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平面向量一轮复习电子教案


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数学电子教案

科 目:___ 授课教师:___

___ ___

第______单元

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>《基础模块》下册 第 7 章 平面向量
【考试内容和要求】 1.能判断两向量是否相等,知道零向量、单位向量、负向量的含义以及共线向量的几何 意义. 2.会从图形和数学表达式两方面进行向量的线性运算. 3.能将平面上任何一个向量写成不共线的两个非零向量的线性组合. 4.理解平面上向量直角坐标的含义,掌握向量的直角坐标运算. 【教学建议】平面向量这一章在高考题中所占比例约 5%,所占分值大约在 5 分左右,分 布于选择、填空中,这部分的考查以基础知识为主,题型难度不大,但要求各题型都要讲 透、练熟、并能达到灵活运用的程度. 教学中注意数学基本思想与方法的渗透:数形结合思想。 复习本章内容建议分教师讲授、学生复习、问题反馈、查漏补缺、小测几个环节,大约 需 10 课时. 【知识结构】 零向量、单位向量、负向量的含义 共线向量的几何意义 向量相等的含义 平面向量的概念及线性运算 向量的加法运算 向量的减法运算 向量的运算律 向量的直角坐标表示 平面向量 平面向量的坐标表示 利用向量的坐标进行向量的线性运算 利用坐标来判定两个向量是否共线 两个向量的内积及内积的作用 利用向量的坐标求出向量的模长 平面向量的内积 利用向量坐标求两个向量的夹角 利用向量坐标研究两个向量的垂直问题

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【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算 教学目标:
(1)知识目标:知道零向量、单位向量、负向量的含义及共线向量的几何意义,理解相等

向量的含义及向量的加减法运算.
(2)能力目标:通过线性运算的学习,培养学生的计算能力与数学处理能力;会从图形和数

学表达式两方面进行向量的线性运算,培养学生的数学思维能力.
(3)情感目标:教师营造和谐的学习氛围,及时表扬学生的闪光点,调动学生的学习积极

性. 教学重点:向量的概念、向量的线性运算及其坐标表示. 教学难点:已知两个向量,求这个向量的差向量及非零向量平行的充要条件. 教学方法:启发发现法、直观教学法、电化教学法 教学用具:PowerPoint 课件、几何画板、投影设备、黑板、粉笔等. 课时安排:2 课时 教学过程: 【知识回顾】 一. 向量的概念 1.向量的定义:既有大小,又有方向的量叫向量.向量可用有向线段表示;有向线段的 长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向,如向量 a 也可以表示为 AB . 2.零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作 0,零向量的长度为 0,方向不确定. 3.单位向量:长度为 1 的向量叫做单位向量. 4.相反向量:如果两个向量的长度相等且方向相反,那么这两个向量叫相反向量,也 叫负向量(等长且反向) , AB 向量的相反向量记作 BA ,可以看出: AB =- BA . 5.共线向量: 如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后,这些有向线段在同一条直线上,这样 的一组向量称为共线向量.零向量与任一向量共线. 说明:(1)向量有两个要素:大小和方向. (2) 向量 a 与向量 b 共线的充要条件是:向量 a 与向量 b 的方向相同或相反, 或者有一个是零向量. 二.向量的运算 1.向量的加法运算 求几个向量和的运算叫向量的加法运算,其运算法则有二:
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(1)三角形法则: 设向量 a 与向量 b 不共线, 在平面上任取一点 A(如图 7-1), 依次作 AB =a,
BC =b,则向量 AC 叫做向量 a 与向量 b 的和,记作 a+b ,即 a+b = AB + BC = AC
B a b A a a+b b C

图7-1

特征:首尾相接的几个有向线段相加,其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终 点. (2)平行四边形法则:如图 7-2 所示, ABCD 为平行四边形,由于 AD = BC ,根据三角 形法则得 AB + AD = AB + BC = AC 这说明, 在平行四边形 ABCD 中,
AC 所表示的向量就是 AB 与 AD 的和.
A 图 7-2 D C

B

特征:有共同起点的两个向量相加,其和向量等于以这两个向 量为邻边的平行四边形的对角线. (首尾相接,结果为首尾) (3)向量的加法性质
① a+0 = 0+a = a; a+(?a)= 0; ② a+b=b+a; ③(a+b)+ c = a +(b+c) .

2.向量的减法运算 求两个向量差的运算叫向量的减法运算. 法则:以将向量 a 与向量 b 的负向量的和定义为向量 a 与向量 b 的差.即 a ?b = a+(?b). 设 a =OA ,b ? OB ,则 OA ? OB ? OA ? (?OB)= OA ? BO ? BO ? OA ? BA .即 OA ?OB = BA
a -b B b O 图7-3 a A

特征;有共同起点的两个向量 a、b,其差 a-b 仍然是一个向量,叫做 a 与 b 的差向量,其
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起点是减向量 b 的终点,终点是被减向量 a 的终点. (减终指向被减终) 3. 向量的数乘运算 (1)实数与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a,它的大小为 | ?a |?| ? || a | ,其方向与 ? 的 正负有关。 若 | ? a |? 0,当 ? >0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同,当 ? <0 时, ? a 的方向与 a 的方 向相反. 当 ? =0 时, ? a 与 a 平行。
对于非零向量 a、b,当 ? ? 0 时,有 a ∥ b ? a ? ? b

(2)向量数乘运算的法则 ①1a=a; (-1)a=a; ②( ?? )a= ? ( ? ) a= ? ( ? a); ③( ? + ? )a= ? a+ ? a; ④ ? ( a + b)= ? a+ ? b. 4.线性组合 一般地,? a+ ? b 叫做 a, b 的一个线性组合 (其中 ? , ? 均为系数) . 如果 l = ? a+ ? b, 则称 l 可以用 a,b 线性表示. 【典型例题】 例 1 在平行四边形 ABCD 中(图 7-4) ,O 为对角线交点.
(1)找出与向量 DA 相等的向量; (2)找出向量 DC 的负向量;
A D O B C

(3)找出与向量 AB 平行的向量.

图 7-4

分析 要结合平行四边形的性质进行分析.两个向量相等,它们必须是方向相同,模相等;两个向量 互为负向量,它们必须是方向相反,模相等;两个平行向量的方向相同或相反. 解 由平行四边形的性质,得

(1) CB = DA ; (2) BA = ? DC , CD ? ? DC ; (3) BA // AB , DC // AB , CD // AB .
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例 2 已知如图 7-5(1)所示向量 a 、b ,请画出向量 a-b.
O a b A b B

a

(1)
图7-5

(2)

解 如图 7-14(2)所示,以平面上任一点 O 为起点,作 OA =a, OB =b,连接 BA,则向量 BA 为 所求的差向量,即
BA = a-b .

例 3 在平行四边形 ABCD 中,O 为两对角线交点如图 7-6, AB =a , AD =b,试用 a, b 表示向
量 AO 、 OD . 分析 因为 AO ? 解

1 1 AC , OD ? BD ,所以需要首先分别求出向量 AC 与 BD . 2 2

AC =a+b, BD =b ?a,

因为 O 分别为 AC,BD 的中点,所以

AO ?

1 1 1 1 AC ? (a+b)= a+ b, 2 2 2 2 1 1 1 1 BD = (b ?a)=? a+ b. 2 2 2 2
图 7-6

OD =

例 4 填空 (1) DC + CB + BA = (2) AB + BE - AD = (3) AB - AC - DE = ; ; .

例 5 已知平行四边形 ABCD 的对角线交于 O 点, 用向量 OA 、OD 表示向量 AD 、CD 、AC . 分析:该题目涉及知识点有向量的加法法则、减法法则、数乘向量运算法则的图形表示。
A

解: AD = OD - OA ,

D

CD = CO + OD = OA + OD , AC =-2 OA
【巩固练习】
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O B C

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1. 选择题 (1)力、位移、速度、加速度、质量、面积,下列选项中都是向量的是( A. 力、位移、面积 C. 速度、力、位移 B. 速度、质量、加速度 D. 面积、位移、速度 ) )

(2)下面说法哪个是错误的( A.具有方向的线段叫有向线段 B.有向线段就是向量

C.同向且等长的有向线段表示同一向量 D.零向量的方向不确定 (3)下列说法错误的是( )

A.同向且等长的有向线段表示同一向量 B. |a+b | ? | a |+| b | C.向量包含三个要素:始点、方向和长度 D.已知 M 是线段 AB 的中点,则对平面上的任意一点 O ,都有 OM = (4)在平行四边形 ABCD 中,以下向量是 CD 的负向量的是( A. AB B. AD C. BA D. CB )

1 (OA ? OB ) 2

(5)在 ?ABC 中, D 、 E 、 F 分别是 AB 、 BC 、 AC 边上的中点,则与 EF 共线的非零向 量有( )个 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 )

(6)在菱形 ABCD 中,下列各对向量是相等向量的是( A. AB 与 AD B. BC 与 AB C. BC 与 AD

D. AB 与 CD )

(7)若平行四边形 ABCD 中, AB =a, AD =b,则 CA =( A. a+b B. a-b C. -a+b D. -a-b

(8)矩形 ABCD 中,| AB |= 3 ,| BC |=1,则| AB + BC + BD |=( A. 4 2.填空题 (1) OA ? OB =
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B.

0

C.

2

D. 2 3

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(2) MN ? QP ? NQ ? MP = (3) AB ? DC ? BD ? AC = (4).化简:3(- a +2 b )-(5 a - b )=
。 。

(5).已知 D 是△ABC 的边 BC 的中点,用向量 AB . AC 表示 AD = (6).已知四边形 ABCD 中 AB ? CD ? 0 ,则四边形 ABCD 的形状是
(7).已知 OM ? (1 ? )OA ? OB ,则 AM ?

1 3

1 3

AB
A F

3. 如图,点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心, (1)找出与向量 OC 相等的向量;
B

E O

(2)找出向量 OC 的负向量; (3)找出与向量 OC 共线的向量. 【归纳小结】
C

D

本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么?

1. 零向量、单位向量、负向量的含义及共线向量的几何意义. 2. 理解相等向量的含义及向量的加减法运算. 【课后作业】 《强化练习》结合《指要练习》 【板书设计】 第七章 向量 一 平面向量的概念及线性运算 (一)向量的概念 (二)向量的线性运算 1.向量的定义 1.向量的加法运算 2.零向量 2.向量的减法运算 3.单位向量 3.向量的数乘运算 4.相反向量 5.共线向量

典例讲解 巩固练习 例 1----例 2----例 3----例 4----例 5------

课后记:

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【课题】7.2 平面向量的坐标表示

教学目标
知识目标: (1)了解向量坐标的概念,了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示; (2)了解两个向量平行的充要条件的坐标形式. 能力目标:培养学生应用向量知识解决问题的能力. 情感目标:教师营造和谐的学习氛围,及时表扬学生的闪光点,调动学生的学习积极性.

教学重点
向量线性运算的坐标表示及运算法则.

教学难点
向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键.

教学方法:启发发现法、直观教学法、电化教学法 教学用具:PowerPoint 课件、几何画板、投影设备、黑板、粉笔等. 课时安排:2 课时. 教学过程: 【知识回顾】
1.起点为 A( x1 , y1 ), 终点为 B( x2 , y2 ) 的向量坐标为 AB ? ( x2 ? x1,y2 ? y1 ). 2.设平面直角坐标系中, a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则
a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

? a ? (? x1 , ? y1 )
3. 对非零向量 a、 b,设 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 当 ? ? 0 时,有
a ∥ b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0.

【典型例题】
例 1 如图 7-19 所示,用 x 轴与 y 轴上的单位向量 i、j 表示向量 a、b, 并写出它们的坐标. 解 因为 a= OM + MA =5i+3j ,
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所以 同理可得

a ? (5,3) . b ? (?4,3) .

图 7-19 【想一想】 观察图 7-19, OA 与 OM 的坐标之间存在什么关系? 例2 解 已知点 P(2, ?1),Q(3, 2) ,求 PQ , QP 的坐标.

PQ ? (3,2) ? (2, ?1) ? (1,3),

QP ? (2, ?1) ? (3,2) ? (?1, ?3).
例 3 设 a=(1,?2), b=(?2,3),求下列向量的坐标: (1) a+b , 解 (2) ?3 a, (3) 3 a ?2 b .

(1) a+b=(1, ?2)+(?2,3)=(?1,1)

(2) ?3 a=?3×(1, ?2)=(?3,6) (3) 3 a ?2 b=3×(1, ?2) ? 2×(?2,3)=(3, ?6) ? (?4,6)=(7, ?12). 例 4 设 a ? (1,3), b ? (2,6) ,判断向量 a、 b 是否共线. 解 由于 3×2?1×6=0, 故由公式知, a ∥ b ,即向量 a、 b 共线.

【巩固练习】
一.|选择题 1.已知 a (x, y). b (-y, x). c (y, x),则( A. a ⊥ b B. ) D. ) D. a, AB 共线

a ⊥ c C. a ⊥ b 且 a ⊥ c

c ∥b

2.已知 a( ?4, 4) ,点 A(1, ?1) ,点 B( 2, ?2) ,那么( A.

a ? A B B.

a ? A B C.

a ? AB

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3. 已知 a (10, 5) , b (5, x),且 a 与 b 共线,则 x=( A.2.5 B.2 C .5 D.0.5



4. 已知 AB(5, ?3) ) , C ( ?1, 3) ,且 CD ? 2 AB ,则 D 的坐标是( A. (11,9) B. (-9,0) C. (0,9) D. (9,-3)



5.在平面直角坐标系中,点 A(?1, ?3), B(4, 7), AD ? A. ( , ? ),

2 AB ,则点 D 的坐标是( 5
D. (2,4)



1 3

1 7

B. (2,3)

C. (1,1)

6.已知 a (2,4) , b (1,2) ,则 a 与 b 的关系是 A 不共线 二.填空 1.已知 a (2,-3) , b (-4,1) ,则-2 a +3 b 的坐标为 。 。 B 垂直 C 共线同向 D 共线反向

2.已知线段 AB 的端点 B 的坐标为(5,1) ,端点 A(3,5) ,则线段中点的坐标为 3.已知向量 a(?3, 2) 与向量 b(6, λ ) 平行,则 λ 的值为 4.已知平行四边形 ABCD 满足 A(1, ?2),B(3, 0),C(4, 3), 则点 D 的坐标为

5..在平面直角坐标系中,已知 A(cos 800 ,sin 800 ),B(cos 200 ,sin 200 ) ,则线段 AB 的长度为

r r 6.已知向量 a,b 的坐标分别是 (1,x),(2, x ? 3) 且 a ? b ,则 x =

【归纳小结】

本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么?

1. 向量坐标的概念、向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示.
2. 两个向量平行的充要条件的坐标形式.

【课后作业】 《强化练习》结合《指要练习》 【板书设计】 第七章 向量 二 平面向量的坐标表示 (一)向量的坐标概念及表示 (二)典例讲解 (三)巩固练习 1.向量的坐标概念 例 1----2.向量加法的坐标表示 例 2----3.向量减法的坐标表示 例 3----4.数乘向量的坐标表示 例 4----5.平行的充要条件 课后记:

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【课题】7.3 平面向量的内积

教学目标
知识目标: (1)了解平面向量内积的概念及其几何意义. (2)了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标:通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力. 情感目标:通过课堂引导,及时发现并表扬学生的闪光点,调动学生的学习积

极性. 教学重点: 平面向量数量积的概念及计算公式. 教学难点: 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角. 教学方法:启发发现法、直观教学法、电化教学法 教学用具:PowerPoint 课件、几何画板、投影设备、黑板、粉笔等. 课时安排:2 课时. 教学过程: 【知识回顾】
A

1.设有两个非零向量 a, b, 作 OA =a, OB =b,由射线 OA 与 OB 所形成的角叫做向量 a 与向量 b 的夹角,记作<a,b>. 2.两个向量 a,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向 量 b 的内积,记作 a·b, 即 a·b=|a||b|cos<a,b> 3.由内积的定义可知 a·0=0, 0·a=0. 4.由内积的定义可以得到下面几个重要结果: (1) 当<a,b>=0 时,a·b=|a||b|;当<a,b>= 180 时,a·b=?|a||b|. (2) cos<a,b>=
O

a b
图 7-23 B

a?b . | a || b |

(3) 当 b=a 时,有<a,a>=0,所以 a·a=|a||a|=|a|2,即|a|= a ? a . (4) 当 ? a, b ?? 90 时,a ? b,因此,a·b= a ? b cos90 ? 0, 因此对非零向量 a,b,有 a·b= 0 ? a ? b. 5.向量的内积满足下面的运算律: (1) a·b=b·a.
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(2) ( ? a )·b= ? (a·b)=a·( ? b). (3) (a+b)·c=a·c+b·c. 6.一般地,向量的内积不满足结合律,即 a·(b·c)≠(a·b) ·c. 7.两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和,即 a·b= x1 x2+ y1 y2 8.设 a=(x,y),则 a ?

x2 ? y 2

9.当 a、b 是非零向量时,

cos<a,b>=

x1 x2 ? y1 y2 a?b = . 2 | a || b | x1 ? y12 x2 2 ? y2 2

10.a ? b ? x1 x2+ y1 y2=0.

【典型例题】
例 1 已知|a|=3,|b|=2, <a,b>= 60 ? ,求 a·b. 解 a·b=|a||b| cos<a,b> =3×2×cos 60 ? =3.

例 2 已知|a|=|b|= 2 ,a·b= ? 2 ,求<a,b>. 解 由于 所以 例 3 求下列向量的内积: (1) a= (2,?3), b=(1,3); (2) a= (2, ?1), b=(1,2); (3) a= (4,2), b=(?2, ?3). 解 (1) a·b=2×1+(?3)×3=?7; cos<a,b>=

2 ? 2 a?b = =? . | a || b | 2 2? 2
0≤<a,b>≤ 180 ? , <a,b>= 135 .

(2) a·b=2×1+(?1)×2=0; (3) a·b=2×(?2)+2×(?3)=?14. 例 4 已知 a=(?1,2),b=(?3,1).求 a·b, |a|,|b|, <a,b>. 解 a·b=(?1)( ?3)+2×1=5; |a|= a ? a ? (?1)2 ? 22 ? 5 ; |b|= b ? b ? (?3)2 ? 12 ? 10 ;
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cos<a,b>=

5 2 a?b ? = , 2 | a || b | 10 5

所以

<a,b>= 45 .

例 5 判断下列各组向量是否互相垂直: (1) a=(?2, 3), (2) a=(0, ?1), 解 b=(6, 4); b=(1, ?2).

(1) 因为 a·b=(?2)×6+3×4=0,所以 a ? b.

(2) 因为 a·b=0×1+(?1)×(?2)=2,所以 a 与 b 不垂直.

【巩固练习】 一.选择题
1..若 a ? b ? 0 ,则 a与b 的夹角 θ 的取值范围是( )

A

B

C

D

2..若 a( 3,1), b( 3,0) ,则向量 a与b 的夹角为(

r

r



A

30o

B 45o

C 60o

D 90o

3.在直角坐标系[O; e1, e2 ]中,设向量 a ( a 1 , a 2 ) ,b (b 1 ,b 2 )则 a · b = A. a 1 a 2 + b 1

b2

B. a 1

b1 + a 2 b2 C. a 1 b2 + a 2 b1 D. a 1 b2 - a 2 b1


4.已知 a (-2,-3) , b (1,2) ,则 cos〈 a , b 〉为( A. 负值 二.填空题 1.已知| a |=7,| b |=12, 〈 a , b 〉=120 ,则 a · b =
?

B. 正值

C. 0 D. 1

2.已知向量 a (1,2) , b (3,4) ,则(3 a +2 b ) ·b =



3.已知三角形 ABC 的顶点 A,B,C 的直角坐标分别为( -1, ? 3 ) , (-1,0) , (-2, ? 3 ) ,则∠ BAC= . 涿州职教中心 信息技术部

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4.已知 a(01) ,则 a ? b = , , b(?1,2) , c(3, 5)

a、 b =

? a, b ?=

a?b =

【归纳小结】本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么?
向量的内积、向量的夹角、向量的模、向量垂直。

【课后作业】
1. 已知 a=(5, ?4),b=(2,3),求 a·b. 2. 已知 a=(1, 3 ),b=(0,

3 ),求<a,b>.

3. 已知 a=(2, ?3),b=(3,-4),c=(?1,3),求 a·(b+c). 4. 判断下列各组向量是否互相垂直: (1) a=(?2, ?3),b=(3, ?2); (2) a=(2,0),b=(0, ?3); 5. 求下列向量的模: (1) a=(2, ?3), (2) b=(8, 6 ). (3) a=(?2,1),b=(3,4).

6《强化练习》结合《指要练习》 【板书设计】 二 平面向量的内积 (一)向量内积 1. ----6. ----2.----7.----3.----8. ----4.----9. ----5.----10. ----课后记: 第七章 向量 (二)典例讲解 例 1----例 2----例 3----例 4----例 5----(三)巩固练习

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【课题】平面向量综合练习 教学目标:
(1)知识目标:了解本章的题型、难度. (2)能力目标:培养学生的逻辑思维能力及综合解题能力. (3)情感目标:调动学生的学习积极性,增强学生的信心.

教学重点:知识点的基础应用. 教学难点:知识点的综合运用. 教学方法:启发发现法、直观教学法、电化教学法 教学用具:PowerPoint 课件、几何画板、投影设备、黑板、粉笔等. 课时安排:2 课时. 【典型例题】 例 1.填空

MN ? MP ? NQ ? QP ?

.

分析 本题考查(1)向量的加法、减法运算; (2)零向量的表示。 解题思路 原式= PN ? NP ? 0 故填 0 . 例 2.已知 a ? (?4,4) , A(1, ?1), B(2, ?2) ,那么( A. a ? AB B. a ? AB C. | a |?| AB | ) D. a, AB 共线

分析 本题考查向量的坐标公式,向量相等,向量垂直和向量共线的条件. 解题思路

AB ? (1, ?1) ,显然,选项 A 不正确. | a |? 4 2 , | AB |? 2
因此,选项 C 不正确.

由 a ? AB ? ?4 ?1? 4 ? (?1) ? 0 ,因此,选项 B 不正确. 故选 D.显然由 a ? ?4 AB ,得 a, AB 共线

(-2,5),试判断?ABC的形状, 例 3.已知 A(1, 2),B(2,3),C 并给出证明.
分析 本题考查(1)点的坐标与向量坐标的关系; (2)向量的直角坐标运算; (3)向 量垂直的条件.

(-2,5)三点, 解题思路 如图: 在直角坐标系中标出 A(1, 2),B(2,3),C 我们发现 ?ABC 是
直角三角形.下面给出证明. 证法一: 因为 AB ? (2 ?1,3 ? 2) ? (1,1),
________年至________学年度 第________学期

C

y

B A 涿州职教中心 信息技术部

- 15 -

o

x

第______单元

第______节,共______课时,第______课时 ______年______月______日 星期______

AC ? (?2 ?1,5 ? 2) ? (?3,3),
所以 AB ? AC ? 1? (?3) ? 1? 3 ? 0, 即 AB ? AC 因此 ?ABC 是直角三角形. 证法二:利用两点间距离公式求出三边长, 再由勾股定理得出 ?ABC 是直角三角形. 显然证法二不够简练。 证法三:还可以借助平面解析几何的知识得 k AC ? ?1, k AB ? 1 进而,由直线 AB 与直线 AC 垂直得出 ?ABC 是直角三角形. 例 4.设 O 是坐标原点,向量 OA ? (?4,2) , OB ? (2,1) , OC ? OA, BC ∥OA ,求点 C 的坐 标. 分析 本题考查(1)向量共线条件; (2)向量垂直的条件. 解题思路 由向量 OA ? (?4,2) , OB ? (2,1) ,得 A(?4, 2), B(2,1) 设 C 点坐标为 ( x, y ) ,则 OC ? ( x, y) , BC ? ( x ? 2, y ?1) , 因为 OC ? OA, BC ∥OA 所以

??4 x ? 2y ? 0 ? ) ?2 x ? ( ??4 ? (y ? 1? ??2 x ? y ? 0 ? ??2 x ? 4 y ? 8 ? 0
4 8 ,y? 5 5

?2 )

0

整理得 解得 x ?

4 8 即点 C 的坐标为 ( , ) . 5 5

例 5.已知 O(0,0), A(0,5), B(6,3), AD ? OB于点D , (如图) ,求点 D 的坐标. 分析 本题考查(1)点的坐标与向量的关系; (2)向量共线条件; (3)向量的直角坐 标运算; (4)向量垂直的条件. 解题思路 方法一 y
(6,3) =(6? ,3? ) 设 OD ? ?OB ,则 OD 的坐标为 ?
A B

又 AD ? OD ? OA 则 AD 坐标为 (6? ,3? ) ? ( 0,5) ? (6?,3? ? 5)

o

D

x

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因为 AD ? OB ,所以 AD ? OB ? 0 即 (6? ) ? 6 ? (3? ? 5) ? 3 ? 0 , 解得 ? ?
1 3

于是得 OD 的坐标为(2,1) ,即点 D 的坐标为(2,1) 方法二 若题目没有解题方法的限制, 该题还可以用解析几何的方法求解.即先求出直 线 OB和AD 的方程,通过解方程组得出 D 点的坐标. 【巩固练习】 1.已知点 A 、 B 的坐标分别为(3,-2) , (-1,4). E 、 F 为线段 AB 上的点,并且 线段 AE 、 EF 、 FB 的长度相等,求点 E 、 F 的坐标. 2.已知三个点 A( 2,1), B(3, 2), D(?1, 4) (1)求证: AB ? AD (2)要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标. 3. 设a ?c ( o s n , s i? , )

c ( o s ?n , s ib )?

?

且a , , b 满足 | ka ? b |? 3 | a ? kb ( ? , | k 为正实数)

(1)求证: (a ? b) ? (a ? b) (2)若 f (k ) ? a ? b ,求 f (k ) . 【课后作业】 《强化练习》结合《指要练习》 【板书设计】 (一)典例讲解 例 1. ----例 2.----例 3.----例 4.----例 5.----课后记: 第七章 向量 (二)巩固练习 1----2----3-----

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【课题】高考真题练兵 教学目标:
(1)知识目标:了解本章内容在高考题中的题型、难度及其所占比重. (2)能力目标:培养学生的逻辑思维能力及综合解题能力. (3)情感目标:通过高考真题练兵,调动学生的学习积极性,增强学生的信心.

教学重点:知识点的基础应用. 教学难点:知识点的综合运用. 教学方法:启发发现法、直观教学法、电化教学法 教学用具:PowerPoint 课件、几何画板、投影设备、黑板、粉笔等. 课时安排:2 课时. 教学过程: 【高考真题】
(2005)已知 a =3, A 30
?

b =4, a ? b =6, 则〈 a , b 〉=
45
?





B

C 60

?

D

120

?

(2005)已知平面直角坐标系中, a 的坐标为(2,-1) , b 的坐标为(-1,-2) ,则 2 a ? b =



a ·b
(2006)设非零向量 a ,对于 A.它表示数 1 或 ?1 C.它表示与 a 方向相同的单位向量

a a

,下面叙述正确的是: (



B.它表示方向不确定的单位向量 D.它表示与 a 方向相反的单位向量

(2006)若 a (1,1) , b(-1, -1) ,则 a ? b 的坐标是_________; a ? b= ________。 (2007)已知向量 a(2,3) , b(?3, 2) ,则 a 与 b ( A.垂直 C.平行且同向 B.不垂直也不平行 D.平行且反向 )

(2007) .若 a(1, 3) , b( 3,1) 。则 3a ? b ? _______,向量 a 、 b 的夹角 ? a, b ?? __________。

(2008)已知向量 a(?3, 2) 与向量 b(6, ? ) 共线,则 ? 的值为( D.-4 2 (2008)已知点 A(2,1), B (?3, ?2), AM ? AB ,则点 M 的坐标为 3 (2008)已知向量 a(0, 2), b(1,1) ,则向量 a与b 的夹角 ? a, b ? =
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A.1

B.-1

C.4

. .
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(2009)已知向量 a 的坐标为(1, x ) ,向量 b 的坐标为(-8,-1) ,且 a+b 与 a-b 互相垂 直,则( ) x ? ?8 A. x ? ?8 B. x ? 8 C. D. x 不存在 (2009)已知向量 a (3,1), b (-2,1),则 | 2a ? b |? (2010)已知向量 a( x,5), b(2, ?2) ,且 a ? b 与 a 共线,则( A. x =5 5 C. x = 4 B. x =-5 D. x 不存在 . ) .

(2010)已知点 P(1, 2) 在函数 f ( x) 的图像上,函数 f ( x) 的图像按向量 a(?1,5) 平移后,点 P 的对应点的坐标为_________________. (2011) 已知向量 a 、 b 的坐标分别为 (1, x ), (?8, ?1) ,且 (a ? b) ? (a ? b) , B. ?8 C.8 1 1 (2012)设 a ? (1,0) , b ? ( , ) ,则下列结论中,正确的是( 3 3 1 A | a |?| b | B. a ? b ? C . a ? b 与 b 垂直 D. a // b 3 则 x= ( A.-8 ) D.不存在


(2012)设向量 a ? (1, m), 向量 b ? (2, m ? 3) ,若 a ? b ,则 m=_____________.

(2013)向量 a ? ?1,1? 与 b ? ?2, y ? 垂直,则 y 的值为( A. -4 B. -2 C. 8 D. 10

).

(2013) 已知向量 a ? ?1,2? 与 b ? ?2,?1?, 则 2a ? b 的值为____________.

配套复习资料《对口升学考试复习指导》难题、易错题讲解 一、形式:1.针对易错题,让学生板演,教师补充讲解并强化训练. 2.针对较难题,教师引导,师生共同解答. 二、内容:根据本班学生情况,教师自己把握. Ih 课后记:

约需 3 课时

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