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《圆锥曲线定义》专题练习


《圆锥曲线定义》专题练习----QCL 1.已知椭圆

x y + = 1 (a > 5) 的两个焦点为 F1 , F2 ,且 | F1 F2 |= 8 ,弦 AB 过点 F1 ,则 2 25 a
) B.20
2 2

2

2

△ ABF2 的周长为( A.10

C.2 41

D. 4 41

2.过双曲线 x ? y = 8 的右焦点 F2 有一条弦 PQ,|PQ|=7,F1 是左焦点,那么△F1PQ 的周长 为( ) A.28 B. 14 ? 8 2 C. 14 + 8 2
2

D. 8 2
2

3. α 为常数,若动点 Q ( x, y ) 满足 ( x ? sin α ) + ( y ? cos α ) = x sin α + y cos α ? 1 ,则 点 Q 的轨迹所在的曲线是( )

A.椭圆

B.双曲线

C.抛物线

D.直线

4. 若动点 Q ( x, y ) 满足 ( x ? 1) 2 + ( y ? 1) 2 = 3 x ? 4 y + 5 , 则点 Q 的轨迹所在的曲线是 ( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线

P 若 5. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 是侧面 BB1C1C 内一动点, P 到直线 BC 与直线 C1 D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( )

(A)直线

(B)椭圆

(C) 双曲线

(D) 抛物线

6.已知 P 为正三棱锥 S ? ABC 的侧面 SBC 内一点,若 P 到底面 ABC 的距离与到点 S 的距离 相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( )

(A)直线

(B)椭圆

(C) 双曲线

(D) 抛物线

7.设双曲线的左、右焦点为 F1 , F2 ,左、右顶点为 M、N,若 ?PF1 F2 的一个顶点 P 在双曲线 上,则 ?PF1 F2 的内切圆与边 F1 F2 的切点的位置是 ( )

A.在线段 MN 的内部

B.在线段 F1M 的内部或 NF2 内部

C.点 N 或点 M
2

D.以上三种情况都有可能.

8. 已知抛物线 y=ax 的焦点为 F, 准线 l 与对称轴交于点 R, 过抛物线上一点 P (1, 作 PQ⊥l, 2) 垂足为 Q,则梯形 PQRF 的面积为( )

A.

B.

C.

D.

、F 9.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰 直角三角形,则椭圆的离心率是 ( ) (A)

2 2

(B)

2 ?1 2

(C) 2 ? 2

(D) 2 ? 1

10.过抛物线 y = ax 2 (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分 别为 p
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q,则

1 1 + 等于( p q
B.

) C. 4a D.

A.2a

1 2a
上一点

4 a
到它的左准线的

11. 如果双曲线 距离是 ___________

到它的右焦点的距离是 20,那么点

12.已知动圆 A 和圆 B:(x+3) +y =81 内切,并和圆 C:(x-3) +y =1 外切,求动圆圆心 A 的轨 迹方程_____________ _____

2

2

2

2

13.已知:定直线 l :x=-1 上一动点 M,定点 F(1,0) ,过 M 作 l 的垂线与线段 MF 的中垂 线交于点 P,求点 P 的轨迹方程

14.已知双曲线 的最小值

x2 y 2 ? = 1 的右焦点为 F,点 A(9,2),点 M 在双曲线上,则 5 MA + 3 MF 9 16

15.已知椭圆 小值

x2 y 2 + = 1 的右焦点为 F,点 A(1,1),点 M 在椭圆上,则 MA + MF 的最 25 9

16.P 为抛物线 y 2 = 16 x 的一点,点 A(1,10),则 P 到 A 的距离与 P 到直线 X=-5 的距离之 和的最小值

17. F1、F2 为椭圆

x2 y2 + 2 = 1 的焦点,其中 F2 与抛物线 y 2 = 12 x 的焦点重合,M 是两曲线的 2 a b
7 ,求该椭圆的方程 23

交点,且有 cos ∠MF1 F2 icos ∠MF2 F1 =

18.以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆,若与相应的准线有两个不同的交点 (1)求证:这个圆锥曲线必为双曲线。 (2)对于上述给定的双曲线来说,所截得的圆弧的度数为定值。

19.已知两个同心圆半径分别为 5 和 3,AB 为小圆的一定直径,求以大圆的切线为准线,且 过 A、B 两点的抛物线的焦点的轨迹方程。

20.已知 A、B、C 是直线 L 上的三点,且 AB = BC = 6 ,直线 L 为圆 O 切线,切点为 A, 过 B、C 作圆 O 异于 L 的两切线,切点分别为 D、E,设两切线交于点 P (1)求点 P 的轨迹方程

(2)过点 C 的直线 m 与点 P 的轨迹交于 M、N,且点 C 分 MN 所成的比为 2:3,求直线 m 的 方程

9.设抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的轴交准线于 E 点,经过焦点 F 的直线交抛物线P、Q(直线 PQ 不垂直于 X 轴) ,则 ∠FEP与∠QEF 的大小关系 A.前者比较大 B.后者比较大 C.相等 D.不确定

17.设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点.又 M 是其 准线上一点. 试证:直线 MA、MF、MB 的斜率成等差数列.

18.如图,已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0)、F2(4,0),过点 F2 并垂 直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不 同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件 |F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列
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y
A B C F1

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o

F2 B'

x

(1)求该弦椭圆的方程;

(2)求弦 AC 中点的横坐标;
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(3)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m,求 m 的取值范围

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命题意图 本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识,一、二问较简单,第三问巧妙 地借助中垂线来求参数的范围,设计新颖,综合性,灵活性强
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知识依托







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椭圆的定义、等差数列的定义,处理直线与圆锥曲线的方法

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错解分析 量间的关系
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第三问在表达出“k=

25 y0”时,忽略了“k=0”时的情况,理不清题目中变 36

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技巧与方法 第一问利用椭圆的第一定义写方程; 第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径 公式)求解,第三问利用 m 表示出弦 AC 的中点 P 的纵坐标 y0,利用 y0 的范围求 m 的范围
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(1)由椭圆定义及条件知,2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,又 c=4,所以 b= a 2 ? c 2 =3

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故椭圆方程为

x2 y2 + =1 25 9

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9 25 4 因为椭圆右准线方程为 x= ,离心率为 , 5 4 5 4 25 4 25 根据椭圆定义,有|F2A|= ( -x1),|F2C|= ( -x2), 5 4 5 4
(2)由点 B(4,yB)在椭圆上,得|F2B|=|yB|=
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由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得

4 25 4 25 9 ( -x1)+ ( -x2)=2× ,由此得出 5 4 5 4 5
设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0=







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x1+x2=8

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x1 + x 2 =4 2
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(3)解法一







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由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上

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得?

?9 x12 + 25 y12 = 9 × 25 ? 2 2 ?9 x2 + 25 y2 = 9 × 25 ?

① ②

①-②得 9(x12-x22)+25(y12-y22)=0,

即 9× (

x1 + x 2 y + y2 y ? y2 ) + 25( 1 )?( 1 ) =0(x1≠x2) 2 2 x1 ? x 2



x1 + x 2 y + y2 y ? y2 1 = x0 = 4, 1 = y0 , 1 = ? (k≠0) 2 2 x1 ? x 2 k 1 )=0 (k≠0) k

代入上式,得 9×4+25y0(-

即 k=

25 y0(当 k=0 时也成立) 36

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由点 P(4,y0)在弦 AC 的垂直平分线上,得 y0=4k+m, 所以 m=y0-4k=y0-

25 16 y0=- y0 9 9

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由点 P(4,y0)在线段 BB′(B′与 B 关于 x 轴对称)的内部,

得-

9 9 16 16 <y0< ,所以- <m< 5 5 5 5
源 源 源

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解法二

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因为弦 AC 的中点为 P(4,y0),所以直线 AC 的方程为

y-y0=-

1 (x-4)(k≠0) k
x2 y2 + =1,得 25 9



将③代入椭圆方程

(9k2+25)x2-50(ky0+4)x+25(ky0+4)2-25×9k2=0 所以 x1+x2=

50( k 0 + 4) 25 =8,解得 k= y0 2 36 9k + 25
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(当 k=0 时也成立)

(以下同解法一)

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证明:依题意直线 MA、MB、MF 的斜率显然存在,并分别设为 k1,k2,k3 点 A、B、M 的 坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),M(-

p p p ,m),由“AB 过点 F( ,0)”得 lAB:x=ty+ , 2 2 2

将上式代入抛物线 y2=2px 中得:y2-2pty-p2=0, 可知 y1·y2=-p2, 又依“y12=2px1 及 y22=2px2”可知

x1 +

p y12 p 1 p y2 p p4 p p = + = ( y12 + p 2 ),x2 + = 2 + = + = 2 ( y12 + p 2 ) 2 2 2p 2 2p 2 2 p 2 2 py1 2 2 y1 y1 ? m y2 ? m 2 p 2 ( y1 ? m) + = + p p p ( y12 + p 2 ) x1 + x2 + 2 2 2 y12 ( ? p2 ? m) y1 2m =? 2 2 p ( y1 + p ) p

因此k1 + k2 =

而k = 3

0?m m = ? ;故 k1+k2=2k3,即直线 MA、MF、MB 的斜率成等差数列. p p p ? (? ) 2 2


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