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【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案19 三角函数的图象与性质


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学案 19

三角函数的图象与性质

导学目标: 1.能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象,了解三角函数的周期性.2. 理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交 π π? 点等),理解正切函数在区间? ?-2,

2?内的单调性.

自主梳理 1.三角函数的图象和性质 函数 y=sin x

y=cos x

y=tan x

图象

定义域 值域 周期性 奇偶性 在 ______________________ 上增,在 ______________________ ____________上减 在 ______________________ ____上增,在 ______________________ ________上减 在定义域的每一个区间 ______________________ __________内是增函数

单调性

2.正弦函数 y=sin x 当 x=____________________________________时,取最大值 1; 当 x=____________________________________时,取最小值-1. 3.余弦函数 y=cos x 当 x=__________________________时,取最大值 1; 当 x=__________________________时,取最小值-1. 4 . y = sin x 、 y = cos x 、 y = tan x 的对称中心分别为 ____________ 、 ___________ 、 ______________. 5.y=sin x、y=cos x 的对称轴分别为______________和____________,y=tan x 没有 对称轴. 自我检测 1.(2010· 十堰月考)函数 y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π, 0]上的图象如图所示,则 ω 为 ( )

A.1 2 . 函 数 ( )

C.3 D.4 π ? y = sin ? ?2x+3? 图 象 的 对 称 轴 方 程 可 能 是

B.2

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π A.x=- 6 π C.x= 6

π B.x=- 12 π D.x= 12

x π? 3. (2010· 湖北)函数 f(x)= 3sin? x∈R 的最小正周期为 ( ) ?2-4?, π A. B.π C.2π D.4π 2 4. (2010· 北京海淀高三上学期期中考试)函数 f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x 的最小正周期 为 ( ) A.4π

C.2π D.π 4π ? 5. 如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? 那么|φ|的最小值为 ? 3 ,0?中心对称, π π π π A. B. C. D. 6 4 3 2

B.3π

(

)

探究点一 求三角函数的定义域 例1 (2011· 衡水月考)求函数 y= 1 2+log x+ tan x的定义域. 2

变 式 迁 移 1 函 数 y = 1-2cos x + lg(2sin ________________________. 探究点二 三角函数的单调性 π ? 例 2 求函数 y=2sin? ?4-x?的单调区间.

x - 1) 的 定 义 域 为

π ? 变式迁移 2 (2011· 南平月考)(1)求函数 y=sin? ?3-2x?,x∈[-π,π]的单调递减区间; π x? (2)求函数 y=3tan? ?6-4?的周期及单调区间.

探究点三 三角函数的值域与最值 π π 例 3 已知函数 f(x)=2asin(2x- )+b 的定义域为[0, ],函数的最大值为 1,最小值 3 2 为-5,求 a 和 b 的值.

变式迁移 3 设函数 f(x)=acos x+b 的最大值是 1,最小值是-3,试确定 g(x)=bsin(ax
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π + )的周期. 3

转化与化归思想的应用 例 (12 分)求下列函数的值域: (1)y=-2sin2x+2cos x+2; π (2)y=3cos x- 3sin x,x∈[0, ]; 2 (3)y=sin x+cos x+sin xcos x. 【答题模板】 解 (1)y=-2sin2x+2cos x+2=2cos2x+2cos x 1 1 =2(cos x+ )2- ,cos x∈[-1,1]. 2 2 当 cos x=1 时,ymax=4, 1 1 1 当 cos x=- 时,ymin=- ,故函数值域为[- ,4].[4 分] 2 2 2 π (2)y=3cos x- 3sin x=2 3cos(x+ ) 6 π π π 2π ∵x∈[0, ],∴ ≤x+ ≤ , 2 6 6 3 π 2π ∵y=cos x 在[ , ]上单调递减, 6 3 1 π 3 ∴- ≤cos(x+ )≤ 2 6 2 ∴- 3≤y≤3,故函数值域为[- 3,3].[8 分] t2-1 (3)令 t=sin x+cos x,则 sin xcos x= ,且|t|≤ 2. 2 t2-1 1 ∴y=t+ = (t+1)2-1,∴当 t=-1 时,ymin=-1; 2 2 1 当 t= 2时,ymax= + 2. 2 1 ∴函数值域为[-1, + 2].[12 分] 2 【突破思维障碍】 1.对于形如 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈[a,b]的函数在求值域时,需先确定 ωx+φ 的范围, 再求值域.同时,对于形 如 y=asin ωx+bcos ωx+c 的函数,可借助辅助角公式,将函数化为 y= a2+b2sin(ωx +φ)+c 的形式,从而求得函数的最值. 2.关于 y=acos2x+bcos x+c(或 y=asin2x+bsin x+c)型或可以为此型的函数求值域, 一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题. 提醒:不论用什么方法,切忌忽略函数的定义域. 1.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基 础, 三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提, 求三角函数的定义域实质上就是解最简 单的三角不等式(组). 2.三角函数的值域问题,实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题.
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3.函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的单调区间的确定,基本思想是把 ωx+φ 看作一个 整体,利用 y=sin x 的单调区间来求.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1 1.(2011· 黄山月考)已知函数 y=sin x 的定义域为[a,b],值域为[-1, ],则 b-a 的 2 值 不 可 能 是 ( ) π 2π 4π A. B. C.π D. 3 3 3 2.(2010· 安徽 6 校高三联考)已知函数 y=tan ωx (ω>0)与直线 y=a 相交于 A、B 两点, 且 |AB| 最 小 值 为 π , 则 函 数 f(x) = 3 sin ωx - cos ωx 的 单 调 增 区 间 是 ( ) π π? A.? ?2kπ-6,2kπ+6? (k∈Z) π 2π? B.? ?2kπ-3,2kπ+ 3 ? (k∈Z) 2π π? C.? ?2kπ- 3 ,2kπ+3? (k∈Z) π 5π? D.? ?2kπ-6,2kπ+ 6 ? (k∈Z) π? π π 3.函数 f(x)=tan ωx (ω>0)的图象的相邻的两支截直线 y= 所得线段长为 ,则 f? ?4?的 4 4 值是 ( ) π A.0 B.1 C.-1 D. 4 4. 函数 y=-xcos x 的部分图象是图中 ( )

π 3π 5. (2011· 三明模拟)若函数 y=sin x+f(x)在[- , ]上单调递增, 则函数 f(x)可以是( ) 4 4 A.1 B.cos x C.sin x D.-cos x 1 2 3 4 5 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.设点 P 是函数 f(x)=sin ωx 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴的
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π 距离的最小值是 ,则 f(x)的最小正周期是________. 8 x 7.函数 f(x)=2sin 对于任意的 x∈R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为 4 ________. π? 8.(2010· 江苏)定义在区间? ?0,2?上的函数 y=6cos x 的图象与 y=5tan x 的图象的交点 为 P,过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sin x 的图象交于点 P2,则线段 P1P2 的长 为________. 三、解答题(共 38 分) 2cos4x-3cos2x+1 9.(12 分)(2011· 厦门月考)已知函数 f(x)= ,求它的定义域和值域,并 cos 2x 判断它的奇偶性.

π 10. (12 分)(2010· 福建改编)已知函数 f(x)=2sin(ωx+ )+a(ω>0)与 g(x)=2cos(2x+φ)+1 6 的图象的对称轴完全相同. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的单调递减区间; π (3)当 x∈[0, ]时,f(x)的最小值为-2,求 a 的值. 2

11.(14 分)(2010· 安徽合肥高三二模)已知向量 a=(sin x,2 3sin x),b=(2cos x,sin x), 定义 f(x)=a· b- 3. (1)求函数 y=f(x),x∈R 的单调递减区间; π (2)若函数 y=f(x+θ) (0<θ< )为偶函数,求 θ 的值. 2

答案 1.R

自主梳理 R

π {x|x≠kπ+ ,k∈ Z} [-1,1] [-1,1] R 2π 2π π 奇函数 偶函数 2 π π π 3 奇函数 [2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z) [2kπ+ ,2kπ+ π](k∈Z) [2kπ-π,2kπ](k∈Z) [2kπ, 2 2 2 2 π π 2kπ+π](k∈Z) (kπ- ,kπ+ )(k∈Z) 2 2 π π 2 . 2kπ + (k ∈ Z) 2kπ - (k ∈ Z) 3.2kπ(k ∈ Z) 2kπ + π(k ∈ Z) 4.(kπ , 0)(k ∈ Z) 2 2 ?kπ+π,0?(k∈Z) ?kπ,0?(k∈Z) 5.x=kπ+π(k∈Z) x=kπ(k∈Z) 2 ? ? ?2 ? 2 自我检测 1.C 2.D 3.D 4.D 5.A 课堂活动区 例 1 解题导引 求三角函数的定义域时,需要转化为三角不等式(组)求解,常常借助
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于三角函数的图象和周期解决, 求交集时可以利用单位圆, 对于周期相同的可以先求交集再 加周期的整数倍即可. 解 要使函数有意义,

? ?x>0, 则? tan x≥0, π ? ?k∈Z?, ?x≠kπ+2
0<x≤4, ? ? 得? π ? ?kπ≤x<kπ+2?k∈Z?. 所以函数的定义域为 π ? ? ?x|0<x< 或π≤x≤4?. 2 ? ? π 5π +2kπ, +2kπ?,k∈Z 变式迁移 1 ? 3 6 ? ? 解析 由题意得 1 cos x≤ ?1-2cos x≥0 2 ? ? ? , 1 ? ?2sin x-1>0 sin x> 2

1 2+log x≥0, 2

? ? ?

?3+2kπ≤x≤ 3 +2kπ,k∈Z 解得? π 5π ?6+2kπ<x< 6 +2kπ,k∈Z
π 5π ? 即 x∈? ?3+2kπ, 6 +2kπ?,k∈Z.

π





例 2 解题导引 求形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(其中 A≠0, ω>0)的函数的 单调区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把“ωx+φ (ω>0)”视 为一个“整体”;②A>0 (A<0)时,所列不等式的方向与 y=sin x(x∈R),y=cos x(x∈R)的单 调区间对应的不等式方向相同(反). π ? π 解 y=2sin? ?4-x?可看作是由 y=2sin u 与 u=4-x 复合而成的. π 又∵u= -x 为减函数, 4 π π ∴由 2kπ- ≤u≤2kπ+ (k∈Z), 2 2 π π π 即 2kπ- ≤ -x≤2kπ+ (k∈Z), 2 4 2 π 3π 得-2kπ- ≤x≤-2kπ+ (k∈Z), 4 4 π 3π? ? 即?-2kπ-4,-2kπ+ 4 ?(k∈Z)为 π ? y=2sin? ?4-x?的递减区间. π 3π 由 2kπ+ ≤u≤2kπ+ (k∈Z), 2 2
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π π 3π 即 2kπ+ ≤ -x≤2kπ+ (k∈Z), 2 4 2 5π π 得-2kπ- ≤x≤-2kπ- (k∈Z), 4 4 5π π ? 即? ?-2kπ- 4 ,-2kπ-4?(k∈Z)为 π ? y=2sin? ?4-x?的递增区间. π ? 综上可知,y=2sin? ?4-x?的递增区间为 ?-2kπ-5π,-2kπ-π?(k∈Z); 4 4? ? π 3π -2kπ- ,-2kπ+ ? (k∈Z). 递减区间为? 4 4? ? π ? 变式迁移 2 解 (1)由 y=sin? ?3-2x?, π? 得 y=-sin? ?2x-3?, π π π 由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ, 2 3 2 π 5π 得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 12 12 又 x∈[-π,π], 7 π 5 11 ∴-π≤x≤- π,- ≤x≤ π, π≤x≤π. 12 12 12 12 π 7 ? ? π 5 ? ? ? ∴函数 y=sin? ?3-2x?,x∈[-π,π]的单调递减区间为?-π,-12π?,?-12,12π? ,

?11π,π?. ?12 ?
π x? (2)函数 y=3tan? ?6-4?的周期 T= π

?-1? ? 4?

=4π.

π x? 由 y=3tan? ?6-4? x π? 得 y=-3tan? ?4-6?, π x π π 由- +kπ< - < +kπ 得 2 4 6 2 4 8 - π+4kπ<x< π+4kπ,k∈Z, 3 3 π x? 8 ? 4 ? ∴函数 y=3tan? ?6-4?的单调递减区间为?-3π+4kπ,3π+4kπ? (k∈Z). 例 3 解题导引 解决此类问题,首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求 出 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)的最值,再由方程的思想解决问题. π π π 2 解 ∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ π, 2 3 3 3 3 π ∴- ≤sin(2x- )≤1, 2 3

?a=12-6 3 ?2a+b=1 若 a>0,则? ,解得? ; ?- 3a+b=-5 ?b=-23+12 3
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?2a+b=-5 若 a<0,则? , ?- 3a+b=1 ?a=-12+6 3 解得? . ?b=19-12 3
综上可知,a=12-6 3,b=-23+12 3 或 a=-12+6 3,b=19-12 3. 变式迁移 3 解 ∵x∈R, ∴cos x∈[-1,1], ?a+b=1 ?a=2 ? ? 若 a>0,则? ,解得? ; ? ? ?-a+b=-3 ?b=-1
? ? ?a+b=-3 ?a=-2 若 a<0,则? ,解得? . ?-a+b=1 ?b=-1 ? ? π π 所以 g(x)=-sin(2x+ )或 g(x)=-sin(-2x+ ),周期为 π. 3 3 课后练习区

2π 4π 1.A [画出函数 y=sin x 的草图(图略),分析知 b-a 的取值范围为[ , ],故选 A.] 3 3 2.B [由题意知,函数的最小正周期为 π,则 ω=1, 故 f(x)= 3sin ωx-cos ωx π x- ?的单调增区间满足: =2sin? ? 6? π π π 2kπ- ≤x- ≤2kπ+ (k∈Z) 2 6 2 π 2π 解得 2kπ- ≤x≤2kπ+ .] 3 3 3.A 4.D π π π π π 3π 5.D [因为 y=sin x-cos x= 2sin(x- ),- ≤x- ≤ ,即- ≤x≤ ,满足题意, 4 2 4 2 4 4 所以函数 f(x)可以是-cos x.] π 6. 2 T π π 解析 依题意得 = ,所以最小正周期 T= . 4 8 2 7.4π x π 解析 由 f(x1)≤f(x)≤f(x2)知,f(x1)、f(x2)分别为 f(x)的最小值和最大值,而当 =2kπ- , 4 2 x π 即 x=8kπ-2π (k∈Z)时,f(x)取最小值;而 =2kπ+ ,即 x=8kπ+2π (k∈Z)时,f(x)取最大 4 2 值, ∴|x1-x2|的最小值为 4π. 2 8. 3 π 0, ?,解 解析 线段 P1P2 的长即为 sin x 的值,且其中的 x 满足 6cos x=5tan x,x∈? ? 2? 2 2 得 sin x= .所以线段 P1P2 的长为 . 3 3 π 9.解 由题意知 cos 2x≠0,得 2x≠kπ+ , 2
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kπ π 解得 x≠ + (k∈Z). 2 4 kπ π ∴f(x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠ + ,k∈Z}. 2 4 ……………………………………………………………………………………………(3 分) 2cos4x-3cos2x+1 又 f(x)= cos 2x 2 ?2cos x-1??cos2x-1? = 2cos2x-1 =cos2x-1=-sin2x, ……………………………………………………………………(6 分) 又∵定义域关于原点对称, ∴f(x)是偶函数. …………………………………………………………………………(8 分) 显然-sin2x∈[-1,0], kπ π 又∵x≠ + ,k∈Z, 2 4 1 ∴-sin2x≠- . 2 ∴原函数的值域为 1 1 ? ? ?y|-1≤y<- 或- <y≤0?.……………………………………………………………(12 分) 2 2 ? ? 10.解 (1)∵f(x)和 g(x)的对称轴完全相同, π ∴二者的周期相同,即 ω=2,f(x)=2sin(2x+ )+a(3 分) 6 2π ∴f(x)的最小正周期 T= =π.…………………………………………………………(4 分) 2 π π 3π (2)当 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 6 2 π 2π 即 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z)时,函数 f(x)单调递减, 6 3 故函数 f(x)的单调递减区间为 π 2π [kπ+ ,kπ+ ](k∈ Z).………………………………………………………………… (8 6 3 分) π π π 7π (3)当 x∈[0, ]时,2x+ ∈[ , ],…………………………………………………(10 分) 2 6 6 6 π π ∴2sin(2· + )+a=-2, 2 6 ∴a=-1.………………………………………………………………………………(12 分) 11.解 f(x)=2sin xcos x+2 3sin2x- 3 1-cos 2x =sin 2x+2 3· - 3 2 π? =sin 2x- 3cos 2x=2sin? ?2x-3? .………………………………………………………(4 分) π π 3π (1)令 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 5π 11π? 解得单调递减区间是? ?kπ+12,kπ+ 12 ?,k∈Z. ……………………………………………………………………………………………(8 分) π? (2)f(x+θ)=2sin? ?2x+2θ-3?. 根据三角函数图象性质可知,
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π? y=f(x+θ) ? ?0<θ<2?在 x=0 处取最值, π? ∴sin? 1, ?2θ-3?=± π π kπ 5π ∴2θ- =kπ+ ,θ= + ,k∈Z.……………………………………………………(12 3 2 2 12 分) π 5π 又 0<θ< , 解得 θ= .…………………………………………………………………(14 分) 2 12

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