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2017届高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 计时双基练45 直线的倾斜角和斜率、直线的方程 文


计时双基练四十五

直线的倾斜角和斜率、直线的方程
A 组 基础必做
2 2

1.(2016·西安模拟)过点( 3,-2)的直线 l 经过圆 x +y -2y=0 的圆心,则直线 l 的倾斜角大小为( A.30° C.120° ) B.60° D.150°

-2-1 解析 圆心坐标为(0,1),斜

率 k=tan α = =- 3, 3-0 ∴倾斜角 α =120°。 答案 C 2.如图所示,直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3,则( )

A.k1<k2<k3 C.k3<k2<k1

B.k3<k1<k2 D.k1<k3<k2

解析 从图中观察可知:k2>0,k3>0,k1<0。又因为 l2、l3 的倾斜角 α 2,α 3 都是锐角, 且 α 2>α 3,所以 k2>k3。因此,k2>k3>k1。 答案 D 3.直线 ax+by+c=0 同时要经过第一、第二、第四象限,则 a,b,c 应满足( A.ab>0,bc<0 C.ab<0,bc>0 B.ab>0,bc>0 D.ab<0,bc<0 )

解析 由题意,令 x=0,y=- >0;令 y=0,x=- >0。即 bc<0,ac<0,从而 ab>0。 答案 A 4.两条直线 l1: - =1 和 l2: - =1 在同一直角坐标系中的图像可以是

c b

c a

x y a b

x y b a

解析 由题可知 a≠b,且两直线的斜率同号,故排除 B,C,D,选 A。 答案 A 5.经过点 P(-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形的面积为 5 的直线方程是( )
1

A.8x+5y-20=0 或 2x-5y-12=0 B.8x-5y-20=0 或 2x-5y+10=0 C.8x-5y+10=0 或 2x+5y-10=0 D.8x-5y-20=0 或 2x-5y-10=0 解析 1 由题意设所求方程为 y + 4 = k(x + 5) ,即 kx - y + 5k - 4 = 0 。由 ·|5k - 2

8 2 ?4 ? 4|·? -5?=5 得,k= 或 k= 。故选 D。 5 5 ?k ? 答案 D 6.直线 l 经过点 A(1,2),在 x 轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范 围是( )

1? ? A.?-1, ? 5? ? 1? ? B.?-∞, ?∪(1,+∞) 2? ?

?1 ? C.(-∞,1)∪? ,+∞? ?5 ? ?1 ? D.(-∞,-1)∪? ,+∞? 2 ? ?
解析 设直线的斜率为 k,如图,过定点 A 的直线经过点 B 时,直线 l 在 x 轴上的截距 1 为 3,此时 k=-1;过定点 A 的直线经过点 C 时,直线 l 在 x 轴上的截距为-3,此时 k= , 2

?1 ? 满足条件的直线 l 的斜率范围是(-∞,-1)∪? ,+∞? ?2 ?

答案 D

?1 ? 7.若三点 A(2,3),B(3,2),C? ,m?共线,则实数 m=________。 ?2 ?
2-3 m-3 m -3 解析 kAB= =-1,kAC= ,∵A,B,C 三点共线,∴kAB=kAC,即 =-1,解 3-2 1 1 -2 -2 2 2 9 得 m= 。 2 答案 9 2

2

8.已知 A(3,0),B(0,4),直线 AB 上一动点 P(x,y),则 xy 的最大值是________。 解析 依题意得 AB 的方程为 + =1。当 x>0,y>0 时,1= + ≥2 3 4 3 4 3 即 xy≤3(当且仅当 x= ,y=2 时取等号),故 xy 的最大值为 3。 2 答案 3 9.(2016·沈阳模拟)若 A(1,-2),B(5,6),直线 l 经过 AB 的中点 M 且在两坐标轴上 的截距相等,则直线 l 的方程为________。 解析 解法一:设直线 l 在 x 轴,y 轴上的截距均为 a。 由题意得 M(3,2)。 若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2), 2 所以直线 l 的方程为 y= x,即 2x-3y=0。 3 若 a≠0,设直线 l 的方程为 + =1, 3 2 因为直线 l 过点 M(3,2),所以 + =1,

x y

x y

xy
12



xy
3



x y a a

a a

所以 a=5,此时直线 l 的方程为 + =1,即 x+y-5=0。 5 5 综上,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0。 解法二:易知 M(3,2),由题意知所求直线 l 的斜率 k 存在且 k≠0,则直线 l 的方程为

x y

y-2=k(x-3)。
2 令 y=0,得 x=3- ;令 x=0,得 y=2-3k。

k

2 2 所以 3- =2-3k,解得 k=-1 或 k= , k 3 2 所以直线 l 的方程为 y-2=-(x-3)或 y-2= (x-3), 即 x+y-5=0 或 2x-3y=0。 3 答案 x+y-5=0 或 2x-3y=0 10.已知两点 A(-1,2),B(m,3)。 (1)求直线 AB 的方程; (2)已知实数 m∈?- 解

? ?

3 ? -1, 3-1?,求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围。 3 ?

(1)当 m=-1 时,直线 AB 的方程为 x=-1; 1 (x+1)。 m+1

当 m≠-1 时,直线 AB 的方程为 y-2=

3

π (2)①当 m=-1 时,α = ; 2 ②当 m≠-1 时,m+1∈?- ∴k=

? ?

3 ? ,0?∪(0, 3], 3 ?

1 ? 3 ? ∈(-∞,- 3]∪? ,+∞?, m+1 ?3 ?

∴α ∈?

?π ,π ?∪?π ,2π ?。 ? ? 3 ? ?6 2? ?2 ?

? π 2π ? 综合①②知,直线 AB 的倾斜角 α ∈? , ?。 3 ? ?6
11.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R)。 (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S(O 为坐标原点), 求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程。 解 (1)证明:直线 l 的方程是 k(x+2)+(1-y)=0, ,解得?
?x=-2 ? ? ?y=1

?x+2=0 ? 令? ? ?1-y=0



∴无论 k 取何值,直线总经过定点(-2,1)。 1+2k (2)由方程知,当 k≠0 时直线在 x 轴上的截距为- ,在 y 轴上的截距为 1+2k,

k

1+2k ? ?- ≤-2 k 要使直线不经过第四象限,则必须有? ? ?1+2k≥1 当 k=0 时,直线为 y=1,符合题意,故 k≥0。

,解之得 k>0;

? 1+2k,0?,B(0,1+2k)。 (3)由直线 l 的方程,得 A?- ? ?
k

?

1+2k ? ?- <0, k 依题意得? ? ?1+2k>0,

解得 k>0。

2 1 ? 1 1 ?1+2k? 1 ?1+2k? 1? ∵S= ·|OA|·|OB|= ·? = ?4k+ +4? ?·|1+2k|=2· k ? 2 2 ? k ? k 2?

1 ≥ ×(2×2+4)=4, 2 1 1 “=”成立的条件是 k>0 且 4k= ,即 k= , k 2 ∴Smin=4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0。
4

B 组 培优演练 π 1.(2016·哈尔滨模拟)函数 y=asin x-bcos x 的一条对称轴为 x= ,则直线 l:ax 4 -by+c=0 的倾斜角为( A.45° C.120° ) B.60° D.135°

π ?π ? 解析 由函数 y=f(x)=asin x-bcos x 的一条对称轴为 x= 知,f(0)=f? ?,即 4 ?2? -b=a,∴直线 l 的斜率为-1, ∴倾斜角为 135°。 答案 D 2.直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位,再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后,又回到原来 位置,那么 l 的斜率为( 1 A.- 3 C. 1 3 ) B.-3 D.3

解析 结合图形可知选 A。 答案 A 3.设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx-y-m+3=0 交于点

P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________。
解析 易求定点 A(0,0),B(1,3)。当 P 与 A 和 B 均不重合时,因为 P 为直线 x+my=0 与 mx-y-m+3=0 的交点,且易知两直线垂直,则 PA⊥PB,所以|PA| +|PB| =|AB| =10, |PA| +|PB| 所以|PA|·|PB|≤ =5(当且仅当|PA|=|PB|= 5时,取等号);当 P 与 A 或 B 2 重合时,|PA|·|PB|=0,故|PA|·|PB|的最大值是 5。 答案 5 4.如图,射线 OA,OB 分别与 x 轴正半轴成 45°和 30°角,过点 P(1,0)作直线 AB 分 1 别交 OA,OB 于 A,B 两点,当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y= x 上时,求直线 AB 的方程。 2
2 2 2 2 2



由题意可得 kOA=tan 45°=1,
5

kOB=tan(180°-30°)=-

3 , 3 3 x。 3

所以直线 lOA:y=x,lOB:y=- 设 A(m,m),B(- 3n,n), 所以 AB 的中点 C?

?m- 3n m+n? , ?, 2 ? ? 2

1 由点 C 在直线 y= x 上,且 A,P,B 三点共线得 2

m+n 1 m- 3n ? ? 2 =2· 2 ?m-0 n-0 ? ?m-1=- 3n-1,
解得 m= 3,所以 A( 3, 3)。 又 P(1,0),所以 kAB=kAP= 3+ 3 = , 2 3-1 3

3+ 3 所以 lAB:y= (x-1), 2 即直线 AB 的方程为(3+ 3)x-2y-3- 3=0。

6


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