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湖北省安陆市第一高级中学2014-2015学年高一(下)5月联考模拟数学试卷


安陆一中 2014—2015 学年度第二学期高一年级数学 五月联考模拟试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的 1. 数列

5 7 9 3 ,? , ,? , ?的一个通项公式为 2 4 8 16





/>2n ? 1 2n ? 1 B. an ? (?1)n ? n n 2 2 n 2 ? 1 2n ? 1 C. an ? (?1) n ?1 ? n D. an ? (?1)n ?1 ? n 2 2 2. 等差数列{an}中, a2 + a8 =16, 则{an}的前 9 项和为

A. an ? ( ?1) n ?

( 正 确 D.72 的

) 是

3 (

A.56 B. 96 C.80 . 下 列 命 题 中 ) A.两两相交的三条直线共面 B.两条相交直线上的三个点可以确定一个平面 C.梯形是平面图形 D.一条直线和一个点可以确定一个平面 . 数 列 {an} 满 足 a1=0 ,
an ?1 ?

4

an ? 2 5 an ? 2 4





a2015 ?

( A.0 5

) B.

4 3

C.1

D.2 数 是

. 下 列 命 题 中 正 确 的 个 ( ) (1)空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等 (2)若直线 l 与平面 ? 平行,则直线 l 与平面 ? 内的直线平行或异面 (3)夹在两个平行平面间的平行线段相等 (4)垂直于同一条直线的两条直线平行 A.0 B.1 C.2 D.3 . ( 已 ) 知
a?0

6









42x 2 ? ax ? a 2 ? 0









a a A. ( , ? ) 7 6
①BM 与 ED 平行 ③CN 与 BM 成 60? 角 A.①②③ C.③④

a a B. ( ? , ) 6 7

a 2a C. ( , ? ) 7 7
N D

D. ?

7.如右图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中 ②CN 与 BE 是异面直线 ④DM 与 BN 是异面直线 )
E

C

M

以上四个结论中,正确结论的序号是( B.②④ D.①③④

A

B F

4 8、已知某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( ) 8π 10 π A. B. 3π C. 3 3 2x-y+1>0, ? ? 9.设关于 x,y 的不等式组?x+m<0, ? ?y-m>0. 表示的平面区域内存在点 P(x0,y0) ,满足 x0-2y0=2,则 m 的取值范围是( ) 4 1 A. (-∞,3) B. (-∞,3) 2 5 C. (-∞,-3) D. (-∞,-3) 俯视图 2 4 D. 6π 2 正视图 2 侧视图

1 1 1 1 1 1 10. 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? ? ? ? 10 ) 的值为 2 2 4 2 4 2
A. 18 ?



) D. 18 ?

1 29

B. 20 ?

1 210

C. 22 ?

1 211

1 210

11. 正项数列{an}, a1=1, 前 n 项和 Sn 满足 Sn ? Sn ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? 2 Sn ? Sn ?1 (n ? 2) , 则 a10 ? ( ) A.72 B.80 C.90 D.82 12.对于四面体 ABCD,以下命题中,真命题的序号为( ) ①若 AB=AC,BD=CD,E 为 BC 中点,则平面 AED⊥平面 ABC; ②若 AB⊥CD,BC⊥AD,则 BD⊥AC; ③若所有棱长都相等,则该四面体的外接球与内切球的半径之比为 2:1; ④若以 A 为端点的三条棱所在直线两两垂直, 则 A 在平面 BCD 内的射影为△BCD 的垂心; ⑤分别作两组相对棱中点的连线,则所得的两条直线异面。 A.①② B.②③ C.①②④ D.①②③④ 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60 ? ,行驶 4 h km . 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15 ? ,这时船与灯塔的距离为 14.等差数列{an}中, | a3 |?| a9 | ,公差 d ? 0 ,则使前 n 项和 Sn 取得最大值的正整数 n 的值 是 15.已知 m ? a ? .

2 1 . (a ? 2) , n ? 22 ?b (b ? 0) ,则 m, n 之间的大小关系为 a?2 16.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那 么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。已知数列{an}是等和数列,且 a1=2,公和为 5,则数列{an}的前 n 项和 Sn ? .

[]

安陆一中 2014—2015 学年度第二学期数学五月联考模拟试题

高一数学答题卡
一、选择题
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题
13.____________________ 15.____________________ 17. (本小题满分 10 分) 已 知 ?A B C中 的 三 个 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a , b, c , 且 满 足 14.______________ 16.______________

三、解答题本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

c oC s?

3 ,a ? , 3 3

?b ? a??sin B ? sin A? ? ?b ? c ? sin C .
(Ⅰ)求 sin B 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分) 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,G 是 C1D1 的中点,H 是 A1B1 的中点 (1)求异面直线 AH 与 BC1 所成角的余弦值; (2)求证:BC1∥平面 B1DG.

D1 A1 H

G

C1

B1

D A B

C

19.(12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 是正三角形,且与底面 ABCD 垂直,底 面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,N 是 PB 的中点,截面 DAN 交 PC 于 M.

(1)求 PB 与平面 ABCD 所成角的大小; (2)求证:PB⊥平面 ADMN.

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

x?a ( a 、 b 为常数) . x?b

(Ⅰ)若 b ? 1 ,解不等式 f ( x ? 1) ? 0 ; (Ⅱ)若 a ? 1 ,当 x ?? ?1, 2? 时, f ( x ) ?

?1 恒成立,求 b 的取值范围. ( x ? b) 2

21. (本小题满分 12 分) 数列{an}满足 a1 ? 3 , an ?1 ? (1)求证: {
2 , an ? 1

an ? 1 } 成等比数列; an ? 2

(2)若 an ? t 2 ? mt ? 0 对一切 n ? N*及 m ? [?1,1] 恒成立,求实数 t 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分)

1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? an ? 1 , 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{an}中的任意三项不可能成等差数列; an (3)设 bn ? ,Tn 为{bn}的前 n 项和,求证 Tn ? 3 . (an ? 1) 2

安陆一中 2014—2015 学年度第二学期数学五月联考模拟试题

参考答案
一、选择题

DDCBCA

CA BB C C
? 5

二、填空题 13. ?3,8? 14. 5 或 6 15. m ? n
? 2 16. S ? ? ? n n, n为偶数

? 5 n ? 1 , n为奇数 ? ?2 2

三.解答题 17.解解: (Ⅰ)由正弦定理可得 (b ? a)(b ? a) ? (b ? c)c ,
2 2 2 即 b ? c ? a ? bc ,由余弦定理得 cos A ?

————————2 分

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? , 2bc 2
————————4 分

又 0 ? A ? ? , 所以 A ? 因为 cos C ?

?
3



3 6 ,所以 sin C ? . 3 3
3 3 1 6 3? 6 .——6 ? ? ? ? 2 3 2 3 6

所以 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C ? 分 (Ⅱ)在 ?ABC 中,由正弦定理

a c ? , sin A sin C



3 c ,解得 c ? 2 2 , ————————8 分 ? 3 6 2 3

所以 ?ABC 的面积 S ?

1 1 3? 6 3 2 ? 2 3 .——— 10 分 ac sin B ? ? 3 ? 2 2 ? ? 2 2 6 2
D1 A1 H G C1

18.解:(1)连结 AD1 , HD1 , ∵AB∥C1D1 AB=C1D1

B1

∴四边形 ABC1D1 为平行四边形, ∴AD1∥BC1, ∴ ?D1 AH 为异面直线 AH 与 BC1 所成的角,…….….2 分 设正方体棱长为 1,
A D B C

在 ?AD1H 中, AD1 ? 2 , AH ? D1 H ?

5 , 2
……………..….5 分

∴ cos ?D1 AH ?

D1 A2 ? AH 2 ? D1H 2 10 ? 2D1 A ? AH 5
10 5

∴异面直线 AH 与 BC1 所成角的余弦值为 (2)连结 BD1 交 B1D 于点 O , 连结 OG ,易知 O 为 BD1 的中点,

…………….6 分
D1 A1 H G C1

在 ?BC1D1 中, OG 为中位线,∴OG∥BC1 又 OG ? 平面 B1DG 且 BC1 ? 平面 B1DG ∴BC1∥平面 B1DG ………………….12 分 19. 解:(1)取 AD 中点 O,连接 PO、BO、BD.

B1

O D A B C

∵△PAD 是正三角形,∴PO⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD, ∴PO⊥平面 ABCD, ∴BO 为 PB 在平面 ABCD 上的射影, ∴∠PBO 为 PB 与平面 ABCD 所成的角. 由已知△ABD 为等边三角形,∴PO=BO= 3, ∴PB 与平面 ABCD 所成的角为 45° . (2)证明:∵△ABD 是正三角形,∴AD⊥BO,∴AD⊥PB, 又 PA=AB=2,N 为 PB 中点, ∴AN⊥PB,∴BP⊥平面 ADMN.

20 解: (Ⅰ)∵ f ? x ? ?
∴ f ( x ? 1) ?

x?a x?a , b ? 1, ∴ f ? x? ? , x?b x ?1

? x ?1? ? a ? x ?1 ? a , x ? x ?1? ? 1
x ?1? a ? 0, x
————————2 分

∵ f ( x ? 1) ? 0 ,∴

等价于 x ? ? x ? ?1 ? a ? ? ? ? 0,

①当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时,不等式的解集为 (0,1 ? a ) , ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时,不等式的解集为 ? , ③当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时,不等式的解集为 (1 ? a,0) ;—————6 分

(Ⅱ)∵ a ? 1 , f ( x ) ?

?1 , ( x ? b) 2



x ?1 ?1 ? ? ( x ? b)( x ? 1) ? ?1 对 x ?? ?1, 2? 时恒成立, (※) x ? b ( x ? b) 2
————————8 分

当 x ? ?1 时,不等式(※)显然成立; 当 ?1 ? x ? 2 时, b ? ?

1 1 ? x ? 1? ( ? x ? 1) , x ?1 x ?1

∵ x ? 1 ? 0 ,∴ 故 b ? ?1

1 1 ? ? x ? 1? ? 2 ? ? x ? 1? ? 2 , x ?1 x ?1

又由 x ?? ?1, 2? 时不等式恒成立,可知 b ? [?2,1] ; 综上所述, b ? 1 . ————————12 分

a ?1 ?an ? 1 2 ? n a ?1 a ? 1 an ? 1 a ?1 1 a ?1 ? n ? n ?? ? n 21.解: (1)证明: n ?1 2a ? 2 2an ? 4 2 an ?1 ? 2 2 an ? 2 ? n an ? 1 an ? 1 an ? 1
?{
2 1 an ? 1 } 是等比数列,首项为 ,公比为 ? ……………………….5 分 5 2 an ? 2

(2)由 1)知

an ? 1 2 1 ? ? (? )n ?1 得 an ? an ? 2 5 2

3 2 1 1 ? ? (? )n?1 5 2

? 2 …………………..6 分

3 ? 2 单减 ?1 ? an ? 3 4 1 n 1? ? ( ) 5 2 1 3 当 n 为偶数时, an ? ? 2 单增? ? an ? 1 4 1 2 1 ? ? ( )n 5 2 1 所以 an ? (当 n ? 2 时取等号) …………………………9 分 2 1 2 由题 t ? mt ? 对 m ? [?1,1] 恒成立 2 1 2 记 g (m) ? tm ? t , m ?[?1,1] ,要使 g (m) ? 2
当 n 为奇数时, an ?

1 ? g (?1) ? ? ? 2 需 ? ? g (1) ? 1 ? ? 2



1? 3 3 ?1 ?t ? 2 2

……………………………..12 分

(说明:第(2)问中如果不讨论 n 的奇偶性,即使最终答案正确,最多给 9 分)

22. 解: (1)

1 1 Sn ? an ? 1(1) S n ?1 ? an ?1 ? 1(2) , 2 2
(1) ? (2) 得

an ? 2(n ? 2) 又 a1 ? 2 an?1

?{an } 为等比数列,首项为 2 ,公比为 2 ,?an ? 2n , n ? N * ……………..3 分
(2)假设 {an } 中存在三项 ar , as , at (r ? s ? t ) 按某种顺序成等差数列

? an ? 2n 单增 ? ar ? as ? at ? 2as ? ar ? at 即 2 ? 2s ? 2r ? 2t
同除以 2 得 2 ? 2
r s ?r

? 1 ? 2t ?r

? s ? r ? 1, t ? r ? 1 ? 左端为偶数,右端为奇数,矛盾
所以任意三项不可能成等差数列 (3) bn ? ……………………7 分

2n (2n ? 1)2
………………………8 分

当 n ? 1 时, T1 ? b1 ? 2 ? 3 ,不等式成立 当 n ? 2 时, bn ?

2n 2n 2n?1 ? ? (2n ? 1)(2n ? 1) (2n ? 1)(2n ? 2) (2n ?1)(2n?1 ?1)
1
n ?1

1 2 ?1 2 ?1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? 2 ? [( 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ? ??? ? ( n ?1 ? n )] 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 1 1 ? 2 ?1? n ? 3? n ?3 2 ?1 2 ?1 ? ?
n

综上 ,对于一切 n ? N 有 Tn ? 3 成立
*

…………………………12 分


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