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高中数学(人教A版 选修2-1)活页规范训练:2-3-2双曲线(Word有详解答案)


2.3.2

双曲线的简单几何性质

双基达标

?限时 20 分钟? ( 1 D. 4
2

1. 双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍, 则 m 的值为 1 A.- 4 B.-4
2 2

).

C.4

/>x2 解析 由双曲线方程 mx +y =1,知 m<0,则双曲线方程可化为 y - =1,则 a2=1, 1 - m 1 1 a=1,又虚轴长是实轴长的 2 倍,∴b=2,∴- =b2=4,∴m=- ,故选 A. m 4 答案 A 2. 双曲线 3x2-y2=3 的渐近线方程是 A.y=± 3x C.y=± 3x y2 解析 令 x2- =0,则 y=± 3x. 3 答案 C 3.已知中心在原点,对称轴为坐标轴且经过点 P(1,3),离心率为 2的双曲线的标准方程 为 x2 y2 A. - =1 4 4 x2 y2 C. - =1 8 8 y2 x2 B. - =1 4 4 y2 x2 D. - =1 8 8 ( ). 1 B.y=± x 3 3 D.y=± x 3 ( ).

2 2 c2 a +b b2 解析 由离心率为 2,∴e2= 2= 2 =1+ 2=2,即 a=b, a a a

∴双曲线为等轴双曲线,故设所求双曲线的标准方程为 x2-y2=λ(λ≠0),又点 P(1,3) 在双曲线上,则 λ=1-9=-8, y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 - =1.故选 D. 8 8 答案 D y2 4.与双曲线 x2- =1 有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________. 4

y2 解析 依题意设双曲线的方程 x2- =λ(λ≠0),将点(2,2)代入求得 λ=3,所以所求双 4 x2 y2 曲线的标准方程为 - =1. 3 12 答案 x2 y2 - =1 3 12

x2 y2 5.双曲线 + =1 的离心率 e∈(1,2),则 k 的取值范围是________. 4 k 4-k x2 y2 c 解析 双曲线方程可变为 - =1,则 a2=4,b2=-k,c2=4-k,e= = , 4 -k a 2 又∵e∈(1,2),则 1< 答案 (-12,0) 4-k <2,解得-12<k<0. 2

y2 6.求双曲线 x2- =1 的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长与渐近线方程. 4 x2 y2 解 把方程化为标准方程为 2- 2=1,由此可知实半轴长 a=1,虚半轴长 b=2,顶点 1 2 坐标是(-1,0),(1,0),c= a2+b2= 12+22= 5, x y 焦点的坐标是(- 5,0),( 5,0),渐近线方程为 ± =0,即 y=± 2x. 1 2

综合提高(限时 25 分钟)
7.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线的中心在坐标原点,焦点在 y 轴上, 一条渐近线的 方程为 x-2y=0, 则它的离心率为 A. 5 B. 5 2 C. 3 ( D.2 ).

1 a 1 解析 由题意知,这条渐近线的斜率为 ,即 = , 2 b 2 c 而 e= = a 答案 A x2 y2 x2 y2 8. 若 0<k<a2, 则双曲线 2 - 2 =1 与 2- 2=1 有 a b a -k b +k A.相同的虚轴 C.相同的渐近线 B.相同的实轴 D.相同的焦点 ( ). b 1+( )2= 1+22= 5,故选 A. a

解析 a2-k>0,b2+k>0,所以 a2-k+b2+k=a2+b2=c2. 所以两双曲线有相同的焦点. 答案 D

13 9.若双曲线中心在原点,焦点在 y 轴,离心率 e= ,则其渐近线方程为________. 5 y2 x2 解析 由已知设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b
2 2 13 c2 a +b b2 169 由 e= ,得 e2= 2= 2 =1+ 2= . 5 a a a 25

b2 144 b 12 ∴ 2= ,则 = , a 25 a 5 a 5 ∴渐近线方程为 y=± x=± x. b 12 5 答案 y=± x 12 10.过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ,点 F1 是另一个焦点,若∠PF1Q=90°, 则双曲线的离心率等于________. 解析 设 F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点,由题意知在焦点三角形 F1PF2 中,|PF1| =2 2c,|PF2|=2c, 又|PF1|-|PF2|=2a,故有 e= 2+1. 答案 2+1

x2 y2 11.求与双曲线 - =1 共渐近线且过 A(3 3,-3)的双曲线的方程. 16 9 (3 3)2 x2 y2 x2 y2 解 设与 2- 2=1 共渐近线且过 A(3 3,-3)的双曲线的方程为 2- 2=λ,则 4 3 4 3 42 (-3)2 11 x2 16y2 - =λ,从而有 λ= ,所求双曲线的方程为 - =1. 2 3 16 11 99 y2 → 12.(创新拓展)已知点 N(1,2),过点 N 的直线交双曲线 x2- =1 于 A、B 两点,且ON= 2 1 → → (OA+OB). 2 (1)求直线 AB 的方程; → → (2)若过点 N 的直线交双曲线于 C、D 两点,且CD?AB=0,那么 A、B、C、D 四点是否 共圆?为什么? 解 (1)由题意知直线 AB 的斜率存在. y2 设直线 AB:y=k(x-1)+2,代入 x2- =1 2 得(2-k2)x2-2k(2-k)x-(2-k)2-2=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1、x2 是方程(*)的两根, ∴2-k2≠0. (*)

2k(2-k) 且 x1+x2= . 2-k2 → 1 → → ∵ON= (OA+OB), 2 ∴N 是 AB 的中点, x1+x2 ∴ =1, 2 ∴k(2-k)=-k2+2,k=1, ∴直线 AB 的方程为 y=x+1. (2)共圆.将 k=1 代入方程(*)得 x2-2x-3=0,解得 x=-1 或 x=3, ∴A(-1,0),B(3,4). → → ∵CD?AB=0,∴CD 垂直 AB, ∴CD 所在直线方程为 y=-(x-1)+2, 即 y=3-x,代入双曲线方程整理得 x2+6x-11=0, 令 C(x3,y3),D(x4,y4)及 CD 中点 M(x0,y0) 则 x3+x4=-6,x3?x4=-11, x3+x4 ∴x0= =-3,y0=6, 2 即 M(-3,6). |CD|= 1+k2|x3-x4| = 1+k2 (x3+x4)2-4x3x4 =4 10, 1 |MC|=|MD|= |CD|=2 10, 2 |MA|=|MB|=2 10, 即 A、B、C、D 到 M 的距离相等, ∴A、B、C、D 四点共圆.


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