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对数函数对数的运算性质


第二章

基本初等函数(Ⅰ)

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基本初等函数(Ⅰ)

一、计算 ①lg100,lg0.1与lg(100×0.1);

>
②log243,log225与log2(43×25);
27 ③log93,log927 与 log9 ; 3 ④log 2,log 16 与 log
2 2 1 1 2 2 116
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2 1 ⑤lg 100, lg100 与 lg10 3. 3

3

观察分析以上计算结果,你发现了什么?

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基本初等函数(Ⅰ)

本节重点:对数的运算法则
本节难点:对数运算法则中条件的掌握.
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基本初等函数(Ⅰ)

1.要准确应用对数的运算法则,关键是①注意用文字
语言叙述法则.②注意指数运算与对数运算性质的比 较.③注意各字母的允许取值范围. 2.指数与对数运算性质对比表
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基本初等函数(Ⅰ)

[例1]

用logax,logay,logaz表示:
2

(1)loga(xy );(2)loga(x y);(3)loga
[解析]

3

x yz2.

(1)loga(xy2)=logax+logay2=logax+2logay; 1 y=logax+2logay;

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(2)loga(x y)=logax+loga 3

(3)loga

x 1 x 1 1 2 = log = (logax-loga(yz ))= (logax yz2 3 a yz2 3 3

-logay-2logaz).

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基本初等函数(Ⅰ)

用logax、logay、logaz表示下列各式: x (1)loga(x y ); (2)loga . yz [解析] (1)loga(x3y5)=logax3+logay5
3 5
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=3logax+5logay; x (2)loga =loga x-loga(yz) yz =logax2-(logay+logaz) 1 = logax-logay-logaz. 2
1

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[例2] 计算lg22+lg4·lg50+lg250. [分析] 注意应用lg2+lg5=1.

[解析] 原式=lg22+2lg2(1+lg5)+(1+lg5)2
=(lg2+1+lg5)2=22=4.

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计算: (1)lg 10; (2)lg4+lg25. 3
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[解析]

1 1 (1)lg 10= lg10= . 3 3 3

(2)lg4+lg25=lg(4×25)=lg100=2.

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[例3] (1)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值; (2)已知10a=2,10b=3,求1002a-b的值.

[ 分析 ]
[ 解析 ]

解题的关键是将指数式与对数式互化,然后
(1) 因为 loga2 = m , loga3 = n ,所以 am = 2 , an
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再进行计算. =3,则a2m+n=(am)2·an=4×3=12. (2)∵10a=2,10b=3,∴lg2=a,lg3=b.
则 100
2a-b 4 4 lg 2 lg =100 3=(10 ) 3

=100

2lg2-lg3

4 ?4? 16 lg 2 2 =(10 3) =? ? = . 3 9

? ?

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总结评述:在指对互化及运算中,要注意利用定义、

性质.尤其要注意条件与结论的关系.

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若ln3=k,ln5=s,则ek-2s=________.
3 [答案] 25
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[解析]

由条件知ek=3,es=5,

k e 3 k-2s ∴e = s 2= . (e ) 25

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[例4] [分析]

已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45的值. 关键是将45用2与3的幂积表示;再运用对数的
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运算法则求解.

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基本初等函数(Ⅰ)

[解析]

1 1 90 解法 1:lg 45=2lg45= 2lg 2

1 = (lg9+lg10-lg2) 2 1 1 1 = (2lg3+1-lg2)=lg3+ - lg2 2 2 2 =0.4471+0.5-0.1505=0.8266. 1 1 解法 2:lg 45=2lg45= 2lg(5×9) 1 1 =2(lg5+2lg3)=2(1-lg2+2lg3) 1 1 =2-2lg2+lg3=0.8266.
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已知lgx=-2.2219,lg2=0.3010,lg3=0.4771,则x=

________.
[答案] 0.006 [解析] lgx=-2.2219=-3+0.7781 =-3+0.3010+0.4771 =lg10-3+lg2+lg3=lg0.006,∴x=0.006.

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[例 5]

x 已知 lgx+lgy=2lg(x-2y),求 log 2 的值 y

[错解] ∵lgx+lgy=2lg(x-2y), ∴xy=(x-2y)2※,即x2-5xy+4y2=0.

∴(x-y)(x-4y)=0.解之得x=y或x=4y.
x x ∴ =1 或 =4. y y x x ∴log 2 =log 21=0 或 log 2 =log 24=4. y y

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基本初等函数(Ⅰ)

[辨析] 在对数式的变形过程中,变形前后字母的取 值范围会发生变化,这时一定要通过限制条件来保证变形

的等价性.本题中,去掉对数符号后,x>0,y>0,x-2y>0,
这些条件在※式中是体现不出来的.故应添上或在最后进 行检验.
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[正解]

∵lgx+lgy=2lg(x-2y),∴xy=(x-2y)2,即x2

-5xy+4y2=0.

∴(x-y)(x-4y)=0.解之得x=y或x=4y.
∵x>0,y>0,x-2y>0,∴x=y应舍去.
x x =4.∴log 2 =log 24=4. y y

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一、选择题 1.下列各式错误的是 1 ①log10100=-2
②log3 3 1 3=3

(

)
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1 ③loga2+loga2=0(a>3) ④log318-log32=3 1 ⑤log104-log1025=-2 ⑥2log510+log50.25=2

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A.④ [答案] A

B.⑤

C.⑥

D.全错

[解析] 显然①②③成立;
18 ④式左边=log3 2 =log39=2≠3,故④式不成立; 1 1 ⑤式左边=log10 =log10100=-2, 4×25 ⑥式左边=log5102+log50.25=log5(100×0.25)= log525=2,故选A.
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2.已知lga,lgb是方程2x2-4x+1=0的两个根, 则lg b的值是
2a

(

)
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A.4 [答案] C
[解析]

B.3

C.2

D.1

1 2 a 由题意知lga+lgb=2,lgalgb= 2 ,则lg b =

(lga-lgb)2=(lga+lgb)2-4lgalgb=4-2=2.

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二、填空题 3.计算: (1)lg5×lg20+(lg2)2=________; 1 32 4 (2) lg - lg 8+lg 245=________; 2 49 3
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基本初等函数(Ⅰ)

[答案]
[ 解析 ]

1 5 2 (1)1 (2)2 (3) 2 (4)72
(1) 原 式= lg5×(2lg2 + lg5) + (lg2)2 = (lg5)2 +
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2lg2×lg5+(lg2)2=(lg5+lg2)2=(lg10)2=1. 1 1 (2)原式=2(5lg2-2lg7)-2lg2 +2(lg5+2lg7) 5 1 1 1 =2lg2-2lg2+ 2lg5= 2(lg2+lg5)= 2.

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基本初等函数(Ⅰ)

三、解答题 4 . ( 河南豫东三校 2009 ~ 2010 高一期末 ) 若 0≤x≤2 ,求

函数y=
[解析]

-3×2x+5的最大值和最小值.
令t=2x(0≤x≤2),则1≤t≤4,
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12 1 1 2 y=2t -3t+5=2(t-3) +2, 又对称轴为t=3∈[1,4]. 1 2 ∴函数y= 2 t -3t+5在[1,3]上是减函数,在[3,4]上是 增函数.

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1 当t=3,即x=log23时,y最小=2, 5 当t=1,即x=0时,y最大=2. 5 综上知,当x=0时,函数的最大值是 2 ,当x=log23 1 时,函数的最小值是 . 2
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