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(北师大版)数学必修二课时作业:2.1.5.2点到直线的距离公式(含答案)


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课时提升作业(二十一)
点到直线的距离公式

一、选择题(每小题 4 分,共 12 分) 1.(2014·济源高一检测)点 P(m-n,-m)到直线 + =1 的距离为( A. C. B. D

. )

【解析】选 A.因为 + =1 可化为 nx+my-mn=0,所以由点到直线的距离公式,得 = = .

2.(2014·吉安高一检测)已知直线 3x+2y-3=0 和 6x+my+1=0 互相平行,则它们 之间的距离是( A.4 ) B. C. D.

【解析】选 D.因为两直线平行,所以 = , 所以 m=4, 所以两平行直线 6x+4y-6=0 和 6x+4y+1=0 的距离为 d= = .

3.若动点 A,B 分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上移动,则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为( A.3 B.2 ) C.3 D.4

【解析】选 A.由题意知 AB 中点 M 的集合为与直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 的距离相等的直线,则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点 M

所 在 直 线 的 方 程 为 x+y+m=0 , 则 由 平 行 线 间 的 距 离 公 式 得

=

,即

|m+7|=|m+5|,解得 m=-6,即得 x+y-6=0,由点到直线的距离公式可得,点 M 到 原点的距离的最小值为 =3 .

二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 4.(2014·济宁高一检测)已知点 A(0,4),B(2,5),C(-2,1),则 BC 边上的高 等于________. 【解析】因为直线 BC 的方程为 x-y+3=0, 所以点 A 到直线 BC 的距离 d= 答案: 【举一反三】题干不变,则三角形 ABC 的面积是多少? 【解析】|BC|= ABC 的面积为 ×4 × =2. =4 ,又 BC 边上的高为 ,所以三角形 = ,即 BC 边上的高等于 .

5.(2014·南阳高一检测)经过点 P(1,2),且使 A(2,3),B(0,-5)到它的距离 相等的直线方程为________________. 【解题指南】可先设出过点 P 的点斜式方程,注意斜率不存在的情况,要分情 况讨论,然后再利用已知条件求出斜率,进而写出直线方程. 【解析】当直线斜率不存在时,即 x=1,显然符合题意,当直线斜率存在时,设 所求直线的斜率为 k,即直线方程为 y-2=k(x-1), 由条件得 = ,解得 k=4,

故所求直线方程为 x=1 或 4x-y-2=0. 答案:x=1 或 4x-y-2=0 【一题多解】由平面几何知识知所求直线 l∥AB 或过 AB 中点.因为 kAB=4, 若 l∥AB,则 l 的方程为 4x-y-2=0.

若 l 过 AB 中点(1,-1),则直线方程为 x=1, 所以所求直线方程为 x=1 或 4x-y-2=0. 答案:x=1 或 4x-y-2=0 【拓展延伸】求直线方程的技巧 (1)常用的方法是待定系数法,即先根据题意设出所求方程,然后求出方程中有 关的参量. (2)利用平面几何知识先判断直线的特征,然后由已知直接求出直线的方程. 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 6.直线 l 过点(1,0)且被两条平行直线 l1:3x+y-6=0 和 l2:3x+y+3=0 所截得的线 段长为 ,求直线 l 的方程.

【解析】当直线 l 与 x 轴垂直时,方程为 x=1, 由 由 得 l 与 l1 的交点为(1,3), 得 l 与 l2 的交点为(1,-6), .

此时两交点间的距离 d=|-6-3|=9≠ 所以直线 l 与 x 轴不垂直. 设 l 的方程为 y=k(x-1)(k≠-3), 解方程组 同理,由

得 l 与 l1 交点的坐标为 得 l 与 l2 的交点坐标为

, ,

由题意及两点间距离公式得 = 所以 k= , ,

所以直线 l 的方程为 y= (x-1), 即 x-3y-1=0. 【一题多解】由两平行线间的距离公式可得 l1 与 l2 间的距离 d= 而 l 被 l1,l2 截得的线段长恰为 , = ,

所以 l 与 l1 和 l2 都垂直,由 l1 的斜率 k1=-3 知, l 的斜率 k= , 所以 l 的方程为 y= (x-1), 即 x-3y-1=0. 【变式训练】已知直线 l1:7x+8y+9=0 与 l2:7x+8y-3=0.直线 l 平行于 l1,直线 l 与 l1 的距离为 d1,与 l2 的距离为 d2,且 d1∶d2=1∶2,求直线 l 的方程. 【解析】 因为直线 l 平行 l1, 设直线 l 的方程为 7x+8y+C=0, 则 d1= , d2= .

又 2d1=d2 ,所以 2|C-9|=|C+3|. 解得 C=21 或 C=5. 故所求直线 l 的方程为 7x+8y+21=0 或 7x+8y+5=0. 7.已知直线 l 经过直线 l1:2x+y-5=0 与 l2:x-2y=0 的交点. (1)若点 A(5,0)到 l 的距离为 3,求 l 的方程. (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值. 【解析】(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+ λ)x+(1-2λ)y-5=0, 因为点 A(5,0)到 l 的距离为 3, 所以 =3,

即 2λ2-5λ+2=0,解得λ=2 或λ= , 所以 l 方程为 x=2 或 4x-3y-5=0.

(2)由

解得交点 P(2,1),如图,

过 P 作任一直线 l,设 d 为点 A 到 l 的距离, 则 d≤|PA|(当 l⊥PA 时等号成立). 所以 dmax=|PA| = = .

一、选择题(每小题 4 分,共 8 分) 1.(2014·佛山高一检测)点 P(x,y)在直线 x+y-4=0 上,则(x-1)2+(y-1)2 的最小 值是( A.2 ) B.2 C. D.4

【解析】选 A.(x-1)2+(y-1)2 最小值即为(1,1)到直线 x+y-4=0 的距离的平方, 所以(x-1)2+(y-1)2 的最小值为 =( )2=2.

2.(2014·湖北七市联考)设两条直线的方程分别为 x+y+a=0,x+y+b=0,已知 a, b 是方程 x2+x+c=0 的两个实根,且 0≤c≤ ,则这两条直线之间的距离的最大值 和最小值分别是( A. , C. , ) B. ,

D. ,

【 解 析 】 选 D. 由 题 意 , a+b=-1 , ab=c , 而 两 条 直 线 之 间 的 距 离 为 d= = = ,故 ≤d≤ .

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.两平行直线 3x+4y+5=0 与 6x+ay+30=0 间的距离为 d,则 a+d=________.

【解析】由两直线平行知,a=8,d= 所以 a+d=10. 答案:10

=2,

4.(2014·榆林高一检测)直线 l1:2x+4y+1=0 与直线 l2:2x+4y+3=0 平行,点 P 是平面直角坐标系内任一点,P 到直线 l1 和 l2 的距离分别为 d1,d2,则 d1+d2 的最 小值是________. 【解题指南】由题意可知 d1+d2 的最小值是两平行线间的距离,根据平行线间的 距离公式可求出. 【解析】l1 与 l2 的距离 d= = ,

则 d1+d2≥d= ,即 d1+d2 的最小值是 . 答案: 三、解答题(12 分) 5.(2013·晋江高一检测)直线 l 经过点 P(2,-5),点 A(3,-2)和 B(-1,6)到直 线 l 的距离之比为 1∶3.求直线 l 的方程. 【解析】若直线 l 的斜率是 k, 则其方程为 y+5=k(x-2),即 kx-y-2k-5=0. 由条件得 = ,

解得 k=- .此时直线 l 的方程为 x+3y+13=0. 若直线 l 斜率不存在,则其方程为 x=2. 点 A 到直线 l 的距离为 1,点 B 到直线 l 的距离为 3, 符合题意. 所以,直线 l 的方程为 x=2 或 x+3y+13=0. 6.等腰直角三角形 ABC 的直角顶点 C 和顶点 B 都在直线 2x+3y-6=0 上,顶点 A

的坐标是(1,-2),求 AB,AC 所在直线方程. 【解析】已知直线 BC 的斜率为- ,因为 BC⊥AC,所以直线 AC 的斜率为 ,从而 直线 AC 方程为 y+2= (x-1), 即 3x-2y-7=0, 又点 A(1, -2)到直线 BC: 2x+3y-6=0 的距离为 |AC|= B ,且 |AC|=|BC|= . 由于点 B 在直线 2x+3y-6=0 上,可设 = ,即 =10.

,且点 B 到直线 AC 的距离为

所以 a-11=10 或 a-11=-10, 解得 a= 或 , 所以 B 或B , ·(x-1)

所以直线 AB 的方程为 y+2= 或 y+2= (x-1).

即 x-5y-11=0 或 5x+y-3=0, 所以 AC 所在的直线方程为 3x-2y-7=0,AB 所在的直线方程为 x-5y-11=0 或 5x+y-3=0.

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