? 36 ? 64 ? 2 n ? 4 ? 3(2n ? 1) ? 2 n ? 2 28 ? (6n ? 7) ? 2 n ? 2 = = ?3 ?3 n?2 28 ? (6n ? 7) ? 2 ?S/ ? ??11 分 9 26 ? (6n ? 13) ? 2 n ?1 28 ? (6n ? 7) ? 2 n ? 2 (6n ? 1) ? 2 n ?1 ? 2 ? Tn ? S ? S / ? ? ?? 9 9 9
= 12 ?
4

n ?1 2

??12 分 当 n 为奇数时,n-1 为偶数,

? Tn ? Tn ?1 ? (?1) n ?1 (2n ? 1) ? 2 n ? ?

[6(n ? 1) ? 1] ? 2 n ? 2 ? (2n ? 1) ? 2 n 9 n n (?6n ? 7) ? 2 ? 2 ? (18n ? 9) ? 2 (12 n ? 2) ? 2 n ? 2 (6n ? 1) ? 2 n ?1 ? 2 ? ? = 9 9 9

9

? (6n ? 1) ? 2 n ?1 ? 2 (n为偶数) ?? ? 9 ? Tn ? ? ??????14 分 n ?1 ? (6n ? 1) ? 2 ? 2 (n为奇数) ? 9 ? 2 3 4 n ?1 n 法二: Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?(?1) (2n ? 1) ? 2 ??
① ? 2Tn ? ?1 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? 5 ? 2 4 ? 7 ? 2 5 ? ? ? ? ? ? ? ?(?1) n?1 (2n ? 3) ? 2 n ? (?1) n?1 (2n ? 1) ? 2 n?1 ?② ????9 分 ①-②得:

3Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? 2 ? 2 4 ? 2 ? 2 5 ? ? ? ? ? ? ? ?(?1) n?1 ? 2 ? 2 n ? (?1) n?1 (2n ? 1) ? 2 n?1
???? 10 分 =2? 12 分 =

? 2 3 [1 ? (?2) n ?1 ] ? (?1) n ?1 (2n ? 1) ? 2 n ?1 1 ? (?2)

????

6 ? 8 ? (?1) n ?1 2 n ? 2 ? 3(?1) n ?1 (2n ? 1) ? 2 n ?1 3 ? 2 ? (2 ? 6n ? 3) ? 2 n ?1 (?1) n ?1 (6n ? 1) ? 2 n ?1 (?1) n ?1 ? 2 ? 3 3
???13 分

?

(?1) n ?1 (6n ? 1) ? 2 n ?1 ? 2 ? Tn ? 9

????

14 分 20.本题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识,考查运算求解能力、推理论证 能力,考查函数与方程思想、数形结合思想 解: (1)依题意,得 a ? 2 , e ?

c 3 2 2 ? ,? c ? 3 , b ? a ? c ? 1; a 2

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 . ???????3 分 4

(2)方法一:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M ( x1 , y1 ) , N ( x1 ,? y1 ) , 不妨设 y1 ? 0 . 由于点 M 在椭圆 C 上,所以 y1 ? 1 ?
2

x1 . 4

2

(*)

?????4 分

由已知 T (?2, 0) ,则 TM ? ( x1 ? 2, y1 ) , TN ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ,

10

? TM ? TN ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ? ( x1 ? 2) 2 ? y1
2

2

x1 5 2 5 8 1 ) ? x1 ? 4 x1 ? 3 ? ( x1 ? ) 2 ? .???6 分 4 4 4 5 5 ???? ??? ? 8 1 由于 ? 2 ? x1 ? 2 ,故当 x1 ? ? 时, TM ? TN 取得最小值为 ? . 5 5 3 8 3 13 由(*)式, y1 ? ,故 M ( ? , ) ,又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r 2 ? . 5 5 5 25 13 故圆 T 的方程为: ( x ? 2) 2 ? y 2 ? . ???????8 分 25 方法二:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,故设 M (2cos ? ,sin ? ), N (2cos ? , ? sin ? ) , 不妨设 sin ? ? 0 ,由已知 T (?2, 0) ,则 TM ?TN ? (2 cos? ? 2, sin ? ) ? (2 cos? ? 2, ? sin ? ) 4 1 2 ? (2 c o ? ? 2) 2 ? s i n ? ? 5 c o 2 ? ? 8 c o ? ? 3 ? 5( c o?s ? ) 2 ? .??6 分 s s s 5 5 ???? ??? ? 4 1 8 3 故当 cos ? ? ? 时, TM ? TN 取得最小值为 ? ,此时 M ( ? , ) , 5 5 5 5 13 2 又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r ? . 25 13 2 2 故圆 T 的方程为: ( x ? 2) ? y ? . ???8 分 25 ? ( x1 ? 2) 2 ? (1 ?
(3) 方法一:设 P( x0 , y 0 ) ,则直线 MP 的方程为: y ? y 0 ?

y 0 ? y1 ( x ? x0 ) , x0 ? x1
????10 分

令 y ? 0 ,得 x R ?
2 2

x1 y 0 ? x0 y1 x y ? x0 y1 , 同理: x S ? 1 0 , y 0 ? y1 y 0 ? y1
2 2

故 xR ? xS ?

x1 y 0 ? x0 y1 y 0 ? y1
2 2

(**)

??????11 分

又点 M 与点 P 在椭圆上,故 x0 ? 4(1 ? y 0 ) , x1 ? 4(1 ? y1 ) ,????????12 分
2 2
2 2

代入(**)式,得: x R ? x S ?

4(1 ? y1 ) y 0 ? 4(1 ? y 0 ) y1
2 2 2

2

y 0 ? y1
2

2

?

4( y 0 ? y1 )
2 2

y 0 ? y1
2

2

? 4.

所以 OR ? OS ? x R ? x S ? x R ? x S ? 4 为定值.????????14 分 方法二:设 M (2cos ? ,sin ? ), N (2cos ? , ? sin ? ) ,不妨设 sin ? ? 0 , P(2 cos? , sin ? ) , 其中 sin ? ? ? sin? .则直线 MP 的方程为: y ? sin ? ? 令 y ? 0 ,得 x R ?

2(sin ? cos? ? cos? sin ? ) , sin ? ? sin ?

sin ? ? sin ? ( x ? 2 cos? ) , 2 cos? ? 2 cos?

11

同理: x S ? 故 xR ? xS ?

2(sin ? cos? ? cos? sin? ) ,??????12 分 sin ? ? sin?
4(sin 2 ? cos2 ? ? cos2 ? sin 2 ? ) 4(sin 2 ? ? sin 2 ? ) ? ?4. sin 2 ? ? sin 2 ? sin 2 ? ? sin 2 ?

所以 OR ? OS ? x R ? x S ? x R ? x S ? 4 为定值.????14 分
x[2ax 2 ? (1 ? 4a) x ? (4a 2 ? 2)] 2a ? x 2 ? 2 x ? 2a ? 2ax ? 1 2ax ? 1 因为 x = 2 为 f (x)的极值点,所以 f ?(2) ? 0 2a 即 ? 2a ? 0 ,解得:a = 0 4a ? 1 又当 a = 0 时, f ?( x) ? x( x ? 2) ,从而 x = 2 为 f (x)的极值点成立.

21.(1)解: f ?( x) ?

??1 分 ??2 分 ??3 分 ??4 分

(2)解:∵f (x)在区间[3,+∞)上为增函数, x[2ax 2 ? (1 ? 4a) x ? (4a 2 ? 2)] ∴ f ?( x) ? ??5 分 ≥ 0 在区间[3,+∞)上恒成立. 2ax ? 1 ①当 a = 0 时, f ?( x) ? x( x ? 2) ≥0 在[3,+∞)上恒成立,所以 f (x)在[3,+∞)上为增函数, 故 a = 0 符合题意. ??6 分 ②当 a≠0 时,由函数 f (x)的定义域可知,必须有 2ax + 1 > 0 对 x≥3 恒成立,故只能 a > 0, 所以 2ax2 ? (1 ? 4a) x ? (4a2 ? 2) ≥ 0 在区间[3,+∞)上恒成立. ??7 分 1 令 g ( x) ? 2ax2 ? (1 ? 4a) x ? (4a 2 ? 2) ,其对称轴为 1 ? ??8 分 4a 1 ∵a > 0,∴ 1 ? ? 1 ,从而 g (x)≥0 在[3,+∞)上恒成立,只要 g (3)≥0 即可, 4a 3 ? 13 3 ? 13 由 g (3) ? ?4a2 ? 6a ? 1≥ 0 ,解得: ??9 分 ≤a≤ 4 4 3 ? 13 3 ? 13 ∵a > 0,∴ 0 ? a ≤ .综上所述,a 的取值范围为[0, ] ??10 分 4 4
(1 ? x)3 b 1 时,方程 f (1 ? x) ? ? 可化为, ln x ? (1 ? x)2 ? (1 ? x) ? 3 x 2 问题转化为 b ? x[ln x ? x ? x 2 ] 在(0, +∞)上有解 (2 x ? 1)(1 ? x) 1 令 h( x) ? ln x ? x ? x 2 ,则 h?( x) ? ? 1 ? 2 x ? x x 当 0 < x < 1 时, h ?( x) ? 0 ,∴h (x)在(0,1)上为增函数 当 x > 1 时, h ?( x) ? 0 ,∴h (x)在(1,+∞)上为减函数 故 h (x)≤h (1) = 0,而 x > 0,故 b ? xh( x) ≤ 0 即实数 b 的最大值是 0.

(3)解: a ? ?

b . x ??11 分

?12 分

??14 分

12


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