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2014届高三数学寒假作业5(数列2)


2014 届高三数学寒假作业五(数列 2)
姓名____________学号___________ 一、填空题 1.在等差数列 ?a n ? 中,若 a3 ? a9 ? a 27 ? 12 ,则 a13 ?
. .

2.已知各项均正的等比数列 ? an ? 中, lg(a3 ? a8 ? a13 ) ? 6 ,则 a1 ? a15 的值为

3.已知三数 x ? log 27 2 , x ? log 9 2 , x ? log 3 2 成等比数列,则公比为________. 4.已知当 x ? R 时,函数 y ? f ( x) 满足 f (2.1 ? x) ? f (1.1 ? x) ? 值为 .

1 ,且 f (1) ? 1 ,则 f (100) 的 3

5.设等差数列 ?a n ? 前 n 项和为 S n ,若 S m?1 ? ?1, S m ? 0, S m?1 ? 2 ,则 m ? ______. 6.在等比数列 ?a n ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 S n ,若数列 ?a n ? c?( c ? 0 )也是等比数列,则

Sn ?



7.若数列 ?a n ?是正项数列,且 a1 ?

a 2 ? ? ? a n ? n 2 ? 3n(n ? N ? ) ,则
.

a a1 a 2 ? ??? n ? 2 3 n ?1

8.若数列 ?a n ?满足: a1 ? 1 ,且对任意的正整数 m , n 都有 a m? n ? a m ? a n ? 2mn ,则数列 ?a n ? 的通项公式 a n ?
? ?



9.对于数列 ?a n ? (n ? N , a n ? N ) ,若 bk 为 a1 , a 2 ,?, a k 中最大值 (k ? 1,2,?, n) ,则称数列

?bn ? 为数列 ?a n ? 的“凸值数列”.如数列 2,1,3,7,5 的“凸值数列”为 2,2,3,7,7;由此定义,下列

说法正确的有___________________. ① 递减数列 ?a n ? 的“凸值数列”是常数列;

② 不存在数列 ?a n ? ,它的“凸值数列”还是 ?a n ? 本身; ③任意数列 ?a n ? 的“凸值数列”是递增数列; ④“凸值数列”为 1,3,3,9 的所有数列 ?a n ? 的个数为 3. 则 q 的取值范围是


10.设等比数列 ?a n ?的各项均为正数,公比为 q ,前 n 项和为 S n .若对 ?n ? N ,有 S 2 n ? 3S n ,
?

11 . 各 项 都 为 正 数 的 数 列 ?a n ? , 其 前 n 项 的 和 为 S n , S n ? ( S n ?1 ?

a1 ) 2 , (n ? 2) , 若

bn ?

a n ?1 a ? n ,且数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 Tn ,则 Tn ? an a n ?1

.

12.已知数列 ?a n ?满足 a n ? n ? 围是_____________.
11

c ? ,若对所有 n ? N 不等式 a n ? a 3 恒成立,则实数 c 的取值范 n
? ?

13.设等比数列 ?a n ? 满足公比 q ? N , a n ? N ,且 ?a n ? 中的任意两项之积也是该数列中的一项, 若 a1 ? 2 ,则 q 的所有可能取值的集合为__________. 14.设数列 ?a n ?是首项为 0 的递增数列, (n? N ) , f n ( x) ? n s i
?

1 ( x ? a n ) , x ? ?a n , a n?1 ? , n


满足: 对于任意的 b ? ?0,1? ,f n ( x) ? b 总有两个不同的根, 则数列 ?a n ? 的通项公式为 二、解答题 15.设数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? 1 ? 2a n , (n ? N ) .
?

(1)求数列 ?a n ? 的通项公式;

(2)在数列 ?a n ? 的每两项之间按照如下规则插入一些数后,构成新数列: a n 与 a n ?1 两项之间 插入 n 个数,使这 n ? 2 个数构成等差数列,其公差为 d ,求数列 ?

?1 ? ? 的前 n 项和为 Tn . ?dn ?

16.已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 3 , ( n ? 1)an ? nan ?1 ? 1 . (1)求证: 2a n ?1 ? a n ? a n ? 2 ; (2)求数列 ?a n ? 的通项公式; (3)设数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在实数 M ,使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都成 ? a n a n ?1 ?

立?若存在,求 M 的最小值;若不存在,试说明理由.

17.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? a(a ? R) 同时满足:①不等式 f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元素;
2

②在定义域内存在 0 ? x1 ? x2 , 使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立 . 设数列 ?a n ? 的前 n 项和为

(1)求数列 ?a n ? 的通项公式;

S n ? f (n) .

(2)设各项均不为零的数列 ?cn ? 中,所有满足 ci ? ci ?1 ? 0 的正整数 i 的个数 称为这个数列 ?cn ? 的 .. 变号数,令 c n ? 1 ?

a ( n 为正整数),求数列 ?cn ? 的变号数. an

18.设等差数列 ?a n ? 的公差 d ? 0 ,等比数列 ?bn ? 公比为 q ,且 a1 ? b1 , a3 ? b3 , a7 ? b5 . (1)求等比数列 ?bn ? 的公比 q 的值; (2)将数列 ?a n ? , ?bn ? 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列 ?cn ? ,是否存在 正整数 ? , ? , ? (其中 ? ? ? ? ? )使得 ? , ? , ? 和 c? ? ? , c ? ? ? , c? ? ? 都构成等差数列?若 存在,求出一组 ? , ? , ? 的值;若不存在,请说明理由.

2014 届高三数学寒假作业五(数列 2) 参考答案
1 .4 ; 6 . 2n ;
2

2.10000 ;
2

3.3 ;
2

4.34



7. 2n ? 6n ; 8. n



9.①④;

10. ?0,1? ;

5.3 ;

4n ? 6n n(n ? 1)? ; 12. ?6,12 ? ; 13. ?2,2048 ? ; 14. a n ? . 2n ? 1 2 n 10.简答: q ? 1 成立; q ? 0且q ? 1 时,有 q ? 2 得 q ? n 2 恒成立,所以 0 ? q ? 1 ,故所求范 围0 ? q ?1 1 1 11.简答: a n ? (2n ? 1)a1 ,故 bn ? 2 ? 2( ? ) 2n ? 1 2n ? 1 ?a 2 ? a 3 12. ? ?a 4 ? a 3
11. 13.任取不同三项有 a m a n ? at ( m ? n ? t ) ,可得 q 以 q ? 2 或2
11 1 t ?m ?n ?1

? 211 ,故 t ? m ? n ? 1 ? 1或11 ,所

14. a n ?1 ? a n ? n? , a1 ? 0 ,累加可得 a n ? 15.【解析】 (1)当 n ? 1 时, S1 ? 1 ? 2a1 ,∴ a1 ? 1 .

n(n ? 1) ? 2

当 n ? 2 时,又 Sn ?1 ? 1 ? 2an ?1 ,∴ Sn ? 1 ? ( Sn ?1 ? 1) ? 2an ? 2an ?1 ,即 an ? 2an ?1 ,
n ?1 ∴ {an } 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,故 an ? 2 .

(2)由(1)得 an ?1 ? 2 ,则 2 ? 2
n

n

n ?1

2 n ?1 1 n ?1 ? (n ? 1)d ,∴ d n ? , , ? n ? 1 d n 2 n ?1

2 3 n n ?1 1 2 3 n n ?1 ? 1 ? ??? ? n?2 ? n?1 , Tn ? 1 ? 2 ? ??? ? n?1 ? n , 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n ?1 两式相减得: Tn ? 2 ? 1 ? 2 ? ??? ? n ?1 ? n , 2 2 2 2 2
∴ Tn ? ∴ Tn ? 6 ?

n?3 2 n ?1

16.【答案】解:(1)∵ nan ?1 ? (n ? 1)a n ? 1 ,∴ (n ? 1)a n ? 2 ? (n ? 2)a n ?1 ? 1

∴ (n ? 1)a n ? 2 ? nan ?1 ? (n ? 2)a n ?1 ? (n ? 1)a n

? 2(n ? 1)an?1 ? (n ? 1)(an? 2 ? an ) ? 2an?1 ? an? 2 ? an .
(2) a1 ? 3,nan ?1 ? (n ? 1)an ? 1 ? a2 ? 2a1 ? 1 ? 5 ? a2 ? a1 ? 2 即公差为 2

? an ? a1 ? (n ? 1)d ? 3 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1
(3)?

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? a n a n ?1 (2n ? 1)( 2n ? 3) 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? ( ? ? ? ? ? ? ? )? ( ? )又当n ? N ?时,Tn ? 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 2 3 2 n ? 3 6

要使得 Tn ? M 对一切正整数 n 恒成立,只要 M ≥

1 , 6

所以存在实数 M 使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都成立, M 的最小值为 17. 【答案】解:(1)由① f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元素知

1 . 6

? ? a 2 ? 4a ? 0 ? a ? 0 或 a ? 4 2 当 a ? 0 时,函数 f ( x) ? x 在 (0, ??) 上递增,此时不满足条件② 2 综上可知 a ? 4, f ( x) ? x ? 4 x ? 4 n ?1 ? 1, ? S n ? n 2 ? 4n ? 4,? an ? ? ?2n ? 5, n ? 2
? ?3, n ?1 ? (2)由条件可知 cn ? ? 4 ,n ? 2 ?1 ? ? 2n ? 5 2n ? 9 2 n ? 7 3 5 7 9 当 n ? 2 时,令 cn ? cn ?1 ? 0 ? ? ?0? ? n? 或 ?n? 2n ? 5 2 n ? 3 2 2 2 2 所以 n ? 2 或 n ? 4 又? c1 ? ?3, c2 ? 5,? n ? 1时,也有 c1 ? c2 ? 0
综上可得数列 {cn } 的变号数为 3 18. 【解析】 : (1)设 a1 ? b1 = a, ,由题意
2 2 ? ? ?aq ? a ? 2d ?aq ? a ? 2d 即? ? d ? 0,? q ? ?1 不合题意 ? 4 4 ? ? ?aq ? a ? 6d ?aq ? a ? 6d q2 ?1 1 2 故 4 ? ,解得 q ? 2 ? q ? ? 2 q ?1 3 (2)答:不存在正整数 ? , ? , ? (其中 ? ? ? ? ? )使得 ? , ? , ? 和 c? ? ? , c? ? ? , c? ? ? 均构成等

差数列 证明:假设存在正整数 ? , ? , ? 满足题意 设 a1 ? b1 = a, 且 a n ?b m ,故 a ? (n ? 1)d ? aq
m ?1

,又 2d ? aq ? a ? a ? d ?
2

a 2

n ?1 ?1 ? ? (? 2 ) m ?1 即 n ? 1 ? (?1) m ?1 2 2
? n ? 1? N *
*

m ?1 2

? ( ?1)m ?1 ? 0 ? m为奇数,且n ? 2

m ?1 2

?1

令 m ? 2k ? 1(k ? N ) ,则 bm ? a ? (? 2) 2 k ?1?1 ? a ? 2k ?1

? c n ? 2 n ?1 a

若存在正整数 ? , ? , ? 满足题意,则

?2? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?1 ? ?1 ?2(a ? 2 ? ? ) ? (a ? 2 ? ? ) ? (a ? 2 ? ? )
? 2 ? ? 2? ?1 ? 2? ?1 ,又? 2? ?1 ? 2? ?1 ? 2 2? ?? ? 2 ? 2
又? ? ? ? ,? 2 ? 2
? ? ?1 ? ??
? ??
2

(当且仅当? ? ?时取 " ? ")

? 2? ?1 ? 2 2 ? ?? ? ?? 又 y ? 2 x 在 R 上为增函数,? ? ? ,与题设 ? ? 矛盾, 2 2 ? 假设不成立 故不存在 ? , ? , ? 满足题意.


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