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2013高考数学必考题型解答策略:三角函数


三角函数解答策略
命题趋势

该专题是高考重点考查的部分,从最近几年考查的情况看,主要考查三角函数的图象和性质、三角函 数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换、平面向量的线性运算、平面向量的 数量积、平面向量的平行与垂直,以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的 应用.该部分在试卷中一般是 2~3 个选择题

或者填空题,一个解答题,选择题在于有针对性地考查本专 题的重要知识点(如三角函数性质、平面向量的数量积等),解答题一般有三个命题方向,一是以考查三角 函数的图象和性质为主,二是把解三角形与三角函数的性质、三角恒等变换交汇,三是考查解三角形或者 解三角形在实际问题中的应用.由于该专题是高中数学的基础知识和工具性知识,在试题的难度上不大, 一般都是中等难度或者较为容易的试题.基于这个实际情况以及高考试题的相对稳定性,我们预测在 2012 年的高考中该部分的可能考查情况如下:(1)在选择题或者填空题部分命制 2~3 个试题,考查三角函数的 图象和性质、通过简单的三角恒等变换求值、解三角形、平面向量线性运算、平面向量的数量积运算等该 专题的重点知识中的 2~3 个方面.试题仍然是突出重点和重视基础,难度不会太大. (2)在解答题的前两题(一般是第一题)的位置上命制一道综合性试题,考查综合运用该部分知识分析解 决问题的能力,试题的可能考查方向如我们上面的分析.从难度上讲,如果是单纯的考查三角函数图象与 性质、解三角形、在三角形中考查三角函数问题,则试题难度不会大,但如果考查解三角形的实际应用, 则题目的难度可能会大一点,但也就是中等难度. 备考建议 由于该专题内容基础,高考试题的难度不大,经过一轮复习的学生已经达到了高考的要求,二轮复习 就是在此基础上进行的巩固和强化,在复习中注意如下几点: (1)该专题具有基础性和工具性,虽然没有什么大的难点问题,但包含的内容非常广泛,概念、公式、 定理很多,不少地方容易混淆,在复习时要根据知识网络对知识进行梳理,系统掌握其知识体系. (2)抓住考查的主要题型进行训练,要特别注意如下几个题型:根据三角函数的图象求函数解析式 或者求函数值,根据已知三角函数值求未知三角函数值,与几何图形结合在一起的平面向量数量积,解三 角形中正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合运用,解三角形的实际应用问题. (3)注意数学思想方法的应用,该部分充分体现了数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思 想(变换),在复习中要有意识地使用这些数学思想方法,强化数学思想方法在指导解题中的应用. 解答策略 1.三角函数恒等变形的基本策略。 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如 1 ? cos ? ? sin ? ? tan ? ? cot ? ? tan
2 2

?
4

等。

(2)项的分拆与角的配凑。 如分拆项: cos ? ? 2sin ? ? cos ? ? sin ? ? sin ? ? 1 ? sin ? ;
2 2 2 2 2 2

配凑角: ? =( ? ? ? )- ? , ? = ? ? ? - ? ? ? 等。 2 2 (3)降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 (4)化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切) 。
第 1 页(共 13 页)

(5)引入辅助角。asin ? +bcos ? = a ? b sin( ? + ? ),这里辅助角 ? 所在象限由 a、b 的符号确
2 2

定, ? 角的值由 tan ? =

b 确定。 a

(6)万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成 tan

? 的有理式。 2

2.证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。 (2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数 的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析” 。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。 典型例题 三角函数是中学数学的主体内容,是高考的重点,也是高考的热点,其考点主要包括:同角三角关系式 及诱导公式,三角函数的图象和性质,三角函数的化简求值,三角形中的三角函数,三角函数的最值及综合 应用。近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查,而重点转移对三角函数的图象与性质 的考查,对基础知识和基本技能的考查上来. 考点一 有关三角函数的概念和公式的简单应用 例 1:已知 ? ∈(

5 ? , ? ), sin ? = ,则 tan 2? = 5 2

【解析】?

5 2 5 5 ? ? cos a ? ? 1 ? sin 2 a ? ? 1 ? ( ) ? ? ? ∈( , ? ),sin ? =

2

5

5

5

sin a ? 则 tan ? = cos a

5 5 ??1 2 2 5 ? 5

1 2 ? (? ) 2 tan a 2 ? ?1 ? ? 4 故 tan 2? = ? 2 2 1 ? tan a 1 ? (? 1 ) 2 3 2 4


例 2:已知 tan

?
2

=2,则

6sin ? ? cos ? 的值为 3sin ? ? 2cos ?

? 2 ? 2? 2 ? ? 4 ; =2, ∴ tan ? ? ? 1? 4 2 3 1 ? tan 2 2 4 6(? ) ? 1 7 6sin ? ? cos ? 6 tan ? ? 1 3 所以 = = ? . 3sin ? ? 2cos ? 3 tan ? ? 2 3(? 4 ) ? 2 6 3
解∵ tan 【名师点睛】①给角求值问题,利用诱导公式找到给定角和常见特殊角的联系求出值;②对于给值求值的
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2 tan

?

问题的结构特点是“齐次式” ,求值时通常利用同角三角函数关系式,常数化为正弦和余弦的性质,再把 正弦化为正切函数的形式. 考点二 有关三角函数的性质问题 例 3: 已知函数 f ( x) ? 4cos x sin( x ? 上的最大值和最小值。 【解析】(Ⅰ)因为 f ( x) ? 4 cos x sin(x ? :

?

? ? ?? 求 (Ⅱ) f ( x) 在区间 ? ? , ? 求 ) ? 1.(Ⅰ) f ( x) 的最小正周期; 6 ? 6 4?

?
6

) ? 1 ? 4 cos x(

3 1 sin x ? cos x) ? 1 2 2

? 3 sin 2 x ? 2 cos2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ?
(Ⅱ)因为 ? 值 2;当 2 x ?

?
6

) 所以 f (x) 的最小正周期为 ?

?
6

?x? ??

?
4

, 所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

?
6

?
6

,即x ? ? 时, f ( x) 取得最小值 ?1 . 6
a 2 ? b 2 sin(? x ? ? )

?

2? ? ? ? . 于是,当 2 x ? ? ,即x ? 时, f (x) 取得最大 3 6 2 6

【名师点睛】对于形如 y ? a sin ? x ? b cos ? x 型,要通过引入辅助角化为 y ? ( cos ? =

a a 2 ? b2

, sin ? =

b a 2 ? b2

)的形式来求.

例 4:已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 邻两个交点之间的距离为

?
2

)的图象与 x 轴的交点中,相

x ? [ , ] ,求 f ( x) 的值域. 12 2 2? ? T ? 解(1)由最低点为 M ( , ?2) 得 A=2.由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 = ,即 T ? ? , 3 2 2 2 2? 2? 2? 2? 4? ?? ? ? 2 由点 M ( , ?2) 在图像上的 2sin(2 ? ? ? ) ? ?2,即sin( ? ? ) ? ?1 T ? 3 3 3 4? ? 11? ? ? ? 故 又 ? ? (0, ),?? ? , 故f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? ? ? 2k? ? , k ? Z ?? ? 2 k? ? 3 2 6 2 6 6 ? ? ? ? 7? ? ? ? (2)? x ? [ , ],      2 x ? ? [ , ? ] 当 2 x ? = ,即 x ? 时, f ( x) 取得最大值 2;当 12 2 6 3 6 6 2 6 ? 7? ? 即 x ? 时, f ( x) 取得最小值-1,故 f ( x) 的值域为[-1,2] 2x ? ? 6 6 2 【名师点睛】 求函数 y ? A sin(? x ? ? ) (或 y ? A cos(? x ? ? ) , y ?A a( ? ? ? )的单调区间(1)将 ? 或 t x ) n 化为正.(2)将 ? x ? ? 看成一个整体,由三角函数的单调性求解. ?x ? ?x 例 5:设函数 f ( x) ? sin( (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 与 ? ) ? 2cos 2 ?1 . 4 6 8 4 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时 y ? g ( x) 的最大值. 3
解: (Ⅰ) f ( x) = sin

? ?

2? ? ,且图象上一个最低点为 M ( (Ⅱ)当 , ?2) .(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; 3 2

?
4

x cos

?
6

? cos

?
4

x sin

?
6

? cos

?
4

x =

3 ? 3 ? sin x ? cos x 2 4 2 4

= 3 sin(

?

x? ) 4 3

?

第 3 页(共 13 页)

故 f ( x) 的最小正周期为 T =

2?

?

=8

4
(Ⅱ)解法一: 在 y ? g ( x) 的图象上任取一点 ( x, g ( x)) ,它关于 x ? 1 的对称点 (2 ? x, g ( x)) .由题设 条件,点 (2 ? x, g ( x)) 在 y ? f ( x) 的图象上,从而 g ( x) ? f (2 ? x) ? 3 sin[ = 3 sin[

?
2

?

?

x ? ] = 3 cos( x ? ) 4 3 4 3

?

?

?

(2 ? x) ? ] 4 3 3 ? ? ? 2? 当 0 ? x ? 时, ? x ? ? , 因此 y ? g ( x) 在区 4 3 4 3 3

?

?

间 [0, ] 上的最大值为 g max ? 3 cos

4 3

?
3

?

3 2

2 3 4 2 ? ? 故 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 y ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值由(Ⅰ)知 f ( x) = 3 sin( x ? ) 3 3 4 3


解法二:因区间 [0, ] 关于 x = 1 的对称区间为 [ , 2] ,且 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图象关于 x = 1 对称,

4 3

? 3 2 ? ? ? ? 4 . ? x ? 2 时, ? ? ? ? 因此 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 w.w g max ? 3 sin ? 6 2 3 6 4 3 6 3
【名师点睛】求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 的形式,进而结合

三角函数的性质求解,有时还要注意 ? x ? ? 的取值范围(2)将三角函数式化为关于 sin x , cos x 的二次函 数的形式,进而借助二次函数的性质求解. 考点三 三角函数的图象变换

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是( ). 4 ? 2 2 A. y ? 2 cos x B. y ? 2sin x C. y ? 1 ? sin(2 x ? ) D. y ? cos 2 x 4 ? ? ? 【解析】:将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 个单位,得到函数 y ? sin 2( x ? ) 即 y ? sin(2 x ? ) 4 2 4
例 6:将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移

? cos 2x 的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为 y ? 1 ? cos 2 x ? 2cos 2 x ,故选 A.
【名师点睛】平移变换:①沿 x 轴平移时,由 y ? f ( x) 变为 y ? f ( x ? ? ) 时,“左加右减”即 φ>0,左移; φ<0,右移.②沿 y 轴平移:由 y ? f ( x) 变为 y ? f ( x) ? k 时,“上加下减”,即 k >0,上移; k <0,下 1 移. 伸缩变换: ①沿 x 轴伸缩: y ? f ( x) 变为 y ? f (? x) 时, 由 点的纵坐标不变, 横坐标变为原来的 倍. ② |ω| 沿 y 轴伸缩:由 y ? f ( x) 变为 y ? Af ( x) ,点的横坐标不变,纵坐标变为原来的|A|倍. 例 7:设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ?

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且 f (?x) ? f (x) ,则

(A) f ( x) 在 ? 0,

? ?? ? ? 3? ? 单调递减 (B) f ( x) 在 ? , ? 2? ?4 4

? ? 单调递减 ?

(C) f ( x) 在 ? 0,

? ?? ? ? 3? ? ? 单调递增 (D) f ( x) 在 ? , ? 单调递增 ? 2? ?4 4 ?
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解析:函数解析式可化为 f ( x) ? 以, ? ?

? 2? 2 sin(?x ? ? ? ) ,? T ? ? ,?? ? 2 又因为该函数是偶函数,所 4 ?

?

? ?? ? f ( x) ? 2 cos2 x ,所以该函数在 ? 0, ? 上是减函数。故选 A 4 ? 2?

【名师点睛】三角函数的图像和性质是此题考查的主要内容,要确定该函数的单调性一般是先化简再化一 (化成一个角的正线性函数) ,然后借助图像解答。 考点四 三角恒等变换 例 8: 计算sin43 cos13 -sin13? cos 43? 的值等于(
? ?



A.

1 2

B.

3 3

C.

2 2

D.

3 2

【解析】原式= sin (43? -13? )= sin 30? =
2

1 ,故选 A。 2

例 9:已知函数 f ? x ? ? ?1 ? cot x ? sin x ? 2sin ? x ?

? ?

??

?? ? (1)若 tan ? ? 2 ,求 f ?? ? ; (2) ? sin ? x ? ? . 4? ? 4?

若 x??

?? ? ? ,求 f ? x ? 的取值范围. , ?12 2 ? ?
2

解: (1) f ( x) ? sin x ? sin x cos x ? cos 2 x ?

1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 1 1 2sin ? cos ? 2 tan ? 4 ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? ,由 tan ? ? 2 得 sin 2? ? ? ? , 2 2 2 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 5
cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ? 3 3 ? ? ? ,所以 f (? ) ? . 2 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 5 5
1 1 2 ? 1 (sin 2 x ? cos 2 x) ? ? sin(2 x ? ) ? , 2 2 2 4 2

cos 2? ?

(2)由(1)得 f ( x) ?

由 x??

? ? 2 ? ? ? 5? 5? ? ?? ? ? ,1? , , ? 得 2 x ? ? ? , ? ,所以 sin(2 x ? ) ? ? ? 4 ? 2 ? 4 ? 12 4 ? ?12 2 ? 2 ? 1 ? 1? 2 ? sin(2 x ? ) ? ? ?0, ?. 2 4 2 ? 2 ?


从而 f ( x ) ?

例 10:

3 ? sin 70? ?( 2 ? cos 2 10?
B.

A.

1 2

2 2

C. 2

D.

3 2

解:

3 ? sin 70? 3 ? cos 20? 3 ? (2cos 2 10? ? 1) ? ? ?2 2 ? cos 2 10? 2 ? cos 2 10? 2 ? cos 2 10?
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【名师点睛】给值求值、给值求角问题. ⑴发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异 分析” ;⑵寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系;⑶合理转化:选择恰当的公式,促使差 异的转化. 例 11:求值:

cos 400 ? sin 500 (1 ? 3 tan10?) sin 700 1 ? cos 400

cos10? ? 3 sin10? cos10? 【解析】原式= sin 70?? 2 cos 20? 2 cos(60? ? 10?) cos 40? ? sin 50?? cos10? = = 2 sin 70?? 2 cos 20? cos 40? ? sin 50??
【名师点睛】合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化. 例 12:已知 ? ? (0, 的值. 解:(Ⅰ)因为? ? ( , ? , cos ? ? 0 又cos 2? ? 2cos ? ? 1 ? ? )
2

?

? 7 7 ) , ? ? ( , ? ) , cos 2? ? ? , sin(? ? ? ) ? (Ⅰ) 求 cos ? 的值;(Ⅱ) 求 sin ? 2 2 9 9
7 1 ,所以cos ? ? ? 9 3

?

2

(Ⅱ)根据(Ⅰ ,得sin ? ? 1 ? cos ? ? )
2

2 2 ?8 分 3

而? ? ? ? (

? 3?
2 2 ,

) ,且sin(? ? ? ) ?

4 2 7 2 , cos(? ? ? ) ? ? 1 ? sin (? ? ? ) ? ? 1 9 9 7 9 1 3 4 2 2 2 1 )? ? 9 3 3

故sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? )sin ? = ? (? ) ? (?

【名师点睛】 善于观察条件中的角与欲求式中角的内在联系, 整体运用条件中角的函数值可使问题简化. 角 β α α +β 的常见变换:α +2β =(α +β )+β ,(α - )-( -β )= 2 2 2 考点五 解三角形及实际应用 例 13:在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 2asin A ? (2a ? c)sin B ? (2c ? b)sin C. (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值. 解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c
2

即 a ? b ? c ? bc 由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A 故
2 2 2 2 2 2

1 cos A ? ? ,A=120°6 分 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得: sin B ? sin C ? sin B ? sin(60? ? B) ?

3 1 cos B ? sin B ? sin(60? ? B) 2 2
解 垂

故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1。??12 分 【名师点睛】正弦定理、余弦定理都体现了三角形的边角关系, 题时要根据具体题目合理选用,有时还需要交替使用. 例 14:某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m) ,如示意图,
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直放置的标杆 BC 的高度 h=4m,仰角∠ABE= ? ,∠ADE= ? 。 (1)该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值,tan ? =1.24,tan ? =1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m) ,使 ? 与 ? 之差较大, 可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m,试问 d 为多少时, ? - ? 最大? [解析] (1)

H H h H ,同理: AB ? , BD ? 。 AD—AB=DB,故得 ? tan ? ? AD ? AD tan ? tan ? tan ?

H H h h tan ? 4 ?1.24 ,解得: H ? ? ? ? ? 124 。 tan ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1.24 ? 1.20
因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m。 (2)由题设知 d ? AB ,得 tan ? ?

H H h H ?h , , tan ? ? ? ? d AD DB d H H ?h ? tan ? ? tan ? hd h d d tan(? ? ? ) ? ? ? 2 ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? H ? H ? h d ? H ( H ? h) d ? H ( H ? h) d d d H ( H ? h) (当且仅当 d ? H ( H ? h) ? 125 ?121 ? 55 5 时,取等号) d? ? 2 H ( H ? h) , d

故当 d ? 55 5 时,tan(? ? ? ) 最大。 因为 0 ? ? ? ? ? 最大。故所求的 d 是 55 5 m。

?

2

, 0 ?? ?? ? 则

?

2

, 所以当 d ? 55 5 时, - ? ?

【名师点睛】将所求问题归结为一个或多个三角形问题中.运用解三角形的知识解决实际问题时,关键是 把题设条件转化为三角形中的已知元素,然后解三角形求之. 例 15:如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点.现位于 A 点北偏东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的 救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到达 D 点需要多长时间? 解:由题意知 AB=5(3+ 3)(海里),∠DBA=90°-60°=30°, ∠DAB=90°-45°=45°,∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°, DB AB 在△DAB 中,由正弦定理得 = , sin ∠DAB sin ∠ADB AB·sin ∠DAB 5? 3+ 3? ·sin 45° 5? 3+ 3? ·sin 45° ∴DB= = = sin ∠ADB sin 105° sin 45°cos 60°+cos 45°sin 60° 5 3? 3+1? = =10 3(海里),又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°, 3+1 2 BC=20 3(海里),在△DBC 中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos ∠DBC 1 30 =300+1 200-2×10 3×20 3× =900,∴CD=30(海里),则需要的时间 t= =1(小时). 2 30 答:救援船到达 D 点需要 1 小时. 【名师点睛】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步:(1)分析题意,准确理解题意,分清已 知与所求,尤其要理解题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等;(2)根据题意画 出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)将所求问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正、
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余弦定理等有关知识正确求解.(4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案. 突破训练

1、如果函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( (A)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

4? , 0) 中心对称,那么 ? 的最小值为 3

(D)

? 2

解: ?函数 y=3 cos ? 2 x+? ? 的图像关于点 ?

? 4? ? ,0 ? 中心对称 ? 3 ?

?2 ?

4? ? 13? ? ? ? ? k? ? ?? ? k? ? (k ? Z ) 由此易得 | ? |min ? .故选 A 3 2 6 6

2、已知函数 f ( x) ? sin(? x ? 只要将 y ? f ( x) 的图象 A 向左平移

?

4

)( x ? R,? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到函数 g ( x) ? cos? x 的图象,

? 个单位长度 8 ? C 向左平移 个单位长度 4

? 个单位长度 8 ? D 向右平移 个单位长度 4
B 向右平移

解析:由题知 ? ? 2 ,所以 f ( x ) ? sin(2 x ? 故选择 A。 3、下列关系式中正确的是(
0 0

?

) ? cos[ ? ( 2 x ? )] ? cos(2 x ? ) ? cos 2( x ? ) , 4 2 4 4 8

?

?

?

?


0

A. sin11 ? cos10 ? sin168 C. sin11 ? sin168 ? cos10
0 0
? ?

B. sin168 ? sin11 ? cos10
0 0

0

0

D. sin1680 ? cos100 ? sin110
? ? ? ? ?

解析: 因为 sin160 ? sin(180 ? 12 ) ? sin12 , cos10 ? cos(90 ? 80 ) ? sin 80 , 由于正弦函数 y ? sin x 在区间 [0 ,90 ] 上为递增函数,因此 sin11 ? sin12 ? sin 80 ,即 sin11 ? sin160 ? cos10 。 4、已知函数 f (x) ? 2cos 2 x ? sin 2 x ? 4cos x 。 (Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)求 f (x) 的最大值和最小值。 解: (Ⅰ) f ( ) ? 2cos
? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

3

2? ? ? 3 9 ? sin 2 ? 4cos ? ?1 ? ? ? 3 3 3 4 4
2

3

7 , x?R 3 2 7 因为 cos x ? [?1,1] ,所以,当 cos x ? ?1 时, f ( x) 取最大值 6;当 cos x ? 时, f ( x) 取最小值 ? 3 3 1 ? 5? 5、已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? ), x ? R (1)求 f ( ) 的值; 3 6 4
(Ⅱ) f ( x) ? 2(2cos x ? 1) ? (1 ? cos x) ? 4cos x = 3cos2 x ? 4cos x ?1 = 3(cos x ? ) 2 ?
2

2 3

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(2)设 ? , ? ? ?0,

? 10 6 ? ?? ? , f (3? ? 2 ) ? 13 , f (3 ? ?2 ?) ? 5 , 求 cos(? ? ? ) 的值. ? 2?
1 5 3 4

【解析】 (1) f ( ? ) ? 2sin( ? ? ?

5 4

?
6

) ? sin

?
4

?

2 2

? 10 1 ? ? 10 5 (2) f (3? ? ) ? ? 2sin[ (3? ? ) ? ] ? ? sin ? ? 2 13 3 2 6 13 13 6 1 ? 6 3 f (3? ? 2? ) ? ? 2sin[ (3? ? 2? ) ? ] ? ? cos ? ? 5 3 6 5 5 ? 12 4 ?? , ? ? [0, ] ? cos ? ? sin ? ? 2 13 5 12 3 5 4 16 ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 13 5 13 5 65
6、已知函数 f ( x) ? sin ? x ?

? ?

7? 4

3? ? ? ? ? cos ? x ? 4 ? ?

? ?, x ? R ?

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和最小值; (Ⅱ)已知 cos ? ? ? ? ? ? 求证: ? f ( ? ) ? ? 2 ? 0 .
2

4 4 ? , cos ? ? ? ? ? ? ? , 0 ? ? ? ? ? , 5 5 2

解析: (Ⅰ)∵ f ? x ? ? sin x ?

? ? 2 2? 2? 2 ? cos x ? ? ? ? 2 ? ? cos x ? ? ? 2 ? ? sin x ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ?

?? ? ? ? ? 2 ? sin x ? cos x ? ? 2sin ? x ? ? ,∴ f ? x ? 的最小正周期是 2? ,当 x ? ? 2k? ? ? k ? ? ? , 4? 4 2 ?
即 x ? 2 k? ?

?
4

? k ? ? ? 时,函数取得最小值-2.
?
2
,?

(Ⅱ)? 0 ? ? ? ? ?

?
2

? ? ?? ? 0 ,? ? ? ?? ? 0

4 3 4 3 ? cos ? ? ? ? ? ? , ? sin ? ? ? ? ? ? .? cos ? ? ? ? ? ? ? , ? sin ? ? ? ? ? ? . 5 5 5 5
sin 2 ? ? sin ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ?
2 ? ? ?? ?? 3 4 ? 4? ? 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 , ? f ? ? ? ? ? 2 ? ? 2sin ? ? ? ? ? ? 2 ? 4sin 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? 4 ?? 4? 5 5 ? 5? ? 5? ? ? ? 2

? ? ?? ? ? 2 ?1 ? cos ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ?2sin 2 ? ? 0 ,所以,结论成立. 2 ?? ? ?
7、设 a ? R, f ? x ? ? cos x ? a sin x ? cos x ? ? cos ?
2

? ?? ? ? x ? 满足 f (? ) ? f (0) ,求函数 f ( x) 在 3 ?2 ?

第 9 页(共 13 页)

? ? 11? ? ? 4 , 24 ? 上的最大值和最小值 ? ?
解析: f ? x ? ? a sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 由 f (?

a sin 2 x ? cos 2 x 2

?
3

) ? f (0) 得 ?

3 a 1 ? ? ? ?1 ,解得: a ? 2 3 2 2 2 ? ?

因此 f ? x ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin ? 2 x ?

??

? ?? ? ? ?? ? ? ? 当 x ? ? , ? 时, 2 x ? ? ? , ? , f ? x ? 为增函 6 ?3 2? 6? ?4 3?

数,当 x ? ?

? ? ? 3? ? ? ? 11? ? , ? 时, 2 x ? 6 ? ? 2 , 4 ? , f ? x ? 为减函数, ? 3 24 ? ? ?

所以 f ? x ? 在 ?

? ? ? ? 11? ? , ? 上的最大值为 f ( 3 ) ? 2 又因为 f ( 4 ) ? 3 , ? 4 24 ?

? 11? f? ? 24

? ? ? 2 所以 f ? x ? 在 ?

? ? 11? ? ? 11? ? ? 4 , 24 ? 上的最小值为 f ? 24 ? ? 2 ? ? ? ?
8、设函数 f ( x) ? sin x cos x ? 3 cos(? ? x) cos x( x ? R). (1)求 f ( x) 的最小正周期; (II)若函数

?? 3 ? ? y ? f ( x) 的图象按 b ? ? , ? 4 2 ? 平移后得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 y ? g ( x) 在 (0, 4 ] 上的最大值。 ? ? ?
解: (I) f ( x) ?

1 3 1 (1 ? cos 2 x) sin 2 x ? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 2 2 2

1 3 3 ? 3 2? ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? . 故 f ( x) 的最小正周期为 T ? ? ?. 2 2 2 3 2 2
(II)依题意 g ( x) ? f ( x) ?

?
4

?

3 ? ? 3 3 ? ? sin[2( x ? ) ? ] ? ? ? sin(2 x ? ) ? 3. 2 4 3 2 2 6

当 x ? [0,

?
4

]时, 2 x ?

?
6

? [?

? ?

? 3 3 ? . , ], g ( x) 为增函数,所以 g ( x)在[0, ] 上的最大值为 g ( ) ? 4 2 6 3 4
x ? ?) , x ? R , A ? 0 ,

9、已知函数 f ( x) ? A sin (

?
3

0 ?? ?

?
2

. y ? f ( x) 的部分图像,如图所示,

P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低点,点 P 的坐标为
(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及 ? 的值; (Ⅱ)若点 R 的坐标

(1, A) .[
为 (1, 0) ,

第 10 页(共 13 页)

2? ,求 A 的值. 3 2? ? ? ? 【解析】(Ⅰ) T ? : ? 6, ? 4 ? ? ? ? ? 3 2 6 3 ?PRQ ?
(Ⅱ)法一: 设点 Q( x0 , ? A) 由题意可知

?

3

x0 ?

?
6

?

3? 所以 Q(4, ? A) ,连结 PQ ,在 ? PRQ 中 2

1 RP 2 ? RQ 2 ? PQ 2 A2 ? 9 ? (9 ? 4 A2 ) 2? ? ?? ,由余弦定理得 cos ?PRQ ? ?PRQ ? 2 2 2 RP ? RQ 3 2A? 9 ? A
解得 A ? 3 又 A ? 0 所以 A ?
2

3

法二:设点 Q( x0 , ? A) 由题意可知

?
3

x0 ?

?
6

?

3? 所以 Q(4, ? A) ,在 ? PRQ 中 2

?PRQ ?

3 ?A 3 2? ? ? ?? ? A? 3 ,??xRQ ? , 则k RQ ? ? 4 ?1 3 3 3 6

?? sin ? ? 0, 求 ? 的 2 4 4 ? 值; (Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于 ,求函数 f ( x) 的解 3
10、已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |?

?

(I)若 cos

?

cos, ? ? sin

析式;并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x) 的图像象左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数。 解法一: (I)由 cos

?
4

cos ? ? sin

| ? |?

?
2

,?? ?

?
4

3? ? ? ? sin ? ? 0 得 cos cos ? ? sin sin ? ? 0 即 cos( ? ? ) ? 0 又 4 4 4 4

(Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ?

?
4

)

依题意,

2? ? T ? 又T ? , 故 ? ? 3,? f ( x) ? sin(3x ? ) ? ? 4 2 3

函数 f ( x) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为 仅当 3m ?

?? ? g ( x) ? sin ?3( x ? m) ? ? g ( x) 是偶函数当且 4? ?

?
4

? k? ?

?
2

(k ? Z )

即m ?

k? ? ? ? (k ? Z ) 从而,最小正实数 m ? 3 12 12 T ? 2? ? ,故 ? ? 3,? f ( x) ? sin(3x ? ) ? 又T ? 2 3 ? 4
? ?

解法二: (I)同解法一 (Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ?

?
4

) 依题意,

函数 f ( x) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g ( x) ? sin ?3( x ? m) ? 当 g (? x) ? g ( x) 对 x ? R 恒成立亦即 sin(?3x ? 3m ?

??

4?, ?

g ( x) 是偶函数当且仅

?

? sin(?3x) cos(3m ? ) ? cos(?3x)sin(3m ? ) 4 4 ? ? ? ? sin 3x cos(3m ? ) ? cos3x sin(3m ? ) 即 2sin 3x cos(3m ? ) ? 0 对 x ? R 恒成立。 4 4 4
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?

?

) ? sin(3x ? 3m ? ) 对 x ? R 恒成立。 4 4

?

? ? ? ? k? ? ? cos(3m ? ) ? 0 故 3m ? ? k? ? (k ? Z ) ? m ? ? (k ? Z ) 从而,最小正实数 m ? 4 12 4 2 3 12 ? ? 11、已知函数 f ( x) ? (1 ? cot x)sin 2 x ? m sin( x ? )sin( x ? ) . (1)当 m ? 0 时,求 f ( x) 在区间 4 4 ? 3? 3 (2)当 tan ? ? 2 时, f (? ) ? ,求 m 的值. [ , ] 上的取值范围; 8 4 5 1 1 2 ? 1 2 解: (1)当 m ? 0 时, f ( x) ? sin x ? sin x cos x
? 2 (sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 ? 2 sin(2 x ? 4 )? 2
又由 x ? [

? 3?
8 , 4

] 得 2x ?

?
4

? [0,

? 2 5? ,1] , ] ,所以 sin(2 x ? ) ? [? 4 2 4

从而 f ( x) ?

2 ? 1 1? 2 sin(2 x ? ) ? ? [0, ]. 2 4 2 2
2

(2) f ( x) ? sin x ? sin x cos x ?

m 1 ? cos 2 x 1 m cos 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 2 2

1 1 ? [sin 2 x ? (1 ? m) cos 2 x] ? 2 2 2sin ? cos ? 2 tan ? 4 由 tan ? ? 2 得 sin 2? ? ? ? , 2 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 5
cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ? 3 3 1 4 3 1 cos 2? ? ? ? ? ,所以 ? [ ? (1 ? m) ] ? ,得 m ? ?2 . 2 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 5 5 2 5 5 2
12、在 ? ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .已知 (Ⅱ)若 cos B ?

cos A-2 cos C 2c-a sin C .(Ⅰ)求 的值; = cos B b sin A

1 , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 4

【解析】 (Ⅰ)由正弦定理得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C,

cos A-2 cos C 2c-a 2sin C ? sin A = ,即 sin B cos A ? 2sin B cos C ? 2sin C cos B ? sin A cos B , = cos B b sin B sin C 即有 sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ) ,即 sin C ? 2sin A ,所以 ? 2. sin A c sin C b (Ⅱ) (Ⅰ) 由 知: ? ? 2 ,即 c ? 2a ,又因为 b ? 2 ,所以由余弦定理得: 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B , a sin A
所以 即 2 ? 4a ? a ? 2a ? 2a ?
2 2 2

15 1 1 ,解得 a ? 1 ,所以 c ? 2 ,又因为 cos B ? , 所以 sin B ? , ?ABC 的 故 4 4 4

面积为

15 15 1 1 = ac sin B ? ?1? 2 ? 4 4 2 2

13、如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量,已知 AB ? 50m , 于 于 BC ? 120m , A 处测得水深 AD ? 80m , B 处测得水深 BE ? 200m , 于 C 处测得水深 CF ? 110m ,求∠DEF 的余弦值。 解:作 DM // AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.
第 12 页(共 13 页)

DF ? MF 2 ? DM 2 ? 302 ? 1702 ? 10 198 , DE ? DN 2 ? EN 2 ? 502 ? 1202 ? 130 ,
EF ? ( BE ? FC ) 2 ? BC 2 ? 902 ? 1202 ? 150 . ... 分 ...6
在 ?DEF 中,由余弦定理,

cos ?DEF ?

DE 2 ? EF 2 ? DF 2 1302 ? 1502 ? 102 ? 298 16 . ? ? 2 DE ? EF 2 ?130 ?150 65

14、在 ? ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C. (I)求角 C 的大小; (II) 求 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.

解析: (I)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C. 因为 0 ? A ? ? , 所以 sin A ? 0.从而 sin C ? cos C.又 cos C ? 0, 所以 tan C ? 1, 则C ? (II)由(I)知 B ?

?
4

3? ? A. 于是 4

3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) 4 ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ). 6 3? ? ? 11? ? ? ? ?0 ? A ? ,? ? A ? ? , 从而当A ? ? , 即A ? 时, 4 6 6 12 6 2 3

?

?

? ? ? 5? 2sin( A ? ) 取最大值 2.综上所述, 3 sin A ? cos( B ? ) 的最大值为 2,此时 A ? , B ? . 6 4 3 12 ??? ???? ? ??? ???? ? 2 15、在 ?ABC ,已知 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC ,求角 A,B,C 的大小。
解:设 BC ? a, AC ? b, AB ? c 由 2 AB ? AC ?

??? ???? ?

??? ???? ? 3 3 AB ? AC 得 2bc cos A ? 3bc ,所以 cos A ? 2
2

又 A ? (0, ? ), 因此 A ?

?
6

2 2 由 3 AB ? AC ? 3BC 得 bc ? 3a , 于是 sin C ? sin B ? 3 sin A ?

??? ???? ?

3 所以 4

sin C ? sin(

5? 3 1 3 3 sin C ) ? ? C) ? , sin C ? ( cos C ? , 2 2 4 6 4
2

因此 2sin C ? cos C ? 2 3 sin C ? 3,sin 2C ? 3 cos 2C ? 0 ,既 sin(2C ? 由 A=

?
3

)?0

5? ? ? 4? ? ? ? ? 知0 ? C ? ,所以 ? , 2C ? ? ,从而 2C ? ? 0, 或 2C ? ? ? , ,既 C ? , 或 6 3 3 3 3 3 6 6 2? ? 2? ? ? ? 2? 。 C? ,故 A ? ,B ? ,C ? , 或 A ? , B ? ,C ? 3 6 3 6 6 6 3
第 13 页(共 13 页)


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