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2014(理科)数列通项公式与求和


2014 年高考复习数列通项公式求法学生版 (理科)
巅峰教育:蒋越界(18690745686)
一.利用等差等比数列通项公式(公式法)

例题分析: 例 1 : 设 {an } 是 等 差 数 列 , {bn } 是 各 项 都 为 正 数 的 等 比 数 列 , 且 a1 ? b1 ? 1 ,
a3 ? b5 ? 21 , a

5 ? b3 ? 13 ,求 {an } , {bn } 的通项公式。

例 2:等差数列 {a } 的前 n 项和为 S ,a
n

n

1

? 1 ? 2,S3 ? 9 ? 3 2 .求数列 {an } 的通项

an 。

例 3:实数列 {a }是 等比数列, a
n

7

? 1, 且a4 , a5 ? 1, a6 成等差数列,求数列 {an } 的通项

an 。


1

二.利用数列的前 n 项和, (作差法) an ? ?

? a1 ? S1 , n ? 1 ?Sn ? Sn?1 , n ? 2

例题分析:
aa 例 1:各项全不为零的数列{a }的前 k 项和为 S ,且 S = 1 2
k k k
k k ?1

( k ? N*),其中 a1=1.Z 求

数列 ak 。

例 2:已知数列 ?a ? 的前 n 项和 S
n

n

? n2 ? 9n ,则其通项 an =-----;若它的第 k 项满足

5 ? ak ? 8 ,则.K=-----

例 3 :设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ? 3n?1 an ? n , a ? N* .求数列 ?an ? 的通
3
项。

例 4:数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ? N* ) .求数列 ?an ? 的通项
an

例 5 : 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?an ? 的 前

n 项 和 Sn 满 足 S1 ? 1 , 且

n ? N .求 ?an ? 的通项公式。 6Sn ? (an ? 1 ) a (n ? , 2)

2

三.利用递推关系
a 1.递推关系 ? ? ? an ? f ? n ? ? a1 ? a
n ?1

其中 a 为常数
, an ? an?1 ? f ? n ?1? , 诸 式 相 加 , 得

由 递 推 式 得 a2 ? a1 ? f ?1? , a3 ? a2 ? f ? 2? ,
n ?1

an ? a1 ? ? f ? k ? ,即为(累加法)求数列通项公式。
k ?1

例题分析:
2, 3, 例 1:数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1,
成公比不为 1 的等比数列.求 ?an ? 的通项公式. ) ,且 a1,a2,a3

例 2:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? an?1 ?
2

1 ? n ? 2 ? ,求数列 ?an ? 的通项公式。 n ?1
2

例 3:已知数列 ?an ? 满足 nan?1 ? ? n ?1? an ? 2 ,且 a1 ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

3

a 2. 递推关系 ? ?

? f ? n ? an ? a1 ? a
n ?1

其中 a 为常数
, an ? f ? n ?1? an?1 ,诸式相乘,得

由递推式得 a2 ? f ?1? a1, a3 ? f ? 2? a2 ,
n ?1

an ? a1 ? f ? k ? ,即为(累乘法)求数列通项公式。
k ?1

例题分析: 例 1:已知数列 ?bn ? 的首项 b1 ? 1 ,其前 n 项和 Sn ? 1 ? n ? 1? bn ,求数列 ?bn ? 的通项
2
公式。

例 2:数列 ?an ? 满足 nan?1 ? 2 ? a1 ? a2 ?

? an ? 且 a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

a 3. 递推关系 ? ?

? pan ? q ?a1 ? a
n ?1

其中 p, q, a 为常数且 p ? 1

令 an?1 ? ? ? p ? an ? ? ? ,整理得 an?1 ? pan ? ? p ?1? ? ,所以 ? p ?1? ? ? q , 即? ?

? ? q q ? q q ? ,从而 an?1 ? ,所以数列 ?an ? ? p ? an ? ? 是等比数列。 ? p ?1 p ? 1? p ?1 p ?1 ? ? ?

4

例题分析: 例 1:已知数列 {an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? (
公式。

2 ?1)(an ? 2) , n ? 1, 2,3,

求 {an } 的通项

3 ? an ?1 1) an ? , n ? 2, 3 , 4 ,… .求 {an } 的通项公 例 2:设数列 {an } 的首项 a1 ? (0,, 2
式。

例 3 : 已 知 数 列 ?an ? : 3 , 5 , 7 , 9 , … , 2 n ? 1 , … 。 另 作 一 数 列 ?bn ? , 使 得
b1 ? a1 ,且当 n ? 2 时, bn ? abn?1 ,求数列 ?bn ? 的通项公式。

例 4:数列 ?an ? 中,设 an ? 0, a1 ? 1 且 an ? an2?1 ? 36 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

5

a 4. 递推关系 ? ?

? pan ? f ? n ? ? a1 ? a
n ?1

其中 p, a 为常数且 p ? 1 , f ? n ? 为非常
n ?1



由递推式 an?1 ? pan ? f ? n ? 两边同除以 p

,得

an ?1 an f ? n ? ? ? n ?1 ,对此采用 3. p n ?1 p n p

1 中所述的累加法可求。

例题分析: 例 1 : 在 数 列 ?an ? 中 ,
? ? 0 .求 an 。

a1 ? 2,an?1 ? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ?)2n (n ? N? ) , 其 中

例 2:数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn 且满足 a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? n2 ? n ?1 ,求 an 。

a 5.递推关系 ? ?

n ?1

? pan ? qan ?1 ? n ? 2 ?

? a1 ? a , a2 =b

其中 p, q, a, b 为常数

( 1)

若 p ? q ? 1 时, p ? 1 ? q ,即 an?1 ? an ? ?q ? an ? an?1 ? ,知 ?an?1 ? an ? 为等比

数列,对此采用 3. 1 中所述的累加法可求。

例题分析:

例 1 : 已知数列 ?a ? 满足 a
n

1

? 1, a2 ?

5 5 2 , an ? 2 ? an? 1 ? an ,求数列 ?an ? 的通项公 3 3 3

式。

6

例 2 : 已知数列 ?a ? 中, a
n

1

? 1, a 2 ? 2, an ? 2 ?

2 1 an ? 1 ? an ,求数列 ?an ? 的通项公 3 3

式。

( 2)若 p ? q ? 1 时,存在 x1 , x2 满足 an?1 ? x1an ? x2 ? an ? x1an?1 ? ,整理
得 an?1 ? ? x1 ? x2 ? an ? x1x2an?1 ,有 x1 ? x2 ? p, x1x2 ? ?q ,从而 ?an?1 ? x1an ? 是 等比数列,对此采用 3. 4 中所述的方法即可。 四.利用倒数变形, an?1 ? 为 an?1 ? pan ? q 。
an ,两边取(倒数法)后换元转化 pan ? q

例题分析: 例 1:已知数列 ?an ? 满足: an ?
an?1 , a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 3 ? a n?1 ? 1

例 2:数列 ?an ? 满足: a1 ? 3 ,且 an ?
2

3nan?1 2an?1 ? n ? 1

? n ? 2? ,求 an



例 3:数列 ?an ? 满足: a1 ? 2a , an?1 ? 2a ? a ? a ? 0? ,求数列 ?an ? 的通项公式。
an

2

7

五.利用归纳猜想

例 1 : 设 正 整 数 数 列 ?an ?

满 足 : a2 ? 4 , 且 对 于 任 何 n ? N

*

, 有

1 1 ? a an?1 1 1 (2)求数列 ?an ? 的通项 an . 2? ? n ? 2 ? .求 a1 , a3 ; an ?1 1 ? 1 an n n ?1

例 2 : 已知点的序列 An ( xn ,0), n ? N * ,其中 x1 ? 0 , x2 ? a(a ? 0) , A3 是线段
A1 A2 的中点, A4 是线段 A2 A3 的中点,…, An 是线段 An?2 An?1 的中点,…
(1)写出 xn 与 xn?1 , xn?2 之间的关系式( n ? 3 ) 。 (2)设 an ? xn?1 ? xn ,计算 a1 , a2 , a3 , 并求出数列 ?an ? 的通项公式。

8

六.利用函数的不动点(方程的特征根)

(1)

若 数 列

?xn ? 满 足 xn?1 ? axn2 ? bxn ?

b 2 ? 2b ? a ? 0? , 且 ? 是 方 程 4a

x ? ax 2 ? bx ?

b 2 ? 2b 2 的最小根,则 xn ?1 ? ? ? ? ? ? xn ? ? ? 。 4a

例题分析: 例 1:已知数列 ?xn ? 满足 xn?1 ? 2xn2 ? 4xn ?1, x1 ? 1,求数列 ?xn ? 的通项公式。

(2)若数列 ?xn ? 满足 xn?1 ? axn ? b ? c ? 0, ad ? bc ? 0? 且 x1 ? ax1 ? b 。
cxn ? d
cx1 ? d
若方程 x ?

ax ? b x ? ? a ? c? xn ? ? 有两个相异实根 ? , ? ,则 n ?1 ? ? cx ? d xn?1 ? ? a ? c? xn ? ?

例题分析: 例 1:已知数列 ?xn ? 满足 xn?1 ? 7 xn ? 2 , x1 ? 3 ,求数列 ?xn ? 的通项公式。
xn ? 4

(3)

若 方 程 x?

ax ? b 有 两 个 相 等 实 根 ? , 且 a ? ?d , 则 cx ? d

1 2c 1 ? ? 。 xn ?1 ? ? a ? d xn ? ?

例题分析: 例 1:已知数列 ?xn ? 满足 xn?1 ?
3xn ? 1 1 , x1 ? ,求数列 ?xn ? 的通项公式。 4 xn ? 7 2

9

(4).若数列 ?xn ? 满足 xn?1 ?
x ? ? ? xn ? ? ? ?? 异实根,则 n ?1 ? xn ?1 ? ? ? xn ? ? ?
2

2 axn ?c ax 2 ? c 的两个相 ? a ? 0? ,若 ? , ? 是方程 x ? 2ax ? f 2axn ? f

例题分析: 例 1:已知数列 ?xn ? 满足 xn?1 ? 3xn ? 2 , x1 ? 19 ,求数列 ?xn ? 的通项公式。
2

6 xn ? 5

6

例 2:已知函数 f ( x) ? x2 ? x ?1, ?,? 是方程 f ( x) ? 0 的两个根 (? ? ? ) ,
f ?( x ) 是 f ( x) 的导数.设 a1 ? 1 , an?1 ? an ?
(1)求 ?, ? 的值

f (an ) (n ? 1, 2, ) . f ?(an )

(2)已知对任意的正整数 n 有 an ? ? ,记 bn ? ln 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

an ? ? (n ? 1, 2, ) . an ? ?

10

(学生版)数列求通项公式
1.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n 与 an 的关系是
3

S n ? n(2n ? 1)an ,试求

通项公式 an 。

2.已知数列 {an}的前 n 项和 S ,其中 { bn} 是首项为 1,公差为 2 的等 ? ( n ? 1 ) b n n
差数列,求数列 {an}的通项公式;

3. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 2S n ? 2an ? n ? 3 (n ? N * ) .求数列
{an } 的通项公式;

4.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ? 3n?1 an ? n , n ? N* .求数列 ?an ? 的通项;
3

11

5.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ? N* ) .
求数列 ?an ? 的通项 an ;

6、.设数列{an}的前项的和 Sn= 1 (an-1)
3

(n ? N? ). (Ⅰ)求 a1;a2;(Ⅱ)求证数

列{an}为等比数列.

7. 已知二次函数 y ?
{an } 的通项公式;

f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2 ,数

列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上.求数列

8.已知数列 ?an ?的前 n 项和 S 满足 Sn ? 2an ? (?1)n , n ? 1. (Ⅰ)写出数列 ?an ? 的前 3 项 a1 ,a 2 , a3 ; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式.
n

12

9.已知等差数列{an}的首项 a1

= 1,公差 d > 0,且第二项、第五项、第十四项

分别是等比数列 {bn} 的第二项、第三项、第四项.求数列 {an} 与 {bn} 的通项公 式;

10.已知数列 {an } 和 {bn} 满足: a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ? 0 , bn ?
{bn } 是以 q 为公比的等比数列.
(I)证明: an? 2 ? an q 2 ; (II)若 cn ? a2n?1 ? 2a2n ,证明数列 {cn } 是等比数列;

,且 an an ?1 ( n ? N * )

11.已知数列 {a n } 满足 a n?1 ? 2a n ? 3 ? 5n ,a1 ? 6 ,求数列 {a n } 的通项公式。

13

2014年高考复习数列通项公式求法教师版 (理科)
巅峰教育:蒋越界(18690745686) 一.利用等差等比数列通项公式(公式法)

例题分析: 例 1:设 {a } 是等差数列, {b } 是各项都为正数的等比数列,且 a
n
n

1

? b1 ? 1 ,

a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13 ,求 {an } , {bn } 的通项公式。

解 析 : 设 ?a ? 的 公 差 为 d
n

, ?bn ? 的 公 比 为 q , 则 依 题 意 有 q ? 0 且

?1 ? 2d ? q 4 ? 21, ? ? 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13,

解得 d ? 2 , q ? 2 . 所以 an ? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 , bn ? qn?1 ? 2n?1 .

例 2:等差数列 {a } 的前 n 项和为 S ,a
n

n

1

? 1 ? 2,S3 ? 9 ? 3 2 .求数列 {an }

的通项 an 。

解析:由已知得 ? ?

?a1 ? 2 ? 1, ? ?3a1 ? 3d ? 9 ? 3 2



?d ? 2 ,

故 an ? 2n ?1 ? 2 .

例 3:实数列 {a }是 等比数列, a
n

7

? 1, 且a4 , a5 ? 1, a6 成等差数列,求数列 {an }

的通项 an 。

解析:设等比数列 ?a ? 的公比为 q(q ? R) ,由 a
n

7

? a1q6 ? 1,得 a1 ? q ?6 ,

从而 a4 ? a1q3 ? q?3 , a5 ? a1q4 ? q ?2 , a6 ? a1q5 ? q?1 . 因为 a4,a5 ? 1,a6 成等差数列,所以 a4 ? a6 ? 2(a5 ? 1) , 即 q ?3 ? q ?1 ? 2(q ?2 ? 1) , q?1 (q?2 ? 1) ? 2(q?2 ? 1) .

14

所以 q ?

1 ?1? .故 an ? a1q n?1 ? q ?6 q n?1 ? 64 ? ? 2 ?2?

n ?1



? a1 ? S1 , n ? 1 a ? 二.利用数列的前 n 项和, n ? (作差法) ?Sn ? Sn ?1 , n ? 2

例题分析: 例 1:各项全不为零的数列{ak}的前
ak 。
1 a1a2 及 a1 ? 1 ,得 a2 ? 2 . 2 1 1 当 k ? 2 时,由 ak ? S k ? S k ?1 ? ak ak ?1 ? ak ?1ak ,得 ak (ak ?1 ? ak ?1 ) ? 2ak . 2 2 1 k 项和为 Sk,且 Sk= ak ak ?1 ( k ? 求数列 2

解析:当 k ? 1 ,由 a

1

? S1 ?

因为 ak ? 0 ,所以 ak ?1 ? ak ?1 ? 2 .从而 a2m?1 ? 1 ? (m ?1) 2 ? 2m ?1 .

a2m ? 2 ? (m ?1) 2 ? 2m , m ? N* .故 ak ? k (k ? N* ) .

例 2:已知数列 ?a ? 的前 n 项和 S
n

n

? n2 ? 9n ,则其通项 an ? 2 n ? 10 ;若它的

第 k 项满足 5 ? ak ? 8 ,则 k ? 8 .

例 3:设数列 ?a ? 满足 a ? 3a
n
1

2

? 32 a3 ? … ? 3n ?1 an ?

n , a ? N* .求数列 ?an ? 3

的通项。
n n ?1 , a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ...3n ? 2 an ?1 ? (n ? 2), 3 3 1 n n ?1 1 an ? n (n ? 2). 3n ?1 an ? ? ? (n ? 2). 3 3 3 3 1 验证 n ? 1 时也满足上式, an ? n (n ? N * ). 3

解析: a ? 3a
1

2

? 32 a3 ? ...3n ?1 an ?

例 4:数列 ?a ? 的前 n 项和为 S
n

n

, a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ? N* ) .求数列 ?an ? 的

通项 an

解析:∵an+1=2Sn,,


∴Sn+1-Sn=2Sn,

S n ?1 =3. 又∵S1=a1=1, Sn
15

∴数列{Sn}是首项为 1、公比为 3 的等比数列,Sn=3n-1(n∈N*). ? ,n ? 1 ?1 ∴当 n ? 2 时,an-2Sn-1=2·3n-2(n ? 2), ∴an= ? , n ? 2. n?2 ? 2 · 3 ?

例 5 : 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?a ? 的 前 n 项 和 S
n

n

满 足 S1 ? 1 , 且

, 6Sn ? (an ? 1) ( an ? 2 ) n ? N .求 ?an ? 的通项公式。

解析:由 a

1

1 ? S1 ? (a1 ? 1)(a1 ? 2) ,解得 a1 ? 1 或 a1 ? 2 , 6

由假设 a1 ? S1 ? 1 ,因此 a1 ? 2 ,
1 1 又由 an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? (an ?1 ? 1)(an ?1 ? 2) ? (an ? 1)(an ? 2) , 6 6

得 (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 3) ? 0 , 即 an?1 ? an ? 3 ? 0 或 an?1 ? ?an ,因 an ? 0 ,故 an?1 ? ?an 不成立,舍去. 因此 an?1 ? an ? 3 ,从而 ?an ? 是公差为 3 ,首项为 2 的等差数列, 故 ?an ? 的通项为 an ? 3n ? 1 .

三.利用递推关系
1.递推关系 ?
?an?1 ? an ? f ? n ? ? a1 ? a

其中 a 为常数(累加法)
, an ? an?1 ? f ? n ?1? , 诸 式 相加 , 得

由 递 推 式得 a2 ? a1 ? f ?1? , a3 ? a2 ? f ? 2? ,
n ?1

an ? a1 ? ? f ? k ? ,即为累加法求数列通项公式。
k ?1

例题分析: 例 1 : 数列 ?a ? 中, a
n
1

2 , 3 , ) ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1, ,且

a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比数列.求 ?an ? 的通项公式.

解析: a

1

? 2 , a2 ? 2 ? c , a3 ? 2 ? 3c ,因为 a1 , a 2 , a3 成等比数列,

所以 (2 ? c )2 ? 2(2? 3 c ),解得 c ? 0 或 c ? 2 .当 c ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ,不符合 题 意 舍 去 , 故 c ? 2 . 当 n ≥ 2 时 , 由 于 a2 ? a1 ? c ,

a3 ? a2 ? 2c ,

16

an ? an?1 ? (n ? 1)c ,
所以 an ? a1 ? [1 ? 2 ?
? (n ? 1)]c ? n(n ? 1) c. 2

又 a1 ? 2 , c ? 2 ,故 an ? 2 ? n(n ?1) ? n2 ? n ? 2(n ? 2, 3, ) . 当 n ? 1 时,上式也成立,所以 an ? n2 ? n ? 2(n ? 1 , 2, ) .

例 2:已知数列 ?a ? 满足 a
n

1

1 1 ? , an ? an ?1 ? 2 ? n ? 2 ? ,求数列 ?an ? 的通项 2 n ?1

公式。

解析:当 n ? 2 时,
an ? a1 ? ?
k ?1 n ?1

1

? k ? 1?

2

?1

? a1 ? ?

n ?1 1 1 ?1 1 ? ? a1 ? ? ? ? ? ? k ?2? k ?1 ? k ? 2 ? k k ?1 2 ? k

n ?1

?

1 1 n?1 ? 1 1 ? 1 1? 1 1 1 ? 5 2n ? 1 ? ?? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ?? ? 2 2 k ?1 ? k k ? 2 ? 2 2 ? 2 n n ? 1 ? 4 2n ? n ? 1?

当 n ? 1 时,也满足上式, 故 an ?
5 2n ? 1 。 ? 4 2n ? n ? 1?
n

例 3:已知数列 ?a ? 满足 na
公式。

n?1

? ? n ? 1? an ? 2 ,且 a1 ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项

解析:两边同除以 n ? n ?1? ,得 a
令 bn ? an ,有: bn?1 ? bn ?
n

n ?1

n ?1

?

an 2 , ? n n ? n ? 1?

2 ,且 b1 ? 2 , n ? n ? 2?

从而 bn ? b1 ? ?

n ?1 2 1 ? 2 ?1 ? b1 ? 2? ? ? ? ? 4? , k ?1 ? n k ?1 k ? k ? 1? k ?1 ? k

n ?1

故 an ? nbn ? 4n ? 2 。

17

2.递推关系 ?

?an?1 ? f ? n ? an ? a1 ? a

其中 a 为常数(累乘法)
2a ? ?
2

由 递 推 式 得 a2 ? f ?1? a 1, a ? 3 f
n ?1

, an ,? f ? n ? ? an1 ? , 1 诸 式 相 乘 , 得

an ? a1 ? f ? k ? ,即为累乘法求数列通项公式。
k ?1

例题分析: 例 1:已知数列 ?b ? 的首项 b
n
1

? 1 ,其前 n 项和 S n ?

1 ? n ? 1? bn ,求数列 ?bn ? 的 2

通项公式。
1 1 ? n ? 1? bn ,得 Sn?1 ? nbn?1 ? n ? 2 ? , 2 2 n bn ?1 ? n ? 2 ? 所以 bn ? Sn ? Sn ?1 ? n ?1

解析:由 S

n

?



b2 2 b3 3 ? , ? , b1 1 b2 2

b bn n ,诸式相乘得 n ? n ,即 bn ? n , ? b1 bn?1 n ? 1

当 n ? 1 时也满足上式。故 bn ? n 。

例 2:数列 ?a ? 满足 na
n

n?1

? 2 ? a1 ? a2 ?

? an ? 且 a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公

式。

解析:
nan?1 ? 2 ? a1 ? a2 ?
即 an ?1 ?

? an ? ? 2 ? a1 ? a2 ?

? an?1 ? ? 2an ? ? n ?1? an ? 2an ? ? n ?1? an ,
? n ? a1 ? n ? n 。 n ?1

n ?1 2 3 4 an ,从而 an ? a1 ? ? ? ? n 1 2 3

3.递推关系 ?

?an?1 ? pan ? q ?a1 ? a

其中 p, q, a 为常数且 p ? 1

令 an?1 ? ? ? p ? an ? ? ? ,整理得 an?1 ? pan ? ? p ?1? ? ,所以 ? p ?1? ? ? q , 即? ? 列。

? ? q q ? q q ?