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高三数学排列组合二项式定理


2009 届高考数学二轮复习教案——排列组合二项式定理
一、知识结构: 排列概念
两 个 计 数 原 理

排列 排列数公式 应用 组合概念 组合 组合数公式 组合数性质

排列组合 二项式定理 二 项 式 定 理

通项公式 应用 二项式系数性质

二、基础知识回顾 1.排列与组合 ? 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理,两者的区别在于分步计数原 理和分步有关,分类计数原理与分类有关. ? 排列与组合主要研究从一些不同元素中,任取部分或全部元素进行排列或组合,求共有 多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关,与顺序有关的属于排列 问题,与顺序无关的属于组合问题. ? 排列与组合的主要公式 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ①排列数公式: An ?
m

n! ? n(n ? 1) ? ? ? (n ? m ? 1) (m≤n) (n ? m)!

An n =n! =n(n―1)(n―2) ·?·2·1. ②组合数公式: C n ?
m

n! n(n ? 1) ? ? ? (n ? m ? 1) ? m!(n ? m)! m ? (m ? 1) ? ? ? ? ? 2 ? 1
n?m

(m≤n).
2 n n

③组合数性质:① Cn ? Cn
m 0 2 4 1

(m≤n).
n?1

② Cn ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 2
0 1

③ Cn ? Cn ? Cn ? ?? ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? 2
3

2 二项式定理 ? 二项式定理 (a +b)n =C n an +C n an 1b+…+C n an rbr +…+C n bn,其中各项系数就是组合数 C n ,展开式共有
0 1


r



n

r

n r r n+1 项,第 r+1 项是 Tr+1 =C r b. na


? 二项展开式的通项公式
n r r 二项展开式的第 r+1 项 Tr+1=C r b (r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。 na


? 二项式系数的性质 ①在二项式展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,
n ?r 即 Cr n = Cn

(r=0,1,2,?,n).
n

n 2 ;若 n 是奇数,则中 ②若 n 是偶数,则中间项(第 ? 1 项)的二项公式系数最大,其值为 C n 2
间两项(第

n ?1 n?3 项和第 项)的二项式系数相等,并且最大,其值为 C n 2 = C n 2 . 2 2

n ?1

n ?1

1 2 n n ③所有二项式系数和等于 2n,即 C 0 n +C n +C n +?+C n =2 .

④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和,
2 1 3 n 1 即 C0 . n +C n +?=C n +C n +?=2


(4) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,则它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次
k n k 的概率是 pn(k) = C k . 实际上,它就是二项式[(1―p)+p]n 的展开式的第 k+1 项. n p (1―p)


(5)独立重复试验与二项分布 ①.一般地,在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验.注意这里强调了三 点: (1)相同条件; (2)多次重复; (3)各次之间相互独立; ②.二项分布的概念:一般地,在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数为 X,在每 次试验中事件 A 发生的概率为 p,那么在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率
k k 为 P( X ? k ) ? Cn p (1 ? p)n?k, (k ? 0, 1 , 2, ?,n) . 此 时 称 随 机 变 量 X 服 从 二 项 分 布 , 记 作

X ~ B(n,p) ,并称 p 为成功概率.

三、方法总结 1.排列组合应用题的处理方法和策略 ? 使用分类计数原理还是分步计数原理要根据我们完成某件事情时采取的方式而定,分类 来完成这件事情时用分类计数原理,分步骤来完成这件事情时用分步计数原理.怎样确定是 分类,还是分步骤?“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事件,而“分步骤”必 须把各步骤均完成才能完成所给事情.所以准确理解两个原理的关键在于明确:分类计数原 理强调完成一件事情的几类办法互不干扰,彼此之间交集为空集,并集为全集,不论哪一类 办法中的哪一种方法都能单独完成事件; 分步计数原理强调各步骤缺一不可, 需要依次完成 所有步骤才能完成事件, 步与步之间互不影响, 即前一步用什么方法不影响后一步采取什么 方法. ? 排列与组合定义相近,它们的区别在于是否与顺序有关. ? 复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化,从而寻求解 题途径,由于结果的正确性难以直接检验,因而常需要用不同的方法求解来获得检验.

? 按元素的性质进行分类、 按事件发生的连续过程分步, 是处理组合问题的基本思想方法, 要注意题设中“至少” “至多”等限制词的意义. ? 处理排列组合的综合性问题,一般思想方法是先选元素(组合),后排列,按元素的性质 “分类”和按事件发生的连续过程“分步” ,始终是处理排列、组合问题的基本方法和原理, 通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能. ? 在解决排列组合综合性问题时,必须深刻理解排列与组合的概念,能够熟练确定——问 题是排列问题还是组合问题,牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质.容易产生的错误 是重复和遗漏计数. 常见的解题策略有以下几种: ①特殊元素优先安排的策略; ②合理分类与准确分步的策略; ③排列、组合混合问题先选后排的策略; ④正难则反、等价转化的策略; ⑤相邻问题捆绑处理的策略; ⑥不相邻问题插空处理的策略; ⑦定序问题除法处理的策略; ⑧分排问题直排处理的策略; ⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略; ⑩构造模型的策略. 2.二项定理问题的处理方法和技巧
n r r ? 运用二项式定理一定要牢记通项 Tr+1 =C r b, 注意(a +b)n 与(b+a)n 虽然相同, 但具体到 na


它们展开式的某一项时是不相同的,我们一定要注意顺序问题.另外二项展开式的二项式系 数与该项的(字母)系数是两个不同的概念,前者只指 C r n ,而后者是字母外的部分. ? 对于二项式系数问题,应注意以下几点: ①求二项式所有项的系数和,可采用“特殊值取代法” ,通常令字母变量的值为 1; ②关于组合恒等式的证明,常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法; ③证明不等式时,应注意运用放缩法. ? 求二项展开式中指定的项,通常是先根据已知条件求 r,再求 Tr+1,有时还需先求 n,再 求 r,才能求出 Tr+1. ? 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决;有时也可以通过组合解决,但要 注意分类清楚,不重不漏. ? 对于二项式系数问题,首先要熟记二项式系数的性质,其次要掌握赋值法,赋值法是解 决二项式系数问题的一个重要手段. ? 近似计算要首先观察精确度,然后选取展开式中若干项. ? 用二项式定理证明整除问题,一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开,常采 用“配凑法” “消去法”配合整除的有关知识来解决. 四、2009 高考预测 2009 年高考中,本节的内容还是一个重点考查的内容,因为这部分内容与实际生活联系比 较大,随着新课改的深入,高考将越来越重视这部分的内容,排列、组合都将是重点考查内 容,排列组合的知识在高考中经常以选择题或填空题的形式出现,难度属中等。历年高考二 项式定理的试题以客观题的形式出现,多为课本例题、习题迁移的改编题,难度不大,重点 考查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分、化归转化等思想方法。为此,只要我们

把握住二项式定理及其系数性质, 会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决, 就 可顺利获解。 五、注意问题 1. 对于一些容易混淆的概念,如排列与排列数、组合与组合数、排列与组合、二项式系数 与二项展开式中各项的系数等,应注意弄清它们之间的联系与区别. 2. 复习中,对于排列组合应用题,注意从不同的角度去进行求解,以开阔思维,提高解题 能力. 3. 注意体会解决概率应用题的思考方法,正向思考时要善于将较复杂的问题进行分解,解 决有些问题时还要学会运用逆向思考的方法. 4、注意复习求线性回归方程的方法,回归分析方法,独立性检验的方法及其应用问题。 六、典型例题 例 1、(2008 安徽) 12 名同学合影,站成前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是( )
2 2 A. C8 A3 2 6 B. C8 A6 2 2 C. C8 A6 2 2 D. C8 A5

2 解:从后排 8 人中选 2 人共 C8 种选法,这 2 人插入前排 4 人中且保证前排

人的顺序不变,则先从 4 人中的 5 个空挡插入一人,有 5 种插法;余下的一
2 人则要插入前排 5 人的空挡,有 6 种插法,故为 A6 ;综上知选 C。

例 2、(2008 全国 II)12.如图,一环形花坛分成 A、B、C、D 四块,现有 4 种不同的花供选种,要求在每块里种一种花,且相邻的 2 块种不同的花,则 不同的种法种数为 (A)96 (B) 84 (C) 60 (D) 48
2 3 4 解:分三类:种两种花有 A4 种种法;种三种花有 2 A4 种种法;种四种花有 A4 种种法.共有

2 3 4 A4 ? 2 A4 ? A4 ? 84 .

例 3、(2008 陕西)16.某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段,传递活动分别由 6 名火炬手完 成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中 产生,则不同的传递方案共有 种. (用数字作答)
1 1 4 1 1 4 解:分两类:第一棒是丙有 C1 ? C2 ? A4 ? 48 ,第一棒是甲、乙中一人有 C2 ? C1 ? A4 ? 48

因此共有方案 48 ? 48 ? 96 种 例 4、 (2008 安徽)设 (1 ? x)8 ? a0 ? a1x ? ?? a8 x8 , 则 a0, a1 ,?, a8 中奇数的个数为( A.2 B.3 C.4 D.5 )

i 0 8 解:由题知 ai ? C8 (i ? 0,1,2,?8) ,逐个验证知 C8 ? C8 ? 1,其它为偶数,选 A。

例 5、(2008 上海)12.组合数 Cn(n>r≥1,n、r∈Z)恒等于( r+1 r-1 A.n+1C n-1 B.(n+1)(r+1)C
r -1 n-1

r

) n r -1 D. r C n-1

C.nr C

r -1

n-1

解:由 Cn ?
r

n! n (n ? 1)! n r ?1 ? ? ? Cn ?1 . r !(n ? r )! r (r ? 1)![(n ? 1) ? (r ? 1)]! r
4

例 6、(2008 浙江)(6)在 ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3)(x ? 4)(x ? 5) 的展开式中,含 x 的项的系数 是 (A)-15 (B)85 (C)-120 (D)274 解:本题可通过选括号(即 5 个括号中 4 个提供 x ,其余 1 个提供常数)的思路来完成。故 含 x 的项的系数为 (?1) ? (?2) ? (?3) ? (?4) ? (?5) ? ?15.
4

例 7、(2008 重庆) (10)若(x+ 系数为 (A)6 解 : 因 为 (x ?

1 n ) 的展开式中前三项的系数成等差数,则展开式中 x4 项的 2x
(C)8 (D)9

(B)7

1 2 1 n 1 1 0 ) 的 展 开 式 中 前 三 项 的 系 数 Cn 、 Cn 、 Cn 成 等 差 数 列 , 所 以 4 2x 2

1 2 0 1 2 Cn ? Cn ? Cn ? 0 , 即 n ? 9n ? 8 , 解 得 : n ? 8 或 n ?1 ( 舍 ) 。 4 1 1 r ? 4可 得 , r ? 2 , 所 以 x 4 的 系 数 为 Tr ?1 ? C8r x8?r ( ) r ? ( ) r C8r x8? 2 r 。 令 8 ? 2 2x 2 1 2 2 ( ) C8 ? 7 ,故选 B。 2
七、跟踪训练 1、从 10 名男同学,6 名女同学中选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名同学中既有男同学又 有女同学的不同选法共有 种(用数字作答) 2、 ?1 ? 2 x ? ?1 ? x ? 展开式中 x 的系数为_______________。
3 4

3、从甲、乙等 10 名同学中挑选 4 名参加某校公益活动,要求甲、乙中至少有 1 人参加,则 不同的挑选方法共有________________种。

2? ? 3 4、 ? x ? ? 的二项展开式中 x 的系数为 x? ?

5

(用数字作答) .

5、 有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的蓝色 卡片,从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行.如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10,则不同的排法共有 种(用数字作答) . 6、用 1,2,3,4,5,6 组成六位数(没有重复数字) ,要求任何相邻两个数字的奇偶性不 同,且 1 和 2 相邻,这样的六位数的个数是 (用数字作答)。 7、某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排 一个班,不同的安排方法共有 种. (用数字作答) 8、某校要求每位学生从 7 门课程中选修 4 门,其中甲、乙两门课程不能都选, 则不同的选课方案有___________种。 (以数字作答) 9、要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6 门课各一节的课程表, 要求数学课排在前 3 节,英语课不排在第 6 节,则不同的排法种数为 。 10、将数字 1,2,3,4,5,6 拼成一列,记第 i 个数为 ai (i ? 1 , 2, ?, 6) ,若 a1 ? 1, a3 ? 3 ,

a5 ? 5 , a1 ? a3 ? a5 ,则不同的排列方法有
11、 ( x ?

种(用数字作答) .

4

1 x ) 展开式中含 x 的整数次幂的项的系数之和为 x

(用数字作答) .

12、 ( x ? ) 的展开式中的第 5 项为常数项,那么正整数 n 的值是
n

1 x

. 种.

13、安排 3 名支教老师去 6 所学校任教,每校至多 2 人,则不同的分配方案共有 (用数字作答) 14、 (1 ? 2 x) 5 的展开式中的系数 是 .. .(用数字作答)

15、 安排 3 名支教教师去 4 所学校任教, 每校至多 2 人, 则不同的分配方案共有 (用数字作答)

种.

答案:1、420
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2、2

3、140 4、10 5、432 6、40 7、240 8、25 9、288 10、

30 11、72 12、8 13、210 14、40 15、60



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