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给学生---【家教资料】高中数学必修一


基本初等函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ③ 根 式 的 性 质 : ( n a )n ? a ; 当 n 为 奇 数 时 ,
n

n

an ? a ; 当 n 为 偶 数 时 ,

(a ? 0) ?a . a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)

(2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: a n ? n am (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数 幂等于 0. ②正数的负分数指数幂的意义是: a 分数指数幂没有意义. (3)分数指数幂的运算性质 ① ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? R) ③ (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? R) ② (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? R)
? m n

m

1 m 1 ? ( ) n ? n ( )m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的负 a a

【2.1.2】指数函数及其性质 (4)指数函数 函数 名称 定义 指数函数 函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数
a ?1

0 ? a ?1
y ? ax

y

y ? ax

y

图象

y?1
(0,1)

y?1

(0,1)

O

1

x 0
R

O

1

x 0

定义 域 值域

(0, ??)
第 1 页 / 共 9 页

基本初等函数 过定 点 奇偶 性 单调 性 函数 值的 变化 情况 图象过定点 (0,1) ,即当 x ? 0 时, y ? 1 . 非奇非偶 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a变 在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象 化对 图 越低. 象的影响
〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 (1)对数的定义 ①若 a x ? N (a ? 0, 且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x ? log a N ,其中 a 叫做底 数, N 叫做真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: x ? loga N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . (2)几个重要的对数恒等式

loga 1 ? 0 , loga a ? 1 , log a ab ? b .
(3)常用对数与自然对数 常用对数: lg N ,即 log10 N ;自然对数: ln N ,即 loge N (其中 e ? 2.71828 …) . (4)对数的运算性质 如果 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么 ①加法: loga M ? loga N ? loga (MN ) ②减法: log a M ? log a N ? log a
M N

③数乘: n loga M ? loga M n (n ? R)
第 2 页 / 共 9 页

基本初等函数 ④ a loga N ? N ⑤ log ab M n ?
n log a M (b ? 0, n ? R) b

⑥换底公式: log a N ?

logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

【2.2.2】对数函数及其性质 (5)对数函数 函数 名称 定义 对数函数 函数 y ? loga x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数
a ?1

0 ? a ?1

y

x?1

y ? loga x

y

x?1

y ? loga x

图象
O

1

(1, 0)

0

x

O

(1, 0) 1 0

x

定义 域 值域 过定 点 奇偶 性 单调 性 函数 值的 变化 情况

(0, ??)
R

图象过定点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 . 非奇非偶 在 (0, ??) 上是增函数
log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

在 (0, ??) 上是减函数
log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a变 化 对 在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象 图 象 的 越靠高. 影响
第 3 页 / 共 9 页

基本初等函数 〖2.3〗幂函数 (2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数 时,图象分布在第一、二象限(图象关于 y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图 象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在 [0, ??) 上为增函数.如果 ? ? 0 , 则幂函数的图象在 (0, ??) 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与 y 轴. ④奇偶性:当 ? 为奇数时,幂函数为奇函数,当 ? 为偶数时,幂函数为偶函数.当 ? ?
q p

q p

(其中 p, q 互质, p 和 q ? Z ) ,若 p 为奇数 q 为奇数时,则 y ? x 是奇函数,若 p 为奇数 q 为 偶数时,则 y ? x 是偶函数,若 p 为偶数 q 为奇数时,则 y ? x 是非奇非偶函数. ⑤图象特征:幂函数 y ? x? , x ? (0, ??) ,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下
第 4 页 / 共 9 页
q p q p

基本初等函数 方,若 x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上方,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上方, 若 x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方. 〖补充知识〗二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ③两根式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) (2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 f ( x) 更方便. (3)二次函数图象的性质 ①二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x ? ? 坐标是 (?
b 4ac ? b2 , ). 2a 4a
b b ] 上递减,在 [ ? , ?? ) 上递增,当 2a 2a b , 顶点 2a

②顶点式: f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0)

②当 a ? 0 时,抛物线开口向上,函数在 ( ??, ?
x??

b b 4ac ? b2 时, f min ( x) ? ;当 a ? 0 时,抛物线开口向下,函数在 ( ??, ? ] 上递增,在 2a 2a 4a

[?

b b 4ac ? b2 , ?? ) 上递减,当 x ? ? 时, f max ( x) ? . 2a 2a 4a

③二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴有两个交点

M1 ( x1 ,0), M 2 ( x2 ,0),| M1M 2 |?| x1 ? x2 |?

? . |a|

(4)一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉 及, 但尚不够系统和完整, 且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理 (韦 达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布. 设一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 .令 f ( x) ? ax2 ? bx ? c , 从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向: a ②对称轴位置: x ? ?
第 5 页 / 共 9 页

b ③判别式: ? 2a

基本初等函数 ④端点函数值符号.

①k<x1≤x2

?

? ?△=b -4ac≥0 ?af(k)>0 b ? ?-2a>k
2

y
f (k ) ? 0
?

y
a?0

x??

b 2a

O

k x1
x??

k
x2
b 2a

O

x

?

x1

x2 x
a?0

f (k ) ? 0

②x1≤x2<k

?

? ?△=b -4ac≥0 ?af(k)>0 b ? ?-2a<k
2

y
a?0
O

y
f (k ) ? 0
?

x??
O

b 2a

x1

x2

k x
b 2a

k
x2
?

x1
a?0

x

x??

f (k ) ? 0

③x1<k<x2

?
y

af(k)<0
y
a?0
?

f (k ) ? 0 x2 x
a?0

O

k
?

x1

x2

x

x1

O

k

f (k ) ? 0

第 6 页 / 共 9 页

基本初等函数

④k1<x1≤x2<k2

?

?△=b -4ac≥0 ?a>0 ?f(k )>0 0 ?f(k )>b ?k <-2a<k
2 1 2 1 2

?△=b -4ac≥0 ?a<0 或?f(k )<0 0 ?f(k )<b ?k <-2a<k
2 1 2 1 2

y
? ?

a?0

y

f ( k1 ) ? 0 f ( k ) ? 0 2 x1 x2 k2 x
O

x??

b 2a

O k 1

k1
?

x1

x2

k2
?

x

x??

b 2a

f ( k1 ) ? 0 a?0

f (k 2 ) ? 0

⑤有且仅有一个根 x1(或 x2)满足 k1<x1(或 x2)<k2 虑 f(k1)=0 或 f(k2)=0 这两种情况是否也符合
y
?

?

f(k1)f(k2) ? 0,并同时考

a?0

y
f ( k1 ) ? 0
?

f ( k1 ) ? 0 x1 k2
?

O k 1

x2

x

O

x1 k 1
a?0

x2

k2

?

x

f (k 2 ) ? 0

f (k 2 ) ? 0

⑥k1<x1<k2≤p1<x2<p2

?

? ? ? ? ?

a>0 a<0 f(k1)>0 f(k1)<0 f(k2)<0 或 f(k2)>0 f(p1)<0 f(p1)>0 f(p2)>0 f(p2)<0

? ? ? ? ?

此结论可直接由⑤推出. (5)二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 [ p, q ] 上的最值 设 f ( x) 在区间 [ p, q ] 上的最大值为 M ,最小值为 m ,令 x0 ? (Ⅰ)当 a ? 0 时(开口向上) ① 若?
b ? p ,则 m ? f ( p) 2a 1 ( p ? q) . 2

最小值 b b ? q ,则 m ? f (? ) ②若 p ? ? 2a 2a

第 7 页 / 共 9 页

基本初等函数

a?0

yx ? ? b f (q) p
O

2a

a?0

y

x??

f (p) q
x

b 2a

f (q)
O
f (? b ) 2a

p

q

x

f
b f ((p) ? ) 2a

③若 ?

b ? q ,则 m ? f (q) 2a

a?0

y

x??

f (p) p (q) ① 若?
O

b 2a

q
x
b ) 2a

f f (?

最大值
b ? x0 ,则 M ? f (q) 2a

②?

b ? x0 ,则 M ? f ( p) 2a
a?0

a?0

yx ? ? b f

y

2a

x??

f q
x

b 2a

x(q) 0 p
O

(p) x0 p (q)

q
O

x
b ) 2a

f
b f ((p) ? ) 2a

f f (?

(Ⅱ)当 a ? 0 时(开口向下) 最大值
b ? p ,则 M ? f ( p) ①若 ? 2a
a?0

②若 p ? ?

b b ? q ,则 M ? f (? ) 2a 2a

f (?

yb
2a

)

a?0

f (?

yb
2a

)

f (p)
O

f q (p)
x
O

q p f
2a

p
b x ? ?(q) 2a

x

f

第 8 页 / 共 9 页x?? b (q)

基本初等函数

③若 ?

b ? q ,则 M ? f (q) 2a

a?0

f (?

f 2a )

yb

(q) p
O

q
x?? b 2a

x

f (p) ①若 ?

b ? x0 ,则 m ? f (q) 2a
a?0

最小值 b ? x0 ,则 m ? f ( p) . ②? 2a
a?0

f (?

yb
2a

)

f (?

f (p)

f 2a )

yb

(q)

x0 O p
b x ? ?(q) 2a

q
x

x0 p
O

q
x?? b 2a

x

f (p)

f

第 9 页 / 共 9 页


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