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2014—2015函数导数高考题专题汇编


函数专题 2014 年全国各地高考题导数大题汇总

【2014 全国新课标卷 I】 设 函 数 f ( x) ? aex ln x ?
y ? e( x ? 1) ? 2.

bex ?1 , 曲 线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 为 x

(1)求 a, b; (2)

证明 f ( x) ? 1. 【2014 全国新课标卷 II】 已知函数 f ( x) ?e x ?e? x ? 2 x. (1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)设 g ( x) ? f (2 x) ? 4bf ( x) ,当 x ? 0 时, g ( x) ? 0 ,求 b 的最大值; (3)已知 1.4142? 2 ? 1.4143,估计 ln 2 的近似值(精确到 0.001). 【2014 全国大纲卷】 函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ?
ax (a ? 1). x?a

(1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)设 a1 ? 1, an?1 ? ln(an ? 1) ,证明: 【2014 湖南卷】 已知常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ln(1 ? ax ) ?
2x . x?2 2 3 ? an ? n?2 n ? 2.

(1)讨论 f ( x) 在区间 (0,??) 上的单调性; (2)若 f ( x) 存在两个极值点 x1 , x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,求 a 的取值范围. 【2014 四川卷】 已知函数 f ( x) ? e x ? ax2 ? bx ?1,其中 a, b ? R ,e ? 2.71828 …为自然对数的底数.

(1)设 g ( x) 是函数 f ( x) 的导函数,求函数 g ( x) 在区间 ?0,1? 上的最小值; (2)若 f (1) ? 0 ,函数 f ( x) 在(0,1)内有零点,求 a 的取值范围. 【2014 浙江卷】 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3 x ? a (a ? R ) / (1)若 f ( x) 在 ?? 1,1? 上的最大值和最小值分别记为 M (a) , 求 M (a) ? m(a) ; m( a ) , (2)设 b ? R .若 ? f ( x) ? b?2 ? 4 对 x ? ?? 1,1?恒成立,求 3a ? b 的取值范围. 【2014 浙江卷】 ? 为圆周率, e ? 2.71828 …为自然对数的底数. ln x (1)求函数 f ( x) ? 的单调性; x (2)求 e3 , 3e , e? , ? e , 3? , ? 3 这 6 个数中的最大数与最小数; (3)将 e3 , 3e , e? , ? e , 3? , ? 3 这 6 个数按从小到大的顺序排列,并证明你 的结论. 【2014 陕西卷】 设函数 f ( x) ? ln(x ? 1) , g ( x) ? xf ?( x) , x ? 0 ,其中 f ?( x ) 是 f ( x) 的导函数. (1)令 g1 ( x) ? g ( x) , gn?1 ( x) ? g ( gn ( x)) , n ? N ,求 gn ( x) 的表达式; (2)若 f ( x) ? ag( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)设 n ? N ? ,比较 g (1) ? g (2) ? … ? g (n) 与 n ? f (n) 的大小,并加以证明. 【2014 江西卷】 已知函数 f ( x) ? ( x2 ? bx ? b) 1 ? 2x (b ? R). (1) b ? 4 时,求 f ( x) 的极值;
1 (2)若 f ( x) 在区间(0, )上单调递增,求 b 的取值范围. 3 【2014 重庆卷】

已知函数 f ( x) ? ae2 x ? be?2 x ? cx (a, b, c ? R) 的导函数 f ?( x ) 为偶函数,且曲线
y ? f ( x) 在(0, f (0) )处的切线斜率为 4 ? c.

(1)确定 a , b 的值; (2)若 c ? 3 ,判断 f ( x) 的单调性;

(3)若 f ( x) 有极值,求 c 的取值范围. 【2014 山东卷】 设函数 f ( x) ?
ex 2 ? k ( ? ln x) ( k 为常数, e ? 2.71828 …为自然对数的底数.) 2 x x

(1)当 k ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若函数 f ( x) 在(0,2)内存在两个极值点,求 k 的取值范围. 【2014 福建卷】 已知函数 f ( x) ? e x ? ax ( a 为常数) 的图像与 y 轴交于点 A , 曲线 y ? f ( x) 在点 A 处的切线斜率为 ? 1. (1)求 a 的值及函数 f ( x) 的极值; (2)证明:当 x ? 0 时, x 2 ? e x ; (3)证明: 对任意给定的正数 c , 总存在 x0 , 使得当 x ? ( x0 ,??) 时, 恒有 x 2 ? ce x . 【2014 北京卷】
? ?? 已知函数 f ( x) ? x cos x ? sin x , x ? ?0, ?. ? 2?

(1)求证: f ( x) ? 0 ;
sin x ? ? b 对 x ? (0, ) 恒成立,求 a 的最大值与 b 的最小值. x 2 【2014 天津卷】

(2)若 a ?

设 f ( x) ? x ? aex (a ? R ) .已知函数 y ? f ( x) 有两个零点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 . (1)求 a 的取值范围; (2)证明:
x1 随着 a 的减小而增大; x2

(3)证明: x1 ? x2 随着 a 的减小而增大. 【2014 江苏卷】 已知函数 f ( x) ? e x ? e? x ,其中 e 为自然对数的底数. (1)证明: f ( x) 是 R 上的偶函数; (2)若关于 x 的不等式 mf ( x) ? e? x ? m ?1 在(0, ? ? )上恒成立,求实数 m 的

取值范围;
3 (3)已知正数 a 满足: 存在 x0 ? ?1,???, 使 f ( x0 ) ? a(? x0 ? 3x0 ) 成立.试比较 e a ?1 与

a e ?1 的大小,并证明你的结论.

2015 年函数解答题汇编
全国卷 1 理科 1 已知函数 f(x)=x3+ax+ ,g(x)=-lnx. 4 (Ⅰ)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y=f(x) 的切线; (Ⅱ)用 min ?m, n? 表示 m,n 中的最小值,设函数 h(x)=min{f(x),g(x)} (x>0),讨论 h(x)零点的个数.

全国卷 2 理科

设函数 f(x)=emx+x2-mx. (Ⅰ)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (Ⅱ)若对于任意 x1, x2∈[-1,1],都有|f(x1)- f(x2)|≤e-1,求 m 的取值范围
全国卷 2 文科 已知函数 f(x)=ln x +a(1- x) (I) (II) 北京理 已知函数 f ? x ? ? ln 讨论 f(x)的单调性; 当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a-2 时,求 a 的取值范围.

1? x . 1? x (Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0 ,f ? 0?? 处的切线方程;
? x3 ? 1? 时, f ? x ? ? 2 ? x ? ? ; (Ⅱ)求证:当 x ? ? 0 , 3? ? ? x3 ? 1? 恒成立,求 k 的最大值. (Ⅲ)设实数 k 使得 f ? x ? ? k ? x ? ? 对 x ? ? 0 , 3? ?

北京文 设函数 f ? x ? ?

x2 ? k ln x, k ? 0 . 2

(1)求 f ? x ? 的单调区间和极值; (2)证明:若 f ? x ? 存在零点,则 f ? x ? 在区间 1, e 上仅有一个零点.

?

?

天津文 已知函数 f ( x) = 4 x - x , x ? R, 其中 n ? N * ,且 n ? 2 . (1)求 f ( x) 的单调性; (2)设曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴的交点为 P, 曲线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x ) , 求证: 对于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) ;
4

a 1 (3)若方程 f ( x)=a (a为实数) 有两个正实数根 x1,x2, 且 x1 < x2 ,求证: x2 -x1 < - + 4 3 . 3
重庆理 设函数 f ( x) ?

3x 2 ? ax (a ? R) ex

(1)若 f ( x) 在 x ? 0 处取得极值,确定 a 的值,并求此时曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的 切线方程; (2)若 f ( x) 在 [3, ??) 上为减函数,求 a 的取值范围; 重庆文 已知函数 f ? x ? ? ?2ln x ? x ? 2ax ? a ,其中 a ? 0 ,设 g ? x ? 是 f ? x ? 的导函数.
2 2

(Ⅰ)讨论 g ? x ? 的单调性; (Ⅱ)证明:存在 a ? ? 0,1? ,使得 f ? x ? ? 0 恒成立,且 f ? x ? ? 0 在区间(1, ?? )内有唯 一解。


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