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山东省临沂市罗庄区2014-2015学年高一下学期期中数学试卷(Word版含解析)


山东省临沂市罗庄区 2014-2015 学年高一下学期期中数学试卷
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)cos570°=() A. B. C. D.

2. (5 分)已知平面向量 =(1,2) , =(1,﹣1) ,则向量 A.(﹣2,﹣1)

B.(﹣2,1) C.(﹣1,0)



=() D.(﹣1,2)

3. (5 分)下列函数中,周期为 π 的是() A.y=cos4x B.y=tan2x C.y=sin2x D.

4. (5 分)已知向量 =2 A.

1﹣3 2,

=(1+n)

1+n 2,若

∥ ,则 n 的值为() D.﹣3

B. ﹣

C.﹣2

5. (5 分)已知| |=| |=1, 与 的夹角为 90°,且 =2 +3 , =k ﹣2 ,若 ⊥ ,则实数 k 的值为() A.6 B.﹣6 C. 3 D.﹣3

6. (5 分)已知向量 =(3,4) , =(﹣3,1) , 与 的夹角为 θ,则 tanθ 等于() A. B. ﹣ C.﹣3 D.3

7. (5 分)如果点 M(sinθ,cosθ)位于第二象限,那么角 θ 所在的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8. (5 分)函数 y=﹣cos( ﹣ A.(k∈Z) C. (k∈Z) )的单调递增区间是() B. (k∈Z) D.(k∈Z) )的图象()

9. (5 分)要得到函数 y=sin2x 的图象,只需要将函数 y=cos(2x﹣

版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

A.向右平移 C. 向左平移

个单位 个单位

B. 向右平移 D.向左平移

个单位 个单位

10. (5 分)已知 M、N 是△ ABC 的边 BC、CA 上的点,且 = ,若 A. =r +s ,则 r﹣s 的值是() B. 0 C.﹣1

=



=

,设

= ,

D.﹣3

二.填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)计算 sin(﹣ )+cos +tan(﹣ )=.

12. (5 分)已知| |=3,| |=5, ? =6,则 在 上的投影为.
2

13. (5 分)设扇形的弧长为 2cm,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是. 14. (5 分)已知 =(6,2) , =(﹣4, ) ,直线 l 过点 A(3,﹣1) ,且与向量 +2 垂直, 则直线 l 的一般方程是. 15. (5 分)给出下列命题:①函数 的一条对称轴方程③函数 对称.其中正确命题的序号是. 是偶函数②x= 是函数

的图象关于点

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (12 分)若向量 的始点为 A(﹣2,4) ,终点为 B(2,1) .求: (Ⅰ)向量 的模. (Ⅱ)与 平行的单位向量的坐标.

版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

17. (12 分)已知角 α 终边上一点 P(﹣4,3) ,求



值. 18. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(﹣1,﹣2) ,B(2,3) ,D(﹣2,﹣1) . (Ⅰ)求平行四边形 ABCD 两条对角线 AC、BD 的长; (Ⅱ)设实数 m 满足 ,求 m 的值.

19. (12 分)已知向量 =(﹣1,2) , =(1,1) ,t∈R. ,向量 与 的夹角为 θ. (Ⅰ)求 cosθ; (Ⅱ)求| +t |的最小值及相应的 t 值.

20. (13 分)已知函数 f(x)=sinωx(ω>0) ,若 y=f(x)图象过 间 上是增函数,求 ω 的值.

点,且在区

21. (14 分)设 x∈R,函数 正周期为 π,且 .

的最小

(Ⅰ)求 ω 和 φ 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)在(﹣π,π)上的单调第减区间; (Ⅲ)若 f(x)> ,求 x 的取值范围.

山东省临沂市罗庄区 2014-2015 学年高一下学期期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)cos570°=() A. B. C. D.

版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 原式中的角度变形后,利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果. 解答: 解:cos570°=cos(360°+210°)=cos210°=cos(180°+30°)=﹣cos30°=﹣ ,

故选:A. 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.

2. (5 分)已知平面向量 =(1,2) , =(1,﹣1) ,则向量 A.(﹣2,﹣1) B.(﹣2,1) C.(﹣1,0)



=() D.(﹣1,2)

考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用向量的坐标运算求解即可. 解答: 解:平面向量 =(1,2) , =(1,﹣1) ,则向量 ﹣1)=(﹣1,2) . 故选:D. 点评: 本题考查平面向量的坐标运算.考查计算能力. 3. (5 分)下列函数中,周期为 π 的是() A.y=cos4x B.y=tan2x C.y=sin2x D. ﹣ = (1,2) (1,

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件根据 y=Asin(ωx+) 、y=Acos(ωx+φ)的周期等于 T= 解答: 解: 由于函数 y=cos4x 的周期为 故排除 B;由于函数 y=sin2x 的周期 由于函数 y=sin 的周期为 = ,可得结论. ,

, 故排除 A; 由于函数 y=tan2x 的周期为

=π,满足条件;

=4π,故排除 D,

故选:C. 点评: 本题主要考查三角函数的周期性及其求法, 利用了 y=Asin (ωx+) 、 y=Acos (ωx+φ) 的周期等于 T= ,属于基础题.

4. (5 分)已知向量 =2

1﹣3 2,

=(1+n)

1+n 2,若

∥ ,则 n 的值为()

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A.

B. ﹣

C.﹣2

D.﹣3

考点: 平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量平行的性质定理得到 解答: 解:因为向量 =2 所以存在 λ,使 故选 B. 点评: 本题考查了向量平行的性质;如果 ∥ ,那么存在唯一的常数 λ,使 .
1﹣3 2,

,利用 向量相等求 n. =(1+n)
1+n 2,并且

∥ ,

,所以

,解得 n=



5. (5 分)已知| |=| |=1, 与 的夹角为 90°,且 =2 +3 , =k ﹣2 ,若 ⊥ ,则实数 k 的值为() A.6 B.﹣6 C. 3 D.﹣3

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由已知得到 =0,利用 ⊥ ,得到关于 k 的等式求之.

解答: 解:因为| |=| |=1, 与 的夹角为 90°, 所以 =0, =0,

又 ⊥ ,所以 ? =0,即(2 +3 )?(k ﹣2 )=2k

所以 2k﹣6=0,解得 k=3; 故选 C. 点评: 本题考查了向量的数量积公式的运用;考查向量垂直,数量积为 0 的性质;属于基 础题.

6. (5 分)已知向量 =(3,4) , =(﹣3,1) , 与 的夹角为 θ,则 tanθ 等于() A. B. ﹣ C.﹣3 D.3

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 首先由向量的数量积公式求出夹角的余弦值, 根据夹角范围求出正弦值, 最后求正 切.
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解答: 解:由已知得到 cosθ=

=

,又

θ∈,所以 sinθ= 所以 tanθ=

, =﹣3;

故选 C. 点评: 本题考查了向量的数量积公式的运用求向量的夹角;属于基础题. 7. (5 分)如果点 M(sinθ,cosθ)位于第二象限,那么角 θ 所在的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点: 三角函数值的符号. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由第二象限点的坐标符号可得 象限. 解答: 解:∵点 M(sinθ,cosθ)位于第二象限,∴ , ,再由三角函数的符号可得角 θ 所在的

∴角 θ 所在的象限是第四象限, 故选:D. 点评: 本题考查三角函数值的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦,属于基础题.

8. (5 分)函数 y=﹣cos( ﹣ A.(k∈Z) C. (k∈Z)

)的单调递增区间是() B. (k∈Z) D.(k∈Z)

考点: 余弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由复合函数的单调性易得 2kπ≤ ﹣ 解答: 解:要求函数 y=﹣cos( ﹣ 只需求函数 y=cos( ﹣ 由题意可得 2kπ≤ ﹣ 解得 4kπ+ ≤x≤4kπ+ ≤2kπ+π,k∈Z,变形可得答案.

)的单调递增区间,

)的单调递减区间,

≤2kπ+π,k∈Z, ,

∴原函数的单调递增区间为: ,k∈Z,
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故选:D. 点评: 本题考查三角函数的单调性,属基础题.

9. (5 分)要得到函数 y=sin2x 的图象,只需要将函数 y=cos(2x﹣ A.向右平移 C. 向左平移 个单位 个单位 B. 向右平移 D.向左平移 个单位 个单位

)的图象()

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 利用 y=sin2x=cos(2x﹣ 解答: 解:∵y=sin2x=cos(2x﹣ ∴y=cos(2x﹣ )向右平移 ) ,利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换即可求得答案. ) , )=sin2x.

个单位,得到 y=cos=cos(2x﹣

故选 A. 点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,利用诱导公式将 y=sin2x 转化为 y=cos (2x﹣ )是变换的关键,属于中档题.

10. (5 分)已知 M、N 是△ ABC 的边 BC、CA 上的点,且 = ,若 A. =r +s ,则 r﹣s 的值是() B. 0 C.﹣1

=



=

,设

= ,

D.﹣3

考点: 平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用平面向量的三角形法则,将向量 解答: 解:由题意, = 所以 r= ,s= , = = = , 用 , 表示,求出 r,s 即可.

所以 r﹣s=﹣1; 故选 C. 点评: 本题考查了向量的三角形法则的运用;关键是将向量 分解为用 , 表示.

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二.填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)计算 sin(﹣ )+cos +tan(﹣ )= .

考点: 运用诱导公式化简求值;三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 原式利用正弦、余弦函数的奇偶性及诱导公式化简,计算即可得到结果. 解答: 解:原式=﹣sin +cos(4π﹣ )﹣tan(π+ )=﹣ + + = .

故答案为: 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.

12. (5 分)已知| |=3,| |=5, ? =6,则 在 上的投影为 2. 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量的数量积公式, 在 上的投影为: .

解答: 解:因为 在 上的投影为: 故答案为:2. 点评: 本题考查了 在 上的投影为:

= =2;

,而 在 上的投影为:



13. (5 分)设扇形的弧长为 2cm,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是 .

2

考点: 专题: 分析: 解答:

扇形面积公式. 计算题;三角函数的求值. 利用扇形的面积求出扇形的半径,然后求出扇形的圆心角. 解:因为扇形的弧长为 2,面积为 4, 2×r=4,r=4,则扇形的圆心角的弧度数为 .

所以扇形的半径为: 故答案为: .

点评: 本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用,考查计算能力.

14. (5 分)已知 =(6,2) , =(﹣4, ) ,直线 l 过点 A(3,﹣1) ,且与向量 +2 垂直, 则直线 l 的一般方程是 2x﹣3y﹣9=0.
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考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题. 分析: 由于 A(3,﹣1)且与向量 解答: 解:∵由于 , 而 ,由于直线 l 过点

垂直,利用条件及质纤维的方程的定义即可. , 而 ,

设 P(x,y)为直线 l 上任意一点,由向量

垂直与直线 l,得直线 l 的一般方程是 2x

﹣3y﹣9=0. 故答案为:2x﹣3y﹣9=0 点评: 此题考查了向量的坐标的加法运算律,直线的方程及方程的思想求解问题.

15. (5 分)给出下列命题:①函数 的一条对称轴方程③函数 对称.其中正确命题的序号是①②.

是偶函数②x=

是函数

的图象关于点

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用三角函数的奇偶性,函数的对称轴以及对称中心,判断结果即可. 解答: 解:对于①,函数 对于②,x= ,则函数 =﹣cosx,是偶函数,所以①正确; =sin( )=﹣1,x= 是函数的一条对

称轴方程,所以②正确; 对于③,x= 时,函数 =tan = ,函数的图象关于点 对

称不正确,所以③不正确. 故答案为:①②. 点评: 本题考查三角函数的图象与性质的应用,考查基本知识的应用. 三.解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (12 分)若向量 的始点为 A(﹣2,4) ,终点为 B(2,1) .求: (Ⅰ)向量 的模. (Ⅱ)与 平行的单位向量的坐标.

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考点: 单位向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: (I)利用向量的坐标运算、模的计算公式即可得出; (Ⅱ)与 平行的单位向量= ,即可得出.

解答: 解: (Ⅰ)∵向量 的始点为 A(﹣2,4) ,终点为 B(2,1) , ∴向量 =(2,1)﹣(﹣2,4)=(4,﹣3) , ∴向量 = =5.

(Ⅱ)与 平行的单位向量=

= (4,﹣3)=( ,﹣ ) .

点评: 本题考查了向量的坐标运算、模的计算公式、与 平行的单位向量= 础题.

,属于基

17. (12 分)已知角 α 终边上一点 P(﹣4,3) ,求



值. 考点: 运用诱导公式化简求值;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 分析: 先根据角 α 终边上一点 P 确定 tanα 的值,进而利用诱导公式对原式进行化简整理 后,把 tanα 的值代入即可. 解答: 解:∵角 α 终边上一点 P(﹣4,3) , ∴



=

=tanα=

点评: 本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题. 要特别留意在三角函数转换过程中 三角函数的正负号的判定. 18. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(﹣1,﹣2) ,B(2,3) ,D(﹣2,﹣1) . (Ⅰ)求平行四边形 ABCD 两条对角线 AC、BD 的长; (Ⅱ)设实数 m 满足 ,求 m 的值.

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考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)利用向量的平行四边形法则求出 , 的坐标,然后求向量的模;

(Ⅱ)利用坐标表示向量,利用数量积为 0,得到关于 m 的方程解之. 解答: 解: (Ⅰ)∵ 由 由 ,得 ,得 ,…(4 分) .…(6 分) .…(7 分) ,…(2 分)

所以,平行四边形 ABCD 两条对角线 AC、BD 的长分别为 (Ⅱ)∵ ∵ ∴﹣11+5m=0,∴ ,∴ .…(12 分) ,∴ , ,…(10 分)

,…(11 分)

点评: 本题考查了有向线段的坐标表示、 向量的平行四边形法则以及求模、 数量积的坐标 运算;属于基础题.

19. (12 分)已知向量 =(﹣1,2) , =(1,1) ,t∈R. ,向量 与 的夹角为 θ. (Ⅰ)求 cosθ; (Ⅱ)求| +t |的最小值及相应的 t 值.

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)利用向量的数量积的坐标运算求 cosθ; (Ⅱ) 首先求出 +t 的坐标, 然后用 t 表示其模, 根据解析式是关于 t 的二次函数求最小值. 解答: 解: (I)∵ =(﹣1,2) , =(1,1) , ∴ =(﹣1,2)?(1,1)=﹣1+2=1,| |= ;…(6 分) ,| |= ,…(2 分)

∴cosθ=

(II)∵ =(﹣1,2) , =(1,1) ∴ +t =(﹣1+t,2+t) ,…(8 分)

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∴| +t |= 当 t=﹣ 时,| +t |的最小值为

= .…(12 分)

,…(10 分)

点评: 本题考查了向量数量积的坐标运算以及模的最值求法;属于基础题.

20. (13 分)已知函数 f(x)=sinωx(ω>0) ,若 y=f(x)图象过 间 上是增函数,求 ω 的值.

点,且在区

考点: y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由三角函数图象和性质易得 可得 ,k∈Z,取 k 值可得 ω +2kπ≤ωx≤ +2kπ,k∈Z, , 可得 ω 的范围, 再由图象过点

解答: 解:当 f(x)为增函数时,﹣ ∴﹣ + ≤x≤ + ,k∈Z,

∵f(x)在

上是增函数.∴



解得 ω≤2,又∵ω>0,∴0<ω≤2, 又∵y=f(x)的图象过 ∴ ∴ ,k∈Z.解得 …(13 分) 点,∴ ,k∈Z, ,

点评: 本题考查三角函数的图象和性质,属基础题. 21. (14 分)设 x∈R,函数 正周期为 π,且 .

的最小

(Ⅰ)求 ω 和 φ 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)在(﹣π,π)上的单调第减区间; (Ⅲ)若 f(x)> ,求 x 的取值范围.

考点: 正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质.
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分析: (I)由周期可得 ω=2,再由且 (II)由(I)知 (III)由正弦函数的图象结合

和 φ 的范围可得 φ 值; ,易得单调递减区间,取在(﹣π,π)的即可; 可得 ,解不等式可得.

解答: 解: (I)周期 ∵ 又∵ (II)由(I)知 由 ∴ ∵x∈(﹣π,π) ,∴ ,∴

,∴ω=2, , ; , 可得 , , , , ; ,

∴函数 f(x)在(﹣π,π)上的单调第减区间为 (III)∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 点评: 本题考查正弦函数的单调性和周期性,属中档题. , , , ,

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