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高考数学思想之三特殊与一般的思想


特殊与一般的思想 由特殊到一般,再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一,对数 学而言,这种由特殊到一般,再由一般到特殊的研究数学问题的基本认识的过程,就是数学研 究的特殊与一般的思想. 在高考中,会有意设计一些能集中体现特殊与一般的思想的试题,例如: (1) 由一般归纳法进行猜想的试题; (2) 由平面到立体,由特殊到一般进行类比猜想的试题; (3) 抽象函数问题; (4)定点,定值问题; (5) 用特殊化方法解选择题等. 【例 1】 (2005 年,天津卷,理(1))

设集合 A ? ?x 4x ? 1 ? 9, x ? R?, B ? ? ?x = ( )

x ? ? 0, x ? R ? 则 A ? B ? x?3 ?
(B) ( ?3,?2] ? [0, ] (D) (?? ,?3) ? [ ,?? )

(A) (?3,?2] (C) (?? ,?3] ? [ 5 ,?? ) 2

5 2

5 2

【分析及解】 本题可以直接通过解不等式得到答案, 也可以通过特殊化方法和估算求解, x ? ? 3 首先由集合 B 可知, ,因而排除(C), 再由 x ? ?2 ? B ,又可排除(A),(B),于是选(D).

【例 2】(2005 年,全国卷Ⅰ,文,理 2), 设 I 为全集, S1、S 2、S3 是 I 的三个非空子集,且 S1 ? S 2 ? S3 ? I ,则下面论断 正确的是( ). (A) ?I S1 ? (S2 ? S3 ) ?? (C) 痧 I S1 ? I S2 ? ? I S3 ? ? (B) S1 ? 痧 I S2 ? I S3

(D) S1 ? ?痧 I S2 ? I S3 ?

?

?

【分析及解】 本题是一道抽象集合问题,直接求解有困难,但可以用特殊化策略解决问题. 可以构造特例,例如 设 S1 ? ? 1,2?, S 2 ? ?2,3?, S3 ? ?2,4?, 则I ?? 1,2,3,4?, CI S1 ? ?3,4?, C I S 2 ? ? 1,4?, CI S 3 ? ? 1,3?, 经简单的计算,就可以排除(A),(B),(D).而由选择题的四选一的要求,可选(C).

【例 3】 (2005 年,北京卷,理 14) 已知 n 次多项式 P n ( x) ? a0 x ? a1 x
n n?1

??? an?1x ? an ,
次运算. 次运

如果在一种算法中,计算 x0 k (k=2,3,4,…,n)的值需要 k-1 次乘法,计算 P 3 ( x0 ) 的值共需要 9 次运算(6 次乘法,3 次加法) ,那么计算 P n ( x0 ) 的值共需要 n-1) .利用该算法,计算 P 3 ( x0 ) 的值共需要 6 次运算,计算 P n ( x0 ) 的值共需要 算. 下面给出一种减少运算次数的算法: (k=0,1, 2, …, P 0 ( x) ? a0 , P k ?1 ( x) ? xP k ( x) ? ak ?1

【分析及解】本题给出了一个求特殊的多项式的值的算法的运算次数的示范,要求归纳 出求一般的多项式的值的运算的次数,这是对特殊与一般的思想和归纳抽象能力的考查. 第一种算法 , 计算 P n ( x0 ) 的值共需要 n ? (n ? 1) ? ? ? 1 ? n 次运算 , 即 算;

n?n ? 3? 次运 2

bn ? bn?1 ? 2 ,由 ?bn ? 是等差数列及 b1 ? 2 可得 bn ? 2n .
【例 4】(2005 年,重庆卷,文 22)

第二种算法, 计算 P n ( x0 ) 的值可以采用递推的方法 .设计算 P n ( x0 ) 的值的次数为 bn ,则

数列 {an }满足a1 ? 1且8an?1an ? 16an?1 ? 2an ? 5 ? 0(n ? 1). 记 bn ? (Ⅰ)求 b1、b2、b3、b4 的值; (Ⅱ)求数列 {bn } 的通项公式及数列 {an bn } 的前 n 项和 S n . 【分析及解】解法一: (I) a1 ? 1, 故b1 ?

1 1 an ? 2

(n ? 1).

1 1?

1 2 3 1 a3 ? , 故b3 ? ? 4; 3 1 4 ? 4 2 4 4 2 8 4 2 (II)因 (b1 ? )( b3 ? ) ? ? ? ( ) , 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 (b2 ? ) 2 ? ( ) 2 , (b1 ? )( b3 ? ) ? (b2 ? ) 2 3 3 3 3 3 4 2 故猜想 {bn ? }是首项为 , 公比 q ? 2的等比数列 . 3 3 因 an ? 2 , (否则将 an ? 2 代入递推公式会导致矛盾) 5 ? 2a 故a n ?1 ? (n ? 1). 16 ? 8a n
因bn ?1 ? 4 ? 3 1 a n ?1 ? 2 an ? 1 2 1 2 ? ?

? 2;

a2 ?

7 1 8 , 故 b2 ? ? ; 7 1 8 3 ? 8 2 13 20 a4 ? , 故b4 ? . 20 3

4 16 ? 8a n 4 20 ? 16a n ? ? ? , 3 6a n ? 3 3 6a n ? 3

4 2(bn ? ) ? 3
故 | bn ?

8 20 ? 16a n 4 4 ? ? bn ?1 ? , b1 ? ? 0, 3 6a n ? 3 3 3

4 | 确是公比为 q ? 2 的等比数列. 3 1 n 4 4 2 4 1 因b1 ? ? , 故bn ? ? ? 2 n , bn ? ? 2 ? ( n ? 1) 3 3 3 3 3 3

由bn ?

1 1 an ? 2

1 得an bn ? bn ? 1, 2

故S n ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn
1 (1 ? 2n ) 1 5 1 ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? n ? 3 ? n ? (2n ? 5n ? 1) 2 1? 2 3 3
解法二: (Ⅰ)同解法一

2 4 8 2 8 4 , b3 ? b2 ? , b4 ? b3 ? , ? ? ( ) 2 3 3 3 3 3 3 2 1 猜想{bn ?1 ? bn }是首项为 , 公比q ? 2的等比数列 , bn ?1 ? bn ? ? 2 n 3 3 5 ? 2a n 又因a n ? 2, 故a n ?1 ? (n ? 1).因此 16 ? 8a n 1 1 1 2 bn ?1 ? bn ? ? ? ? 1 1 5 ? 2a n 1 2a n ? 1 a n ?1 ? an ? ? 2 2 16 ? 8a n 2 16 ? 8an 10 ? 8an 6 ? ? ? ; 6an ? 3 6an ? 3 6an ? 3 16 ? 8a n ?1 16 ? 8a n 1 1 bn ? 2 ? bn ?1 ? ? ? ? 1 1 6a n ?1 ? 3 6a n ? 3 an?2 ? a n ?1 ? 2 2 36 ? 24an 16 ? 8an 20 ? 16an ? ? ? ? 2(bn?1 ? bn ). 6an ? 3 6an ? 3 6an ? 3 2 1 因b2 ? b1 ? ? 0,{bn ?1 ? bn }是公比 q ? 2的等比数列 , bn ?1 ? bn ? ? 2 n , 3 3 从而 bn ? (bn ? bn?1 ) ? (bn?1 ? bn?2 ) ? ? ? (b2 ? b1 ) ? b1 1 ? (2 n ?1 ? 2 n ? 2 ? ? ? 21 ) ? 2 3 1 1 4 ? (2 n ? 2) ? 2 ? ? 2 n ? (n ? 1). 3 3 3 1 1 由bn ? 得a n bn ? bn ? 1, 1 2 an ? 2 故S n ? a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn 1 ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? n 2 1 (1 ? 2 n ) 5 ?3 ? n 1? 2 3 1 ? (2 n ? 5n ? 1). 3
(Ⅱ) b2 ? b1 ?



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