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2012年全国高中数学联赛模拟卷(8)(一试+二试,附详细解答)


2012 年全国高中数学联赛模拟卷(8)第一试
(考试时间:80 分钟 满分:120 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分)
??? ? ???? ??? ?

1. 在△ABC 中,若 A B ? 2 , A

C ? 3 , B C ? 4 , O 为△ABC 的内心,且 A O ? ? A B ? ? B C , 则? ? ? ? 2. 已知函数 f ( x ) ? ? .
? 2 ? x ? 1, ( x ? 0 ), ? ? f ( x ? 1), ( x ? 0 ), ?

????

??? ?

??? ?

若关于 x 的方程 f ? x ? ? x ? a 有且只有两个不相等的实数根,

则实数 a 的取值范围是 3. 计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数 n 时按下这个按键,会等可能的将其替换为 0~n?1 中的任意一个数。如果初始时显示 2011,反复按这个按键使得最终显示 0,那么这个过程中, 9、99、999 都出现的概率是 4. 已知椭圆
x
2

?

y

2

4

3

? 1 的左、右焦点分别为 F1、F2,过椭圆的右焦点作一条直线 l 交椭圆于点 P、Q,

则△ F1PQ 内切圆面积的最大值是 . 5. 设{an}为一个整数数列,并且满足: ? n ? 1 ? a n ? 1 ? ? n ? 1 ? a n ? 2 ? n ? 1 ? ,n∈N*.若 2 0 0 8 a 2 0 0 7 , 则满足 2008 a n 且 n ? 2 的最小正整数 n 是 6、直角坐标平面内,曲线 x .

? x ? 1 ? y ? 2 围成的图形面积是____________.

7、集合 M={1,2,3,4,5,6,7,8},求出它的每一个非空子集中各元素的乘积(若该子集中仅有 1 个元素,则该元素即为要求的积) ,再求出这些积的和,这个和等于__________. 8. a 1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? 4 a 4 ? a 1 ?
2

a2 2

2

?

a3 3

2

?

a4 4

2

? 100

,则 a1+a2+a3+a4=
n



二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分) 9. 设数列 { a n } 满足 a 1 ? 1, a n ? 1 ? a n ? n ? 1 ( n ? N * ) ,求证: ?
1 ak ? 2 ( n ? 1 ? 1) .
k ?1

10.设 f ( x ) ? 3 a x 2 ? 2 b x ? c , 若 a ? b ? c ? 0 , f ( 0 ) ? 0 , f (1) ? 0 .
(1)求证:方程 f ( x ) ? 0 在区间(0,1)内有两个不等的实数根; (2)若 a , b , c 都为正整数,求 a ? b ? c 的最小值.

11. 已知椭圆 a2+b2=1(a>b>0)过定点 A(1,0),椭圆与曲线 y ? x 的交点为 B、C。现有以 A 为焦
2 点,过 B,C 且开口向左的抛物线,其顶点坐标为 M(m,0),当椭圆的离心率满足 <e2<1 时, 3 求实数 m 的取值范围。

x2

y2

2012 模拟卷(8)

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2012 年全国高中数学联赛模拟卷(8)加试
(考试时间:150 分钟 满分:180 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、 (本题满分 40 分)设 A、B、C 、D、E 为直线 l 上顺次排列的五点,
求证: ? F A C ? ? F E C , F 在直线 l 外的 CE CD 一点,连结 F C 并延长至点 G ,恰使 ? F A C ? ? A G D , ? F E C ? ? E G B 同时成立.
? AC BC

二、 (本题满分 40 分)已知:a, b, c≥0,a+b+c=2,
求证:
bc 1 ? abc ? a ? b ? ? ca 1 ? abc ?b ? c ? ? ab 1 ? abc ?c ? a ? ?1

三、 (本题满分 50 分)正整数 n 大于 1,它的全部正因数为 d1,d2,…,dk,满足 1=d1<d2<…<dk = n.
设 D=d1d2+d2d3+…+dk-1dk. (i) 证明:D<n2; (ii) 确定所有的 n,使得 D 整除 n2

四、 (本题满分 50 分)设圆周上有一些红点和蓝点,可以进行如下操作:加上一个红点,并改变其
相邻两点的颜色;或去掉一个红点,并改变原先与之相邻的两点颜色.已知开始时只有两个点, 均为红点,那么是否有可能经过若干次操作,使得圆周上只有两个点,且均为蓝点.

2012 模拟卷(8)

第 2 页 共 6页

2012 年全国高中数学联赛模拟卷(8)答案
1、设 AO 交 BC 于点 D,由角平分线定理知
? 2 3 ??? AB ? 5 5 DC AC 3 ???? 5 ???? 1 ??? ? 2 ???? 1 ??? ? 2 AO AB AC AB ? AC 5 ? ? ? ? ,∴ A O ? A D ? A B ? A C ? A B ? 又 OD BD CD BD ? CD 4 9 3 9 3 9 ? 2 ???? 5 ??? 7 ? A B ? A C ,因此 ? ? ? ? 9 9 9

BD

?

AB

?

2

,于是 A D ?

????

???? AC ,

? AB ? BC ?

??? ?

????

2.

? ? ? ,1 ? 利用函数图象进行分析易得结果。

1 3. 若计算器上显示 n 时按下按键,∵此时共有 0~n?1 共 n 种选择,∴产生给定的数 m 的概率是 . n 如果计算器上的数在变化过程中除了 2011,999,99,9 和 0 以外,还产生了 a1 , a 2 , ? , a n , 则概率为
p ?

1 2011

?
?

1 a1
1 a1

?
? 1

1 a2
1 a2

?? ?
?? ? ? ?1 ? 0 ?

1 an
1 an 1

?
?

1 999
1 999

?
?

1 99
1 99

?
? 1

1 9
1 9

,所以所求概率为

?

1 2011 1

?

? ?1 ? 2 0 1? 1

? ? 2 0? 1

? ? ? 2 0 0 ?

? 1 ? ? 9?

? 1 ?? 1 ?0 0 0

1 ? ? ? 1? ? ? ? 9 ? 9 9 ?

9 9 8

1 ? 1 1 ? ? ? ? ?1 ? ? ?1 ? ?? ? 1 0 0? 9 9 ? 9? 8 ?

1 ? 1 ? ? 1 ?

? 1 ? ?1? ?? 0 9? ?

1 ? ? ?? 1 ? 8 ?

?

1 ?

注意到 1 ?

1 ?? 1 ? ?1 ? ? ?1 ? 2011 ? 2010 ? ? 2009 1
1 1000 ? 1 100 ? 1 10 ?

1 ? ? ?? ?1 ? 1000 ? ?
1 10
6

1 ? ? ? ? ?1 ? 999 ? ?

1 ? ? ? ? ?1 ? 998 ? ?

? ? ? ?1 ? 1 ? ?

两式相除即得 p ?

4. 因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的 2 倍,且△ F1PQ 的周长是定值 8,所以只需

求出△ F1PQ 面积的最大值。 设直线 l 方程为 x ? m y ? 1 , 与椭圆方程联立得 ? 3 m 2 ? 4 ? y 2 ? 6 m y ? 9 ? 0 , 设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x 2 , y 2 ? ,则 y1 ? y 2 ? ?
S ?F PQ ?
1

6m 3m
2

?4

, y1 y 2 ? ?
m
2 2

9 3m
2

?4

,于是

1 2

F1 F 2 ? y1 ? y 2 ?

? y1 ?
1

y 2 ? ? 4 y1 y 2 ? 1 2
2

?1 ?4

? 3m
1
2

?

2

因为

m

2 2

?1 ?4

?

3m

?

2

? 9m
2

? 15 ? m

1
2

? ?1 9m
2

1 ?9? m ?1 ?6

?

1 16

, 所以内切圆半径 r ?

2 S ?F PQ
1

?

3 4



8

9π 因此其面积最大值是 16 5. 当 n ? 2 时, 将原式变形为 叠加可得 b n ? b 2 ? 2 ?
?1 ?2 ?
a n ?1

? n ? 1? n

?

an n ? n ? 1?

?

2

? n ? 1? n

, bn ? 令

an n ? n ? 1?

, 则有 b n ? 1 ? b n ?

2

? n ? 1? n



n ? n ? 1? 1? a 2 ? ? n ? 1? ? n ? 2 ? ? ,于是 a n ? n? 2

由 2008 a 2007 ,得 2 0 0 8 ?
?

? 2007 ? 2006 2

? a 2 ? 2 0 0 6 ? 2 0 0 5 ? ,化简得 a 2 ? 6 ? m od 2008 ? 。 ?

由 2008 a n ,得

n ? n ? 1? 2

a 2 ? ? n ? 1 ? ? n ? 2 ? ? 0 ? m o d 2 0 0 8 ? ,将上述关于 a 2 的结果代入得

? n ? 1 ? ? n ? 1 ? ? 0 ? m od 1004 ? ,于是质数 2 5 1 ? n ? 1 ? ? n ? 1 ? 且 n 是奇数,所以满足条件的最小的 n 是 501
2012 模拟卷(8) 第 3 页 共 6页

6. 如图考虑 y≥0 的情况,则 2 ? y ? x ? x ? 1 . 当 x≥1 时, 2 ? y ? x ? x ? 1 =2x-1 ∴y=-2x+3(x≥1,y≥0)为图中 AB 段. 当 x∈(0,1)时, 2 ? y ? x ? (1 ? x ) ? 1 , 即 y=1 为 BC 段. 当 x≤0 时, 2 ? y ? 1 ? 2 x ? y ? 2 x ? 1( x ? 0, y ? 0) 为 CD 段. 当 y≤0 时,将折线 ABCD 沿 x 轴翻折,得 AB/C/D,所以所围成的图形为六边形 AB/C/DCB, 其面积为 S ? 2 S ABCD ? 2 ?
1 2 ? yc ? ? BC ? AD

? ? 1 ? (1 ? 2 ) ? 3

7、设 M 中的元素为 a1、a2、a3……a8,要求的值是(a1+a2+a3……+a8)+(a1a2+a1a3+a1a8)+ (a1a1a3+……+a6a7a8)+ 1a2……a8)括号中依次代表单个数之和, (a , 两两积之和, 个 3 个数积之和…… 3 7 个 7 个数积之和,8 个数之积.设要求的和为 S,则 S=(1+a1)(1+a2)…(1+a8)-1, 所以 S= ? ? 1 ? a i ? ? 1 ? 9 !? 1 ? 3 6 2 8 8 0 . ? i ?1 ? ? ? 8. 由柯西不等式,得 ?
ak
2
4

?

8

?

ak k

2

k ?1

?? k
k ?1

4

3

? 4 ? ?? ? k ?1 ?

ak k

2

? 3 k ? ? ?

2

? 4 ? ? ? ? ka k ? , ? k ?1 ?

2



等号成立当且仅当

k k
3

? P ? k ? 1,2, ,4 ? . ② 3

由已知, ? ka k ?
k ?1
2 k 4

4

?

4

ak k
4

2

? 100 ?

k ?1

?k
k ?1

4

3



所以代入①可知,①不等式应为等式,故②成立,即 a ? pk .代入 ? ∴100= ? ka k ?
k ?1 4

ak k

2

? 100 解得 P=1.
2

k ?1

?
n

4

k ak ?
2

k ?1

?k
k ?1
2 2

4

k

4

? 100 , 等号取到当且仅当 a k ? a k ? k .
2

∴ a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 30 注:一般地,若 ? ka k ?
k ?1

?

n

ak k

2

?

n

2

?n ? 1? 2
4
*

,则 a1 ? 1 , a 2 ? 2 , ? , a n ? n
2 2

2

k ?1

9、证明:由题意知 a 2 ? 2 , a n ? 0 , n ? N . 当 n ? 1 时,

1 a1

? 1 ? 2 ( 2 ? 1) ,命题成立;

当 n ? 2 时,由 a n ? 1 ? a n ? n ? 1 ,得 a n ? a n ?1 ? n ,∴ a n ( a n ? 1 ? a n ? 1 ) ? 1 , 从而有 ?
n

1 an

? a n ?1 ? a n ?1 ,

1 ak

?

1 a1

?

k ?1

? (a
k?2

n

k ?1

? a k ? 1 ) ? a n ? 1 ? a n ? 2 ? 2 a n ? 1 a n ? 2 ? 2 ( n ? 1 ? 1)

10. 证明(1) f (0) ? c ? 0 ①, f (1) ? 3 a ? 2 b ? c ? 0 ②, a ? b ? c ? 0 ③, 由①③得: a ? b ? 0 ? a ? b ④,由②③得: 2 a ? b ? 0 ? 2 a ? b ⑤, 由④⑤得: 2 a ? b ? a ⑥,∵ b ? a ? c 代入②得: a ? c ∴ a ? 0 ∴由⑤得: 1 ?
2

b a

? 2,

∵对称轴 x ?
2

1 2 ? ( , ) ,又 f (0) ? 0, f (1) ? 0 3a 3 3
2 2

b

且 ? ? 4 b ? 12 ac ? 4( a ? c ) ? 12 ac ? (2 a ? c ) ? 3 c ? 0 ∴ 方程 f ( x ) ? 0 在 ( 0 ,1) 内有两个不等实根 (2)若 a , b , c 都为正整数, f (0) 、 f (1) 都是正整数,设 f ( x ) ? 3 a ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ,其中 x1 , x 2 是

2012 模拟卷(8)

第 4 页 共 6页

f ( x ) ? 0 的两根,则 x1 , x 2 ? (0,1) ,且 x1 ? x 2 ∵ 1 ? f (0 ) f (1) ? 9 a x1 (1 ? x1 ) x 2 (1 ? x 2 ) ?
2

9a

2

16

∴ 9 a ? 1 6, a 为正整数,∴ a ? 2 , ∴ a ? b ? c ? 2 ? (2 ? c ) ? c ? 4 ? 2 c ? 6
2

若取 a ? 2 ,则
2

b a

?

b 2

? (1, 2 ) 得: b ? (2, 4) ,∵ b 为正整数,∴ b ? 3 , c ? b ? a ? 1

f ( x ) ? 6 x ? 6 x ? 1 ? 0 的两根都在区间 ( 0 ,1) 内,∴ a ? b ? c 的最小值为 6

11. 解:椭圆过定点 A(1,0) ,则 a ? 1 , c ?

1? b

2

, e ?

1? b

2

, ∵

2 3

? e

2

? 1 ,∴ 0 ? b ?

3 3

由对称性知, 所求抛物线只要过椭圆与射线 y ? x ( x ? 0 ) 的交点, 就必过椭圆与射线 y ? ? x ( x ? 0 ) 的
? y ? x ( x ? 0) ? 2 交点。联立方程 ? 2 ,解得 x ? y ? y x ? 2 ?1 ? b ?
2

b 1? b
2

。∵ 0 ? b ?

3 3

,∴ 0 ? x ?

1 2



设抛物线方程为:y ? ? 2 p ( x ? m ) , p ? 0 , m ? 1 。 ∵ 又 把 y ? x ,0 ? x ?
2

p 2

? m ?1, ∴

y ? (1 ? m )( x ? m )
2



1 2

2 代入①得 x ? 4 ( m ? 1) x ? 4 m ( m ? 1) ? 0 , m ? 1 , 0 ? x ?

1 2

令 f ( x ) ? x ? 4 ( m ? 1) x ? 4 m ( m ? 1) , m ? 1 , 0 ? x ?
? ? ∴? ? ? f ( 0 ) ? ? 4 m ( m ? 1) ? 0

1 2

,∵ f ( x ) 在 ? 0 ,
?

?

1? ? 内有根且单调递增, 2?

? 1 ?1? f? ? ? ? 2 ( m ? 1) ? 4 m ( m ? 1) ? 0 4 ?2?

?m ? 1 或 m ? 0 ? ?3 ? 2 3? 2 〈 m 〈 ? 4 4 ?

综上得: 1 ? m ?

3? 4

2



二试
一、证法一:过 B 作 BH∥AF,交 C F 于 H ,则
CH CF ? CB CA

,又由

CB CA

?

CD CE

,故

CH CF

?

CD CE

连结 H D ,知 H D ∥ F E ,延长 H B , H D 分别交 A G , E G 于 I . J ,连结 IJ 。 因为 ? IB A ? ? F A C ? ? A G D ,故 I 、 B 、 D 、 G 共圆; 因为 ? JD E ? ? F E C ? ? E G B ,故 J 、 D 、 B 、 G 共圆, ∴ I 、 B 、 D 、 J 、 G 五点共圆,故 ? H B C ? ? D JI 。 ∵ IH // A F , JH // E F ,∴
GI ? GH ? GJ

,故 IJ // A E , ? D JI ? ? E D J ,

GA GF GE ∴ ? F A C ? ? H B C ? ? D JI ? ? E D J ? ? F E C 。

证法二:作 ? E B G 外接圆 C 1 ,交射线 C F 于 P ,则 B C ? C E ? G C ? C P 。 又由 B C ? C E ? A C ? C D ,知 A C ? C D ? G C ? C P ,所以 P 、 A 、 G 、 D 共圆,记该圆为 C 2 。 下证 P 必在 C F 内.用反证法,假设 P 不在 C F 内。 连结 P A 、 P E ,则 ? A F E ? ? A P E ? ? A P G ? ? E P G ? ? A D G ? ? E B G ? 1 8 0 ? ? B G D 又 ? F A E ? ? A G D ,∴ 180 ? ? A F E ? F A E ? 180 ? ? B G D ? ? A G D ? 180 ,矛盾! 于是 F 在 G P 延长线上.∵ ? F A C ? ? A G D , ? F E C ? ? E G B ,∴ F E 为 C 1 切线, F A 为 C 2 切线, ∴ FA ? FP ? FG ? FE
2 2
? ? ? ?

? A F ? E F ,故 ? F A C ? ? F E C 。

2012 模拟卷(8)

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二、证明: 1 ? a b c ? a ? b ? ? ? a b ? b c ? ca ? ? ?1 ? c ? a ? b ? ? ? ? 1 ? a b ? , ? ? ∵ a , b , c ? 0 , a ? b ? c ? 2 , ∴ c ? a ? b ? ? 1, ab ? 1 。 ∴ 1 ? a b c ? a ? b ? ? a b ? b c ? ca , 同理 1 ? a b c ? b ? c ? ? a b ? b c ? ca , 1 ? a b c ? c ? a ? ? a b ? b c ? ca 。 那么将不等式左式的三个分母均放缩为其中最小的那个即可。 三、解:(i) 若 d1,d2,…,dk 是 n 的全部正因数,则 n/d1,n/d2,…,n/dk 也是 n 的全部正因数, 且当 1=d1<d2<…<dk=n 时,有 dj=n/dk-j+1。 则 n2/d2=n2/(d1d2)≤D = d1d2+d2d3+…+dk-1dk=n2{1/(dk-1dk)+1/(dk-2dk-1)+…+1/(d1d2)} ≤n2{(1/dk-1-1/dk)+(1/dk-2-1/dk-1)+…+(1/d1-1/d2)} =n2(1/d1-1/dk)=n2(1-1/n)=n2-n。 (*)

(ii) 在(i)的证明中已指出 n2/d2≤D≤n2-n。若 D 整除 n2,由上式知 n2=qD,1<q≤d2。(**) 因为 d2 是 n 的最小的大于 1 的除数,所以,d2 是素数。d2 当然也是 n2 的素除数,并且 n2 没有比 d2 更小的大于 1 的除数。那么由式(**)就推出 q=d2。因此,k=2,n 的全部正因数是 1 和 n 本身, 即 n 是素数。 四、解:对于圆周上任意一种状态,按下列方式定义该状态的特征值: 考察圆周上的 n 个蓝点将圆周分成的 n 段圆弧,将这 n 段圆弧依次赋值?1,?1,?1,?1,…… 并在每个红点处标上所在弧的数值,再将所有红点上的数值相加即得 S 值。 下面考察各种加点的操作: (1) 若在两个相邻红点(原本标有+1)间增加一个红点,则标有+1 的这两个红点变为蓝点,新增加的 红点应标?1,且其他红点不受影响,所以 S 值减少 3。若两个红点原本标有?1,则类似可知 S 值增 加 3; (2) 若在两个相邻蓝点间增加一个红点,则这三个红点都将标上相同的数值,且其他红点不受影响, 所以 S 的变化量仍然是 3 的倍数; (3) 若在两个相邻的异色点间增加一个红点,则两个端点红蓝交换,因此端点处的红色点标数变为原来 的相反数,而且新增的红点与它的标数相同,所以 S 的变化量仍然是 3 的倍数; 对于各种减点的操作,因为都是加点操作的逆向操作,所以 S 值的变化量始终是 3 的倍数, 因此 S 值除以 3 的余数应该是不变的。 在初始状态中,只有两个红点, S ? ? 2 ;而在只有两个蓝点的状态中, S ? 0 ,这说明不可能经过 若干次操作,使圆周上只有两个点,且均为蓝点。

2012 模拟卷(8)

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