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【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)函数的奇偶性与周期性 理 北师大版


第三节
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函数的奇偶性与周期性

1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.

1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 定义 图像关于 y 轴对称的函数叫作偶函数 图像关于原点对称的

函数叫作奇函数 特点

f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x)

2.周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,对定义域内的任意一个 x 值,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最 小正数就叫作 f(x)的最小正周期.

1.若函数 f(x)在区间[a,b](a≠b)上有奇偶性,则实数 a,b 之间有什么关系? 提示:a+b=0.奇函数、偶函数的定义域关于原点对称. 2.若 f(x)是奇函数且在 x=0 处有定义,那么 f(0)为何值?如果是偶函数呢? 提示:如果 f(x)是奇函数时,f(0)=-f(0),则 f(0)=0;如果 f(x)是偶函数时,f(0) 不一定为 0,如 f(x)=x +1. 3.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?若有,有多少个? 提示:存在,如 f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集,这样的函数有无穷 多个. 4.若 T 为 y=f(x)的一个周期,那么 nT(n∈Z)是函数 f(x)的周期吗? 提示:不一定.由周期函数的定义知,函数的周期是非零常数,当 n∈Z 且 n≠0 时,nT 是 f(x)的周期.
2

-1-

1.(2013·广东高考)定义域为 R 的四个函数 y=x ,y=2 ,y=x +1,y=2sin x 中,奇 函数的个数是( A.4 ) B.3
3

3

x

2

C.2

D.1
x
2

解析:选 C 函数 y=x ,y=2sin x 为奇函数,y=2 为非奇非偶函数,y=x +1 为偶函 数,故奇函数的个数是 2. 1 2 2.(2013·山东高考)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, f(x) =x + ,则 f(-1)

x

=(

) A.-2 B.0 C.1 D.2

解析:选 A 因为函数 f(x)为奇函数,所以 f(-1)=-f(1)=-2. 3.(2013·湖北高考)x 为实数,[x]表示不超过 x 的最大整数,则函数 f(x)=x-[x]在 R 上为( )

A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.周期函数 解析:选 D 函数 f(x)=x-[x]在 R 上的图象如下图:

故 f(x)在 R 上为周期函数. 4.若 f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数 a=________. 解析:f(x)=x +(a-4)x-4a 为二次函数,其图象的对称轴为 x=- 的图象关于 y 轴对称,所以- 答案:4
2

a-4
2

,因为偶函数

a-4
2

=0,解得 a=4.

? 5? 5 .设 f(x) 是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时, f(x) = 2x(1 - x) ,则 f ?- ? = ? 2?
________. 解析:∵f(x)是周期为 2 的奇函数,

? 5? ?5? ?5 ? ?1? ∴f?- ?=-f? ?=-f? -2?=-f? ?= ? 2? ?2? ?2 ? ?2?
1 ? 1? 1 -2× ×?1- ?=- . 2 2 ? 2 ? 1 答案:- 2

-2-

考点一

函数奇偶性的判断

[例 1] (1)若函数 f(x)=3 +3 与 g(x)=3 -3 的定义域均为 R,则( A.f(x)与 g(x)均为偶函数 C.f(x)与 g(x)均为奇函数 (2)下列函数: ①f(x)= 1-x + x -1;②f(x)=x -x; 1-x 2 ③f(x)=ln(x+ x +1);④f(x)=ln . 1+x 其中奇函数的个数是( A.1 B.2 ) C.3
-x 2 2 3

x

-x

x

-x

)

B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数

D.4
x
-x

[自主解答] (1)由 f(-x)=3 +3 =f(x)可知 f(x)为偶函数,由 g(-x)=3 -3 =- (3 - 3 )=-g(x)可知 g(x)为奇函数. (2)①f(x)= 1-x + x -1的定义域为{-1,1},又 f(-x)=±f(x)=0, 则 f(x)= 1-x + x -1既是奇函数又是偶函数; ②f(x)=x -x 的定义域为 R,又 f(-x)=(-x) -(-x)=-(x -x)=-f(x), 则 f(x)=x -x 是奇函数; ③由 x+ x +1>x+|x|≥0 知 f(x)=ln(x+ x +1)的定义域为 R, 又 f( - x)= ln (- x+ ?-x? +1) = ln
2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 -x

x

x

1

x+ x +1

2

=- ln(x+ x +1) =-f(x) ,则

2

f(x)=ln(x+ x2+1)为奇函数;
1-x 1-x ④由 >0,得-1<x<1,即 f(x)=ln 的定义域为(-1,1), 1+x 1+x 1+x ?1-x?-1=-ln1-x=-f(x),则 f(x)为奇函数. 又 f(-x)=ln =ln? ? 1-x 1+x ?1+x? [答案] (1)B (2)D 【互动探究】 若将本例(2)中①对应的函数改为“f(x)= 1-x+ x-1”,试判断其奇偶性. 解:∵函数 f(x)= 1-x+ x-1的定义域为{1},不关于原点对称, ∴函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

-3-

【方法规律】 判断函数奇偶性的方法 (1)判断函数的奇偶性,首先看函数的定义域是否关于原点对称;在定义域关于原点对 称的条件下,再化简解析式,根据 f(-x)与 f(x)的关系作出判断. (2)分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数,分段函数奇偶性的判断, 要分别从 x>0 或 x<0 来寻找等式 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x)成立,只有当对称的两个 区间上满足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性.

判断下列各函数的奇偶性: (1)f(x)=(x+1)
?x +x, ?
2 2

1-x lg?1-x ? ;(2)f(x)= ; 1+x |x-2|-2

2

(3)f(x)=?

x<0,

? ?-x +x,x>0.

1+x≠0, ? ? 解:(1)由?1-x ≥0 ? ?1+x 函数.
? ?1-x >0 (2)由? ?|x-2|≠2 ?
2 2

得,定义域为(-1,1],关于原点不对称,故 f(x)为非奇非偶

得,定义域为(-1,0)∪(0,1).∴x-2<0,∴|x-2|-2=-x,∴
2 2

lg?1-x ? lg [1-?-x? ] lg?1-x ? f(x)= .又∵f(-x)= =- =-f(x),∴函数 f(x) -x x -x 为奇函数. (3)显然函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. ∵当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=-(-x) -x=-x -x=-f(x); 当 x>0 时,-x<0,则 f(-x)=(-x) -x=x -x=-f(x); 综上可知,对于定义域内的任意 x,总有 f(-x)=-f(x)成立,∴函数 f(x)为奇函数.
2 2 2 2

考点二

函数奇偶性的应用

[例 2]

(1)(2013·湖南高考)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1)= ) D.1
3

2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等于( A.4 B.3 C.2

(2)(2013·重庆高考)已知函数 f(x)=ax +bsin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,

-4-

则 f(lg(lg 2))=( A.-5

) C.3 D.4

B.-1

(3)已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,若 f(a)≥f(2),则 实数 a 的取值范围是________. [自主解答] (1) 由 已 知 得 f( - 1) = - f(1) , g( - 1) = g(1) , 则 有 解得 g(1)=3.
3

? ?-f?1?+g?1?=2, ? ?f?1?+g?1?=4, ?
3

(2)∵f(x)=ax +bsin x+4,① ∴f(-x)=a(-x) +bsin(-x)+4, 即 f(-x)=-ax -bsin x+4,② ①+②得 f(x)+f(-x)=8,③ 又∵lg(log210)=lg? =5, 又由③式知 f(-lg(lg 2))+f(lg(lg 2))=8,∴5+f(lg(lg 2))=8,∴f(lg(lg 2)) =3. (3)∵y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,∴函数 y=f(x)在[0,+∞) 上是增函数.∴当 a>0 时,由 f(a)≥f(2)可得 a≥2,当 a<0 时,由 f(a)≥f(2)=f(-2), 可得 a≤-2.所以实数 a 的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞). [答案] (1)B (2)C (3)(-∞,-2]∪[2,+∞) 【互动探究】 若本例(3)中的 f(x)为奇函数,求实数 a 的取值范围. 解:因为 f(x)为奇函数,且在(-∞,0]上是减函数,所以 f(x)在 R 上为减函数.又
3

? 1 ?=lg(lg 2)-1=-lg(lg 2),∴f(lg(log 10))=f(-lg(lg 2)) ? 2 ?lg 2?

f(a)≥f(2),故 a≤2,即实数 a 的取值范围为(-∞,2].
【方法规律】 与函数奇偶性有关的问题及解决方法 (1)已知函数的奇偶性,求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)已知函数的奇偶性求解析式 将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构 造关于 f(x)的方程(组),从而得到 f(x)的解析式. (3)已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值 常常利用待定系数法:利用 f(x)±f(-x)=0 得到关于待求参数的恒等式,由系数的对 等性得参数的值或方程求解. (4)应用奇偶性画图象和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.

-5-

1.若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=e ,则 g(x)=( A.e -e
x
-x

x

)

1 x -x B. (e +e ) 2 1 x -x D. (e -e ) 2
x

1 -x x C. (e -e ) 2

解析:选 D ∵f(x)+g(x)=e ,①

∴f(-x)+g(-x)=e .
-x

-x

又∵f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),∴f(x)-g(x)=e .②
? ?f?x?+g?x?=e , 由①②得? -x ?f?x?-g?x?=e , ?
x

1 x -x 解得 g(x)= (e -e ). 2
x

2.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数.当 x≥0 时,f(x)=2 +2x+b(b 为常数),则 f(-1) =( ) A.-3 B.-1 C.1 D. 3
0

解析:选 A 因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=2 +2×0+b=0,解得 b= -1.所以当 x≥0 时,f(x)=2 +2x-1,所以 f(-1)=-f(1)=-(2 +2×1-1)=-3.
x
1

考点三

函数的周期性

[例 3] 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x).当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+ 2) ;当-1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 012)=( A.335 B.338 C.1 678 D.2 012 [自主解答] 由 f(x+6)=f(x)可知,函数 f(x)的周期为 6,所以 f(-3)=f(3)=- 1,f(-2)=f(4)=0,f(-1)=f(5)=-1,f(0)=f(6)=0,f(1)=1,f(2)=2,所以在一 个周期内有 f(1)+f(2)+?+f(6)=1+2-1+0-1+0=1,所以 f(1)+f(2)+?+f(2 012) =f(1)+f(2)+335×1=1+2+335=338. [答案] B 【方法规律】 函数周期性的判定 判断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为 T, 函数的周期性常与函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问题.
2

)

设 f(x) 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 2 的 函 数 , 在 区 间 [ - 1,1] 上 , f(x) =

ax+1,-1≤x<0, ? ? ?bx+2 ,0≤x≤1, ? ? x+1

?1? ?3? 其中 a,b∈R.若 f? ?=f? ?,则 a+3b 的值为________. ?2? ?2?
-6-

?3? ? 1? 解析:因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,所以 f? ?=f?- ?,且 f(-1)= ?2? ? 2?
1 b+2 2 1 1 1 ? ? ? ? f(1),故 f? ?=f?- ?,所以 =- a+1,即 3a+2b=-2.① 1 2 ?2? ? 2? +1 2 由 f(-1)=f(1),得-a+1=

b+2
2

,即 b=-2a.②

由①②得 a=2,b=-4,从而 a+3b=-10. 答案:-10

高频考点

考点四

函数性质的综合应用

1.高考常将函数的单调性、奇偶性及周期性相结合命题,以选择题或填空题的形式考 查,难度稍大,为中高档题. 2.高考对函数性质综合应用的考查主要有以下几个命题角度: (1)单调性与奇偶性相结合; (2)周期性与奇偶性相结合; (3)单调性、奇偶性与周期性相结合. [例 4] 的是( ) (1)(2013·北京高考)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减

1 A.y=

x
2

B.y=e

-x

C.y=-x +1

D.y=lg|x|

(2)(2014·南昌模拟)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间 [0,2]上是增函数,则( )

A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) (3)(2012·浙江高考)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时,

f(x)=x+1,则 f? ?=________. 2
1 ?1?x -x [自主解答] (1)A 中 y= 是奇函数,A 不正确;B 中 y=e =? ? 是非奇非偶函数,B 不 x ?e?
-7-

?3? ? ?

正确;C 中 y=-x +1 是偶函数且在(0,+∞)上是单调递减的,C 正确;D 中 y=lg|x|在 (0,+∞)上是增函数,D 不正确.故选 C. (2)∵f(x)满足 f(x-4)=-f(x), ∴f(x-8)=f(x),∴函数 f(x)是以 8 为周期的周期函数,则 f(-25)=f(-1),f(80) =f(0),f(11)=f(3).由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x-4)=-f(x),得 f(11) =f(3)=-f(-1)=f(1).∵f(x)在区间[0,2]上是增函数,f(x)在 R 上是奇函数, ∴ f(x) 在区间 [ - 2,2] 上是增函数,∴ f( - 1) < f(0) < f(1) ,即 f( - 25) < f(80) <

2

f(11).
3 ?3? ? 1? ?1? 1 (3)f? ?=f?- ?=f? ?= +1= . 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? 2 3 [答案] (1)C (2)D (3) 2

函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图 象的对称性. (2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变 换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. (3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在 的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.

1.函数 f(x)是周期为 4 的偶函数,当 x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式 xf(x)>0 在 [-1,3]上的解集为( A.(1,3) C.(-1,0)∪(1,3) ) B.(-1,1) D.(-1,0)∪(0,1)

解析:选 C f(x)的图象如图.

当 x∈(-1,0)时,由 xf(x)>0 得 x∈(-1,0);当 x∈(0,1)时,由 xf(x)<0 得 x∈?; 当 x∈(1,3)时,由 xf(x)>0 得 x∈(1,3).故 x∈(-1,0)∪(1,3). 2.(2014·九江模拟)已知函数 f(x+1)是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不相 等实数 x1、x2,不等式(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0 恒成立,则不等式 f(1-x)<0 的解集为 ________.
-8-

解析:∵f(x+1)是定义在 R 上的奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1),令 x=0,则 f(1) =0.又∵(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0,∴f(x)在 R 上单调递减,∵f(1-x)<0=f(1),∴1 -x>1,解得 x<0,∴不等式 f(1-x)<0 的解集为(-∞,0). 答案:(-∞,0) 3 .已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x - 4) =- f(x) ,且在区间 [0,2] 上是增函 数.若方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+

x4=________.
解析:∵f(x)为奇函数并且 f(x-4)=-f(x).∴f(x-4)=-f(4-x)=-f(x),即 f(4 -x)=f(x),且 f(x-8)=-f(x-4)=f(x),即 y=f(x)的图象关于 x=2 对称,并且是周期 为 8 的周期函数. ∵ f(x)在 [0,2]上是增函数,∴ f(x)在 [- 2,2]上是增函数,在 [2,6] 上为减函数,据此 可画出 y=f(x)的图象,

其图象也关于 x=-6 对称,∴x1+x2=-12,x3+x4=4,∴x1+x2+x3+x4=-8. 答案:-8 ————————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— ?1 条规律——奇、偶函数定义域的特点 奇、偶函数的定义域关于原点对称. 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件. ?2 个性质——奇、偶函数的两个性质 (1)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. (2)设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇 ×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. ?3 条结论——与周期性和对称性有关的三条结论 (1)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a-x)=f(x)或 f(-x)=f(2a+x),则 y=f(x)的图象 关于直线 x=a 对称. (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a-x)=f(x),且 f(2b-x)=f(x)(其中 a<b),则 y =f(x)是以 2(b-a)为周期的周期函数. (3)若对于定义域内的任意 x 都有 f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则函数 f(x)是周期函 数,其中一个周期为 T=2|a-b|.

-9-

前沿热点(二) 与奇偶性、周期性有关的交汇问题

1.函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在 一起与函数图象、函数零点等问题相交汇命题. 2.函数的奇偶性主要体现为 f(-x)与 f(x)的相等或相反关系,而根据周期函数的定义 知,函数的周期性主要体现为 f(x+T)与 f(x)的关系.函数的奇偶性体现的是一种对称关 系,而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此,在解题时,往往需 借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用 单调性来解决相关问题. [典例] (2012·辽宁高考)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且

? 1 3? 3 当 x∈[0,1]时,f(x)=x .又函数 g(x)=|xcos (π x)|,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在?- , ? ? 2 2?
上的零点个数为( A.5 B.6 ) C.7 D.8

[解题指导] 由 f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x)可知该函数是周期为 2 的偶函数,可画 出 g(x)与 f(x)的图象,利用数形结合的思想求解.

[ 解析]

由题意知函数 f(x)是偶函数,且周期是 2.作出 g(x), f(x)的函数图象,如

? 1 3? 图.由图可知函数 y=g(x),y=f(x)在?- , ?上有 6 个交点,故函数 h(x)=g(x)-f(x)在 ? 2 2? ?-1,3?上的零点有 6 个. ? 2 2? ? ?
[答案] B

[名师点评] 解决本题的关键有以下几点: (1)正确识别函数 f(x)的性质; (2)注意到 x=0 是函数 h(x)的一个零点,此处极易被忽视; (3)正确画出函数的图象,将零点问题转化为函数图象的交点问题.

- 10 -

(2014·合肥模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R,都有 f(x+ 2)=f(x).当 0≤x≤1 时,f(x)=x .若直线 y=x+a 与函数 y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两 个不同的公共点,则实数 a 的值是( A.0 1 1 C.- 或- 4 2 1 B.0 或- 2 1 D.0 或- 4 )
2

解析:选 D ∵f(x+2)=f(x),∴T=2.又 0≤x≤1 时,f(x)=x ,可画出函数 y=f(x) 在一个周期内的图象如图.显然 a=0 时,y=x 与 y=x 在[0,2]内恰有两个不同的公共点. 另当直线 y=x+a 与 y=x (0≤x≤1)相切时也恰有两个不同公共点,由题意知 y′= 1 1 ?1 1? 2 (x )′=2x=1,∴x= .即切点为 A? , ?,又 A 点在 y=x+a 上,∴a=- ,综上可知 a=0 2 4 ?2 4? 1 或- . 4
2 2

2

[全盘巩固] 1.下列函数中,在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( 1 A.y=- )

x

B.y=x +3 -3 D.y=e
x

3

x

-x

C.y=log3x

1 解析:选 B 选项 A,y=- 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),但其在定义域上不是单

x

调递增函数;选项 B,y=f(x)=x +3 -3 在其定义域 R 上是增函数,又 f(-x)=-x +3
x
3

3

x

-x

3

-x

-3 =-(x +3 -3 )=-f(x),所以 y=f(x)为奇函数;选项 C,y=log3x 的定义域为(0, +∞),是增函数但不是奇函数;选项 D,y=e 在其定义域 R 上是增函数,但为非奇非偶函 数. 2.设函数 D(x)=?
? ?1,x为有理数, ?0,x为无理数, ?
x

x

-x

则下列结论错误的是(

)

A.D(x)的值域为{0,1} C.D(x)不是周期函数

B.D(x)是偶函数 D.D(x)不是单调函数

- 11 -

?1,x为有理数, ? 解析:选 C A 显然正确;D(x)=? ?0,x为无理数, ?

当 x∈Q 时,-x∈Q,而 D(x)=

D(-x)=1;当 x 为无理数时,-x 也为无理数,此时 D(x)=D(-x)=0,∴对任意的 x∈R, D(x)=D(-x),故 B 正确;不妨设 a∈Q 且 a≠0,当 x 为有理数时,D(x+a)=D(x)=1,当 x
为无理数时,D(x+a)=D(x)=0,∴D(x)为周期函数,故 C 不正确;∵x1=1,D(1)=1,x2= 2,D(2)=1,∴D(x1)=D(x2),∴D(x)在定义域上不单调,故 D 正确. 3.(2014·沈阳模拟)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则

f?- ?=( 2
1 A.- 2

? 5? ? ?

) 1 B.- 4 1 C. 4 1 D. 2

1 ? 5? ? 5? ? 1? ?1? 解析:选 A 由题意得 f?- ?=f?2- ?=f?- ?=-f? ?=- . 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 4.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=a -a +2(a>0,且
x
-x

a≠1).若 g(2)=a,则 f(2)=
A.2 15 B. 4 17 C. 4

(

) D.a
2

解析:选 B ∵g(x)为偶函数,f(x)为奇函数,∴g(2)=g(-2)=a,f(-2)=-f(2), ∴f(2)+g(2)=a -a +2,① f(-2)+g(-2)=-f(2)+g(2)=a -a +2,② 联立①②解得 g(2)=2=a,f(2)=a -a =2 -2 =
2 -2 2 -2 2 -2 -2 2

15 . 4

5.(2014·郑州模拟)已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x +2)=-f(x),且当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2 011)+f(2 012)=( A.1+log23 C.-1 B.-1+log23 D.1 )

解析:选 C ∵f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,∴f(-2 011)=f(2 011). 当 x≥0 时,f(x+ 4)=- f(x+ 2) = f(x),则 f(x) 在 (0 ,+∞)上是以 4 为周期的函 数.注意到 2 011=4×502+3,2 012=4×503,∴f(2 011)=f(3)=f(1+2)=-f(1)=- log2(1+1)=-1,f(2 012)=f(0)=log21=0.∴f(-2 011)+f(2 012)=-1. 6.已知定义域为 R 的函数 y=f(x)在[0,7]上只有 1 和 3 两个零点,且 y=f(2-x)与 y =f(7+x)都是偶函数,则函数 y=f(x)在[-2 013,2 013]上的零点个数为( A.804 解析:选 C B.805 C.806 D.807 )

根据条件得出函数的周期,再确定一个周期上的零点个数即可求解.由函

数 y=f(2-x),y=f(7+x)是偶函数得函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 和 x=7 对称,所 以周期为 10.又由条件可知函数 y=f(x)在[0,10]上只有两个零点 1 和 3,所以函数 y=f(x)

- 12 -

在[-2 013,2 013]上有 402 个周期,加上 2 011,2 013 两个零点,所以零点个数是 402×2 +2=806. 7.若函数 f(x)=x -|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 解析:由题意知,函数 f(x)=x -|x+a|为偶函数,则 f(1)=f(-1),即 1-|1+a|=1 -|-1+a|,解得 a=0. 答案:0 8.奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],若 f(x)在[0,2]上单调递减,且 f(1+m)+f(m)< 0,则实数 m 的取值范围是________. 解析:因为奇函数 f(x)在[0,2]上单调递减,所以函数 f(x)在[-2,2]上单调递减.由 -2≤m≤2, ? ? f(1 + m) + f(m) < 0 得 f(1 + m) < - f(m) = f( - m) , 所 以 由 ?-2≤1+m≤2, ? ?1+m>-m, -2≤m≤2, ? ?-3≤m≤1, ? 1 ? ?m>-2,
2 2



1 ? 1 ? 所以- <m≤1,故实数 m 的取值范围是?- ,1?. 2 ? 2 ?

? 1 ? 答案:?- ,1? ? 2 ?
9.函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)= ________. 解析:∵f(x+2)= 1 1 ,∴f(x+4)= =f(x), f?x? f?x+2? 1 1 =- . f?1? 5 1

f?x?

,若 f(1)=-5,则 f(f(5))=

∴f(5)=f(1)=-5,∴f(f(5))=f(-5)=f(3)= 1 答案:- 5

10.已知函数 f(x)=2|x-2|+ax(x∈R)有最小值. (1)求实数 a 的取值范围; (2)设 g(x)为定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时,g(x)=f(x),求 g(x)的解析式.
? ??a+2?x-4,x≥2, 解:(1)f(x)=? ??a-2?x+4,x<2, ?

要使函数 f(x)有最小值,需?

? ?a+2≥0, ?a-2≤0, ?

∴-2≤a≤2,故 a 的取值范围为[-2,2]. (2)∵g(x)为定义在 R 上的奇函数, ∴g(-0)=-g(0),∴g(0)=0.设 x>0,则-x<0.∴g(x)=-g(-x)=(a-2)x-4,

- 13 -

?a-2?x-4,x>0, ? ? ∴g(x)=?0, x=0, ? ??a-2?x+4, x<0. 11.函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当 x∈(0,+∞)时是增函数,若 f(1)=0,求不等

? 1? 式 fx?x- ?<0 的解集. ? 2?
解:∵ y = f(x) 是奇函数,∴ f( - 1) =- f(1) = 0. 又∵ y = f(x) 在 (0 ,+∞)上是增函 数,

? 1? x?x- ?>0, ? ? ? 2? ? 1? ∴y=f(x)在(-∞,0)上是增函数,若 fx?x- ?<0=f(1),∴? ? 2? ?x-1?<1, x ? ? ?? ? 2?
1 1+ 17 1- 17 ? 1? 即 0<x?x- ?<1,解得 <x< 或 <x<0. 2 4 4 ? 2?

?x-1?<0, x ? ? ?? ? 2? ? 1? fx?x- ?<0=f(-1),∴? ? 2? ?x-1?<-1. x ? ? ?? ? 2?

? 1? ∴x?x- ?<-1,解得 x∈?. ? 2?

1 1+ 17 1- 17 ∴原不等式的解集是 x <x< 或 <x<0. 2 4 4 12.已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x). (1)求证:f(x)是周期函数; 1 1 (2)若 f(x)为奇函数,且当 0≤x≤1 时,f(x)= x,求使 f(x)=- 在[0,2 014]上的所 2 2 有 x 的个数. 解:(1)证明:∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=-(-f(x))=f(x), ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数. 1 1 1 (2)当 0≤x≤1 时,f(x)= x,设-1≤x≤0,则 0≤-x≤1,∴f(-x)= (-x)=- x. 2 2 2 1 1 1 ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=- x,即 f(x)= x.故 f(x)= x(- 2 2 2 1≤x≤1). 1 又设 1<x<3,则-1<x-2<1,∴f(x-2)= (x-2). 2 1 又∵f(x)是以 4 为周期的周期函数,∴f(x-2)=f(x+2)=-f(x),∴-f(x)= (x- 2

- 14 -

1 ? ?2x,-1≤x≤1, 1 2),即 f(x)=- (x-2)(1<x<3).∴f(x)=? 2 1 - ?x-2?,1<x<3. ? ? 2 1 1 由 f(x)=- ,解得 x=-1.∵f(x)是以 4 为周期的周期函数,∴使 f(x)=- 的所有 x 2 2 1 2 015 =4n-1(n∈Z).令 0≤4n-1≤2 014,则 ≤n≤ . 4 4 1 又∵n∈Z,∴1≤n≤503(n∈Z),∴在[0,2 014]上共有 503 个 x 使 f(x)=- . 2 [冲击名校] 1.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足以下三个条件:①对于任意的 x∈R,都有 f(x+ 4)=f(x);②对于任意的 x1,

x2∈R,且 0≤x1<x2≤2,都有 f(x1)<f(x2);③函数 y=f(x+2)的图象关于 y 轴对称,
则下列结论中正确的是( ) B.f(7)<f(4.5)<f(6.5) D.f(4.5)<f(6.5)<f(7)

A.f(4.5)<f(7)<f(6.5) C.f(7)<f(6.5)<f(4.5)

解析:选 A

由 f(x+4)=f(x)可知函数是周期为 4 的周期函数,函数 y=f(x+2)的图象

关于 y 轴对称,则函数 y=f(x)关于 x=2 对称,0≤x1<x2≤2 时,有 f(x1)<f(x2),所以

f(4.5) = f(0.5) , f(6.5) = f(2.5) = f(1.5) , f(7) = f(3) = f(1) , 故 f(4.5) < f(7) < f(6.5).
2.奇函数 f(x)满足对任意 x∈R 都有 f(2+x)+f(2-x)=0,且 f(1)=9,则 f(2 010) +f(2 011)+f(2 012)的值为________. 解析:奇函数 f(x)满足 f(2+x)+f(2-x)=0,则 f(2+x)=-f(2-x)=f(x-2),所以 函数 f(x)是周期为 4 的周期函数,f(2 010)+f(2 011)+f(2 012)=f(2)+f(3)+f(4),令

x=0,则 f(2)=0;令 x=2,则 f(4)=f(0)=0;由 f(3)=f(-1)=-f(1)=-9,故 f(2 010)
+f(2 011)+f(2 012)=-9. 答案:-9 [高频滚动] 1.已知 a>0,下列函数中,在区间(0,a)上一定是减函数的是 ( A.f(x)=ax+b C.f(x)=a
x

)

B.f(x)=x -2ax+1 D.f(x)=logax
- 15 -

2

解析:选 B 依题意得 a>0,因此函数 f(x)=ax+b 在区间(0,a)上是增函数;函数 f(x) =x -2ax+1=(x-a) +1-a (注意到其图象的对称轴是直线 x=a,开口方向向上)在区间 (0,a)上是减函数;函数 f(x)=a 、f(x)=logax 在区间(0,a)上的单调性不确定(a 与 1 的大 小关系不确定).综上所述,在区间(0,a)上一定是减函数的是 f(x)=x -2ax+1. 2.(2014·嘉兴模拟)函数 y=(x-2)|x|在[a,2]上的最小值为-1,则实数 a 的取值范围 为________.
2 2 2 2

x

x -2x,x>0, ? ? x=0, 解析:y=(x-2)|x|=?0, 2 ? ?-x +2x,x<0.

2

函数的图象如图所示,当 x<0 时,由-x +2x=-1,得 x=1- 2. 借助图形可知 1- 2≤a≤1. 答案:[1- 2,1]

2

- 16 -


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