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【解密高考】2015高考数学(人教A版)一轮作业:8-7立体几何中的向量方法(理)]


时间:45 分钟 班级:________ 姓名:________

满分:100 分 学号:________ 得分:________

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,在下列四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) π 1.已知二面角 α-l-β 的大小是3,m,n 是异面直线,且 m⊥α,n⊥β,则 m,n

所成的角为( 2π A. 3 π C.2 解析:∵m⊥α,n⊥β, ∴异面直线 m,n 所成的角与二面角 α-l-β 相等或互补. π 又∵异面直线所成角的范围为(0,2], π ∴m,n 所成的角为3. 答案:B → → → → → 2.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3), 且 BP⊥平面 ABC,则实数 x,y,z 分别为( 33 15 A. 7 ,- 7 ,4 40 C. 7 ,-2,4 → → 解析:∵AB⊥BC, → → ∴AB· BC=0,即 3+5-2z=0,得 z=4, → → → → 又 BP⊥平面 ABC,∴BP⊥AB,BP⊥BC, 40 15 B. 7 ,- 7 ,4 40 D.4, 7 ,-15 ) ) π B.3 π D.6

??x-1?+5y+6=0, 则? ?3?x-1?+y-12=0, 答案:B

40 ? ?x= 7 , 解得? 15 y =- ? ? 7.

3.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 AA1 的中点,则异 面直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为( 10 A. 10 3 10 C. 10 1 B.5 3 D.5 )

解析:如图,以 D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.

设 AA1=2AB=2,则 B(1,1,0),E(1,0,1),C(0,1,0),D1(0,0,2), → → ∴BE=(0,-1,1),CD1=(0,-1,2), → → 1+2 3 10 ∴cos〈BE,CD1〉= = 10 . 2· 5 答案:C

4.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 a,M,N 分别为 A1B 2a 和 AC 上的点,A1M=AN= 3 ,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 )

解析:分别以 C1B1,C1D1,C1C 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标 2 系.∵A1M=AN= 3 a,

2 a 2 2 ∴M(a,3a,3),N(3a,3a,a). → a 2 ∴MN=(-3,0,3a). 又 C1(0,0,0),D1(0,a,0), → ∴C1D1=(0,a,0). → → → → ∴MN· C1D1=0.∴MN⊥C1D1. → ∵C1D1是平面 BB1C1C 的法向量,且 MN?平面 BB1C1C, ∴MN∥平面 BB1C1C. 答案:B

5.如图,平面 ABCD⊥平面 ABEF,四边形 ABCD 是正方形,四边形 ABEF 1 是矩形,且 AF=2AD=a,G 是 EF 的中点,则 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值 为 ( 6 A. 6 6 C. 3 3 B. 3 2 D. 3 )

解析:如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,

则 A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0), → → AG=(a,a,0),AC=(0,2a,2a), → BG=(a,-a,0). 设平面 AGC 的法向量为 n1=(x1,y1,1), → ? ?AG· n1=0, 由? → ?AC ? · n1=0 ?ax1+ay1=0, ?x1=1, ?? ?? ?2ay1+2a=0 ?y1=-1

?n1=(1,-1,1). → |BG· n1| 2a 6 sinθ= = =3. → 2a× 3 |BG||n1| 答案:C 6.过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD,若 AB=PA,则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为( A.30° C.60° )

B.45° D.90°

解析:建立如图所示空间直角坐标系,设 AB=PA=1,知 A(0,0,0),B(1,0,0), D(0,1,0),C(1,1,0),P(0,0,1)

由题意,AD⊥平面 ABP,设 E 为 PD 的中点,连接 AE,则 AE⊥PD, 又∵CD⊥平面 PAD,∴AE⊥CD, 又 PD∩CD=D, ∴AE⊥平面 CDP.

→ → 1 1 ∴AD=(0,1,0),AE=(0,2,2) → → 分别是平面 ABP,平面 CDP 的法向量,而〈AD,AE〉=45° , ∴平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为 45° . 答案:B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后 的横线上) 7.(2014· 南通模拟)设平面 α 与向量 a=(-1,2,-4)垂直,平面 β 与向量 b =(2,3,1)垂直,则平面 α 与 β 的位置关系是________. 解析:由题知 a,b 分别是平面 α,β 的法向量, 又 a· b=(-1)×2+2×3+(-4)×1=0, ∴a⊥b,∴α⊥β. 答案:垂直 8.正四棱锥 S-ABCD 中,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱 SD 的中点, 且 SO=OD,则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是________. 解析:如图,以 O 为原点建立空间直角坐标系 O-xyz.

设 OD=SO=OA=OB=OC=a, a a 则 A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P(0,-2,2). → 则CA=(2a,0,0), → a a AP=(-a,-2,2), → CB=(a,a,0). 设平面 PAC 的法向量为 n,可求得 n=(0,1,1),

→ → CB· n a 1 则 cos〈CB,n〉= = =2. 2 → 2a · 2 |CB|· |n| → ∴〈CB,n〉=60° , ∴直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 90° -60° =30° . 答案:30°

9.如图,矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,沿对角线 BD 将△ABD 折起, 使 A 点在平面 BCD 内的射影 O 落在 BC 边上, 若二面角 C-AB-D 的大小为 θ, 则 sinθ 的值等于________. 9 7 3 解析:由题意可求得 BO=4,OC=4,AO=4 7,

7 建立空间直角坐标系如图,则 C(4,0,0), 9 3 7 B(-4,0,0),A(0,0,4 7),D(4,3,0), → → 9 3 BD=(4,3,0),BA=(4,0,4 7). 设 m=(x,y,z)是平面 ABD 的一个法向量. 4x+3y=0, ? ? 则?9 3 x+ 7z=0, ? ?4 4 28 取 z=-3 7,x=7,y=- 3 ,

28 则 m=(7,- 3 ,-3 7). → 又CD=(0,3,0)是平面 ABC 的一个法向量,

→ → -28 m· CD 7 ∴cos〈m,CD〉= = =- 4 , → 16 7 |m|· |CD| 3× 3 sinθ= 3 答案:4 7 3 1-?- 4 ?2=4.

10.(2014· 临沂期末)如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=1,AA1=2, 则二面角 C1-AB-C 的余弦值为________. 解析:如图建立空间直角坐标系,

→ → 3 1 则 A(0,0,0),AC1=(0,1,2),AB=( 2 ,2,0) 设 n=(x,y,z)为平面 ABC1 的法向量

? 23x+1 2y=0, 则? ?y+2z=0.
2 3 取 n=(- 3 ,2,-1), 取 m=(0,0,1),作为平面 ABC 的法向量. 则 cos〈m,n〉=- 1 57 =- 19 . 19 3

57 ∴二面角 C1-AB-C 的余弦值为 19 .

57 答案: 19

三、解答题(本大题共 3 小题,共 40 分,11、12 题各 13 分,13 题 14 分, 写出证明过程或推演步骤) 11.(2014· 伽师二中二模)如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB= 6,PA⊥ PB,AB⊥BC,∠BAC=30° ,平面 PAB⊥平面 ABC. (1)求证:PA⊥平面 PBC; (2)求二面角 P-AC-B 的余弦值; (3)求异面直线 AB 和 PC 所成角的余弦值. 解:由于平面 PAB⊥平面 ABC,且 PA=PB, ∴以 AB 的中点 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 ∵PA=PB= 6,∴AB=2 3,PO= 3. 又∠BAC=30° ,AB⊥BC,∴BC=2, ∴A(0,- 3,0),P(0,0, 3),B(0, 3,0),C(2, 3,0). → → (1)证明:∵PA=(0,- 3,- 3),BC=(2,0,0), → → ∴PA· BC=0, ∴PA⊥BC.又∵PA⊥PB,PB∩BC=B, ∴PA⊥平面 PBC. (2)作 OM⊥AC 于点 M,连结 PM. 又∵PO⊥平面 ABC,∴PM⊥AC, ∴∠PMO 是二面角 P-AC-B 的平面角. AO 3 3 3 在 Rt△AMO 中,OM=AO· sin30° = 2 = 2 ,∴M(4,- 4 ,0), → → 3 3 3 3 从而MO=(-4, 4 ,0),MP=(-4, 4 , 3).

→ → → → MO· MP 5 ∴cos〈MO,MP〉= =5. → → |MO||MP| → → (3)∵AB=(0,2 3,0),PC=(2, 3,- 3), → → → → AB· PC 30 ∴cos〈AB,PC〉= = 10 . → → |AB||PC|

12.(2014· 南昌一模)如图所示,在底面是矩形的四棱锥,P-ABCD 中,PA ⊥底面 ABCD,PA=AB=1,BC=2. (1)求证:平面 PDC⊥平面 PAD; (2)若 E 是 PD 的中点,求异面直线 AE 与 PC 所成角的余弦值; (3)在 BC 边上是否存在一点 G,使得 D 点到平面 PAG 的距离为 1.若存在, 求出 BG 的值;若不存在,请说明理由.

解:如图所示,以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴, AP 所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系, 1 则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),E(0,1,2),P(0,0,1). → → → → → 1 ∴CD=(-1,0,0),AD=(0,2,0),AP=(0,0,1),AE=(0,1,2),PC=(1,2,- 1), (1)证明: → → → → CD· AD=0?CD⊥AD

? ? → → → →? CD· AP=0?CD⊥AP ? ? AP∩AD=A

CD?平面PCD ? ??平面 PDC⊥平面 PAD. ?CD⊥平面PAD?

→ → → → AE· PC (2)∵cos〈AE,PC〉= = → → |AE||PC| 30 余弦值为 10 .

1 2-2 1 1+4× 6

30 = 10 ,∴AE 与 PC 所成角的

(3)假设 BC 边上存在点 G 满足题设条件,令 BG=x,则 G(1,x,0),作 DQ ⊥AG, 又∵PA⊥DQ,PA∩AG=A,则 DQ⊥平面 PAG,即 DQ=1. → → → → → ∵2S△ADG=S 矩形 ABCD, ∴|AG|· |DQ|=|AB|· |AD|=2, ∴|AG|=2, 又 AG= x2+1, 则 x= 3<2, 故存在点 G,当 BG= 3时,点 D 到平面 PAG 的距离为 1. 13.(2014· 延边质检)如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,△ACD 为等边三角形,AD=DE=2AB,F 为 CD 的中点.

(1)求证:AF∥平面 BCE; (2)求证:平面 BCE⊥平面 CDE; (3)求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值. 解法一: (1)证明:取 CE 的中点 G,连结 FG、BG. 1 ∵F 为 CD 的中点,∴GF∥DE 且 GF=2DE. ∵AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,

∴AB∥DE,∴GF∥AB. 1 又 AB=2DE,∴GF=AB.

∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF∥BG. ∵AF?平面 BCE,BG?平面 BCE, ∴AF∥平面 BCE. (2)证明:∵△ACD 等边三角形,F 为 CD 的中点, ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面 ACD,AF?平面 ACD,∴DE⊥AF. 又 CD∩DE=D,故 AF⊥平面 CDE. ∵BG∥AF,∴BG⊥平面 CDE. ∵BG?平面 BCE, ∴平面 BCE⊥平面 CDE. (3)在平面 CDE 内,过 F 作 FH⊥CE 于 H,连 BH. ∵平面 BCE⊥平面 CDE,∴FH⊥平面 BCE. ∴∠FBH 为 BF 和平面 BCE 所成的角. 设 AD=DE=2AB=2a, 2 则 FH=CF· sin45° = 2 a, BF= AB2+AF2= a2+? 3a?2=2a, FH 2 Rt△FHB 中,sin∠FBH= BF = 4 . 2 ∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为 4 . 解法二:设 AD=DE=2AB=2a,建立如图所示的坐标系 A—xyz,

则 A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a, 3a,0),E(a, 3a,2a). 3 3 ∵F 为 CD 的中点,∴F(2a, 2 a,0). → 3 → → 3 (1)证明:AF=(2a, 2 a,0),BE=(a, 3a,a),BC=(2a,0,-a).

→ 1 → → ∵AF=2(BE+BC),AF?平面, ∴AF∥平面 BCE. → 3 → → 3 (2)证明:∵AF=(2a, 2 a,0),CD=(-a, 3a,0),ED=(0,0,2a), → → → → ∴AF· CD=0,AF· ED=0, → → → → ∴AF⊥CD,AF⊥ED. ∴AF⊥平面 CDE,又 AF∥平面 BCE, ∴平面 BCE⊥平面 CDE. (3)设平面 BCE 的法向量为 n=(x,y,z), → → 由 n· BE=0,n· BC=0, 可得 x+ 3y+z=0,2x-z=0,取 n=(1,- 3,2). → 3 3 又BF=(2a, 2 a,-a), 设 BF 和平面 BCE 所成的角为 θ, → |BF· n| 2a 2 则 sinθ= = =4. → 2a· 2 2 |BF|· |n| 2 ∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为 4 .


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