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2014(理科)数列通项公式与求和


2014 年高考复习数列通项公式求法学生版 (理科)
巅峰教育:蒋越界(18690745686)
一.利用等差等比数列通项公式(公式法)

例题分析: 例 1 : 设 {an } 是 等 差 数 列 , {bn } 是 各 项 都 为 正 数 的 等 比 数 列 , 且 a1 ? b1 ? 1 ,
a3 ? b5 ? 21 , a

5 ? b3 ? 13 ,求 {an } , {bn } 的通项公式。

例 2:等差数列 {a } 的前 n 项和为 S ,a
n

n

1

? 1 ? 2,S3 ? 9 ? 3 2 .求数列 {an } 的通项

an 。

例 3:实数列 {a }是 等比数列, a
n

7

? 1, 且a4 , a5 ? 1, a6 成等差数列,求数列 {an } 的通项

an 。


1

二.利用数列的前 n 项和, (作差法) an ? ?

? a1 ? S1 , n ? 1 ?Sn ? Sn?1 , n ? 2

例题分析:
aa 例 1:各项全不为零的数列{a }的前 k 项和为 S ,且 S = 1 2
k k k
k k ?1

( k ? N*),其中 a1=1.Z 求

数列 ak 。

例 2:已知数列 ?a ? 的前 n 项和 S
n

n

? n2 ? 9n ,则其通项 an =-----;若它的第 k 项满足

5 ? ak ? 8 ,则.K=-----

例 3 :设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ? 3n?1 an ? n , a ? N* .求数列 ?an ? 的通
3
项。

例 4:数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ? N* ) .求数列 ?an ? 的通项
an

例 5 : 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?an ? 的 前

n 项 和 Sn 满 足 S1 ? 1 , 且

n ? N .求 ?an ? 的通项公式。 6Sn ? (an ? 1 ) a (n ? , 2)

2

三.利用递推关系
a 1.递推关系 ? ? ? an ? f ? n ? ? a1 ? a
n ?1

其中 a 为常数
, an ? an?1 ? f ? n ?1? , 诸 式 相 加 , 得

由 递 推 式 得 a2 ? a1 ? f ?1? , a3 ? a2 ? f ? 2? ,
n ?1

an ? a1 ? ? f ? k ? ,即为(累加法)求数列通项公式。
k ?1

例题分析:
2, 3, 例 1:数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1,
成公比不为 1 的等比数列.求 ?an ? 的通项公式. ) ,且 a1,a2,a3

例 2:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? an?1 ?
2

1 ? n ? 2 ? ,求数列 ?an ? 的通项公式。 n ?1
2

例 3:已知数列 ?an ? 满足 nan?1 ? ? n ?1? an ? 2 ,且 a1 ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

3

a 2. 递推关系 ? ?

? f ? n ? an ? a1 ? a
n ?1

其中 a 为常数
, an ? f ? n ?1? an?1 ,诸式相乘,得

由递推式得 a2 ? f ?1? a1, a3 ? f ? 2? a2 ,
n ?1

an ? a1 ? f ? k ? ,即为(累乘法)求数列通项公式。
k ?1

例题分析: 例 1:已知数列 ?bn ? 的首项 b1 ? 1 ,其前 n 项和 Sn ? 1 ? n ? 1? bn ,求数列 ?bn ? 的通项
2
公式。

例 2:数列 ?an ? 满足 nan?1 ? 2 ? a1 ? a2 ?

? an ? 且 a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

a 3. 递推关系 ? ?

? pan ? q ?a1 ? a
n ?1

其中 p, q, a 为常数且 p ? 1

令 an?1 ? ? ? p ? an ? ? ? ,整理得 an?1 ? pan ? ? p ?1? ? ,所以 ? p ?1? ? ? q , 即? ?

? ? q q ? q q ? ,从而 an?1 ? ,所以数列 ?an ? ? p ? an ? ? 是等比数列。 ? p ?1 p ? 1? p ?1 p ?1 ? ? ?

4

例题分析: 例 1:已知数列 {an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? (
公式。

2 ?1)(an ? 2) , n ? 1, 2,3,

求 {an } 的通项

3 ? an ?1 1) an ? , n ? 2, 3 , 4 ,… .求 {an } 的通项公 例 2:设数列 {an } 的首项 a1 ? (0,, 2
式。

例 3 : 已 知 数 列 ?an ? : 3 , 5 , 7 , 9 , … , 2 n ? 1 , … 。 另 作 一 数 列 ?bn ? , 使 得
b1 ? a1 ,且当 n ? 2 时, bn ? abn?1 ,求数列 ?bn ? 的通项公式。

例 4:数列 ?an ? 中,设 an ? 0, a1 ? 1 且 an ? an2?1 ? 36 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

5

a 4. 递推关系 ? ?

? pan ? f ? n ? ? a1 ? a
n ?1

其中 p, a 为常数且 p ? 1 , f ? n ? 为非常
n ?1



由递推式 an?1 ? pan ? f ? n ? 两边同除以 p

,得

an ?1 an f ? n ? ? ? n ?1 ,对此采用 3. p n ?1 p n p

1 中所述的累加法可求。

例题分析: 例 1 : 在 数 列 ?an ? 中 ,
? ? 0 .求 an 。

a1 ? 2,an?1 ? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ?)2n (n ? N? ) , 其 中

例 2:数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn 且满足 a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? n2 ? n ?1 ,求 an 。

a 5.递推关系 ? ?

n ?1

? pan ? qan ?1 ? n ? 2 ?

? a1 ? a , a2 =b

其中 p, q, a, b 为常数

( 1)

若 p ? q ? 1 时, p ? 1 ? q ,即 an?1 ? an ? ?q ? an ? an?1 ? ,知 ?an?1 ? an ? 为等比

数列,对此采用 3. 1 中所述的累加法可求。

例题分析:

例 1 : 已知数列 ?a ? 满足 a
n

1

? 1, a2 ?

5 5 2 , an ? 2 ? an? 1 ? an ,求数列 ?an ? 的通项公 3 3 3

式。

6

例 2 : 已知数列 ?a ? 中, a
n

1

? 1, a 2 ? 2, an ? 2 ?

2 1 an ? 1 ? an ,求数列 ?an ? 的通项公 3 3

式。

( 2)若 p ? q ? 1 时,存在 x1 , x2 满足 an?1 ? x1an ? x2 ? an ? x1an?1 ? ,整理
得 an?1 ? ? x1 ? x2 ? an ? x1x2an?1 ,有 x1 ? x2 ? p, x1x2 ? ?q ,从而 ?an?1 ? x1an ? 是 等比数列,对此采用 3. 4 中所述的方法即可。 四.利用倒数变形, an?1 ? 为 an?1 ? pan ? q 。
an ,两边取(倒数法)后换元转化 pan ? q

例题分析: 例 1:已知数列 ?an ? 满足: an ?
an?1 , a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 3 ? a n?1 ? 1

例 2:数列 ?an ? 满足: a1 ? 3 ,且 an ?
2

3nan?1 2an?1 ? n ? 1

? n ? 2? ,求 an



例 3:数列 ?an ? 满足: a1 ? 2a , an?1 ? 2a ? a ? a ? 0? ,求数列 ?an ? 的通项公式。
an

2

7

五.利用归纳猜想

例 1 : 设 正 整 数 数 列 ?an ?

满 足 : a2 ? 4 , 且 对 于 任 何 n ? N

*

, 有

1 1 ? a an?1 1 1 (2)求数列 ?an ? 的通项 an . 2? ? n ? 2 ? .求 a1 , a3 ; an ?1 1 ? 1 an n n ?1

例 2 : 已知点的序列 An ( xn ,0), n ? N * ,其中 x1 ? 0 , x2 ? a(a ? 0) , A3 是线段
A1 A2 的中点, A4 是线段 A2 A3 的中点,…, An 是线段 An?2 An?1 的中点,…
(1)写出 xn 与 xn?1 , xn?2 之间的关系式( n ? 3 ) 。 (2)设 an ? xn?1 ? xn ,计算 a1 , a2 , a3 , 并求出数列 ?an ? 的通项公式。

8

六.利用函数的不动点(方程的特征根)

(1)

若 数 列

?xn ? 满 足 xn?1 ? axn2 ? bxn ?

b 2 ? 2b ? a ? 0? , 且 ? 是 方 程 4a

x ? ax 2 ? bx ?

b 2 ? 2b 2 的最小根,则 xn ?1 ? ? ? ? ? ? xn ? ? ? 。 4a

例题分析: 例 1:已知数列 ?xn ? 满足 xn?1 ? 2xn2 ? 4xn ?1, x1 ? 1,求数列 ?xn ? 的通项公式。

(2)若数列 ?xn ? 满足 xn?1 ? axn ? b ? c ? 0, ad ? bc ? 0? 且 x1 ? ax1 ? b 。
cxn ? d
cx1 ? d
若方程 x ?

ax ? b x ? ? a ? c? xn ? ? 有两个相异实根 ? , ? ,则 n ?1 ? ? cx ? d xn?1 ? ? a ? c? xn ? ?

例题分析: 例 1:已知数列 ?xn ? 满足 xn?1 ? 7 xn ? 2 , x1 ? 3 ,求数列 ?xn ? 的通项公式。
xn ? 4

(3)

若 方 程 x?

ax ? b 有 两 个 相 等 实 根 ? , 且 a ? ?d , 则 cx ? d

1 2c 1 ? ? 。 xn ?1 ? ? a ? d xn ? ?

例题分析: 例 1:已知数列 ?xn ? 满足 xn?1 ?
3xn ? 1 1 , x1 ? ,求数列 ?xn ? 的通项公式。 4 xn ? 7 2

9

(4).若数列 ?xn ? 满足 xn?1 ?
x ? ? ? xn ? ? ? ?? 异实根,则 n ?1 ? xn ?1 ? ? ? xn ? ? ?
2

2 axn ?c ax 2 ? c 的两个相 ? a ? 0? ,若 ? , ? 是方程 x ? 2ax ? f 2axn ? f

例题分析: 例 1:已知数列 ?xn ? 满足 xn?1 ? 3xn ? 2 , x1 ? 19 ,求数列 ?xn ? 的通项公式。
2

6 xn ? 5

6

例 2:已知函数 f ( x) ? x2 ? x ?1, ?,? 是方程 f ( x) ? 0 的两个根 (? ? ? ) ,
f ?( x ) 是 f ( x) 的导数.设 a1 ? 1 , an?1 ? an ?
(1)求 ?, ? 的值

f (an ) (n ? 1, 2, ) . f ?(an )

(2)已知对任意的正整数 n 有 an ? ? ,记 bn ? ln 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

an ? ? (n ? 1, 2, ) . an ? ?

10

(学生版)数列求通项公式
1.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n 与 an 的关系是
3

S n ? n(2n ? 1)an ,试求

通项公式 an 。

2.已知数列 {an}的前 n 项和 S ,其中 { bn} 是首项为 1,公差为 2 的等 ? ( n ? 1 ) b n n
差数列,求数列 {an}的通项公式;

3. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 2S n ? 2an ? n ? 3 (n ? N * ) .求数列
{an } 的通项公式;

4.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ? 3n?1 an ? n , n ? N* .求数列 ?an ? 的通项;
3

11

5.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ? N* ) .
求数列 ?an ? 的通项 an ;

6、.设数列{an}的前项的和 Sn= 1 (an-1)
3

(n ? N? ). (Ⅰ)求 a1;a2;(Ⅱ)求证数

列{an}为等比数列.

7. 已知二次函数 y ?
{an } 的通项公式;

f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2 ,数

列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上.求数列

8.已知数列 ?an ?的前 n 项和 S 满足 Sn ? 2an ? (?1)n , n ? 1. (Ⅰ)写出数列 ?an ? 的前 3 项 a1 ,a 2 , a3 ; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式.
n

12

9.已知等差数列{an}的首项 a1

= 1,公差 d > 0,且第二项、第五项、第十四项

分别是等比数列 {bn} 的第二项、第三项、第四项.求数列 {an} 与 {bn} 的通项公 式;

10.已知数列 {an } 和 {bn} 满足: a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ? 0 , bn ?
{bn } 是以 q 为公比的等比数列.
(I)证明: an? 2 ? an q 2 ; (II)若 cn ? a2n?1 ? 2a2n ,证明数列 {cn } 是等比数列;

,且 an an ?1 ( n ? N * )

11.已知数列 {a n } 满足 a n?1 ? 2a n ? 3 ? 5n ,a1 ? 6 ,求数列 {a n } 的通项公式。

13

2014年高考复习数列通项公式求法教师版 (理科)
巅峰教育:蒋越界(18690745686) 一.利用等差等比数列通项公式(公式法)

例题分析: 例 1:设 {a } 是等差数列, {b } 是各项都为正数的等比数列,且 a
n
n

1

? b1 ? 1 ,

a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13 ,求 {an } , {bn } 的通项公式。

解 析 : 设 ?a ? 的 公 差 为 d
n

, ?bn ? 的 公 比 为 q , 则 依 题 意 有 q ? 0 且

?1 ? 2d ? q 4 ? 21, ? ? 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13,

解得 d ? 2 , q ? 2 . 所以 an ? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 , bn ? qn?1 ? 2n?1 .

例 2:等差数列 {a } 的前 n 项和为 S ,a
n

n

1

? 1 ? 2,S3 ? 9 ? 3 2 .求数列 {an }

的通项 an 。

解析:由已知得 ? ?

?a1 ? 2 ? 1, ? ?3a1 ? 3d ? 9 ? 3 2



?d ? 2 ,

故 an ? 2n ?1 ? 2 .

例 3:实数列 {a }是 等比数列, a
n

7

? 1, 且a4 , a5 ? 1, a6 成等差数列,求数列 {an }

的通项 an 。

解析:设等比数列 ?a ? 的公比为 q(q ? R) ,由 a
n

7

? a1q6 ? 1,得 a1 ? q ?6 ,

从而 a4 ? a1q3 ? q?3 , a5 ? a1q4 ? q ?2 , a6 ? a1q5 ? q?1 . 因为 a4,a5 ? 1,a6 成等差数列,所以 a4 ? a6 ? 2(a5 ? 1) , 即 q ?3 ? q ?1 ? 2(q ?2 ? 1) , q?1 (q?2 ? 1) ? 2(q?2 ? 1) .

14

所以 q ?

1 ?1? .故 an ? a1q n?1 ? q ?6 q n?1 ? 64 ? ? 2 ?2?

n ?1



? a1 ? S1 , n ? 1 a ? 二.利用数列的前 n 项和, n ? (作差法) ?Sn ? Sn ?1 , n ? 2

例题分析: 例 1:各项全不为零的数列{ak}的前
ak 。
1 a1a2 及 a1 ? 1 ,得 a2 ? 2 . 2 1 1 当 k ? 2 时,由 ak ? S k ? S k ?1 ? ak ak ?1 ? ak ?1ak ,得 ak (ak ?1 ? ak ?1 ) ? 2ak . 2 2 1 k 项和为 Sk,且 Sk= ak ak ?1 ( k ? 求数列 2

解析:当 k ? 1 ,由 a

1

? S1 ?

因为 ak ? 0 ,所以 ak ?1 ? ak ?1 ? 2 .从而 a2m?1 ? 1 ? (m ?1) 2 ? 2m ?1 .

a2m ? 2 ? (m ?1) 2 ? 2m , m ? N* .故 ak ? k (k ? N* ) .

例 2:已知数列 ?a ? 的前 n 项和 S
n

n

? n2 ? 9n ,则其通项 an ? 2 n ? 10 ;若它的

第 k 项满足 5 ? ak ? 8 ,则 k ? 8 .

例 3:设数列 ?a ? 满足 a ? 3a
n
1

2

? 32 a3 ? … ? 3n ?1 an ?

n , a ? N* .求数列 ?an ? 3

的通项。
n n ?1 , a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ...3n ? 2 an ?1 ? (n ? 2), 3 3 1 n n ?1 1 an ? n (n ? 2). 3n ?1 an ? ? ? (n ? 2). 3 3 3 3 1 验证 n ? 1 时也满足上式, an ? n (n ? N * ). 3

解析: a ? 3a
1

2

? 32 a3 ? ...3n ?1 an ?

例 4:数列 ?a ? 的前 n 项和为 S
n

n

, a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ? N* ) .求数列 ?an ? 的

通项 an

解析:∵an+1=2Sn,,


∴Sn+1-Sn=2Sn,

S n ?1 =3. 又∵S1=a1=1, Sn
15

∴数列{Sn}是首项为 1、公比为 3 的等比数列,Sn=3n-1(n∈N*). ? ,n ? 1 ?1 ∴当 n ? 2 时,an-2Sn-1=2·3n-2(n ? 2), ∴an= ? , n ? 2. n?2 ? 2 · 3 ?

例 5 : 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?a ? 的 前 n 项 和 S
n

n

满 足 S1 ? 1 , 且

, 6Sn ? (an ? 1) ( an ? 2 ) n ? N .求 ?an ? 的通项公式。

解析:由 a

1

1 ? S1 ? (a1 ? 1)(a1 ? 2) ,解得 a1 ? 1 或 a1 ? 2 , 6

由假设 a1 ? S1 ? 1 ,因此 a1 ? 2 ,
1 1 又由 an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? (an ?1 ? 1)(an ?1 ? 2) ? (an ? 1)(an ? 2) , 6 6

得 (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 3) ? 0 , 即 an?1 ? an ? 3 ? 0 或 an?1 ? ?an ,因 an ? 0 ,故 an?1 ? ?an 不成立,舍去. 因此 an?1 ? an ? 3 ,从而 ?an ? 是公差为 3 ,首项为 2 的等差数列, 故 ?an ? 的通项为 an ? 3n ? 1 .

三.利用递推关系
1.递推关系 ?
?an?1 ? an ? f ? n ? ? a1 ? a

其中 a 为常数(累加法)
, an ? an?1 ? f ? n ?1? , 诸 式 相加 , 得

由 递 推 式得 a2 ? a1 ? f ?1? , a3 ? a2 ? f ? 2? ,
n ?1

an ? a1 ? ? f ? k ? ,即为累加法求数列通项公式。
k ?1

例题分析: 例 1 : 数列 ?a ? 中, a
n
1

2 , 3 , ) ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1, ,且

a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比数列.求 ?an ? 的通项公式.

解析: a

1

? 2 , a2 ? 2 ? c , a3 ? 2 ? 3c ,因为 a1 , a 2 , a3 成等比数列,

所以 (2 ? c )2 ? 2(2? 3 c ),解得 c ? 0 或 c ? 2 .当 c ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ,不符合 题 意 舍 去 , 故 c ? 2 . 当 n ≥ 2 时 , 由 于 a2 ? a1 ? c ,

a3 ? a2 ? 2c ,

16

an ? an?1 ? (n ? 1)c ,
所以 an ? a1 ? [1 ? 2 ?
? (n ? 1)]c ? n(n ? 1) c. 2

又 a1 ? 2 , c ? 2 ,故 an ? 2 ? n(n ?1) ? n2 ? n ? 2(n ? 2, 3, ) . 当 n ? 1 时,上式也成立,所以 an ? n2 ? n ? 2(n ? 1 , 2, ) .

例 2:已知数列 ?a ? 满足 a
n

1

1 1 ? , an ? an ?1 ? 2 ? n ? 2 ? ,求数列 ?an ? 的通项 2 n ?1

公式。

解析:当 n ? 2 时,
an ? a1 ? ?
k ?1 n ?1

1

? k ? 1?

2

?1

? a1 ? ?

n ?1 1 1 ?1 1 ? ? a1 ? ? ? ? ? ? k ?2? k ?1 ? k ? 2 ? k k ?1 2 ? k

n ?1

?

1 1 n?1 ? 1 1 ? 1 1? 1 1 1 ? 5 2n ? 1 ? ?? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ?? ? 2 2 k ?1 ? k k ? 2 ? 2 2 ? 2 n n ? 1 ? 4 2n ? n ? 1?

当 n ? 1 时,也满足上式, 故 an ?
5 2n ? 1 。 ? 4 2n ? n ? 1?
n

例 3:已知数列 ?a ? 满足 na
公式。

n?1

? ? n ? 1? an ? 2 ,且 a1 ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项

解析:两边同除以 n ? n ?1? ,得 a
令 bn ? an ,有: bn?1 ? bn ?
n

n ?1

n ?1

?

an 2 , ? n n ? n ? 1?

2 ,且 b1 ? 2 , n ? n ? 2?

从而 bn ? b1 ? ?

n ?1 2 1 ? 2 ?1 ? b1 ? 2? ? ? ? ? 4? , k ?1 ? n k ?1 k ? k ? 1? k ?1 ? k

n ?1

故 an ? nbn ? 4n ? 2 。

17

2.递推关系 ?

?an?1 ? f ? n ? an ? a1 ? a

其中 a 为常数(累乘法)
2a ? ?
2

由 递 推 式 得 a2 ? f ?1? a 1, a ? 3 f
n ?1

, an ,? f ? n ? ? an1 ? , 1 诸 式 相 乘 , 得

an ? a1 ? f ? k ? ,即为累乘法求数列通项公式。
k ?1

例题分析: 例 1:已知数列 ?b ? 的首项 b
n
1

? 1 ,其前 n 项和 S n ?

1 ? n ? 1? bn ,求数列 ?bn ? 的 2

通项公式。
1 1 ? n ? 1? bn ,得 Sn?1 ? nbn?1 ? n ? 2 ? , 2 2 n bn ?1 ? n ? 2 ? 所以 bn ? Sn ? Sn ?1 ? n ?1

解析:由 S

n

?



b2 2 b3 3 ? , ? , b1 1 b2 2

b bn n ,诸式相乘得 n ? n ,即 bn ? n , ? b1 bn?1 n ? 1

当 n ? 1 时也满足上式。故 bn ? n 。

例 2:数列 ?a ? 满足 na
n

n?1

? 2 ? a1 ? a2 ?

? an ? 且 a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公

式。

解析:
nan?1 ? 2 ? a1 ? a2 ?
即 an ?1 ?

? an ? ? 2 ? a1 ? a2 ?

? an?1 ? ? 2an ? ? n ?1? an ? 2an ? ? n ?1? an ,
? n ? a1 ? n ? n 。 n ?1

n ?1 2 3 4 an ,从而 an ? a1 ? ? ? ? n 1 2 3

3.递推关系 ?

?an?1 ? pan ? q ?a1 ? a

其中 p, q, a 为常数且 p ? 1

令 an?1 ? ? ? p ? an ? ? ? ,整理得 an?1 ? pan ? ? p ?1? ? ,所以 ? p ?1? ? ? q , 即? ? 列。

? ? q q ? q q ? ,从而 an?1 ? ,所以数列 ?an ? ? p ? an ? ? 是等比数 ? p ?1 p ? 1? p ?1 p ?1 ? ? ?

18

例题分析: 例 1:已知数列 {a } 中, a
n 1

? 2 , an?1 ? ( 2 ?1)(an ? 2) , n ? 1, 2,3,

求 {an } 的

通项公式。

解析:
an?1 ? ( 2 ?1)(an ? 2) ? ( 2 ?1)(an ? 2) ? ( 2 ?1)(2 ? 2) ? ( 2 ?1)(an ? 2) ? 2

an?1 ? 2 ? ( 2 ?1)(an ? 2) .所以,数列 an ? 2 是首项为 2 ? 2 ,公比为
2 ? 1 的等比数列, an ? 2 ? 2( 2 ?1)n ,即 an 的通项公式为
n ? 2, 3, …. an ? 2 ? ?( 2 ? 1) ? 1? , n ? 1,

?

?

1) a 例 2:设数列 {a } 的首项 a ? (0,,
n
1

n

?

3 ? an ?1 ,n ? 2, 3, 4,… .求 {an } 的通 2

项公式。

解析:由 a

3 ? an ?1 ,n ? 2, 3, 4,…, 2 1 整理得 1 ? an ? ? (1 ? an ?1 ) . 2
n

?

又 1 ? a1 ? 0 ,

1 ? 1? 所以 {1 ? an } 是首项为 1 ? a1 ,公比为 ? 的等比数列,得 an ? 1 ? (1 ? a1 ) ? ? ? 2 ? 2?
n n

n ?1

例 3:已知数列 ?a ? :3,5,7,9,…, 2 n ? 1 ,…。另作一数列 ?b ? ,使
得 b1 ? a1 ,且当 n ? 2 时, bn ? abn?1 ,求数列 ?bn ? 的通项公式。

解析:由已知得 a

n

? 2n ?1, b1 ? a1 ? 3, bn ? abn?1 ? 2bn?1 ? 1,

有 bn ? 1 ? 2 ? bn?1 ? 1? , 所以 bn ?1 ? ?b1 ?1? ? 2n?1 ? 2n?1 , 故 bn ? 2n?1 ?1 。

19

例 4:数列 ?a ? 中,设 a
n

n

2 6 ? 0, a1 ? 1 且 an ? an ?1 ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

解析:由 a

n

2 6 ? an ?1 ? 3 得 2log3 an?1 ? log3 an ? 6 ,

令 bn ? log3 an ,有 2bn?1 ? bn ? 6 ,则 bn ?1 ? 2 ? ?

1 ? bn ? 2 ? , 2

? 1? 所以 bn ? 2 ? ? b1 ? 2? ? ? ? ? 2?
从而 bn ? 2 ? ? ?2 ?
2? n

n ?1

? 1? ? ? log3 1 ? 2 ? ? ? ? ? 2?
2? n

n ?1

? ? ?2 ?

2? n



2 ? ?2 ,故 an ? 3 ? ?



4.递推关系 ? 数

?an?1 ? pan ? f ? n ? ? a1 ? a

其中 p, a 为常数且 p ? 1 , f ? n ? 为非常
an ?1 an f ? n ? ? ? n ?1 。对此采 p n ?1 p n p

由递推式 an?1 ? pan ? f ? n ? 两边同除以 pn?1 ,得

用累加法可求。

例题分析: 例 1 : 在 数 列 ?a ? 中 , a
n
1

? 2,an?1 ? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ?)2n (n ? N? ) , 其 中

? ? 0 .求 an 。

解析:由 an?1 ? ? an ? ? n?1 ? (2 ? ? )2n (n ?N * ), ? ? 0,
可得
an ?1

? n ?1
? an

?2? ?? ? ???
n

n ?1

?

an

?n

?2? ? ? ? ? 1, ???

n

所以 ? ?

?2? ?? ? n ? ??? ? ?

n ? an ? 2 ? ? ? 为等数列,其公差为 1 ,首项为 0. 故 ? ? ? ? n ? 1, ?n ? ? ? ? ?

所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (n ? 1)? n ? 2n.

例 2:数列 ?a ? 的前 n 项和为 S
n

n

且满足 a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? n2 ? n ? 1 ,求 an 。
2

解析:由 a

n?1

? 2Sn ? n2 ? n ? 1 有: an ? 2S n ?1 ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? 1 ,

两式相减得: an?1 ? an ? 2an ? 2n ? 2 即: an?1 ? 3an ? 2n ? 2 , 两边同除以 3n ?1 ,得:
an ?1 an 2n ? 2 an ? n ? n ?1 ,令 bn ? n , n ?1 3 3 3 3
20

则 bn?1 ? bn ?

2 ? n ? 1? a 1 , b1 ? 1 ? , n ?1 3 3 3
n ?1 k ? 1 2 ? k ? 1? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 2n ? 1 ? ? 1 ? 2 n ? 1 。 ? ? 2 ? ? ? k ?1 k ?1 3 3 3 4?3 3n ? 2 2 ? 3n k ?1 k ?1 3 n ?1

从而 bn ? b1 ? ? 故 an ?

3n 1 ?n? 。 2 2

5.递推关系 ?

?an?1 ? pan ? qan ?1 ? n ? 2 ? ? a1 ? a , a2 =b

其中 p, q, a, b 为常数

( 1 )若 p ? q ? 1 时, p ? 1 ? q ,即 an?1 ? an ? ?q ? an ? an?1 ? ,知 ?an?1 ? an ? 为等比 数列,对此采用累加法可求。

例题分析: 例 1:已知数列 ?a ? 满足 a
n
1

5 5 2 ? 1, a2 ? , an ? 2 ? an ?1 ? an ,求数列 ?an ? 的通项 3 3 3

公式。

解析:由 a
an ? 2 ? an ?1 ?

n?2

5 2 ? an ?1 ? an 两边减去 an ?1 得: 3 3

2 ? an?1 ? an ? , 3 2 所以 ?an?1 ? an ? 是公比为 , 3 2 首项为 a2 ? a1 ? 的等比数列, 3

?2? 所以 an?1 ? an ? ? ? ?3?

n


n ?1 2 ? ?2? ? ? ?1 ? ? ? ? n ?1 3 ? ?3? ? ? 2? ? , ?? ? ? ? 2 3 ? ? 1? 3

?2? ?2? 即 an ? a1 ? ? ? ? ? ? ? ?3? ?3?
? ? 2 ?n ?1 ? 即 an ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?3? ? ?

1

2

21

例 2:已知数列 ?a ? 中, a
n

1

? 1, a2 ? 2, an ? 2 ?

2 1 an ? 1 ? an ,求数列 ?an ? 的通项 3 3

公式。
2 1 1 an ?1 ? an 两边减去 an ?1 得: an ? 2 ? an ?1 ? ? ? an ?1 ? an ? , 3 3 3 1 所以 ?an?1 ? an ? 是公比为 ? ,首项为 a2 ? a1 ? 1 的等比数列, 3

解析:由 a

n?2

?

? 1? 所以 an?1 ? an ? ? ? ? ? 3?
0

n ?1


? 1? 1? ? ? ? 3? ? ? 1 1? 3
n ?1

? 1? ? 1? 即 an ? a1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 3?
n ?1 3 ? ? 1? ? 即 an ? 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? 4 ? ? ? 3? ? ?

1

? 1? ??? ? ? 3?

n?2



(2)若 p ? q ? 1 时,存在 x1 , x2 满足 an?1 ? x1an ? x2 ? an ? x1an?1 ? ,整理得

an?1 ? ? x1 ? x2 ? an ? x1x2an?1 ,有 x1 ? x2 ? p, x1 x2 ? ?q ,
从而 ?an?1 ? x1an ? 是等比数列,对此采用 3. 4 中所述的方法即可。

四 . 利用倒数法变形, an?1 ?
an?1 ? pan ? q 。

an , 两边取倒数后换元转化为 pan ? q

例题分析: 例 1:已知数列 ?a ? 满足: a
n
n

?

an?1 , a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 3 ? a n?1 ? 1

解析:取倒数: 1

an

?

3 ? an?1 ? 1 1 ? 3? an?1 an?1

?1? ? ? ? 是等差数列, ? an ?
1 1 1 ? ? (n ? 1) ? 3 ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? a n ? 3n ? 2 an a1
22

例 2:数列 ?a ? 满足: a
n

1

?

3nan?1 3 ,且 an ? 2an?1 ? n ? 1 2

? n ? 2? ,求 an



解析:将条件变为:1- n

1 n-1 1- ) =( , an 3 an ?1

? n? 因此 ?1 ? ? 为一个等比数列, ? an ?
其首项为 1-
1 n 1 1 1 = ,公比 ,从而 1- = n , a1 an 3 3 3

据此得 an =

n ? 3n 。 3n-1



a2 3:数列 ?an? 满足: a1 ? 2a , an?1 ? 2a ? an

? a ? 0 ? ,求数列 ?an ? 的通项

公式。

解析: a
所以

n ?1

?a ?

a ? an ? a ? an

? an ? a, a ? 0? ,

an 1 1 1 ? ? ? , an?1 ? a a ? an ? a ? an ? a a
1 1 ,则 bn ?1 ? bn ? , a an ? a

令 bn ?

因而 ?bn ? 是首项为 b1 ? 故 an ? a ?

1 1 n 1 1 ,公差为 的等差数列,所以 bn ? ? ? n ? 1? ? ? , a a a a a

1 a ?a? 。 bn n

五.利用归纳猜想

例 1 : 设 正 整 数 数 列 ?a ? 满 足 : a
n

2

? 4 , 且 对 于 任 何 n ? N* , 有

1 1 ? a an?1 1 1 (2)求数列 ?an ? 的通项 an . 2? ? n ? 2 ? .求 a1 , a3 ; an ?1 1 ? 1 an n n ?1

23

解析:由 a

1

? 1 , a2 ? 4 , a3 ? 9 ,猜想: an ? n2 .

下面用数学归纳法证明. 1 当 n ? 1 , 2 时,由(1)知 an ? n2 均成立; 2 假设 n ? k (k ? 2) 成立,则 ak ? k 2 ,则 n ? k ? 1 时 由①得 2 ?

? 1 k 2 (k ? 1) k (k 2 ? k ? 1) 1 1 ? 1 ? ? a ? ? k (k ? 1) ? 2 ? ? 2 ? ? k ?1 k 2 ? k ?1 k ?1 ak ?1 ak ?1 ? k2 ?k
(k ? 1)2 1 ? ak ?1 ? (k ? 1) 2 ? 2 k ?1 k ?1

? (k ? 1)2 ?

因为 k ? 2 时, (k 2 ? 1) ? (k ? 1)2 ? k (k ? 1)(k ? 2) ? 0 , 所以
1 (k ? 1) 2 ? ? 0, 1? .又 ak ?1 ? N* , ? ? 0, 1? . k ? 1 ? 1 ,所以 2 k ?1 k ?1

所以 (k ? 1)2 ? ak ?1 ? (k ? 1)2 . 故 ak ?1 ? (k ? 1)2 ,即 n ? k ? 1 时, an ? n2 成立. 由 1 ,2 知,对任意 n ? N* , an ? n2 .

例 2:已知点的序列 A ( x ,0), n ? N
n n

*

,其中 x1 ? 0 , x2 ? a(a ? 0) , A3 是线段

A1 A2 的中点, A4 是线段 A2 A3 的中点,…, An 是线段 An?2 An?1 的中点,…

(1)写出 xn 与 xn?1 , xn?2 之间的关系式( n ? 3 ) 。 (2)设 an ? xn?1 ? xn ,计算 a1 , a2 , a3 , 并求出数列 ?an ? 的通项公式。

解析:
(1)当 n ? 3时xn ? xn?1 ? xn?2
2

x1 ? x2 1 1 ? x2 ? ? ( x2 ? x1 ) ? ? a 2 2 2 x ?x 1 1 a 3 ? x4 ? x3 ? 2 3 ? x3 ? ? ( x3 ? x2 ) ? a 2 2 4 1 n ?1 由此推测 an ? (? ) a(n ? N ? ) , 2

(2) a1 ? x2 ? x1 ? a,

a2 ? x3 ? x2 ?

下面用数学归纳法证明:
24

1 ② 当n=1时,a1 ? x2 ? x1 ? a ? (? )0 ? a公式成立 2 1 ②假设当 n=k 时公式成立,即 ak ? (? ) k ?1 a 成立,那么当 n=k+1 时 2 x ?x 1 1 ak ?1 ? xk ? 2 ? xk ?1 ? k ?1 k ? xk ?1 ? ? ( xk ?1 ? xk ) ? ? ak 2 2 2 1 1 1 ? ? (? ) k ?1 a ? (? )( k ?1) ?1 ? a 公式仍成立 2 2 2 综上对任意 n ? N? 公式都成立。

六.利用函数的不动点(方程的特征根)
1.若数列 ?xn ? 满足 xn?1 ? axn2 ? bxn ? 且 ? 是方程 x ? ax 2 ? bx ? b
2

b 2 ? 2b ? a ? 0? , 4a

? 2b 的最小根,则 xn ?1 ? ? ? ? ? ? xn ? ? ?2 。 4a

例题分析: 例 1:已知数列 ?x ? 满足 x
n
n?1 2 ? 2xn ? 4xn ? 1, x1 ? 1,求数列 ?xn ? 的通项式。
2

解析:令 x ? 2x
得:

2

? 4 x ? 1 ,则 x ? ?1 是其最小根,得 xn ?1 ? 1 ? 2 ? xn ? 1? ,

由题意知两边取对数,得 log2 ? xn?1 ?1? ? 2log2 ? xn ?1? ?1 ,两边同时加 1,

log2 ? xn?1 ?1? ?1 ? 2 ? log2 ? xn ?1? ?1? ,
故 ?log2 ? xn ?1? ?1? 是首项为 log2 ? x1 ? 1? ? 1 ? 2 公比为 2 的等比数列, 所以 log2 ? xn ? 1? ? 1 ? 2n , 故 xn ? 22
cxn ? d
n

?1

?1 。

2.若数列 ?xn ? 满足 xn?1 ? axn ? b ? c ? 0, ad ? bc ? 0? 且 x1 ? ax1 ? b 。
cx1 ? d

(1)若方程 x ?


ax ? b 有两个相异实根 ? , ? , cx ? d

xn?1 ? ? a ? c? xn ? ? ? ? xn?1 ? ? a ? c? xn ? ?

25

例题分析: 例 2:已知数列 ?x ? 满足 x
n
n ?1

?

7 xn ? 2 , x1 ? 3 ,求数列 ?xn ? 的通项公式。 xn ? 4 ? 1 6 xn ? 1 ? ? , xn ?1 ? 2 5 xn ? 2
n ?1

解析:令 x ? 7xx??42 ,得 ? ? 1, ? ? 2 为其两根,所以有 x

? x ?1 ? x1 ? 1 6 ? 2 为首项,以 为公比的等比数列, 所以数列 ? n ? 是以 x1 ? 2 5 ? xn ? 2 ? x ?1 ?6? 所以 n ? 2?? ? xn ? 2 ?5?
n ?1

, 故 xn ?

1 ?6? 2?? ? ?5?
n ?1

?2 。 ?1

(2)若方程

x?

a x? b 有 两 个 相 等 实 根 ? , 且 a ? ?d , 则 c x? d

1 2 c 1 。 ? ? xn ?1 ? ? a ? d xn ? ?

例题分析: 例 3:已知数列 ?x ? 满足 x
n
n ?1

?

3xn ? 1 1 , x1 ? ,求数列 ?xn ? 的通项公式。 4 xn ? 7 2

3x ? 1 1 解析:令 x ? 4 ,得 x ? ? 为其根,所以 x?7

1 xn?1 ? 1 2

2

?

1 xn ? 1 2

?

4 , 5

? ? 1 4 ? 1 ? 所以数列 ? 是以 ? 1 为首项,以 为公差的等差数列, ? 1 5 ? xn ? 1 ? x1 ? ? 2? 2 9 ? 4n 1 4 所以 ? 1 ? ? n ? 1? ? , 故 xn ? 1 2 ? 8n 5 xn ? 2
2 axn ?c ax2 ? c ( 3 ) 若数列 ?xn ? 满足 xn?1 ? ? a ? 0? ,若 ? , ? 是方程 x ? 2ax ? f 2axn ? f

x ? ? ? xn ? ? ? ?? 的两个相异实根,则 n?1 ? xn ?1 ? ? ? xn ? ? ?

2

26

例题分析: 例 4:已知数列 ?x ? 满足 x
n
n ?1 ? 2 3xn ?2 19 , x1 ? ,求数列 ?xn ? 的通项公式。 6 xn ? 5 6

1 ? 1? xn ? ? 2 ? 3? 3 , , ? ? 2 为其两根,所以 解析:令 x ? 3x ? 2 ,得 ? ? ? 1 ? ? 3 6x ? 5 xn ?1 ? 2 ? xn ? 2 ? ? ? xn ?1 ?
1 1 xn ? 3 ? 2 log 3, 两边取对数,得 log 3 3 xn ?1 ? 2 xn ? 2 xn ?1 ?

2

1? 1 ? xn ? ? x1 ? ? 3 是以 log 3 ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列, 所以数列 ?log3 ? 3 x ? 2 x ? 2 n 1 ? ? ? ?

1 n?1 6 ? 32 ? 1 n ?1 3 所以 log3 。 ? 2 , 故 xn ? n?1 xn ? 2 3 ? 32 ? 3 xn ?

例 5:已知函数 f ( x) ? x

2

? x ? 1, ?,? 是方程 f ( x) ? 0 的两个根 (? ? ? )
f (an ) (n ? 1, 2, ) (1)求 ?,? 值; f ?(an ) an ? ? (n ? 1, 2, ) .求数列 ?bn ? an ? ?

f ?( x ) 是 f ( x) 的导数.设 a1 ? 1 , an?1 ? an ?

(2)已知对任意的正整数 n 有 an ? ? ,记 bn ? ln 的前 n 项和 Sn .

解析:
(1)求根公式得 ? ? ?1 ? (2) f ?( x) ? 2 x ? 1
bn?1 ? ln
5 2

, ??

?1 ? 5 2

an?1 ?

an 2 ? 1 2an ? 1

? 2 ? 1?? , ? 2 ? 1? ?

an?1 ? ? a 2 ? 2? an ? 1 ? ? a 2 ? 2? an ? ? 2 a ?? 2 ? ln n 2 ? ln n 2 ? ln( n ) ? 2bn 2 an?1 ? ? an ? 2? an ? 1 ? ? an ? 2? an ? ? an ? ?
a1 ? ? 5 ?1 ,公比为 q ? 2 的等比数 ? 4ln a1 ? ? 2
27

∴数列 {bn } 是首项 b1 ? ln

高考(理科)数列求通项公式(教师版)
一.用作差法求通项公式
2 2S n an ? 2S n ? 1 ( n ? 2 ) 1..已知 {an } 中, a1 ? 1 ,其前 n 项和 S n 与 an 满足

1 } (1)求证: S n 为等差数列 (2)求 {an } 的通项公式 {

解析:
( 1)
S n ? S n?1
2 2S n ? 2S n ? 1 ∴ S n?1 ? S n ? 2S n S n?1

1 1 ? ?2 S n S n ?1 1 ? 2n ? 1 ∴ Sn

1 } S n ∴ 是首项为 1,公差为 2 的等差数列 {

1 2 ) ?2 2 n ? 1 an ? ? 2 (n ? 2) 1 1 4 n ? 8 n ? 3 S ? 2? ?1 2n ? 1 ( 2) n 2 n ? 1 ∴ 2(
?1 ? an ? ? ?2 ? 2 ? 4n ? 8n ? 3 ∴ n ?1 (n ? 2)
1 ( a n ? 2) 2 8

又 ∵ a1 ? 1

2.已知在正整数数列 {an } 中,前 n 项和 S n 满足
(1)求证: {an } 是等差数列 (2)若 b n 值
?

Sn ?

1 a n ? 30 2 ,求 {bn } 的前 n 项和的最小

解析:
1 a1 ? S1 ? (a1 ? 2) 2 8 ( 1)

∴ a1 ? 2

1 1 a n ? S n ? S n ?1 ? (a n ? 2) 2 ? (a n ?1 ? 2) 2 n ? 2 时, 8 8
28

整理得: (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 4) ? 0 ∵ {an } 是正整数数列 ∴ an ? an?1 ? 0 ∴ an ? an?1 ? 4 ∴ an ? 4n ? 2

∴ {an } 是首项为 2,公差为 4 的等差数列

( 2)

bn ?

1 (4n ? 2) ? 30 ? 2n ? 31 2
2 ∴ S n ? n ? 30n

∴ {bn } 为等差数列

2 ∴ 当 n ? 15 时, S n 的最小值为 15 ? 30 ? 15 ? ?225

二.用累加法的方法求通项公式 1.已知 {an } 满足 a1 ? 1 ,
a n ?1 ? a n ? 1 n(n ? 1) 求 {an } 的通项公式。

解析:∵


a n?1 ? a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

a n ? a n ?1 ?

1 1 1 1 ? a n ?1 ? a n ? 2 ? ? n ?1 n n ? 2 n ?1

a n ? 2 ? a n ?3 ?
a3 ? a 2 ?

1 1 ? n ? 3 n ? 2 ……
a 2 ? a1 ? 1 ? 1 2 a n ? a1 ? 1 ? 1 1 an ? 2 ? n ∴ n

1 1 ? 2 3

对这( n ? 1 )个式子求和得:

2.已知 {an } 的首项 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2n ( n ? N * )求通项公式。

解析: a

n

? an?1 ? 2(n ? 1)

an?1 ? an?2 ? 2(n ? 2)

an?2 ? an?3 ? 2(n ? 3) …… a3 ? a2 ? 2 ? 2
an ? a1 ? 2[1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)] ? n 2 ? n
∴ an ? n ? n ? 1
2

? a2 ? a1 ? 2 ?1

29

三.用累乘法求通项公式 1.已知:
a1 ? 1 2n ? 1 an ? a n ?1 3, 2n ? 1 ( n ? 2 )求数列 {an } 的通项。

an an?1 an?2 a3 a2 2n ? 1 2n ? 3 2n ? 5 5 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析: an?1 an?2 an?3 a2 a1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 7 5 2n ? 1
a n ? a1 ? 3 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ,



a n ?1 ?

n an n ? 2 且 a1 ? 2 求数列通项公式。 a n ?1 ? n an n ? 2 且 a1 ? 2 求数列通项公式。

2.已知 {an } 中,

an an?1 an?2 a3 a2 n ? 1 n ? 2 n ? 3 n ? 4 2 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析: an?1 an?2 an?3 a2 a1 n ? 1 n n ? 1 n ? 2 4 3 n(n ? 1)
an 2 4 ? an ? n(n ? 1) ∴ n(n ? 1) ∴ a1

四.用构造法(构造等差、等比数列)通项公式 1.已知 {an } 满足 a1 ? 3 , an?1 ? 2an ? 1求通项公式。

解析:设 a

n?1

? m ? 2(an ? m) an?1 ? 2an ? m ∴ m ? 1

∴ {a n ?1 ? 1} 是以 4 为首项,2 为公比为等比数列 ∴ an ? 1 ? 4 ? 2
n?1

∴ an ? 2

n ?1

?1
n

2.已知 {an } 中, a1 ? 3 , an?1 ? an ? 2

,求 an 。

解析:由 a

n?1

? an ? 2 n ,得 an ? an?1 ? 2 n?1

n?1 ∴ an ? an?1 ? 2

an?1 ? an?2 ? 2 n?2 …… ? a2 ? a1 ? 2



a n ? a1 ?

2(1 ? 2 n?1 ) ? 2n ? 2 n n 1? 2 ∴ an ? 2 ? 2 ? a1 ? 2 ? 1

30

3.已知 {an } 中, a1 ? 1 , an ? 3an?1 ? 2 ( n ? 2 )求 an 。

解析:由 a

n

? 3an?1 ? 2 得: an ? 1 ? 3(an?1 ? 1)

an ? 1 ?3 ∴ a n?1 ? 1 即 {an ? 1}是等比数列
an ? 1 ? (a1 ? 1) ? 3n?1
n?1 n?1 ∴ an ? (a1 ? 1) ? 3 ? 1 ? 2 ? 3 ? 1

4.已知 {an } 中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 2

n

( n ? 2 )求 an 。

a n a n ?1 ? ?1 n a ? 2 a ? 2 解析:由 n n?1 得 2 n 2 n?1
an an 1 } ? ? (n ? 1) n n 2 ∴ 2 成等差数列, 2 {
n n?1 ∴ an ? n ? 2 ? 2

5.已知: a1 ? 1 , n ? 2 时,

an ?

1 a n ?1 ? 2n ? 1 2 ,求 {an } 的通项公式。

1 a n ? An ? B ? [a n ?1 ? A(n ? 1) ? B] 2 解析:设
an ? 1 1 1 1 a n ?1 ? An ? A ? B 2 2 2 2

? 1 ? A?2 ? ? 2 ? ? ? 1 A ? 1 B ? ?1 ? 2 ∴ ? 2

? A ? ?4 ? 解得: ?B ? 6

∴ a1 ? 4 ? 6 ? 3

1 { a ? 4 n ? 6 } ∴ n 是以 3 为首项, 2 为公比的等比数列
1 a n ? 4n ? 6 ? 3 ? ( ) n ?1 2 ∴ an ? 3 2 n ?1 ? 4n ? 6
31



五.用倒数法求通项 1. 已知 {an } 中, a1 ? 4 ,
1

an ? 4 ?

4 a n?1 ( n ? 2 )求 an 。

解析


a n ?1 ? 2

?

1 1 1 ? bn ? a n ? 2 2 ( n ? 1 )设 an ? 2

bn ?1 ? bn ?

1 (n ? 1) 2

∴ {bn } 是等差数列
an ? 2 ?2 n

1 1 1 n ? ? (n ? 1) ? ? 2 2 ∴ a n ? 2 a1 ? 2

2.数列 {an } 中,

a n?1 ?

2 n ?1 ? a n 2 n?1 ? a n , a1 ? 2 ,求 {an } 的通项。

1

解析: a


n ?1

2 n ?1 ? a n ? n ?1 2 an
bn ?1 ? bn ? 1 2n

1
∴ a n ?1

?

1 1 ? n?1 an 2

bn ?

1 an

1 2 n ?1 1 2n bn ?1 ? bn ? 2 ? 1 2
n ?1





bn ? bn ?1 ? 1 23



bn ? bn ?1 ?

bn ? 2 ? bn ? 3 ?

1 2
n?2

……

b3 ? b2 ?

? b2 ? b1 ?

1 22

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 2 1 1 2 ? 2 ? ? n 1 1 1 1 2 2 bn ? b1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 1? 2 2 2 2 ∴
1 1 1 2n ?1 bn ? ? n ? ? 2 2 2 2n ∴
2n an ? n 2 ?1 ∴

32

1.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n 与 an 的关系是
3

S n ? n(2n ? 1)an ,试求

通项公式 an 。

2.已知数列 {an}的前 n 项和 S ,其中 { bn} 是首项为 1,公差为 2 的等 ? ( n ? 1 ) b n n
差数列,求数列 {an}的通项公式;

3. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 2S n ? 2an ? n ? 3 (n ? N * ) .求数列
{an } 的通项公式;

4.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ? 3n?1 an ? n , n ? N* .求数列 ?an ? 的通项;
3

解析:因为 a

n

? a 1 ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (n ? 1)a n ?1 (n ? 2)

① ②

所以 a n ?1 ? a 1 ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (n ? 1)a n ?1 ? na n 所以②式-①式得 a n ?1 ? a n ? na n
a n ?1 ? n ? 1(n ? 2) an

则 a n ?1 ? (n ? 1)a n (n ? 2)
a a n a n ?1 ? ??? 3 ? a 2 a n ?1 a n ? 2 a2



所以 a n ?
n! ? a2 2

? [n(n ? 1) ? ? ? 4 ? 3] ? a 2 ?



由 a n ? a 1 ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (n ? 1)a n ?1 (n ? 2) ,取 n=2 得 a 2 ? a 1 ? 2a 2 , 则 a 2 ? a 1 ,又知 a 1 ? 1 ,则 a 2 ? 1,代入③得
a n ? 1? 3 ? 4 ? 5 ? ?? n ? n! 。 2

5.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ? N* ) .
求数列 ?an ? 的通项 an ;

6、.设数列{an}的前项的和 Sn= 1 (an-1)
3

(n ? N? ). (Ⅰ)求 a1;a2;(Ⅱ)求证数

列{an}为等比数列.

解析:
33

1 1 1 ( a1 ? 1) , 得 a1 ? (a1 ? 1) ∴ a1 ? ? 2 3 3 1 1 a1 ? a 2 ? (a 2 ? 1) ,得 a 2 ? . 3 4 1 1 (Ⅱ)当 n>1 时, a n ? S n ? S n ?1 ? (a n ? 1) ? (a n ?1 ?1), 3 3

(Ⅰ)

由 S1 ?

又 S2 ?

1 (a 2 ? 1) , 即 3



an 1 1 1 ? ? , 所以 ?an ? 是首项 ? ,公比为 ? 的等比数列. 2 2 an?1 2
f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2 ,数

7. 已知二次函数 y ?
{an } 的通项公式;

列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上.求数列

解析:设这二次函数 f(x)=ax2+bx (a≠0) ,
则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2,得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x. 又因为点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上, 所以 Sn =3n2-2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- ( 3 n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) =6n-5. 当 n=1 时,a1=S1=3× 12-2=6× 1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N ? ).

?

?

8.已知数列 ?an ?的前 n 项和 S 满足 Sn ? 2an ? (?1)n , n ? 1. (Ⅰ)写出数列 ?an ? 的前 3 项 a1 ,a 2 , a3 ; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式.
n

解析:
⑴ 当 n=1 时,有:S1=a1=2a1+(-1) ? a1=1; ⑵ 当 n=2 时,有:S2=a1+a2=2a2+(-1)2 ? a2=0;
当 n=3 时,有:S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3 ? a3=2; 综上可知 a1=1,a2=0,a3=2;

⑵由已知得: an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? (?1)n ? 2an?1 ? (?1)n?1
化简得: an ? 2an?1 ? 2(?1)n?1
34

2 2 上式可化为: an ? (?1) n ? 2[an ?1 ? (?1) n ?1 ] 3 3 2 2 故数列{ an ? (?1) n }是以 a1 ? (?1)1 为首项, 公比为 2 的等比数列. 3 3 2 1 1 2 2 故 an ? (?1) n ? 2n ?1 ∴ an ? 2n ?1 ? (?1) n ? [2n ? 2 ? (?1) n ] 3 3 3 3 3 2 数列{ an }的通项公式为: an ? [2 n ? 2 ? (?1) n ] . 3

9.已知等差数列{an}的首项 a1

= 1,公差 d > 0,且第二项、第五项、第十四项

分别是等比数列 {bn} 的第二项、第三项、第四项.求数列 {an} 与 {bn} 的通项公 式;

10.已知数列 {an } 和 {bn} 满足: a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ? 0 , bn ?
{bn } 是以 q 为公比的等比数列.
(I)证明: an? 2 ? an q 2 ; (II)若 cn ? a2n?1 ? 2a2n ,证明数列 {cn } 是等比数列;

,且 an an ?1 ( n ? N * )

11.已知数列 {a n } 满足 a n?1 ? 2a n ? 3 ? 5n ,a1 ? 6 ,求数列 {a n } 的通项公式。 解析:设 a n?1 ? x ? 5n?1 ? 2(a n ? x ? 5n )


将 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 5n 代入④式,得 2a n ? 3 ? 5 n ? x ? 5n ?1 ? 2a n ? 2x ? 5n ,等式两边 消去 2a n ,得 3 ? 5 n ? x ? 5 n ?1 ? 2x ? 5 n ,两边除以 5 n ,得 3 ? x ? 5 ? 2 x ,则 x=- 1 , 代入④式,得 a n ?1 ? 5n ?1 ? 2(a n ? 5n ) ⑤
a n ?1 ? 5 n ?1 a n ? 5n

由 a 1 ? 51 ? 6 ? 5 ? 1 ≠ 0 及 ⑤ 式 , 得 a n ? 5 n ? 0 , 则

? 2 ,则数列

{a n ? 5 n } 是以 a 1 ? 51 ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,则 a n ? 5 n ? 1 ? 2 n ?1 ,

故 a n ? 2n ?1 ? 5n 。

35

2014 年高考 ( 理科 ) 复习 ( 学生版)数列 求和 巅峰教育:蒋越界(18690745686)
数列求和的常用方法:

1.公式法:直接应用等差数列,等比数列的前 n 项和公式,以及公式
12 ? 22 ? 32 ? ??? ? n 2 ?

等. 1 1 n(n ? 1)(2n ? 1),13 ? 23 ? 33 ? ??? ? n3 ? n 2 (n ? 1) 2 6 4

2.倒序相加法:如果一个数列 {an } ,与首末两项等”距离”的两项之和等于
首末 两项之和,可采用把这个和中的项颠倒顺序,然后将两式相加,从而求得.

3.错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对
应 项之积所构成,则此时可把其前 n 项和的表示式两边同时乘以公比,然后两式相 减,从而求得.

4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项(或多项)之差,在求和时一些正负项
相互抵消,从而求得其和,

5.分组转化法(或并项法):把数列的每一项分成多个项或把数列的项重
新组合, 使其转化为等差数列或等比数列,然后利用相关的求和公式求得.

例题精析
考点一 :公式法与分组求数列的和 例 1.
求 1 1 1 1 , 2 ,3 , 2 4 8
, (n ? 1 ), 2n

前 n 项和.

36

1.(2012 年高考重庆卷理科 11)首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S ? 4

考点二:裂项相消法求数列的和
例 2. ( 2010
年 高 考 山 东 卷 理 科 18 ) 已 知 等 差 数 列 ?a
n

? 满 足 : a3 ? 7 ,

a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 S n .

(Ⅰ)求 a 及 S ; (Ⅱ)令
n n

bn ?

1 an 2 ? 1

( n ? N ? ),求数列 ?b ? 的前 n 项和 T .
n
n

2.计算

1 1 1 ? ? ? 1? 4 4 ? 7 7 ?10

?

= 1 (3n ? 2)(3n ? 1)

.

37

考点三:错位相减法求数列的和
例 3.(2012
年 高 考 浙 江 卷 理 科 19) 已知数 列 {an} 的 前 n 项和为 Sn , 且

Sn= 2n 2 ? n ,n∈N﹡,数列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N﹡. (1)求 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn.

变式训练
3. (山东省济南市 2012 年 2 月高三定时练习) 已知数列 {a } 为等差数列,且 a ? 1 , a ? 5 ;设数列 {b } 的前 n 项和为 S ,且 1 5 n n n (Ⅱ)若 c ? a ? b ( n ? 1, 2, 3,… ),T 为 bn ? 2 ? Sn .(Ⅰ)求数列 {bn } 的通项公式; n n n n 数列 {c } 的前 n 项和,求 T . n n

问题:错位相减法求数列的和
例 4.
(2012 年 高 考 江 西 卷 理 科 16) 已 知 数 列 {an} 的 前 n 项 和 ,且 Sn 的最大值为 8. 1 S n ? ? n 2 ? kn(k ? N ? ) 2 (1)确定常数 k,求 an; (2)求数列 9 ? 2 a 的前 n 项和 Tn。 n { } 2n

38

课时作业
1.(2012 年高考重庆卷 ) 在等差数列 {a } 中, a ? 1, a ? 5 , 则 {a } 的前 5 项和 2 4 n n
S 5 =(

) A.7 B.15 C.20 D.25

2.(2012 年高考全国卷 ) 已知等差数列 a 的前 n 项和为 S , a ? 5, S ? 15 ,则 ? n? n 5 5 数列

? 1 ? ? ? ? an an ?1 ?

的前 100 项和为(

)

A. 100

101

B. 99 101

C. 99 100

D. 101

100

3. ( 2009 年高考湖南卷)设 S 是等差数列 a 的前 n 项和,已知 a ? 3 , ? n? n 2
a6 ? 11 ,则 S7 等于(

) B.35 C.49 D.23

A.13

4. ( 2011 年高考重庆卷理科 16) 设 {a n } 是公比为正数的等比数列, a ? 2 , 1

a3 ? a2 ? 4 。
(Ⅰ)求 {a } 的通项公式; n (Ⅱ)设 {b } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列 {a ? b } 的前 n 项和 s . n n n n

5. (2011 年 高 考 全 国 新 课 标 卷 ) 等 比 数 列 a 的 各 项 均 为 正 数 , 且 ? n?

2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式.
(2)设 b ? log a ? log a ? ...... ? log a , 求数列 的前项和. ?1? n 3 1 3 2 3 n ? ? ? bn ?

39

考题回放
1.(2012 年高考辽宁卷)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和

S11=(
(A)58

) (B)88 (C)143 (D)176

2.(2012 年高考天津卷)已知 a 为等差数列,其公差为-2,且 a 是 a 与 a 的等 ? n? 7 3 9 比中项, S 为 a 的前 n 项和, n ? N * ,则 S 的值为( ? n? n 10 A.-110 B.-90 C.90 ) D.110

3.(2011 年高考安徽卷理科 7) 若数列 a 的通项公式是 a ? (??)g(?n ? ? ) , 则 ? n? n
a? ? a? ? L a?? ? (

) (B) 12 (C )

(A) 15

???

(D) ??? ,其前 n 项和

4. (2012 年高考福建卷理科 11)数列{an}的通项公式

为 Sn,则 S2012 等于( A.1006

) C.503
D.0

B.2012

5.(2011 年高考辽宁卷)已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8= -10 (I)求数列{an}的通项公式; (II)求数列 ? a ? 的前 n 项和. n ? n ?1 ? ?2 ?

6. ( 山东省济南市 2012 年 2 月高三定时练习 ) 已知公差大于零的等差数列

?an ? , a2 ? a3 ? a4 ? 9, 且 a2 ? 1, a3 ? 3, a4 ? 8 为等比数列 ?bn ? 的前三项.
(1)求 a , b 的通项公式; ? n? ? n? (2)设数列 a 的前 n 项和为 S ,求 1 1 1 1 . ? n? n ? ? ? ...... ? S1 S2 S3 Sn

40

(学生版)数列求和综合测试题
一、选择题(每小题 7 分,共 35 分)
1 1 .在等比数列 {an} (n∈N*) 中,若 a1 = 1 , a4 = ,则该数列的前 10 项和为 8 ( ) 1 28 1 C.2- 10 2 A.2- A.2n+n2-1 C.2n+1+n2-2 1 29 1 D.2- 11 2 B.2- ) B.2n+1+n2-1 D.2n+n-2 )

2.若数列{an}的通项公式为 an=2n+2n-1,则数列{an}的前 n 项和为(

3.已知等比数列{an}的各项均为不等于 1 的正数,数列{bn}满足 bn=lg an,b3 =18,b6=12,则数列{bn}的前 n 项和的最大值等于( A.126 于( A.200 ) B.-200 C.400 D.-400 ) B.130 C.132
n-1

D.134

4.数列{an}的通项公式为 an=(-1)

·(4n-3),则它的前 100 项之和 S100 等

5.数列 1·n,2(n-1),3(n-2),…,n·1 的和为( 1 1 A. n(n+1)(n+2) B. n(n+1)(2n+1) 6 6 1 1 C. n(n+2)(n+3) D. n(n+1)(n+2) 3 3

二、填空题(每小题 6 分,共 24 分)
2 2 6.等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-1,则 a2 1+a2+…+an=________.

7.已知数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn 之间满足关系式 Sn=2-3an,则 an= __________. 8.已知等比数列{an}中,a1=3,a4=81,若数列{bn}满足 bn=log3an,则数列 ? 1 ? ? ? ? ?的前 n 项和 Sn=________.
? ?bnbn+1? ?

9.设关于 x 的不等式 x2-x<2nx (n∈N*)的解集中整数的个数为 an,数列{an} 的前 n 项和为 Sn,则 S100 的值为________.

41

三、解答题(共 41 分)
10 . (13 分 ) 已知数列 {an} 的各项均为正数, Sn 为其前 n 项和,对于任意的 n∈N*满足关系式 2Sn = 3an- 3. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 设数列 1 {bn}的通项公式是 bn= ,前 n 项和为 Tn,求证:对于任意 log3an·log3an+1 的正数 n,总有 Tn<1.

11.(14 分)已知单调递增的等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2, 1 a4 的等差 中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=anlog an,Sn=b1 2 +b2+…+bn,求使 Sn+n·2n+1>50 成立的最小正整数 n 的值.

12.(14 分)已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第二项、第五项、第 十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项. (1)求数列 {an} 的通项公式; (2)设 bn= 1 (n∈N*),Sn=b1+b2+…+bn,是否存 n(an+3) t 总成立?若存在,求出 t;若 36

在最大的整数 t,使得对任意的 n 均有 Sn> 不存在,请说明理由.

42

高考(理科)复习(教师版)数列求和
巅峰教育:蒋越界(18690745686)
1.公式法:直接应用等差数列,等比数列的前 n 项和公式,以及公式
12 ? 22 ? 32 ? ??? ? n 2 ?

等. 1 1 n(n ? 1)(2n ? 1),13 ? 23 ? 33 ? ??? ? n3 ? n 2 (n ? 1) 2 6 4

2.倒序相加法:如果一个数列 {an } ,与首末两项等”距离”的两项之和等于
首末 两项之和,可采用把这个和中的项颠倒顺序,然后将两式相加,从而求得.

3.错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对
应 项之积所构成,则此时可把其前 n 项和的表示式两边同时乘以公比,然后两式相 减,从而求得.

4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项(或多项)之差,在求和时一些正负项
相互抵消,从而求得其和,

5.分组转化法(或并项法):把数列的每一项分成多个项或把数列的项重
新组合,使其转化为等差数列或等比数列,然后利用相关的求和公式求得.

例题精析
考点一:公式法与分组求数列的和 例 1.
求 1 1 1 1 , 2 ,3 , 2 4 8
, (n ? 1 ), 2n

前 n 项和.

解析:设所求的前 n 项和为 Sn ,则
Sn =(1+2+3+

+ n )+ 1

1. 1 1 = n(n ? 1) ? ? ? n ?1? n 2 4 2 2 2
n 2 6 8

例 2.(2011 年高考辽宁卷)已知等差数列{a }满足 a =0,a +a =

-10

43

(I)求数列{an}的通项公式;

(II)求数列 ? a ? 的前 n 项和. n ? n ?1 ? ?2 ?

(I)设等差数列{a }的公差为 d,由已知条件可得 a ? d ? 0, 解析: ?
n

? ?2a1 ? 12d ? ?10,

1

2 (n ? 1, 2, ).证明 : {an }的前n项和记为Sn ,已知a1 ? 1,an ?1 ? n ? S 例 3数列 : 数列 {a }的前 n项和记为S ,已知a ? 1,a ? n n S (n ? 1, 2, ).证明 :
n n 1 n ?1

n?2

S S n { n }是等比数列; (1) 数列 (1)数列{ }是等比数列 ; n n (2) S n ?1 ? 4an (2) S n ?1 ? 4 an

n

n

证明:
(1)注意到: a(n+1)=S(n+1)-S(n)代入已知第二条式子得:
S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n
44

nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2) nS(n+1)=S(n)*(2n+2) S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2 又 S(1)/1=a(1)/1=1 不等于 0 所以{S(n)/n}是等比数列

(2)由(1)知,{S(n)/n}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列。
所以 S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1) 即 S(n)=n*2^(n-1) (*) 代入 a(n+1)=S(n)*(n+2)/n 得 a(n+1)=(n+2)*2^(n-1) (n 属于 N) 即 a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n 属于 N 且 n>1) 又当 n=1 时上式也成立 所以 a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n 属于 N) 由(*)式得:S(n+1)=(n+1)*2^n=(n+1)*2^(n-2)*2^2 =(n+1)*2^(n-2)*4 对比以上两式可知:S(n+1)=4*a(n)

例 4:
1 已知数列{an }的前n项为S n,S n ? (an ? 1)(1 n ? N*) 已知数列{an } 的前n项为S3 (an ? 1)(n ? N * ) n,S n ? 3 (1)求a1 , a2 ; (1)求a1 , a2 ; (2)求证 : 数列{an }是等比数列. (2)求证 : 数列{an }是等比数列.

答案:
(1)a1=S1=1/3(a1-1)
3a2=a2-1+3/2 a1=-1/2 2a2=1/2 a2=S2-S1=1/3(a2-1)+1/2 a2=1/4

(2)3Sn=an-1

3S(n-1)=a(n-1)-1 相减:

3an=an-a(n-1) 2an=-a(n-1)
45

an/a(n-1)=-1/2

所以{an}为等比数列!

1. ( 2009

年高考湖南卷)设 S 是等差数列 a 的前 n 项和,已知 ? n? n

a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等于(

C

) C.49 D.23

A.13

B.35

( 2011 2.

年高考重庆卷理科 16) 设 {a n } 是公比为正数的等比数列,

a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 4 。

(Ⅰ)求 {a } 的通项公式; n (Ⅱ)设 {b } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列 {a ? b } 的前 n 项和 s . n n n n (I)设 q 为等比数列 {a } 的公比,则由 解析:
n

a1 ? 2, a3 ? a2 ? 4得2q2 ? 2q ? 4 ,即 q2 ? q ? 2 ? 0 ,

解得 q ? 2或q ? ?1(舍去) ,因此 q ? 2.

考点二:裂项相消法求数列的和
例 1. ( 2010
年 高 考 山 东 卷 理 科 18 ) 已 知 等 差 数 列 ?a
n

? 满 足 : a3 ? 7 ,

a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 S n .

46

(Ⅰ)求 a 及 S ; (Ⅱ)令 n n

bn ?

1 an 2 ? 1

( n ? N ? ),求数列 ?b ? 的前 n 项和 T .
n
n

例 2:(山东省济南市 2012 年 2 月高三定时练习)已知公差大于零的等差数列

?an ? , a2 ? a3 ? a4 ? 9, 且 a2 ? 1, a3 ? 3, a4 ? 8 为等比数列 ?bn ? 的前三项.
(1) 求 a , b 的通项公式; ? n? ? n? (2)设数列 a 的前 n 项和为 S ,求 1 1 1 1 . ? n? n ? ? ? ...... ? S1 S2 S3 Sn

47

:1

计算

1 1 1 ? ? ? 1? 4 4 ? 7 7 ?10

?

= 1 (3n ? 2)(3n ? 1)

.

2.(2012

年高考全国卷)已知等差数列 a 的前 n 项和为 ? n?

Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 ,则数列 ? 1 ? 的前 100 项和为( ? ? ? an an ?1 ?
A. 100 B. 99 101 C. 99 100

A

)

D. 101

101

100

3

(2011 年高考全国新课标卷 ) 等比数列 a 的各项均为正数,且 ? n?

2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 . 求 (1)数列 ?an ? 的通项公式.
(2)设 b ? log a ? log a ? ...... ? log a , 求数列 的前项和. ?1? n 3 1 3 2 3 n ? ? ? bn ?

48

考点三:错位相减法求数列的和
例 1.(2012
年 高 考 浙 江 卷 理 科 19) 已知数 列 {an} 的 前 n 项和为 Sn , 且

Sn= 2n 2 ? n ,n∈N﹡,数列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N﹡. (1)求 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn.

49

例 2.

(2012 年 高 考 江 西 卷 理 科 16) 已 知 数 列 {an} 的 前 n 项 和

,且 Sn 的最大值为 8. 1 S n ? ? n 2 ? kn(k ? N ? ) 2 (1)确定常数 k,求 an; (2)求数列 9 ? 2 a 的前 n 项和 Tn。 n { } 2n

50

例 3.(山东省济南市 2012 年 2 月高三定时练习)
已知数列 {a } 为等差数列,且 a ? 1 , a ? 5 ;设数列 {b } 的前 n 项和为 S ,且 1 5 n n n (Ⅱ)若 c ? a ? b ( n ? 1, 2, 3,… ),T 为 bn ? 2 ? Sn .(Ⅰ)求数列 {bn } 的通项公式; n n n n 数列 {c } 的前 n 项和,求 T . n n

解析:

变式训练 1. 设 {a } 是等差数列, {b } 是各项都为正数的等比数列,且
n n

a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13 (Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求

? an ? ? ? b 数列 ? n ? 的前 n 项和 Sn .

解:
51

a b (Ⅰ)设 ? n ? 的公差为 d , ? n ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且
?1 ? 2d ? q 4 ? 21, ? ? 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13,
n?1 n?1 解得 d ? 2 , q ? 2 .所以 an ? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 , bn ? q ? 2 .

an 2n ? 1 3 5 ? n?1 Sn ? 1 ? 1 ? 2 ? b 2 2 2 (2) n .

?

2n ? 3 2n ? 1 ? n ?1 2n ? 2 2 ① 2Sn ? 2 ? 3 ? 5 ? 2 ? 2n ? 3 2n ? 1 ? n?2 2 n ?3 2



②-①得

Sn ? 2 ? 2 ?

2 2 ? ? 2 22

?

2 2
n?2

?

2n ? 1 2n ?1 ,

? 1 1 ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? 2 2

?

1 ? 2n ? 1 ?? 2 ? 2n?1
n?2

1 n ?1 2n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 2n ? 3 1 2 ? 6 ? n ?1 1? 2 2 1?

(教师版)数列求和综合测试题
一、选择题
1 1 .在等比数列 {an} (n∈N*) 中,若 a1 = 1 , a4 = ,则该数列的前 10 项和为 8 (

B

) 1 29 1 D.2- 11 2 B.2-

1 28 1 C.2- 10 2 A.2- A.2n+n2-1 C.2n+1+n2-2

2.若数列{an}的通项公式为 an=2n+2n-1,则数列{an}的前 n 项和为( B.2n+1+n2-1 D.2n+n-2

C

)

3.已知等比数列{an}的各项均为不等于 1 的正数,数列{bn}满足 bn=lg an,b3 =18,b6=12,则数列{bn}的前 n 项和的最大值等于( A.126 B.130 C.132 D.134

C

)

52

4.数列{an}的通项公式为 an=(-1)n-1·(4n-3),则它的前 100 项之和 S100 等 于(

B

) B.-200 C.400 D.-400

A.200

5.数列 1·n,2(n-1),3(n-2),…,n·1 的和为( 1 A. n(n+1)(n+2) 6 1 C. n(n+2)(n+3) 3

A

)

1 B. n(n+1)(2n+1) 6 1 D. n(n+1)(n+2) 3

二、填空题
2 2 6.等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-1,则 a2 1+a2+…+an=

1 n (4 -1. 3

7.已知数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn 之间满足关系式 Sn=2-3an, ? 1? ?3?n-1 则 an= ? ? . 2?4? 8.已知等比数列{an}中,a1=3,a4=81,若数列{bn}满足 bn=log3an,则数列
? 1 ? ? ? ? ?的前 ?bnbn+1? ? ?

n 项和 Sn=

n

n+1

9.设关于 x 的不等式 x2-x<2nx (n∈N*)的解集中整数的个数为 an,数列{an} 的前 n 项和为 Sn,则 S100 的值为 10

100

三、解答题(共 41 分)
10 . (13 分 ) 已知数列 {an} 的各项均为正数, Sn 为其前 n 项和,对于任意的 n∈N*满足关系式 2Sn=3an-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}的通项公式是 bn= 对于任意的正数 n,总有 Tn<1. 1 ,前 n 项和为 Tn,求证: log3an·log3an+1

解(1)由已知得?

?2Sn=3an-3, ?2Sn-1=3an-1-3

(n≥2).

故 2(Sn-Sn-1)=2an=3an-3an-1,即 an=3an-1 (n≥2). 故数列{an}为等比数列,且公比 q=3.

53

又当 n=1 时,2a1=3a1-3,∴a1=3.∴an=3n.

(2)证明

1 1 1 ∵bn= =n- . n(n+1) n+1

∴Tn=b1+b2+…+bn 1? ?1 1? 1 ? ? ?1 ? =?1- ?+? - ?+…+? - 2? ?2 3? ? ?n n+1? =1- 1 <1. n+1

11.(14 分)已知单调递增的等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2, 1 a4 的等差 中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=anlog an,Sn=b1 2 +b2+…+bn,求使 Sn+n·2n+1>50 成立的最小正整数 n 的值.

解(1)设此等比数列为 a ,a q,a q ,a q ,…,其中 a ≠0,q≠0.
2 3 1 1 1 1 1

由题意知:a1q+a1q2+a1q3=28, a1q+a1q3=2(a1q2+2). ②×7-①得 6a1q3-15a1q2+6a1q=0, 1 即 2q2-5q+2=0,解得 q=2 或 q= . 2

① ②

∵等比数列{an}单调递增,∴a1=2,q=2,∴an=2n.

(2)由(1)得 b =-n·2 ,
n n

∴Sn=b1+b2+…+bn=-(1×2+2×22+…+n·2n). 设 Tn=1×2+2×22+…+n·2n,③ 则 2Tn=1×22+2×23+…+n·2n+1.④ 由③-④,得-Tn=1×2+1×22+…+1·2n-n·2n+1 =2n+1-2-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2, ∴-Tn=-(n-1)·2n+1-2.
54

∴Sn=-(n-1)·2n+1-2. 要使 Sn+n·2n+1>50 成立,即-(n-1)·2n+1-2+n·2n+1>50,即 2n>26. ∵24=16<26,25=32>26,且 y=2x 是单调递增函数, ∴ 满足条件的 n 的最小值为 5. 12.(14 分)已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第二项、第五项、第 十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项. (1)求数列{an}的通项公式; (2) 设 bn = 1 (n∈N*) , Sn = b1 +b2 +…+ bn ,是否存在最大的整数 n(an+3)

t t,使得对任意的 n 均有 Sn> 总成立?若存在,求出 t;若不存在,请说 36 明理由.

解(1)由题意得(a +d)(a +13d)=(a +4d) ,整理得 2a d=d .
2 2 1 1 1 1

∵a1=1,解得 d=2,d=0(舍).∴an=2n-1 (n∈N*). ? ?n-n+1?, (2)b =n(a +3)=2n(n+1)=2? ? ? 1 1
n

11

1

n

∴Sn=b1+b2+…+bn 1? ?1 1? ?1 1 ?? 1? ? ?? = ??1- ?+? - ?+? - 2? ?2 3? ?n n+1?? 2? ? 1 ? 1? n ?= = ?1- . n+1? 2(n+1) 2? 假设存在整数 t 满足 Sn>

t
36

总成立,

n+1 n 1 又 Sn+1-Sn= - = >0, 2(n+2) 2(n+1) 2(n+2)(n+1) 1 t 1 ∴数列{Sn}是单调递增的.∴S1= 为 Sn 的最小值,故 < ,即 t<9. 4 36 4 又∵t∈Z,∴适合条件的 t 的最大值为 8.

55

56


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