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数列单元测试教师版


高二数学《数列》单元测试题
一. 选择题 1. (2015 春?南昌期中) 已知数列 3, 7, 11, …, 139 与 2, 9, 16, …, 142, 则它们所有公共项的个数为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 计算题. 分析: 可先分别求出数列 3,7,11,…,139 与 2,9,16,…,142 的通项公式,

判断最后一项是第几项,再根 据公共项相等,得出含项数 m,n 的等式,再根据 m,n 为整数,求出个数即可. 解答: 解;由题意可知数列 3,7,11,…,139 的通项公式为 an=4n﹣1,139 是数列第 35 项.
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数列 2,9,16,…,142 的通项公式为 bm=7m﹣5,142 是数列第 21 项, 设数列 3,7,11,…,139 第 n 项与,数列 2,9,16,…,142 的第 m 项相同,则 4n﹣1=7m﹣5,n= = ﹣1,

∴m 为 4 的倍数,m 小于 21,n 小于 35,由 此可知,m 只能为 4,8,12,16,20.此时 n 的对应值为 6,13,20,27,34 所以,公共项的个数为 5. 故选 B 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,属常规题,必须掌握. 2. (2015?房山区一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn=( A.2
n﹣1



B.

C.

D.
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考点: 数列递推式;等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 直接利用已知条件求出 a2,通过 Sn=2an+1,推出数列是等比数列,然后求出 Sn. 解答: 解:因为数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,a2=

所以 Sn﹣1=2an,n≥2,可得 an=2an+1﹣2an,即:



所以数列{an}从第 2 项起,是等比数列,所以 Sn=1+ 故选:B. 点评: 本题考查数列的递推关系式的应用,前 n 项和的求法,考查计算能力.

=

,n∈N+.

3. (2015?金家庄区校级模拟)在数列{an}中,若 a1=1,且对所有 n∈N 满足 a1a2…an=n ,则 a3+a5=( A. B. C.
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+

2



D.

考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 首先根据题意求出 a1a2…an﹣1=(n﹣1)2 (n≥2) ,与原式相除可以求出{an}的表达式,进而求出 a3 和 a5 的值,从而求出所求. 解答: 解:由题意 a1a2…an=n2, 故 a1a2…an﹣1=(n﹣1) ,
2

两式相除得:an=

(n≥2) ,

所以 a3= ,a5= 即 a3+a5= 故选 B.



点评: 本题主要考查数列递推式的知识点,解答本题的关键是求出数列{an}的表达式,属于基础题. 4. (2015?辽宁校级模拟)己知数列{an}的首项 a1=1 且 an﹣an+1=anan+1, (n∈N+) ,则 a2015=( ) A. B.
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C.﹣

D.

考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 通过 a ﹣a =a a 可知数列{ }是以首项和公差均为 1 的等差数列,计算即可. n n+1 n n+1 解答: 解:∵a ﹣a =a a ,∴ n n+1 n n+1 又∵a1=1,∴ ∴数列{ ∴ ∴ =1, ,

}是以首项和公差均为 1 的等差数列,

=1+(n﹣1)=n, =2015,∴a2015= ,

故选:D. 点评: 本题考查数列的递推式,熟练变形利用等差数列的通项公式是解题的关键,属于中档题. 5. (2014 春?惠州校级期中)数列{an}中,a1=1,an+1= A.100 项 B.101 项 C.102 项 D.103 项 考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: * 由 an+1= (n∈N ) ,两边取倒数可得:
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(n∈N ) ,则

*

是这个数列的第(

)项.

,利用等差数列的通项公式即可得出.

解答: 解:由 an+1= ∴数列{ (n∈N ) ,两边取倒数可得:
*

,即



}是等差数列,



=1+

=







令 ∴

=

,解得 n=100.

是这个数列的第 100 项.

故选:A. 点评: 本题考查了递推式、通过取倒数转化为等差数列求通项公式,属于基础题. 6.已知方程(2x ﹣2ax+1) (2x ﹣2bx+1=0)的四个根组成一个首项为 的等比数列,则 a﹣b=( A.1 B. C.
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2

2



D.

考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由一元二次方程根与系数的关系和等比数列性质,四个根组成的首项为 的等比数列,且首项与末项的 积等于第二项与第三项的积等于 2,从而确定数列的每一项,再由两根之和分别为 a、b,即可求出结果. 2 解答: 解:∵方程(2x2﹣2ax+1) (2x ﹣2bx+1=0) 2 2 等价于 2x ﹣2ax+1=0 ①或 2x ﹣2bx+1=0 ② 设方程①两根为 x1,x4,方程②两根为 x2,x3, 由韦达定理可得 x1x4= ,x1+x4=a x2x3= ,x2+x3=b 又方程(2x ﹣2ax+1) (2x ﹣2bx+1=0)的四个根组成一个首项为 的等比数列,
2 2

∴x1,x2,x3,x4 分别为这个数列的前四项,且 x1= ,x4= =2,

∴数列的公比为 2,∴x2= ,x3=1, ∴a=x1+x4= ,b=x2+x3= ,故 a﹣b= ﹣ = , 故选 B 7.已知方程(x ﹣2x+m) (x ﹣2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 的等差数列,则|m﹣n|等于( A.1 B. C. D.
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2

2



考点: 等差数列的性质;一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 设 4 个根分别为 x1、x2、x3、x4,进而可知 x1+x2 和 x3+x4 的值,进而根据等差数列的性质,当 m+n=p+q 时,am+an=ap+aq.设 x1 为第一项,x2 必为第 4 项,可得数列,进而求得 m 和 n,则答案可得. 解答: 解:设 4 个根分别为 x1、x2、x3、x4, 则 x1+x2=2,x3+x4=2, 由等差数列的性质,当 m+n=p+q 时,am+an=ap+aq. 设 x1 为第一项,x2 必为第 4 项,可得数列为 , , , , ∴m= ,n= .

∴|m﹣n|= .

故选 C 8. (2015 春?宁县校级期末)观察数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…的特点,问第 100 项为( A.10 B.14 C.13 D.100 考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据数列项的值,寻找规律即可得到结论. * 解答: 解:设 n∈N ,则数字 n 共有 n 个
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所以由

≤100,
*

即 n(n+1)≤200, 又因为 n∈N , 所以 n=13,到第 13 个 13 时共有 =91 项,

从第 92 项开始为 14,故第 100 项为 14. 故选:B. 点评: 本题主要考查数列的简单表示,根据条件寻找规律是解决本题的关键.

9. (2015?临潼区校级模拟)数列{an}满足 an+1=

,若 a1= ,则 a2014=(



A.

B.

C.
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D.

考点: 数列递推式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用 a1= ,an+1= 解答: 解:∵a1= ,an+1= , ,得到规律,即可得出结论.

∴a2= ,a3= ,a4= ,a5= ,a6= , ∴数列{an}的周期为 4, ∴a2014= , 故选:A. 点评: 本题考查数列递推式,考查学生的计算能力,比较基础. 10. (2014 秋?潮州期末)十三世纪初,意大利数学家斐波那契(Fibonacci,1170~1250)从兔子繁殖的问题, 提出了世界著名数学问题“斐波那契数列”,该数列可用递推公式 F7=( ) A.8 B.13 C.21 D.34 考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 计算题. 由此可计算出

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分析: 根据“斐波那契数列”递推公式 Fn= 解答: 解:∵Fn= , 即可求得 F7.

∴F3=1+1=2, F4=F3+F2=2+1=3, F5=F3+F4=2+3=5, F6=F4+F5=3+5=8, F7=F5+F6=5+8=13. 故选 B. 点评: 本题考查数列的概念及简单表示法,考查推理与运算能力,属于中档题. 二、填空题 11. (2015?洛阳一模)已知数列{an}的通项公式为 an=n +λn(n=1,2,3,…) ,若数列{an}是递增数列,则实数 λ 的取值范围是 (﹣3,+∞) . 考点: 数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知条件推导出 an+1﹣an=(n+1)2+λ(n+1)﹣(n2+λn)=2n+1+λ>0 恒成立,由此能求出实数 λ 的取 值范围. 解答: 解:∵数列{an}的通项公式为 an=n2+λn(n=1,2,3,…) ,
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2

数列{an}是递增数列, ∴an+1﹣an 2 2 =(n+1) +λ(n+1)﹣(n +λn) =2n+1+λ>0 恒成立 ∵2n+1+λ 的最小值是 2×1+1+λ=3+λ>0 ∴λ>﹣3 即实数 λ 的取值范围是(﹣3,+∞) . 故答案为: (﹣3,+∞) . 点评: 本题考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意单调性的灵活运用.

12. (2015?长宁区一模)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=5﹣4×2 ,则其通项公式为

﹣n



考点: 数列的函数特性. 专题: 计算题. 分析: ﹣n 由数列{an}的前 n 项和 Sn=5﹣4×2 ,利用公式
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直接求解.

解答: 解:a1=S1=5﹣4×2 1=3, an=Sn﹣Sn﹣1 ﹣n ﹣n﹣1 =(5﹣4×2 )﹣(5﹣4×2 )


=



当 n=1 时,







故答案为:



点评: 本题考查数列的通项公式的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式 的灵活运用.

13. (2015?淮阴区校级模拟) 等差数列{an}的公差为 d,关于 x 的不等式 22],则使数列{an}的前 n 项和 Sn 最大的正整数 n 的值是 11 . 考点: 数列的函数特性. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据已知中等差数列{an}的公差为 d,关于 x 的不等式
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+

+c≥0 的解集为[0,

+

+c≥0 的解集为[0,22],我们

根据不等式解析的形式及韦达定理,易判断出数列的首项为正,公差为负,及首项与公差之间的比例关 系,进而判断出数列项的符号变化分界点,即可得到答案. 解答: 解:∵关于 x 的不等式 + +c≥0 的解集为[0,22],

∴22=

,且 <0,



>0,

则 a11=a1+10d>0,a12=a1+11d<0, 故使数列{an}的前 n 项和 Sn 最大的正整数 n 的值是 11. 故答案为:11. 点评: 本题考查的知识是数列的函数特性,其中根据不等式解析的形式及韦达定理,易判断出数列的首项为正, 公差为负,及首项与公差之间的比例关系,是解答本题的关键. 14.(2015?淄博二模)已知数列{an}满足 a1=1,an=logn(n+1) (n≥2,n∈N ) .定义:使乘积 a1?a2…ak 为正整数 * 的 k(k∈N )叫做“易整数”.则在[1,2015]内所有“易整数”的和为 2036 . 考点: 专题: 分析: 解答: 数列的函数特性. 函数的性质及应用.
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*

由题意,及对数的换底公式知,a1?a2?a3…ak=log2(k+1) ,结合等比数列的前 n 项和进行求解即可. 解:∵an=logn(n+1) , ∴由 a1?a2…ak 为整数得 1?log23?log34…logk(k+1)=log2(k+1)为整数, m 设 log2(k+1)=m,则 k+1=2 , m ∴k=2 ﹣1;

∵2 =2048>2015, 2 3 4 10 ∴区间[1,2015]内所有“易整数”为:2 ﹣1,2 ﹣1,2 ﹣1,…,2 ﹣1, 2 3 4 10 其和 M=2 ﹣1+2 ﹣1+2 ﹣1+…+2 ﹣1=2035. 故答案为:2035. 点评: 本题以新定义“易整数”为切入点,主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用. 15. (2015?开封模拟)已知函数 f(n)=n cos(nπ) ,且 an=f(n)+f(n+1) ,则 a1+a2+a3+…+a100= ﹣100 . 考点: 数列的函数特性. 专题: 计算题. 分析: 由于 cos(nπ)的值与 n 是奇数、偶数有关,故先分 n 是奇数、偶数,求数列 an 的通项公式,再分组求 和即可得所求和 解答: 2 2 解:∵an=f(n)+f(n+1)=n cos(nπ)+(n+1) cos( (n+1)π)= ,
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11

2

即 an= ∴a1+a2+a3+…+a100=3﹣5+7﹣9+11…﹣201=50×(﹣2)=﹣100 故答案为﹣100 点评: 本题主要考查了函数与数列间的关系,求数列通项公式的方法,数列求和的方法和技巧,属基础题 三.解答题 16. (2015?武侯区校级一模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=﹣5,S5=﹣20. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求使不等式 Sn>an 成立的 n 的最小值. 考点: 等差数列的前 n 项和;数列与不等式的综合. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设{an}的公差为 d,利用首项 a1 及公差 d 表示已知,解方程即可求解 a1,d,进而可求通项公式. (Ⅱ)利用等差数列的求和公式及通项公式代入已知,整理解不等式即可求解 n 的范围,可求. 解答: 解: (Ⅰ)设{an}的公差为 d, 依题意,有 a2=a1+d=﹣5,S5=5a1+10d=﹣20,
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联立得

解得



所以 an=﹣6+(n﹣1)?1=n﹣7. (Ⅱ)因为 an=n﹣7, 所以 令 即 n ﹣15n+14>0, 解得 n<1 或 n>14, * 又 n∈N ,所以 n>14, 所以 n 的最小值为 15.
2

, ,

点评: 本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用,一元二次不等式的求解,属于基础试题 17. (2015?西安校级三模)已知 a,b,c 分别为△ ABC 的内角 A,B,C 的对边,且 C=2A,cosA= . (1)求 c:a 的值; (2)求证:a,b,c 成等差数列. 考点: 等差关系的确定;二倍角的正弦. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用倍角公式与正弦定理即可得出; (2)利用倍角公式、两角和差的正弦公式、等差数列的定义即可得出. 解答: 解: (1)∵C=2A,∴sinC=sin2A,
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=

=2cosA=

= .

∴ = . (2)∵cosC=cos2A=2cos A﹣1= ∴ ∵cosA= ,∴ = , , ,
2

﹣1= ,

∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= ∴sinA+sinC= =2sinB.

即 2b=a+c, ∴a,b,c 成等差数列. 点评: 本题考查了倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦定理、等差数列的定义、同角三角函数的基本关系式, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 18. (2015?鄂州三模)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N ) . (1)设 bn=an+1﹣2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. 考点: 数列递推式;等比关系的确定. 专题: 综合题. 分析: (1)由题设条件知 b1=a2﹣2a1=3.由 Sn+1=4an+2 和 Sn=4an﹣1+2 相减得 an+1=4an﹣4an﹣1,即 an+1﹣2an=2 (an﹣2an﹣1) ,所以 bn=2bn﹣1,由此可知{bn}是以 b1=3 为首项、以 2 为公比的等比数列.
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*

(2)由题设知 的通项公式.

.所以数列

是首项为 ,公差为 的等差数列.由此能求出数列{an}

解答: 解: (1)由 a1=1,及 Sn+1=4an+2, 得 a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5,所以 b1=a2﹣2a1=3. 由 Sn+1=4an+2,① 则当 n≥2 时,有 Sn=4an﹣1+2,② ①﹣②得 an+1=4an﹣4an﹣1,所以 an+1﹣2an=2(an﹣2an﹣1) , 又 bn=an+1﹣2an,所以 bn=2bn﹣1,所以{bn}是以 b1=3 为首项、以 2 为公比的等比数列. (6 分)

(2)由(I)可得 bn=an+1﹣2an=3?2

n﹣1

,等式两边同时除以 2

n+1

,得



所以数列

是首项为 ,公差为 的等差数列.

所以

,即 an=(3n﹣1)?2

n﹣2

(n∈N ) . (13 分)

*

点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要掌握等比数列的证明方法,会求数列的通项公式. 19. (2015?南市区校级模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=3,S15=225. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

考点: 等差数列的通项公式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)设出等差数列的首项和公差,由 a2=3,S15=225 列关于首项和公差的方程组求解首项和公差,然后 代入通项公式即可;
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(2)把 an 代入 解答:

,分组后运用等比数列和等差数列的求和公式进行计算.

解: (1)设数列{an}的公差为 d,依题意得:

解得 ∴数列{an}的通项公式 an=2n﹣1. (2)由(1)得 ∴Tn=b1+b2+…+bn= ,

= = .

点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了数列的求和,分组求和是数列求和的一种重要方法,此题是中 档题. 20. (2015?达州一模)设数列{an}为等差数列,且 a3=5,a5=9;数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 Sn+bn=2. (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)若 ,Tn 为数列{cn}的前 n 项和,求 Tn.

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和;等比数列的前 n 项和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列.

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分析: (I)由题意可得数列{an}的公差,进而得通项,由 Sn+bn=2 可得 Sn=2﹣bn,当 n=1 时,可解 b1=1,当 n≥2 时,可得 ,由等比数列的通项公式可得答案;
n﹣1

(II)由(I)可知 cn= 解答:

=(2n﹣1)?2

,由错位相减法可求和.

解: (I)由题意可得数列{an}的公差 d= (a5﹣a3)=2, 故 a1=a3﹣2d=1,故 an=a1+2(n﹣1)=2n﹣1, 由 Sn+bn=2 可得 Sn=2﹣bn,当 n=1 时,S1=2﹣b1=b1,∴b1=1, 当 n≥2 时,bn=Sn﹣Sn﹣1=2﹣bn﹣(2﹣bn﹣1) ,∴ ∴{bn}是以 1 为首项, 为公比的等比数列, ∴bn=1? = ; =(2n﹣1)?2
n﹣1



(II)由(I)可知 cn=
0 1 2


n﹣1

∴Tn=1?2 +3?2 +5?2 +…+(2n﹣3)?2 +(2n﹣1)?2 , 1 2 3 n﹣1 n 故 2Tn=1?2 +3?2 +5?2 +…+(2n﹣3)?2 +(2n﹣1)?2 , 1 2 n﹣1 n 两式相减可得﹣Tn=1+2?2 +2?2 +…+2?2 ﹣(2n﹣1)?2 =1+2
n

n﹣2

﹣(2n﹣1)?2

n

=1﹣4+(3﹣2n)?2 , n ∴Tn=3+(2n﹣3)?2 点评: 本题考查错位相减法求和,涉及等比数列的通项公式和求和公式,属中档题. 21. (2015?张家港市校级模拟)若数列{an}的相邻两项 an,an+1 是关于 x 的方程 x ﹣2 x+bn=0, (n∈N )的两根, 且 a1=1. (1)求证:数列 是等比数列.
* 2 n *

(2)设是 Sn 数列{an}的前 n 项和,问是否存在常数 λ,使得 bn﹣λSn>0 对任意 n∈N 都成立,若存在,求出 λ 的取值范围;若不存在,请说明理由. 考点: 数列的应用. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: n (1)由题意,可利用根与系数的关系得出 an+an+1=2 ,观察发现 an+1
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=﹣(an

) ,

由此方程可以得出数列 λ<

是等比数列; ,的最小值即可得到参数的取值范围,

,对任意正偶数 n 都成立,求出

若此范围是空集则说明不存在,否则,存在.
n 解答: 解: (1)∵an+an+1=2 , n+1

∴an+1﹣ ?2

=(2 ﹣an)﹣ ?2
n

n

n+1

=﹣an+2 (1﹣ ) =﹣(an ∴数列 ) , 是首项为 a1﹣ = ,公比为﹣1 的等比数列.
n n

(2)由(1)得 an= [2 ﹣(﹣1) ], ∴Sn=a1+a2+…+an= [(2+2 +…+2 )﹣( (﹣1)+(﹣1) +…+(﹣1) )]
2 n 2 n

= [



]

= [2

n+1

﹣2﹣

]

=

又 bn=an?an+1= [2 ﹣(﹣1) ][2 = [2
n+1

n

n

n+1

﹣(﹣1)

n+1

]

﹣(﹣2) ﹣1]

n

∵bn﹣λsn>0, ∴ [2
n+1

﹣(﹣2) ﹣1]﹣λ [2

n

n+1

﹣2﹣

]>0,

∴当 n 为奇数时, [2
n+1

﹣(﹣2) ﹣1]﹣λ(
n

n

)>0,

∴λ< (2 +1)对?n∈{奇数}都成立, ∴λ<1; 当 n 为偶数时, [2
n+1

﹣(﹣2) ﹣1]﹣λ(
n+1

n

﹣ )>0,

∴λ< (2 ∴λ< ,

+1)对?n∈{偶数}都成立,

综上所述,λ 的取值范围为 λ<1. 点评: 本是考查数列与不等式的综合,此类题一般难度较大,解题的关键是熟练掌握不等式证明的技巧与数列 通项求和的技巧,本题中用构造法求数列的通项,是递推关系知道的情况下求数列通项的常用方法,对 于不等式恒成立求参数的问题,本题采用了分离常数法的思想将参数独立出来,通过求关于 n 的代数式

的最小值求出参数的取值范围,本题考查了转化化归的思想,方程的思想,构造法的技巧,综合性强, 技巧性强,题后应注意总结本题解法上的规律.


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高中数学:第二章《数列》单元测试(1)(新人教A版必修5)

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2011届高考总复习天津101中学精品教学案:数列单元(教师版全套)

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人教版高中数学必修5数列单元测试题

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高中数学数列单元测试题

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数列单元复习(老师用)

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2012年高考试题分项解析数学(理科)专题04 数列(教师版)

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数学:第二章《数列》测试(2)(新人教A版必修5)

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人教版高中数学必修5第二章数列测试题及答案(AB卷)

人教版高中数学必修5第二章数列测试题及答案(AB卷)_数学_高中教育_教育专区。...文档贡献者 李涛 高级教师 10856 1582333 4.3 文档数 浏览总量 总评分相关...

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