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9.2 两条直线的位置关系练习题


§9.2 两条直线的位置关系
一、选择题 1.直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是( A.3x+2y-1=0 C.3x+2y+7=0 B.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0 ).

3 解析 由直线 l 与直线 2x-3y+4=0 垂直,可知直线 l 的斜率是- ,由点斜式 2 3 可得直线 l 的方

程为 y-2=- (x+1),即 3x+2y-1=0. 2 答案 A )

2.m=-1 是直线 mx+(2m-1)y+1=0 和直线 3x+my+2=0 垂直的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析 由两直线垂直?3m+m(2m-1)=0?m=0 或-1,所以 m=-1 是两直线垂 直的充分不必要条件. 答案 A 3.直线 l:4x+3y-2=0 关于点 A(1,1)对称的直线方程为( A.4x+3y-4=0 C.4x-3y-4=0 解析 在对称直线上任取一点 P(x,y), 则点 P 关于点 A 对称的点 P′(x′,y′)必在直线 l 上. ?x′+x=2, 由? ?y′+y=2, 得 P′(2-x,2-y), )

B.4x+3y-12=0 D.4x-3y-12=0

∴4(2-x)+3(2-y)-2=0,即 4x+3y-12=0. 答案 B 4.过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( A.x+2y-5=0 C.x+3y-7=0 ).

B.2x+y-4=0 D.3x+y-5=0

解析 所求直线过点 A 且与 OA 垂直时满足条件,此时 kOA=2,故求直线的斜率

1 1 为- ,所以直线方程为 y-2=- (x-1),即 x+2y-5=0. 2 2 答案 A 5.已知点 A(1,-2),B(m,2),且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x+2y-2=0, 则实数 m 的值是( A.-2 ). B.-7 C.3 D.1

?1+m ? ,0?在直线 x+2y-2=0 上,把中点 解析 由已知条件可知线段 AB 的中点? ? 2 ? 坐标代入直线方程,解得 m=3. 答案 C 6. 直线 x ? ay ? 1 ? 0 与直线 (a ? 1) x ? 2 y ? 3 ? 0 互相垂直,则 a 的值为( A.-2 B.-1 C.1 D.2 )

解析 因为两直线垂直,所以 a ? 1 ? 2a ? 0 ,解得 a ? 1 ,故选 C. 答案 C 7.若曲线 y=2x-x3 在横坐标为-1 的点处的切线为 l,则点 P(3,2)到直线 l 的 距离为( 7 2 A. 2 ). B. 9 2 2 C. 11 2 2 D. 9 10 10

解析 由题意得切点坐标为(-1,-1).切线斜率为 k=y′|x=-1=2-3×(-1)2 =-1,故切线 l 的方程为 y-(-1)=-1[x-(-1)],整理得 x+y+2=0,由 点到直线的距离公式得:点 P(3,2)到直线 l 的距离为 答案 A 二、填空题 8. 若直线与直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与直线 2 x ? my ? 6 ? 0 互相垂直,则实数 m =___ ____.
1 2 1 2 解析 k1 ? , k2 ? ? ,?直线互相垂直,? k1 ? k2 ? ?1 ,即 ? (? ) ? ?1,? m ? 1 . 2 m 2 m 答案 1

|3+2+2| 7 2 = . 2 12+12

9. 已知直线 l1 : (k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0 与 l2 : 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则 k 的值是 ________.

解析 因为两直线平行,所以当 k ? 3 时,成立;当 k ? 3 时, k ? 4 ? 1 ,解得 k ? 5 . 答案 3 或 5 1 1 10.已知 + =1(a>0,b>0),点(0,b)到直线 x-2y-a=0 的距离的最小值

a b

为________. 解析 点(0,)到直线 x-2y-a=0 的距离为 d= b

a+2b
5



1 ?1 1? 1 (a+2b)? + ?= ?a b? 5 5

2b a? 1 3 5+2 10 ? ?3+ + ?≥ (3+2 2)= , a2=2b2 且 a+b=ab, a=1+ 2, 当 即 a b? 5 ? 5

b=

2+ 2 时取等号. 2 3 5+2 10 5

答案

11.若直线 m 被两平行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所截得的线段的长 为 2 2,则 m 的倾斜角可以是 ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°

其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案的序号). 解析 记直线 m 的倾斜角是 θ .由题意知直线 l1、l2 间的距离等于 2 = 2.又直 2

线 m 被直线 l1、 2 所截得的线段的长是 2 2, l 因此直线 m 与直线 l1 的夹角的正弦 2 1 值等于 = ,直线 m 与直线 l1 的夹角是 30°,又直线 l1 的倾斜角是 45°,因 2 2 2 此 θ =15°或 θ =75°,故正确答案的序号是①⑤. 答案 ①⑤ 12.已知 0<k<4,直线 l1:kx-2y-2k+8=0 和直线 l2:2x+k2y-4k2-4=0 与两坐标轴围成一个四边形,则使得这个四边形面积最小的 k 值为________. 解析 由题意知直线 l1,l2 恒过定点 P(2,4),直线 l1 的纵截距为 4-k,直线 l2 1 1 的横截距为 2k2+2,所以四边形的面积 S= ×2×(4-k)+ ×4×(2k2+2)=4k2 2 2 1 -k+8,故面积最小时,k= . 8

答案

1 8

三、解答题 13.已知直线 l:3x-y+3=0,求: (1)点 P(4,5)关于 l 的对称点; (2)直线 x-y-2=0 关于直线 l 对称的直线方程. 解析:设 P(x,y)关于直线 l:3x-y+3=0 的对称点为 P′(x′,y′). ∵kPP′·kl=-1,即

y′-y ×3=-1.① x′-x

又 PP′的中点在直线 3x-y+3=0 上, ∴3×

x′+x y′+y
2 - 2

+3=0.②

?x′=-4x+3y-9, ? 5 由①②得? 3x+4y+3 ?y′= 5 . ?
(1)把 x=4,y=5 代入③及④得 x′=-2,y′=7, ∴P(4,5)关于直线 l 的对称点 P′的坐标为(-2,7). (2)用③④分别代换 x-y-2=0 中的 x,y, 得关于 l 的对称直线方程为 化简得 7x+y+22=0.

③ ④

-4x+3y-9 3x+4y+3 - -2=0, 5 5

14.已知两直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件 的 a,b 的值. (1)l1⊥l2,且直线 l1 过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解析 (1)∵l1⊥l2,∴a(a-1)-b=0. 又∵直线 l1 过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0. 故 a=2,b=2. (2)∵直线 l2 的斜率存在,l1∥l2,∴直线 l1 的斜率存在.

∴k1=k2,即 =1-a. 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等, 4 ∴l1,l2 在 y 轴上的截距互为相反数,即 =b.

a b

b

2 故 a=2,b=-2 或 a= ,b=2. 3 15.过点 P(1,2)的直线 l 被两平行线 l1:4x+3y+1=0 与 l2:4x+3y+6=0 截 得的线段长|AB|= 2,求直线 l 的方程. 解析 设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1), ?y=kx+2-k, 由? ?4x+3y+1=0, ?y=kx+2-k, 由? ?4x+3y+6=0, ∵|AB|= 2, ∴ ? 5 ?2 ? 5k ?2 ? ? +? ? = 2, ?3k+4? ?3k+4? ?3k-7 -5k+8? , ?; 解得 A? 3k+4 ? ?3k+4 ?3k-12 8-10k? , ?. 解得 B? 3k+4 ? ? 3k+4

整理,得 7k2-48k-7=0, 1 解得 k1=7 或 k2=- . 7 因此,所求直线 l 的方程为 x+7y-15=0,或 7x-y-5=0. 16.过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1:2x+y-8=0 和 l2:x-3y+10=0 截 得的线段被点 P 平分,求直线 l 的方程. 解析 设 l1 与 l 的交点为 A(a,8-2a), 则由题意知,点 A 关于点 P 的对称点 B(-a,2a-6)在 l2 上, 代入 l2 的方程得-a-3(2a-6)+10=0, ∴a=4,即点 A(4,0)在直线 l 上, 所以直线 l 的方程为 x+4y-4=0.


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