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基本不等式2


基本不等式应用

(一)教学目标 1、知识与技能目标 (1)熟练使用 a 2 ? b 2 ? 2 ab 和 a ? b ? 2 ab (2)会应用此定理求某些函数的最值; (3)能够解决一些简单的实际问题. 2、过程与能力目标 了解运用的条件,熟练运用不等式中的变换. 3、情感与态度目标 通过掌握公式的结构特点,运用公式的适当变形,提高学 生分析问题和解决问题的能力,培养学生的创新精神,进 一步加强学生的实践能力. (二)教学重点:在运用中要注意“一正”、“二定”、“三 教学难点:a ? b ? 2 ab 的运用.

一、知识点梳理

若 1、重要不等式: a , b ?

R, a

2

?b

2

? 2 ab , 当且仅当 a ? b 时取等号。

若 2、基本不等式: a , b ? 0 ,

a?b ? 2

ab

当且仅当 a ? b 时取等号。

变式: (1)若a , b

? 0,

ab ?

a?b 2

当且仅当 a ? b 时取等号。

(2)若a , b ? 0 , ab ? (

a?b 2

) 当且仅当 a ? b 时取等号。
2

二、例题讲解与练习
练习: (1)已知 x
x? y

? 0 , y ? 0 , xy ? 36

,当 x , y 取何值时,

有最小值?最小值是多少?
? 0 , y ? 0 , xy ? 36

变式:①已知 x
x? y

,当

x, y

取何值时,

有最大值?最大值是多少?
R

②已知 x , y ?
x? y

,, xy

? 36

,求

的取值范围。
? 0 , y ? 0 , x ? y ? 18

(2)已知 x
xy

,当

x, y

取何值时,

最大值?

例 1、 (1)已知 x (2)已知 x

? 0 ,求 f ( x ) ?

12 x

? 3 x 的最小值。 1 4 y ? 10

? 0 , y ? 0 ,且 x ?



求 u=xy 的最大值。

练习 1、在下列函数中,当 x >0 时,最小值为 2 的是( (A) y (C) y
? x? 1 x


1 s in x

(B)
?1 ? x 1
2

y ? s in x ?

?

x

2

(D) y
?1

? 2 ?2
x

?x

例 2、 (1)已知 x

? 0 ,求 f ( x ) ?

1 x ?1

? x

的最小值。

(2)已知 x

?

5 4

,求

f (x) ? 4 x ? 2 ?

1 4x ? 5

的最大值。

(3)已知 0

? x ? 2

,求

f ( x ) ? x ? (8 ? 3 x )

的最大值。

(三)思考题 1、已知 0
? x ? a 2

,求

f ( x) ? x ? (a ? 2 x)

的最大值。

2、已知 a

? 0 , b ? 0 ,满足 x ? 4 y ? 1 ,求

1 x

?

1 y

的最小值。

3、已知 a , b ?

R?

,且 ab

? a ? b ? 3。
? b 的最小值。

求: (1) ab 的最小值; (2) a

(四)课堂小结: 理解并熟练掌握基本不等式及其应用,特别要注意利用基本 不等式求最值时, 一定要满足“一正二定三相等”的条件。

(五)课后作业:

1、求函数 y
2、求函数 y 3、已知 x
? 2x
2

? x?
( x ? 3)

1 x

的取值范围。

x?3

的最小值.
y ? 1 ,求

? 0, y ? 0

,满足 x ?

2 x

?

5 y

的最小值。

4.已知 0

? x ?

3 2

,求函数 y

?

x (3 ? 2 x )

的最大值.

5、 已知 x ? 0 , y ? 0 , 且 5 x ? 7 y ? 20 , 求 xy 的最大值。


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