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2009高考数学重点难点复习(32):极限及其...


难点 32

高考数学重点难点复习:极限及其运算

极限的概念及其渗透的思想,在数学中占有重要的地位,它是人们研究许多 问题的工具.旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一.本 节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念, 并在此基础上能正确熟练地进行 有关极限的运算问题. ●难点磁场 (★★★★)求 lim ●案例探究 [例

1]已知 lim ( x 2 ? x ? 1 -ax-b)=0,确定 a 与 b 的值.
x ??

a n ? 2 n ?1 . n n ?1 n?? 2 ? a

命题意图:在数列与函数极限的运算法则中,都有应遵循的规则,也有可利 用的规律,既有章可循,有法可依.因而本题重点考查考生的这种能力.也就是本 知识的系统掌握能力.属★★★★★级题目. 知识依托: 解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理,这是求极限中带无 理号的式子常用的一种方法. 错解分析:本题难点是式子的整理过程繁琐,稍不注意就有可能出错. 技巧与方法:有理化处理. 解: lim ( x 2 ? x ? 1 ? ax ? b) ? lim
x?? x??

( x 2 ? x ? 1) ? (ax ? b) 2 x 2 ? x ? 1 ? ax ? b

? lim
x ??

(1 ? a 2 ) x 2 ? (1 ? 2ab) x ? (1 ? b 2 ) x 2 ? x ? 1 ? ax ? b

要使上式极限存在,则 1-a2=0, 当 1-a2=0 时,
上式 ? lim
x ??

? (1 ? 2ab) x ? (1 ? b 2 ) x 2 ? x ? 1 ? ax ? b

? (1 ? 2ab) ? ? lim
x ??

1 ? b2 x 2 ? ? (1 ? 2ab) 1? a 1 1 b ? ?1 ? ? a 2 x x x

由已知得

? (1 ? 2ab) ?0 1? a

?1 ? a 2 ? 0 ? ∴ ? ? (1 ? 2ab) ?0 ? ? 1? a

?a ? 1 ? 解得 ? 1 ?b ? ? 2 ?

[例 2]设数列 a1,a2,…,an,…的前 n 项的和 Sn 和 an 的关系是 Sn=1-ban-
1 ,其中 b 是与 n 无关的常数,且 b≠-1. (1 ? b) n

(1)求 an 和 an-1 的关系式; (2)写出用 n 和 b 表示 an 的表达式; (3)当 0<b<1 时,求极限 lim Sn.
n ??

命题意图:历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式,前 n 项和 Sn 等 有紧密的联系.有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限, 或先求出前 n 项和 Sn 再求极限,本题考查学生的综合能力.属★★★★★级题目. 知识依托:解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系. 错解分析:本题难点是第(2)中由(1)中的关系式猜想通项及 n=1 与 n=2 时的 式子不统一性. 技巧与方法:抓住第一步的递推关系式,去寻找规律. 解: n=Sn-Sn-1=-b(an-an-1)- (1)a (n≥2) 解得 an=
b b a n ?1 ? (n≥2) 1? b (1 ? b) n ?1
1 b ,? a1 ? 1? b (1 ? b) 2

1 1 b ? =-b(an-an-1)+ n n ?1 (1 ? b) (1 ? b) (1 ? b) n

( 2) ? a1 ? S1 ? 1 ? ba1 ? ? an ? ?( ?(

b b b 1 b 2 b2 ? b [ a n ?2 ? ]? ?( ) a n ?2 ? 1? b 1? b 1? b (1 ? b) n (1 ? b) n ?1 (1 ? b) n ?1

b 2 b b b ? b2 ) [ a n ?3 ? ]? 1? b 1? b (1 ? b) n ?1 (1 ? b) n ?1 b 2 b ? b2 ? b3 ) a n ?3 ? ,? 1? b (1 ? b) n ?1 b n ?1 b ? b 2 ? b 3 ? ? ? b n ?1 ) a1 ? 1? b (1 ? b) n ?1

由此猜想a n ? ( 把a1 ?

b 代入上式得 (1 ? b) 2

? b ? b n ?1 (b ? 1) ? b ? b ??? b ? (1 ? b)(1 ? b) n ?1 an ? ?? (1 ? b) n ?1 ? n (b ? 1) ? 2 n ?1 ?
2 n

(3) S n ? 1 ? ba n ? ? 1?

1 b ? b n ?1 1 ? 1? b? ? n n ?1 (1 ? b) (1 ? b)(1 ? b) (1 ? b) n

1 b(b ? b n ?1 ) 1 n ?1 ? ( ) (b ? 1), 1? b 1? b (1 ? b) n
n?? n??

?0 ? b ? 1时, lim bn ? 0, lim (

1 n ) ? 0,? lim Sn ? 1. n?? 1? b

●锦囊妙计 1.学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限. 学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极 限. 2.运算法则中各个极限都应存在.都可推广到任意有限个极限的情况, 不能推 广到无限个.在商的运算法则中,要注意对式子的恒等变形,有些题目分母不能 直接求极限. 3.注意在平时学习中积累一些方法和技巧,如:
( ?1) n ? 0, lim a n ? 0(| a |? 1) lim n ?? n ?? n

? a0 ? b ,当k ? l时 0 k k ?1 a 0 x ? a1 x ? ? ? a k ? ? ? ?0,当k ? l时 lim l l ?1 n ?? b0 x ? b1 x ? ? ? b1 ?不存在,当k ? l时 ? ? ?

●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)an 是(1+x)n 展开式中含 x2 的项的系数, lim ( 则
n ??

1 1 1 ? ??? ) 等 a1 a 2 an

于(

) A.2
a?c n ) 的值是( a2 ? c2

B.0

C.1

D.-1

2.( ★ ★ ★ ★ ) 若 三 数 a,1,c 成 等 差 数 列 且 a2,1,c2 又 成 等 比 数 列 , 则
n??

lim (

)

A.0 二、填空题

B.1

C.0 或 1

D.不存在

3.(★★★★) lim ( x ? x ? x ? x ) =_________.
n???

4.(★★★★)若 lim (a 2n 2 ? n ? 1 ? nb) =1,则 ab 的值是_________.
n??

三、解答题 5.(★★★★★)在数列{an}中, 已知 a1= ,a2=
1 2 1 2 3 5 31 1 ,且数列{an+1- an}是公比 100 10

为 的等比数列,数列{lg(an+1- an}是公差为-1 的等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)Sn=a1+a2+…+an(n≥1),求 lim Sn.
n ??

6.(★★★★)设 f(x)是 x 的三次多项式,已知 lim
f ( x) 的值.(a 为非零常数). n?? x ? 3a lim

f ( x) f ( x) =1,试求 ? lim n?2 a x ? 2a n?4 a x ? 4a

7.(★★★★)已知数列{an},{bn}都是由正数组成的等比数列,公式分别为 p、 q,其中 p>q,且 p≠1,q≠1,设 cn=an+bn,Sn 为数列{cn}的前 n 项和,求 lim
Sn 的值. n ?? S n ?1

8.(★★★★★)已知数列{an}是公差为 d 的等差数列, d≠0 且 a1=0,bn=2 a n (n ∈N*),Sn 是{bn}的前 n 项和,Tn= (1)求{Tn}的通项公式; (2)当 d>0 时,求 lim Tn.
n ??

Sn (n∈N*). bn

参考答案 难点磁场

1 2 1 ? ( ) n?1 a n ? 2 n?1 1 a a 解 : 当a ? 2或a ? ?2时, lim n ? lim ? ; n ?1 2 n?? 2 ? a n?? a ( )n ? a a a 1 ( )n ? a n ? 2 n?1 2 ? 1; 当 ? 2 ? a ? 2时, lim n ? lim 2 n ?1 a n ?? 2 ? a n?? 4 2 ? a( ) n 2 n n ?1 n ?1 a ?2 3? 2 1 当a ? 2时, lim n ? lim 2 n?1 ? ; n ?1 n ?? 2 ? a n?? 6 ? 2 n n ?1 n n ?1 a ?2 (?2) ? 2 当a ? ?2时, n ? n n ?1 2 ?a 2 ? (?2) n?1 ? ? 2 n ? 2 n?1 ? 2 n?1 1 ? ? ? (n为奇数) ? n n ?1 n ? 2 ?2 6 3? 2 ?? n n ?1 n ?1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? 3 (n为偶数) ? 2 n ? 2 n?1 2 ? 2n ?

歼灭难点训练 一、1.解析: an ? C 2 ? n
n(n ? 1) 1 1 1 ,? ? 2( ? ), 2 an n ?1 n

? lim (
n??

1 1 1 1 ? ? ? ? ) ? lim 2(1 ? ) ? 2 n?? a1 a2 an n

答案:A 2.解析: ? 答案:C 二、3.解析: lim ( x ? x ? x ? x ) ? lim
x???

?a ? c ? 2 ?a ? c ? 2 ?a ? c ? 2 , 得? 2 或? 2 2 2 2 2 ?a c ? 1 ?a ? c ? 2 ?a ? c ? 6

x? x? x ?x x? x? x ? x

x???

1? ? lim
x???

1 x 1 ? x 1 ? . 2 1
3 x2

1? 1?

答案:

1 2
a 2 (2n 2 ? n ? 1) ? n 2b 2 a 2n 2 ? n ? 1 ? nb
n??

4.解析:原式= lim

? lim
n??

(2a 2 ? b 2 )n 2 ? a 2 n ? a 2 a 2n 2 ? n ? 1 ? nb

?1

2 ? 2 ?2 a ? b ? 0 ?a ? 2 2 ?? ?? ? 2 ?b ?1 ?b ? 4 ?

∴a·b=8 2 答案:8 2
1 1 3 31 an}是公比为 的等比数列,且 a1= ,a2= , 2 5 10 100 1 1 1 1 1 1 31 3 1 1 ∴an+1- an=(a2- a1)( )n-1=( - × )( )n-1= ( ) n?1 ? n ?1 , 4 2 2 2 10 10 100 5 10 2 1 1 ∴an+1= an+ n ?1 ① 2 10 1 1 又由数列{lg(an+1- an)}是公差为-1 的等差数列,且首项 lg(a2- a1) 2 2 31 1 3 =lg( - × )=-2, 2 5 100 1 ∴其通项 lg(an+1- an)=-2+(n-1)(-1)=-(n+1), 2 1 1 ∴an+1- an=10-(n+1),即 an+1= an+10-(n+1) ② 2 2 5 1 1 ①②联立解得 an= [( )n+1-( )n+1] 2 2 10

三、5.解:(1)由{an+1-

(2)Sn= ? ak ? [? ( ) k ?1 ? ? ( ) k ?1 ]
k ?1

n

5 2

n

k ?1

1 2

n

k ?1

1 10

1 1 ( )2 ( )2 5 11 ? lim S n ? [ 2 ? 6 ] ? 1 1 n ?? 2 9 1? 1? 2 10

6.解:由于 lim ① 同理 f(4a)=0 ②

f ( x) =1,可知,f(2a)=0 x?2 a x ? 2a

由①②可知 f(x)必含有(x-2a)与(x-4a)的因式, 由于 f(x)是 x 的三次多项式, 故可设 f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-C),这里 A、C 均为待定的常数,
由 lim f ( x) A( x ? 2a)( x ? 4a)( x ? C ) ? 1,即 lim ? lim A( x ? 4a)( x ? C) ? 1, x?2a x ? 2a x?2a x?2a x ? 2a
2

得A(2a ? 4a )( 2a ? C ) ? 1 ,即 4a A-2aCA=-1

③ 同理,由于 lim ④ 由③④得 C=3a,A=
1 1 ,因而 f(x)= (x-2a)(x-4a)(x-3a), 2 2a 2a 2 f ( x) 1 1 1 ? lim ? lim 2 ( x ? 2a )( x ? 4a ) ? 2 ? a ? (? a ) ? ? x ?3 a x ? 3a x ?3 a 2a 2 2a

f ( x) =1,得 A(4a-2a)(4a-C)=1,即 8a2A-2aCA=1 x?4 a x ? 4a

7.解 : S n ?

a1 (1 ? p n ) b1 (1 ? q n ) ? 1? p 1? q

?

Sn S n?1

a1 (1 ? p n ) b1 (1 ? q n ) ? 1? p 1? q ? n ?1 a1 (1 ? p ) b1 (1 ? q n?1 ) ? 1? p 1? q

?

a1 (1 ? q ) ? b1 (1 ? p ) ? a1 (1 ? q ) p n ? b1 (1 ? p )q n a1 (1 ? q ) ? b1 (1 ? p ) ? a1 (1 ? q ) p n?1 ? b1 (1 ? p )q n?1

由数列{an}、{bn}都是由正数组成的等比数列,知 p>0,q>0
a1 (1 ? q ) ? b1 (1 ? p ) ? a1 (1 ? q ) p n ? b1 (1 ? p )q n S pn 当p ? 1时 lim n ? lim n ?1 n?? S n ?1 n?? a1 (1 ? q ) ? b1 (1 ? p ) ? a1 (1 ? q ) p ? b1 (1 ? p )q n?1 pn a1 (1 ? q ) ? b1 (1 ? p ) q ? a1 (1 ? q ) ? b1 (1 ? p )( ) n n p p ? lim 1 q 1 n?? a1 (1 ? q ) ? b1 (1 ? p ) ? a1 (1 ? q ) ? b1 (1 ? p )( ) n?1 n ?1 p p p p ? 0 ? a1 (1 ? q ) ? 0 ? p. 1 0 ? a1 (1 ? q ) ? 0 p
n?? n?? n?? n??

当 p<1 时,q<1, lim p n ? lim p n?1 ? lim q n ? lim q n?1 ? 0
? lim Sn ?1 n?? S n?1

8.解:(1)an=(n-1)d,bn=2 a n =2(n-1)d ? Sn=b1+b2+b3+…+bn=20+2d+22d+…+2(n-1)d ? 由 d≠0,2d≠1,∴Sn=
1 ? (2 d ) n 1 ? 2d

1 ? (2 d ) n d S 1 ? 2 nd ∴Tn= n ? 1 (??2) d ? ( n?1) d bn 2n1 2 ? 2 nd

(2)当 d>0 时,2d>1
? lim Tn ? lim
n??

1 ? 2 nd 1 ? (2 d ) n ? lim d n?1 ( n ?1) d n?? 2 ? 2 nd n?? (2 ) ? (2 d ) n

?1 0 ?1 2d (2 d ) n ? lim ? ? d 1 1 n?? ?1 ?1 2 ?1 d d 2 2

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